Notas de calculo numerico

Capı́tulo 15
Integración Numérica
Resumen 15.0.3 En este capı́tulo veremos una serie de técnicas que se llaman métodos de cuadratura que permiten calcular integrales descomponiendo
la integral en la cuadratura numérica mas el error de truncamiento
Tenemos por un lado las Fórmulas de Newton Cotes cerradas con una
expresión genérica dentro de las que encontramos como caso particular la
regla del trapecio y la regla de Simpson de 12 y 83 , La regla del trapecio consiste en integrar la interpolación lineal de la función bajo estudio y la regla de
Simpson aproxima integrándola interpolación polinomial de grado 2 y grado 3
respectivamente.Estos métodos funcionan para intervalos donde los puntos
están aeroespaciales.
Las cuadraturas de Gauss sirven para integrar en intervalos con puntos
no equidistantes, donde se utilizan puntos de Legendre(raı́ces de polinomio
de Legendre) que esta definida en el intervalo [−1, 1] y que se debe usar una
transformación para calcular en un intervalo genérico [a, b].
Las integrales con lı́mites infinitos , como el caso de las funciones de distribución para variables aleatorias con recorrido infinito(normal,etc) se integran
mediante la regla del trapecio extendida o la transformación exponencial doble
El análisis del error para la regla del trapecio es la Regla de Romberg
que permite aproximar la integral usando los resultados en 2 pasos consecutivos de la regla del trapecio para converger mas rápidamente al verdadero
valor.
114
15.1 Introducción
15.1.
115
Introducción
Como hemos visto a lo largo del curso vamos a encontrar una solución
aproximada, cuando la solución analı́tica no es posible o es costosa en tiempo
de máquina.
Si tenemos por ejemplo la integración de funciones recurrimos a la integración
numérica para resolver
Zb
I = f (x)dx
a
I = IN + ET
(error de truncamiento)
Para eso vamos a presentar una serie de alternativas que son las fórmulas de
Newton Cotes que tiene una serie de casos particulares, que resultan fáciles
de calcular, que luego vamos a generalizar.
15.2.
Fórmulas de Newton Cotes
15.2.1.
Fórmulas de Newton Cotes Cerradas
Si tenemos una función de la forma f (x) la vamos a aproximar de la
siguiente manera
k=M
X
fk Ln,k (x)
f (x) = PM (x) =
k=0
Esa función f (x) la aproximamos por una combinación lineal de polinomios,
que ya conocemos y son el P.I.L.. Podemos plantearnos que la integral de
la función f (x) la podemos aproximar por una suma finita , que es la C.L.,
donde tendremos:
ZxM
f (x)dx ∼
=
k=M
X
αk fk (x)
(15.1)
k=0
x0
Eso se puede ver si desarrollamos primero la igualdad del lado izquierdo
ZxM
x0
f (x)dx ∼
=
ZxM
PM (x)dx
x0
(15.2)
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
ZxM k=M
X
!
fk Ln,k (x)
k=0
x0
k=M
X
k=0
116
=
k=M
X
k=0
x

ZM
 (fk Ln,k (x))
(15.3)
x0
x

ZM
k=M
X
 (Ln,k (x))fk =
αk fk (x)
(15.4)
k=0
x0
Llegamos entonces a aproximar la integral en un determinado intervalo(que
dividimos en M subintervalos)) por una suma finita de M términos donde
resta por ver que son los pesos αi . Esos pesos, que se llaman pesos de la
cuadratura ya están determinado y los presentaremos mas adel ante en una
tabla.
Entonces para nosotros la integral
ZxM
I=
f (x)dx = Q(f ) + E(F )
x0
Es decir que descomponemos la integral exacta en una integral numérica
(cuadratura numérica y un error de Truncamiento)
15.2.2.
Regla del Trapecio
Supongamos que tenemos la integral f (x) en el intervalo [a, b] La vamos
a resolver mediante una aproximación de la función g(x): esa función que
aproxima es la interpolación lineal de Lagrange o lo que es lo mismo el PL
de orden 1.
Esa aproximación vemos que va a coincidir con la que se obtiene si aproximamos el area bajo la curva por un trapecio.
Tenemos
Zb
(b − a)
[f (a) + f (b)] + E(x)
(15.5)
I = f (x)dx =
2
a
En realidad g(x) es la hipotenusa del trapecio (a, f (a), f (b), b). El error va a
ser entonces
E(x) = f (x) − g(x)
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
117
Figura 15.1: Regla del Trapecio
15.2.3.
Error de la regla del Trapecio
Esta forma de aproximar la integral tiene asociada un Error que tiene la
siguiente caracterı́stica:
Zb
E(x) =
f (x)dx =
(b − a)
[f (a) + f (b)]
2
a
Si hacemos el desarrollo de Tablar en el puntox̄ =
f (x) = f (x̄) + zf 0 (x̄) +
(b+a)
2
z 2 00
f (x̄) + ....
2
⇒h=
(b−a)
2
(15.6)
Vemos que es lo mismo plantear
h
Zb
Z2
f (x)dx =
a
−h
2
f (x)dx =
(15.7)
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
118
Veamos que pasa para
x = a⇒ z = a − x̄ = a −
x=b⇒ z = b − x̄ = h2
h
h
Z2
Z2
f (x)dx =
−h
2
−h
2
(b+a)
2
= − h2
z2
[f (x̄) + zf 0 (x̄) + f 00 (x̄) + ...]dz =
|
{z 2
}
(15.8)
Desarrollo en Taylor
Si resolvemos la integral nos queda
hf (x̄) +
1 3 00
h f (x̄) + .......
24
(15.9)
Si hacemos también el D.T. de
g(x) =
(b − a)
[ f (a) + f (b) ]
|
{z
}
2
Regla del trapecio
1
hf (x̄) + h3 f 00 (x̄) + .......
8
(15.10)
Si restamos las 2 ecuaciones nos queda
1
E∼
= − h3 f 00 (x̄)
12
Esto nos da el orden de E. El resto de los términos que son de mayor orden
no se consideran⇒ Se truncó el error
Que pasa si b − a → 0.... el error decrece
15.2.4.
Regla del Trapecio extendida
Podemos hacer una modificación a la regla del trapecio, que consiste en
agregar mas cantidad de intervalos.Supongamos por ejemplo que partimos a
la mitad el intervalo [a, b],de la gráfica anterior....
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
119
Figura 15.2: Regla del trapecio extendida
Esa sola modificación hace que la aproximación por la regla del trapecio
sea mucho mas exacta, al decrecer notablemente el area que queda entre la
curva f (x) y g(x).Por lo tanto se trata de partir el intervalo original en una
serie de intervalos iguales, de manera que si tomamos N intervalos tendremos
como aproximación a la integralI(a, b)
Zb
a
j=N −1
X
h
f (a + jh) + f (b)]
f (x)dx = [f (a) +
2
j=1
(15.11)
En este caso el error de truncamiento es de una forma muy similar que el
que ya vimos para la regla del Trapecio
1
E∼
=−
12
b−a
N
3 X
i=N
f 00 (x̄i )
(15.12)
i=1
donde h = (b − a)N −1 . Esto es para cada intervalo en el que partimos a
[a, b]
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
120
i=N
P
Si acumulamos los errores podemos hacer para
f 00 (x̄i ) que es el único
i=1
termino que varia, un promedio de la forma
f¯00 =
i=N
X
f 00 (x̄i ) ⇒ E = −
i=1
E=−
1 (b − a)3 ¯00
Nf
12 N 3
1
(b − a)3 h2 f¯00
12
(15.13)
Figura 15.3: Regla del trapecio extendido con varios subintervalos
15.2.5.
Integración de Romberg
Vamos a mejorar la aproximaciones de la Regla del Trapecio extendida,
aplicándola 2 veces tal que que la segunda vez que la aplicamos tenemos el
siguiente planteo
h=
(b−a)
N
⇒ Ih
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
121
Ih se debe leer como la integración numérica por R.T.R con intervalo
Al aplicarla 2 veces en forma consecutiva tenemos que la I2h es
h = (b−a)
N
0
tal que h = 2h
Recordando lo que vimos para el Error en el método de RTE, este era proporcional a h2
1
(b − a)3 f¯00
12
= Eh0 = λ0 (2h)2 = 4h2
E = h2 con λ = −
E2h
Por otro lado sabemos que I(a, b) = Ih +Eh = I2h +E2h ⇒ Ih −I2h = E2h −Eh ,
y podemos plantear entonces
1 −2
1
λ = h (Ih − I2h ) ⇒ I(a, b) = Ih + Eh ∼
= Ih + (Ih − I2h )
3
3
1
Eh ∼
= Ih + (Ih − I2h )
3
(15.14)
Ejemplo 15.2.6 Retomamos la función f (x) = π(1 + ( x2 )2 )2 y vamos a integrarla en el intervalo [0, 2] aplicando la igualdad de Romberg
N
2
4
8
16
32
64
128
h
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
Ih
12.7627
11.9895
11.794
11.7449
Eh=I(a,b)-Ih
-1.0341
-0.2609
-0.0654
-0.0163
Cuadro 15.1: Ejemplo de integración de Romberg
15.2.7.
Regla de 13 Simpson
Vamos a continuar tratando de mejorar nuestro ajuste, cambiando el grado del polinomio por el que aproximamos, ya que antes lo hacı́amos con una
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
122
Figura 15.4: Integración de Romberg para f (x) = π(1 + ( x2 )2 )2
función g(x) que era de grado 1. Vamos a ver que pasa si lo intentamos con
una de grado 2.
En ese caso de acuerdo a como nos queda la figura,planteamos la integral
I(a, b)
Zb
a
En este caso h =
h
f (x)dx = [f (a) + 4f (x1 ) + f (b)]
{z
}
3 |
Regladeun
(b−a)
,x̄
2
=
1
3
(15.15)
deSimpson
(a+b)
2
I(a, b) = h3 (f (a) + 4f1 + f (b)) + E,
con fi = f (xi ) + f (a + ih)

I(a, b) =
N
−1
X
h
f (a) + 4
3
i=1
impar
f (a + ih) + 2
N
−2
X
i=1
par
(15.16)


f (a + ih) + f (b) + E(15.17)
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
123
Figura 15.5: Regla de 1/3 de Simpson
E es de la forma que sigue, muy similar al que ya vimos para la regla del
trapecio
h4 iv
N h5 iv
f (x̄) = −(b − a)
f (x̄)
E=−
2 90
180
El error nos queda entonces proporcional a h4
Cual es el grado de exactitud o precisión de las fórmulas de cuadratura?
El grado de precisión es el entero positivo n tal que la fórmula sea exacta
para xk , con k = 0, 1, 2......n.Dicho de otra manera cuando el grado de
precisión es n ⇒ E(P (x)) = 0 para los polinomios de grado n y E(P (x)) 6= 0
para los polinomios de grado n + 1
La regla del Trapecio y la Regla de Simpson son casos particulares de
las formulas de cuadratura de Newton Cotes que presentamos en la próxima
sección.
15.2 Fórmulas de Newton Cotes
15.2.8.
124
Fórmula general de Newton Cotes cerradas
Ya dijimos en la introducción como era la la expresión de
ZxM
f (x)dx ∼
=
x0
k=M
X
αk fk (x)
(15.18)
k=0
Vamos a reescribir esta última igualdad como:
Zb
f (x)dx =αh[w0 f0 + w1 f1 + ...... + wN fN ] + E
a
donde α y las w son las constantes que aparecen en la tabla que sigue:
(b − a)
N
Vemos que si usamos los valores de la tabla coincide con las fórmulas que
fn = f (xn ),
N
1
2
3
4
α
1/2
1/3
3/8
2/45
xn = a + nh,
y
h=
wi , i = o, 1, 2, ...., N
E
11
141
1331
7 32 12 32 7
−12 3 2
f
h
−1 5 4
hf
90
−3 5 5
hf
80
−8 7 6
hf
945
Cuadro 15.2: Constantes para fórmulas cerradas de Newton Cotes
ya hallamos para el caso de la regla del trapecio y de la regla de Simpson.
Puede pasar que tengamos que integrar en un intervalo mas alla de los puntos
extremos de los datos de nustra malla de integración. Pra eso manjamos
nlas fórmulas que aparecen a continuación, que se obtienen al extender la
integración hasta un intervalo a la izquierda del primer datos y un intervalo
a la derecha del último dato.
15.3 Cuadraturas de Gauss
15.2.9.
125
Fórmulas de Newton Cotes Abiertas
La fórmula se reescribe como
Zb
f (x)dx =αh[w0 f0 + w1 f1 + ...... + wN +2 fN +2 ] + E
a
(b−a)
. Las constantes α y Wi son las que se listan en la tabla
donde h = (N
+2)
siguiente, y Wo yWN +2 se igualan a cero
N
1
2
3
4
α
3/2
4/3
5/24
6/20
wi , i = 0, 1, 2, ...., N + 2
E
0110
0 2 -1 2 0
0 11 1 1 11 0
0 11 -14 26 -14 11 0
−14 3 2
f
h
28 5 4
hf
90
95 5 5
hf
144
41 7 6
hf
140
Cuadro 15.3: Constantes para fórmulas abiertas de Newton Cotes
Si comparamos una fórmula abierta con una cerrada utilizando el mismo
número de N datos, el error de la abierta es significativamente que el de la
fórmula cerrada.
15.3.
Cuadraturas de Gauss
Las cuadraturas de Gauss difieren en forma significativa de las fórmulas
de Newton Cotes ya que los N puntos de la retı́cula (llamados puntos de
Gauss) se obtienen medinate las raı́ces del Polinomio de Legrendre de orden
N.
Aca aparece una alternativa para minimizar el error,tal cual vimos en la sección de Interpolación donde cambiando los puntos de la malla, aplicábamos
los polinomios interpolantes de Tchebyshev, en los puntos que eran raices
de los polinomios de Tchebyshev. En este caso cambiamos los puntos de la
malla de integración que estna equiespaciados, por los puntos que son raices
de los polinomios de Legrendre.
La cuadratura de Gauss que se extiende sobre el intervalo [−1, 1] esta dada
15.3 Cuadraturas de Gauss
126
por
Z1
f (x)dx =
k=N
X
wk f (xk )
(15.19)
k=1
−1
donde N es el número de puntos de Gauss, los wi son los pesos y las xi
son los puntos de Gauss dados en la tabla que sigue. Por ejemplo si N = 4,
la ecuación precedente se escribe como
Z1
f (x)dx =0,34785f (−0,86113) + 0,65214f (−0,33998)
(15.20)
+0,65214f (0,33998) + 0,34785f (0,86113)
(15.21)
−1
(15.22)
Al igual que para el caso de la interpolación de Tchebyshev podemos
haciendo un cambio de escala trabajar e el intervalo [a, b]:
2z − a − b
x=
b−a
La transformación de x en z es
(b − a)x + a + b
z=
2
Zb
Z1
f (z)dz =
a
−1
k=N
(b − a) X
dz
f (z)
/dx dx =
wk f (zk )
2
(15.23)
k=1
Por ejemplo supongamos que N = 2,a = 0 y b = 2. Buscamos en la tabla
los puntos de Gauss xk para N = 2 en la coordenada normalizada
z1 = 12 [(2 − 0)(−0,57735) + 0 + 2] = 0,42265
z2 = 12 [(2 − 0)(0,57735) + 0 + 2] = 1,57735
(15.24)
15.4 Integración con lı́mites infinitos
La derivada de dz/dx =
como
Zb
Z1
f (z)dz =
a
b−a
2
127
= 1, y entonces la cuadratura se escribe
dz
f (z)
/dx dx =(1)[(1)f (0,42265) + (1)f (1,57735)](15.25)
−1
15.3.1.
Cuadraturas de Gauss Legendre
15.3.2.
Cuadraturas de Gauss-Hermite
15.3.3.
Cuadraturas de Gauss-Laguerre
15.4.
Integración con lı́mites infinitos
15.4.1.
Transformación exponencial doble
Índice de cuadros
1.1. Fórmula de Recurrencia de Henrici . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Número 7 en Base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Números decimales que se forman con una mantisa de 4 dı́gitos
y exponentes de un dı́gito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Aproximación por redondeo de cos(x) . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1. Asignación de los resultados del dado... . . . . . . . . . . . . . 34
8.1. Algoritmo de recurrencia para algunas V.A. discretas . . . . . 62
10.1. Valores aproximados y simulados . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2. Valores aproximados de las varianzas de los parámetros simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
14.1. Tabla de diferencias hacia adelante . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2. Ejemplo de aplicación para Nodos y Polinomio de Chebyshev . 109
15.1. Ejemplo de integración de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . 121
15.2. Constantes para fórmulas cerradas de Newton Cotes . . . . . 124
15.3. Constantes para fórmulas abiertas de Newton Cotes . . . . . . 125
128
Índice de figuras
1.1. Fórmula de Recurrencia de Henrici para diferentes valores de
n y para a = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1. Aproximación por redondeo de cos(1) a través de su derivada . 21
3.1. Aproximación de f (x) por P5 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.1. Puntos distribuidos en forma uniforme y aleatoria bajo la densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Simulación a partir de la función de densidad (x) en el rango [θ]
8.3. Función de densidad a ser simulada envuelta por kh(x) . . . .
8.4. Función de densidad de la Normal N (0, 1)a ser simulada envuelta por la Exp(1/λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Simulación mediante método de Composición . . . . . . . . .
8.6. Simulación de f (x) = 6x(1 − x) por Método de Composición .
8.7. Región C con puntos uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1. Polinomio de Taylor de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Aproximacion a exp(x) por Polinomio de Chebyshev
P CH2 (x)=1+1,129772x+0,532042x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3. P T1 (x) = 1 + x que aproxima a exp(x) y el error crece . .
14.4. Grafico a ln(1 + x) y P (x) de orden 5 . . . . . . . . . . .
14.5. Grafico (9)E(x) ln(1 + x)P5 (x) . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7. P L1 (x) que aproxima la funcion f (x) = exp(2x) . . . . . . . .
14.8. Aproximacion de cos(x)por P1 (x) en [0, 1,2] . . . . . . . . .
14.9. Diferentes polinomios de Chebyshev en el intervalo [−1, 1] .
64
65
68
69
70
73
75
. 95
.
.
.
.
.
.
.
.
96
97
98
98
100
101
102
110
15.1. Regla del Trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
129
ÍNDICE DE FIGURAS
15.2. Regla del trapecio extendida . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Regla del trapecio extendido con varios subintervalos
15.4. Integración de Romberg para f (x) = π(1 + ( x2 )2 )2 . .
15.5. Regla de 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . .
130
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
120
122
122