Resumen Tema Ecuaciones e inecuaciones

Departamento de Matemáticas
4ºA E.S.O.
I.E.S. Juan García Valdemora
2ª Evaluación
Febrero de 2012
RESUMEN ECUACIONES
Identidad: igualdad que se cumple siempre. Por ejemplo: x + x = 2 x , (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Ecuación: propuesta de igualdad. Sólo se cumple para ciertos valores de la incógnita.
Solución: precisamente los valores de la incógnita para los que se cumple la ecuación.
Resolver una ecuación: proceso por el que calculamos sus soluciones.
Comprobar: siempre debemos comprobar, en la ecuación original, las soluciones obtenidas.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En general, en primer lugar quitaremos denominadores. En segundo lugar, operaremos los
paréntesis. Finalmente, operaremos para despejar la incógnita.
Ejemplo de ecuación de primer grado:
2 (3 x − 1) x + 3 9 − x 5 − x
−
=
−
16
6
4
2
En primer lugar, observaremos detenidamente cada fracción por si se pudiera simplificar
directamente. En este caso, la primera fracción se puede simplificar:
3x − 1 x + 3 9 − x 5 − x
−
=
−
8
6
4
2
En segundo lugar, quitaremos denominadores, reduciendo a común denominador:
3 ⋅ (3 x − 1) 4 ⋅ (x + 3) 6 ⋅ (9 − x ) 12 ⋅ (5 − x )
−
=
−
24
24
24
24
3 ⋅ (3 x − 1) − 4 ⋅ (x + 3) = 6 ⋅ (9 − x ) − 12 ⋅ (5 − x )
En tercer lugar, operaremos los paréntesis, poniendo especial cuidado en el signo que aparece
delante de cada paréntesis:
9 x − 3 − (4 x + 12 ) = 54 − 6 x − (60 − 12 x )
9 x − 3 − 4 x − 12 = 54 − 6 x − 60 + 12 x
Finalmente, operaremos para despejar la incógnita:
9 x − 4 x + 6 x − 12 x = 54 − 60 + 3 + 12
−x = 9
x = −9
Sólo queda comprobar que la solución es válida, sustituyendo el valor calculado en la ecuación.
En este caso se comprueba que es válida.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Aplicaremos la fórmula conocida, pero en general, antes tendremos que operar la ecuación de
manera similar a las de primer grado, para llegar a una expresión del tipo ax 2 + bx + c = 0 .
Cuando ya tengamos esa expresión, las dos soluciones se obtienen de x =
− b ± b 2 − 4ac
2a
.
Posibles soluciones: según sea el radicando de la raíz podemos encontrarnos con 3 casos
diferentes. Si el radicando es positivo, la ecuación tiene 2 soluciones. Si el radicando es nulo,
sólo hay una solución (doble). Finalmente, si el radicando es negativo, no hay soluciones.
Ejemplo de ecuación de segundo grado: 3 x 2 − 11x − 4 = 0
Las soluciones son: x =
+ 11 ± 11 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 4 )
6
=
+ 11 ± 121 + 48 + 11 ± 169 + 11 ± 13
.
=
=
6
6
6
Es decir, x1 = 4 y x 2 = −1 / 3 . Ambas se comprueba que son válidas.
Ecuaciones de segundo grado incompletas: se pueden resolver con la fórmula general, pero
hay una manera más sencilla de llegar a su solución.
Si a la ecuación le falta el término con x , directamente 3 x 2 − 48 = 0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4 .
Si a la ecuación le falta el término independiente, podemos sacar factor común y estamos ante
una ecuación factorizada, que veremos más adelante. 3 x 2 − 48 x = 0 ⇒ 3 x ⋅ (x − 16 ) = 0
ECUACIONES CON RADICALES
En primer lugar, aislaremos la raíz. En segundo lugar, elevaremos al cuadrado los dos miembros
de la ecuación. Finalmente, operaremos y despejaremos la incógnita.
Ejemplo de ecuación con radicales: x + 1 − 3 = x − 8 .
En primer lugar, aislamos la raíz:
x + 1 = x − 8 + 3 y operamos x + 1 = x − 5 .
En segundo lugar, elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación: x + 1 = (x − 5) .
2
Finalmente, operamos para resolver la ecuación que nos ha quedado: x + 1 = x − 10 x + 25 .
2
En este caso, hemos llegado a la ecuación de segundo grado: x − 11x + 24 = 0 .
Resolviéndola, obtenemos por un lado x = 8 , y por otro x = 3 .
De ellas, si sustituimos en la ecuación original, vemos que sólo es válida la primera x = 8 .
2
ECUACIONES CON LA INCÓGNITA EN EL DENOMINADOR
En este caso, también debemos quitar los denominadores. Sin embargo, en este caso reduciremos
a común denominador teniendo en cuenta los números y polinomios que aparecen en los
denominadores de la ecuación. Buscaremos un múltiplo de todos ellos. Una vez reducido,
resolveremos la ecuación que nos quede.
Ejemplo de ecuación con la incógnita en el denominador:
1
1
1
−
=
x + 1 12 2 x
.
En primer lugar, buscamos un múltiplo común a los denominadores, en este caso 12 ⋅ x ⋅ (x + 1) .
Y reducimos la ecuación:
x ⋅ (x + 1)
6 ⋅ (x + 1)
12 ⋅ x
.
−
=
12 ⋅ x ⋅ (x + 1) 12 ⋅ x ⋅ ( x + 1) 12 ⋅ x ⋅ (x + 1)
Quitando denominadores: 12 x − x ⋅ (x + 1) = 6 ⋅ (x + 1) .
Ahora operamos los paréntesis: 12 x − x 2 − x = 6 x + 6 .
Finalmente, resolvemos la ecuación que nos queda: x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ x1 = 2
x2 = 3 .
Comprobando en la ecuación original, vemos que ambas soluciones son válidas.
ECUACIONES FACTORIZADAS
Son de la forma A ⋅ B ⋅ C = 0 . Basta con resolver cada uno de ellos por separado, igualando a cero.
Ejemplo de ecuación factorizada: 3 x ⋅ (x − 16 ) = 0 . Por un lado, 3 x = 0 , de donde x1 = 0 . Por otro
lado, x − 16 = 0 , de donde x 2 = 16 . Las dos soluciones se comprueba que son válidas.
Departamento de Matemáticas
4ºA E.S.O.
I.E.S. Juan García Valdemora
2ª Evaluación
Febrero de 2012
RESUMEN INECUACIONES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Al contrario de las ecuaciones, se trata de desigualdades, que se suelen cumplir para infinitos
valores de la incógnita, con lo que suelen tener infinitas soluciones.
Como en las ecuaciones de primer grado, en general en primer lugar quitaremos denominadores.
En segundo lugar, operaremos los paréntesis. Finalmente, operaremos para despejar la incógnita.
Lo único con lo que tenemos que tener cuidado es al multiplicar o dividir la inecuación por un
número negativo. En ese caso, la desigualdad cambia de sentido (Si 1 < 2, entonces es –1 > –2 ).
Ejemplo de inecuación de primer grado:
2 (3 x − 1) x + 3 9 − x 5 − x
−
≥
−
16
6
4
2
Debemos seguir exactamente los mismos pasos que ya seguimos para resolver la ecuación.
Primero simplificamos la primera fracción, después reducimos a común denominador para quitar
los denominadores. A continuación, operamos los paréntesis y pasamos todo lo que tiene x a la
izquierda y todo lo que no tiene x a la derecha. En ningún momento hemos multiplicado o
dividido la inecuación por un número negativo. Llegaremos al mismo punto que antes: −x ≥ 9 .
En este punto, para despejar la incógnita debemos dividir toda la ecuación por –1 (o lo que es lo
mismo, pasar el –1 dividiendo a la derecha). Por tanto, al despejar la incógnita, cambia el sentido
de la desigualdad: x ≤ −9 . Se trata de infinitas soluciones, porque todos los números menores que
–9, incluido el –9, cumplen la ecuación.
En forma de intervalo, se puede expresar de la siguiente manera: ( − ∞ , − 9 ] .
También se puede representar gráficamente, de la siguiente manera:
–9
El punto grueso indica que el –9 está incluido. Si no lo estuviera, lo dejaríamos hueco.
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Se trata de varias inecuaciones que tienen que cumplirse simultáneamente. Resolvemos cada una
por separado, y la intersección de ambas soluciones será la solución del sistema.

x≤4
Ejemplo de sistema de inecuaciones: 
 x > −3
Las infinitas soluciones de la primera inecuación son todos los números menores que 4, incluido
el 4. Las infinitas soluciones de la segunda inecuación son todos los números mayores que el –3,
sin incluir al –3.
Por tanto, las soluciones del sistema son todos los infinitos números entre –3 y 4, sin incluir el 3
e incluido el 4.