Matriz inversa 2X2

Determinar, de manera totalmente general, la inversa de una matriz 2x2.
Solución:
Sea
a b
A=
c d
una matriz 2x2 totalmente general.
Denotemos a la inversa por la derecha como
x1 x2
x3 x4
Debemos tener
a b
x1 x2
ax1 + bx3 ax2 + bx4
1 0
=
=
c d
x3 x4
cx1 + dx3 cx2 + dx4
0 1
que
nos
da
un
sistema
de
4
ecuaciones
con
4
incognitas
1 0 1
0
10
1
x1
a 0 b 0
B 0 a 0 b C B x2 C B 0 C
C=B C
B
CB
@ c 0 d 0 A @ x3 A @ 0 A
1
x4
0 c 0 d
Este sistema lo podemos resolver con
1
0 el método de reducción de Gauss-Jordan,
0
1
a
0
b
0
1
a 0 b 0 1
B
a
0
b
0 C
B 0 a 0 b 0 C c
C
B c0
B
C
c
C
@ c 0 d 0 0 A a R1 + R3 B
a+c 0
b+d 0
c=a A
@
!
a
a
0 c 0 d 1
0
c
0
d
1
0
1
1
0
a
0
b
0
1
a 0
b
0
1
B 0
a
0
b
0 C
B 0 a
0
b
0 C
C
C c R2 + R4 B
B
B
0
0
d bc=a
0
c=a C
@ 0 0 d bc=a 0
c=a A a
@
A
c
c
!
0
a+c
0
b+d
1
0 c
0
d
1
a
a
0
1
0
a 0
b
0
a 0
b
0
1
B
b
C
B 0 a
B
b
0 a
0
(d bc=a) + b
0
b
0 C
B
R4 + R2 B
d bc=a
B
@ 0 0 d bc=a
0
c=a A d bc=a
0
! @ 0 0 d bc=a
0 0
0
d bc=a
1
0 0
0
d bc=a
0
0
1
b
a 0
(d bc=a) + b
a 0
b
0
1
B
d bc=a
B
C
b
B
B 0 a
C
b
0
0
B 0 a
B
0
d bc=a C
B
C d bc=a R3 + R1 B
B
@ 0 0 d bc=a
A
0
c=a
@
!
0 0
d bc=a
0 0
0
d bc=a
1
0 0
0
d
0
1
1
0
d
d
a 0
0
0
a
1 0
0
0
B
C
B
ad bc C
ad bc
B
C R1 R2 B
C
1
b
b
B 0 a
C
C
B
0
0
0 1
0
0
;
B
C
B
d bc=a C a a B
a d bc=a C
B
C
! @ 0 0 d bc=a
@ 0 0 d bc=a
A
A
0
c=a
0
c=a
0
0
0
0
1 0
B
B
B 0 1
B
B
@ 0 0 d
0 0
0
1
0
0
d
bc=a
0
0
0
bc=a
0
d
0
bc=a
B
B
B 0 1 0 0
B
B
B 0 0 1 0
B
@
0 0 0 1
d
0
1
0
0
1
1
b
bc
0
0
d
bc=a
d
B 1 0 0 0
B
C
B 0 1 0 0
ad bc
C
b
1
R4 B
C R3
B
;
B
a d bc=a C
C d bc=a d bc=a B 0 0 1 0
B
A
!
c=a
B
@
1
0 0 0 1
C
C
C
ad bc C
C
c
C
C
ad bc A
a
ad bc
ad
0
1
1
d
ad
b
ad
bc
1
bc=a
c=a
d bc=a
1
d bc=a
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
1
b
d bc=a
c=a
1
0
0
0
bc=a
d
1
C
C
C
C
A
b
( c
bc=a
b
d bc=
c=a
1
Por tanto,
d
x1 =
ad bc
b
x2 =
ad bc
c
x3 =
ad bc
a
x4 =
ad bc
Es claro que
det A = det
a b
c d
= ad
bc
así que
d
det A
b
x2 =
det A
c
x3 =
det A
a
x4 =
det A
y …nalmente tenemos la matriz inversa
1
d
b
A 1=
c a
det A
Es fácil veri…car que esta matriz es también la inversa por la izquierda,
1
d
b
a b
1 0
A 1A =
=
c a
c d
0 1
det A
x1 =
2