documents de treball - Universitat de Barcelona

DOCUMENTS DE TREBALL
DE LA FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I
EMPRESARIALS
Col·lecció d’Economia
Valoración de credit default swaps:
Una aplicación del modelo de Hull-White al mercado español ∗
Carmen Badía, Merche Galisteo y Teresa Preixens
Adreça correspondència:
Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial
Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials
Universitat de Barcelona
Avda. Diagonal, 690
08034 BARCELONA
Tfn. 93 402 45 90
Fax 93 403 48 92
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
∗
Los autores agradecen a AIAF renta fija por la información facilitada acerca de las
emisiones en circulación de bonos y obligaciones del mercado español y a Sriram Natarajan
de Credit Trade (London) por sus comentarios y la información proporcionada del mercado
de derivados de crédito.
Abstract: An empirical application of Hull-White model (2000) to the Spanish market is
presented. This model provides an expression to calculate the payment made by credit default
swap (CDS) buyer when there is no counterparty default risk. Moreover, it is assumed that
the yield par curve, the recovery rate (that is constant) and the moment of credit event are
independent.
Data from Banco Santander Central Hispano bonds are used to calculate risk neutral default
probability and then CDS premia for an underlying bond of the same credit rating are
calculated. This premia are computed under no arbitrage arguments and are compared with
the market credit spreads. This results show that the model premia are similar to credit
spreads and the main conclusion of this paper is that Hull-White model is suitable to obtain
the CDS premia in Spanish market.
Keywords: Credit risk, swaps, default probability, credit event.
JEL: G13, G33
Resum: En aquest treball es presenta una aplicació empírica del model de Hull-White (2000)
al mercat de renda fixa espanyol. Aquest model proporciona la expressió per el càlcul dels
pagaments fets pel comprador d’un credit default swap (CDS), sota la hipòtesi de que no
existeix risc de contrapartida. Se suposa, a més, que la corba cupó zero, la taxa de recuperació
constant i el moment del succés de crèdit són independents. S’utilitzen bons del Banc
Santander Central Hispano para mesurar la probabilitat neutra al risc de fallida i, sota hipòtesi
de no arbitratge, es calculen les primes d’un CDS, per un bo subjacent amb la mateixa
qualificació creditícia que l’entitat de referència. S’observa que les primes s’ajusten bé als
spreads crediticis del mercat, que s’acostumen a utilitzar com alternativa a les mateixes.
1. Introducción
El nuevo acuerdo de Basilea (Basilea II), tiene como principal objetivo
adecuar las exigencias de recursos propios al capital en riesgo real de las
entidades financieras. De hecho, este propósito ya está presente en el acuerdo de
capital de Basilea de 1988, pero en los últimos años y debido a la creciente
innovación financiera, dicha adecuación se muestra aún más necesaria puesto
que las entidades financieras vienen aplicando técnicas de valoración de sus
activos no reguladas de forma específica.
En Basilea II, para la determinación de los requerimientos mínimos de recursos
propios se tiene en cuenta el riesgo de crédito, de mercado y operacional. En
concreto y haciendo referencia al riesgo de crédito, una de las mayores
novedades que aporta Basilea II es la posibilidad de mitigar dicho riesgo
mediante la contratación de activos derivados de crédito. Este es uno de los
motivos por los cuales dichos productos están adquiriendo una especial
importancia, tanto por parte de los operadores de mercado, como desde un punto
de vista académico.
Los derivados de crédito son instrumentos financieros que permiten
transferir el riesgo de crédito implícito en determinadas transacciones
económicas, hacia otros intermediarios financieros. Ciertos contratos o activos
financieros (préstamos y valores corporativos de renta fija) comportan una
posibilidad de pérdida como consecuencia del deterioro en la capacidad de
cumplimiento de sus obligaciones de pago. Según Pérez Ramírez (2002) los
derivados de crédito intentan gestionar y atenuar la incertidumbre, bien porque
una de las partes del contrato deje de cumplir sus obligaciones (riesgo de
incumplimiento), o bien porque la diferencia de rendimiento entre dos activos
financieros varíe respecto a una diferencia previa especificada (riesgo de
rendimiento diferencial).
-3-
Estos contratos de crédito fueron introducidos a principios de los noventa
y aunque en sus inicios, su volumen de negociación era poco importante, en los
últimos años su desarrollo ha sido exponencial. Según la British Bankers
Association el crecimiento del mercado de derivados de crédito ha superado, de
nuevo, y de forma extraordinaria, las expectativas, situándose el volumen
negociado a finales del 2002 en 1.952 billones de dólares. Se estima que para el
2004 la cifra puede alcanzar los 4,8 trillones de dólares.
Los derivados de crédito se pueden agrupar en tres tipologías: credit
default products (contratos de riesgo de impago),
replication products
(contratos replicantes) y contratos estructurados con derivados crediticios.
El primer grupo incluye instrumentos que pagan al comprador de
protección del riesgo de crédito una cuantía especificada, relacionada con la
ocurrencia de un determinado suceso de crédito. Pertenecen a este grupo los
denominados credit default swaps (swaps de riesgo de impago) y las credit
default options (opciones de riesgo de impago).
El segundo grupo de derivados crediticios se caracteriza porque replica
los flujos asociados al activo subyacente. A este grupo pertenecen los total
return swaps (swaps de rendimiento total) y los credit spread products
(contratos sobre diferenciales de crédito). En el caso del total return swap, el
comprador de protección cambia la rentabilidad total del activo sometido a
riesgo de crédito por una rentabilidad predeterminada.
Un diferencial crediticio es una prima que se añade al tipo de interés libre
de riesgo para compensar al inversor por un mayor riesgo crediticio del activo
subyacente. Sobre este diferencial se pueden comprar o vender opciones put o
call (credit spread options) o contratos forward (credit spread forwads). En
estos casos la parte vendedora de la protección se compromete a indemnizar al
comprador, no solo si se produce un impago, sino también en el caso de que se
produzca una depreciación en el valor de mercado del activo subyacente,
derivado de la disminución en la calificación crediticia.
-4-
Finalmente, entre los productos estructurados con derivados crediticios
figuran las emisiones de títulos cuyo cupón está referenciado a la calidad
crediticia de un determinado activo (credit linked notes).
De todos los derivados de crédito anteriormente citados, los que tienen un
mayor volumen de negociación hasta la actualidad, son los credit default swaps
que están siendo considerados, cada vez más, como indicadores de la calidad
crediticia de las entidades financieras.
Un credit default swap (CDS) es un contrato que protege del riesgo de
crédito de una determinada compañía, denominada entidad de referencia. El
tenedor de una obligación de dicha entidad, obligación de referencia, compra el
CDS para asegurarse el cobro de una cuantía, estipulada en el contrato, en caso
de que ocurra un suceso de crédito, es decir, un empeoramiento de la solvencia
de la empresa o deterioro en su capacidad de pago1. El comprador del CDS
efectúa pagos periódicos vencidos, denominados primas, hasta el vencimiento
del contrato o hasta que ocurre el suceso de crédito. A cambio, el vendedor del
CDS se compromete a que el comprador reciba la cuantía especificada en el
contrato si ocurre el suceso de crédito.
Si el CDS se establece en términos de intercambio físico, el vendedor
recibe la obligación de referencia y paga al comprador la totalidad de la cuantía
estipulada. En cambio, si el CDS se establece en términos de intercambio
monetario, el vendedor está obligado a pagar un cierto porcentaje de esta
cuantía.
Básicamente, existen dos metodologías para la valoración de los
derivados de crédito: los denominados modelos estructurales y los modelos
reducidos. Los primeros se basan en el “valor de la empresa” para determinar el
1
En cada contrato debe especificarse de forma rigurosa qué hechos constituyen el suceso de
crédito, ya que es el elemento desencadenante de la finalización del contrato. La International
Swaps and Derivatives Association (ISDA) define el suceso de crédito como quiebra,
suspensión de pagos, moratoria, aceleración de las obligaciones y reestructuración de la
deuda.
-5-
suceso de crédito (Merton (1974), Black-Cox (1976), Longstaff-Schwartz
(1995)), mientras que en el segundo grupo de modelos, el suceso de crédito está
supeditado a información exógena a la entidad, como es la información de
mercado relacionada con los títulos de la entidad de referencia y la estructura
temporal de tipos de interés (Jarrow-Turnbull (1995), Duffie–Singleton (1999),
Hull-White (2000), Howeling-Vorst (2002)).
En este artículo se presenta una aplicación empírica del modelo de HullWhite (2000) para el mercado español.
El artículo se estructura de la siguiente forma: en el siguiente apartado se
plantea el modelo teórico. En el apartado 3 se deduce la expresión de la prima
del CDS. En el apartado 4 se procede a realizar la aplicación empírica para el
mercado español, especificando la tasa de recuperación, la estructura temporal
de tipos de interés y la función de densidad de default y el cálculo empírico de la
prima. Finalmente, se presentan las conclusiones.
2. Planteamiento del modelo
Se considera un CDS sin riesgo de contrapartida, con un nocional de 1
unidad monetaria (u.m.), que vence a los tn
años. El comprador del CDS
efectúa pagos periódicos y vencidos en las fechas tr (r = 1,K ,n) , en concepto
de prima, siempre y cuando no se produzca el suceso de crédito asociado a la
obligación de referencia, antes de la fecha de vencimiento del CDS. Si el suceso
de crédito tiene lugar en t (años), tr −1 < t < tr , el comprador efectúa r − 1 pagos
más otro pago adicional en t , cuyo importe será proporcional al tiempo
transcurrido desde t r −1 hasta t .
En el modelo intervienen, además, las siguientes variables:
w : prima o pago periódico que efectúa el comprador del CDS hasta la
ocurrencia del suceso de crédito o hasta tn , vencimiento del CDS
-6-
f(t) : probabilidad neutra al riesgo (probabilidad de default) de que el suceso de
crédito tenga lugar en t , 0 < t ≤ tn
S(tn ) : probabilidad neutra al riesgo de que el suceso de crédito no ocurra entre
0 y tn
S ( tn ) = 1 −
tn
∫ f ( t ) ⋅ dt
0
v(t) : valor actual, en capitalización compuesta, de 1 u.m. situada en t
R(t) : tasa de recuperación esperada de la obligación de referencia en caso de
que el suceso de crédito tenga lugar en t y suponiendo neutralidad al riesgo
C(t) : cuantía reclamada por el comprador del CDS en caso de que el suceso de
crédito tenga lugar en t . Las dos hipótesis más habituales sobre dicha cuantía
son
C(t) = 1 + A(t)
C(t) = F(t)
En el primer caso se reclama el nominal de la obligación de referencia y
los intereses acumulados hasta t , A(t) . En el segundo caso, la cuantía reclamada
es el valor en t de una obligación sin riesgo que generara los mismo flujos que
la obligación de referencia. F( t) es el denominado no-default value de la
obligación (Hull-White, 2000).
El objetivo del modelo es determinar el importe de la prima a pagar por
parte del comprador del CDS. Dicho importe es el que hace nulo el valor del
CDS en su origen, que se define como la diferencia entre el valor de los pagos a
cargo del comprador (valor de la rama fija del CDS) y el valor del pago a cargo
del vendedor del CDS (valor de la rama variable del CDS).
Para realizar dicha valoración se efectúan las siguientes hipótesis:
a. Independencia
entre las tasas de recuperación, los tipos de interés libres de
riesgo y el momento en que puede tener lugar el suceso de crédito.
b. La
tasa de recuperación es constante, R(t) = R .
-7-
c. La
cuantía reclamada se considera el nominal más los intereses acumulados
hasta el suceso de crédito
C(t) = 1 + A(t)
El valor actual esperado de la rama fija del CDS en el origen, V f (0) , es
n
r
r =1
s =1
V (0) = w ⋅ ∑ f ( tr ) ⋅ ∑ v(t s ) +
f
+
t −
2
∫
t+
1
t−
1
t
∫ w ⋅ t ⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt +
1
0
t − t1
w⋅
⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt + K +
t 2 − t1
t −
n
t
t−t
n −1
∫ w ⋅ t − t ⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt +
n
n −1
+
n −1
n
+ w ⋅ S(tn ) ⋅ ∑ v(tr ) =
r =1
=
tn
∫ w ⋅ f(t) ⋅ [u(t) + e(t)] ⋅ dt + w ⋅ S(tn ) ⋅ u(tn )
0
siendo u(t) el valor actual de una renta unitaria con el mismo número de
términos que fechas de pago de primas enteras existen hasta t y e( t) el factor de
actualización proporcional al tiempo transcurrido desde la fecha de pago
inmediatamente anterior a t ( tr −1 ) hasta t
e(t) =
t − t r −1
⋅ v(t) , con tr −1 < t < tr
t r − t r −1
De forma análoga, para determinar el valor esperado en el origen de la
rama variable del CDS, V v (0) , se debe valorar el pago a efectuar por parte del
vendedor en caso de que tenga lugar el suceso de crédito. En teoría, la cuantía de
dicho pago es
1 + A(t) − R ⋅ C(t)
que por hipótesis sobre C(t) resulta ser
1 + A(t) − R ⋅ (1 + A(t))
-8-
(2)
(1)
A pesar de ello, en la práctica habitual de mercado, el importe del pago
que deberá realizar el vendedor en t es únicamente la diferencia entre el
nocional de la obligación de referencia y la parte que se recupera de la cuantía
reclamada
1 − R ⋅ (1 + A(t))
(3)
En definitiva, V v (0) es
V (0) =
v
tn
∫ ⎡⎣1 − R ⋅ (1 + A ( t ) )⎤⎦ ⋅ f ( t ) ⋅ v ( t ) ⋅ dt
(4)
0
3. Deducción de la prima del CDS
En función del valor de la rama variable del CDS, deducida en (1), y del
valor de la rama fija (4), se obtiene que la prima es:
tn
w=
∫ ⎡⎣1 − R ⋅ (1 + A(t))⎤⎦ ⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt
0
(5)
tn
∫ f(t) ⋅ [u(t) + e(t)] ⋅ dt + S(tn ) ⋅ u(tn )
0
Ahora bien, la prima que se obtiene de esta expresión, no excluye las
oportunidades de arbitraje tal como debería resultar de un modelo estable de
valoración que impone un equilibrio en el mercado financiero (Hull-White,
2000).
La prima de un CDS que si comporta ausencia de oportunidades de
arbitraje se deduce del siguiente razonamiento.
-9-
Se considera una cartera formada por una obligación, denominada
obligación subyacente, de nominal 1 u.m., que se emite hoy al tipo de emisión y ,
que paga cupones en tr
(r = 1,2,...,n) y vence en
tn y un CDS que se contrata
en la fecha de emisión de la obligación subyacente y que al igual que ésta, vence
en
tr
tn . Dicho swap supone el pago de primas periódicas vencidas, w ∗ , en
(r = 1,2,...,n) .
El rendimiento de esta cartera hoy es y − w ∗ y para evitar oportunidades
de arbitraje, este rendimiento, en cualquier instante de tiempo, debe ser el de un
título no arriesgado x .
y − w∗ = x
En este análisis se considera que la obligación subyacente y la obligación
sin riesgo tienen la misma estructura de pagos.
En el momento t en el que ocurre el suceso de crédito y en condiciones
de no arbitraje, el comprador debería obtener del CDS un ingreso neto igual a la
diferencia entre el valor de la obligación sin riesgo y el valor de la obligación
subyacente. Por tanto, el pago realizado en t por el vendedor del CDS, z∗ , será
aquél para el que se cumpla
1+ x ⋅
⎛
t − t r −1
t − t r −1 ⎞
t − t r −1 ⎞
∗ ⎛
− R ⋅ ⎜1 + y ⋅
⎟ = z − ⎜ (y − x) ⋅
⎟
t r − t r −1
t r − t r −1 ⎠
t r − t r −1 ⎠
⎝
⎝
De esta igualdad se obtiene que:
(
z∗ = (1 − R ) ⋅ 1 + A ∗ (t)
)
(6)
donde A ∗ (t) son los intereses acumulados por la obligación subyacente en t .
De este resultado se deduce que el pago a efectuar por el vendedor del
CDS en el momento del suceso de crédito en condiciones de no arbitraje, difiere
del que normalmente se realiza en la práctica, tal como se describe en (3).
- 10 -
Teniendo en cuenta z∗ , el valor de la rama variable del CDS es
V
v
tn
( 0 ) = ∫ ⎡⎣(1 − R ) ⋅ (1 + A ∗ (t))⎤⎦ ⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt
(7)
0
de manera que la prima resultante, w ∗ , es
tn
w∗ =
∗
∫ ⎡⎣(1 − R ) ⋅ (1 + A (t))⎤⎦ ⋅ f(t) ⋅ v(t) ⋅ dt
0
tn
(8)
∫ f(t) ⋅ ( u(t) + e(t)) ⋅ dt + S(tn ) ⋅ u(tn )
0
4. Aplicación empírica
El propósito de este apartado es obtener valores para las primas deducidas
del modelo de Hull-White (2000), bajo la hipótesis de no arbitraje, y
compararlas con los spreads crediticios2 obtenidos directamente del mercado.
Habitualmente, en la práctica, la prima de un CDS se aproxima a través del
spread crediticio, es decir a través de la diferencia entre el rendimiento de la
obligación corporativa de referencia, y el rendimiento del bono libre de riesgo.
Para determinar primas a través del modelo planteado, se necesita efectuar
alguna hipótesis sobre el valor de la tasa de recuperación R , así como sobre la
estructura temporal de tipos de interés, y calcular f(t) , la probabilidad neutra al
riego de que el suceso de crédito tenga lugar en t .
Después de analizar el mercado de renta fija español, se ha optado por
trabajar con las emisiones en circulación del Banco Santander Central Hispano
(BSCH). Esta entidad está calificada como A por Moody’s3 y Standard &
2
Se supone que el spread crediticio sólo recoge el riesgo de crédito, excluyendo otros
posibles riesgos como el de liquidez.
3
www.moodys.com
- 11 -
Poor’s4 y en la fecha de análisis (7/5/03) tiene 11 bonos en circulación. De estos
se han escogido los bonos adecuados para cubrir un horizonte temporal de 12
años y que además su último precio cotizado fuese cercano a la fecha de
análisis.
En definitiva se ha trabajado con 6 títulos5, cuyas principales
características se enumeran en la Tabla 1.
TABLA 1
Características de las obligaciones del BSCH a 7/5/03
Fecha vencimiento Cupón anual Precio ex-cupón
(%)
9/12/03
8
103,290
12/03/06
2,75
99,500
1/10/07
4
102,063
29/10/08
8,75
123,663
29/12/10
10,75
134,500
15/12/15
7,65
117,500
Información obtenida del Boletín diario de operaciones en fecha 7
de mayo de 2003, facilitado por AIAF, mercado de renta fija.
4.1. Tasa de recuperación
Tanto para la determinación de las probabilidades de default como para el
cálculo de las primas se ha supuesto que R = 0, 40 .
En Default and Recovery Rates of European Corporate Bond Issuers, 19852002, de Moody’s Investors Service, se afirma que la tasa media de recuperación
en Europa para el año 2002 ha sido del 20,3%, incluyendo las acciones
preferentes, valor muy similar al de años anteriores. Este valor del 20,3% es
4
www.standardandpoors.com
En Hull, J. C. y A. White (2001) se utiliza un conjunto de 8 títulos que cubren un horizonte
temporal de 25 años.
5
- 12 -
ligeramente menor al del 2001 porque para su cálculo no se han tenido en cuenta
los préstamos garantizados, cuyo ratio de recuperación suele oscilar alrededor
del 50%. Además, la tasa de recuperación para bonos garantizados es de 42,9%
en el año 2002.
Tal como se desprende de la anterior información, la tasa de recuperación
debería ser distinta para instrumentos de deuda con diferentes características,
como son la seniority del activo o las garantías asociadas a dicho activo. De
todos modos, en este trabajo se considera que la tasa de recuperación es
constante en el tiempo e igual para todas las obligaciones.
Por otra parte y como queda demostrado en numerosos trabajos, como en
Hull-White (2000) y en Howeling-Vorst (2002), el valor de R no influye
excesivamente en el cálculo de las primas del CDS.
4.2. Estructura temporal de tipos de interés
Se ha utilizado la ETTI a 7/5/03 facilitada por Serfiex6 que proporciona
17 tipos de interés para plazos comprendidos entre 1 día y 30 años. Esta
información se recoge en la Tabla 2.
6
“La metodología de estimación de la curva cupón cero es básicamente la publicada en 1992
en The Journal of Fixed Income por Coleman, Fisher e Ibbotson. No obstante, existe un
algoritmo previo para la elección de los bonos que entran a formar parte de la estimación de la
curva cupón cero, basada en criterios de mínimo sesgo y representatividad por plazos”.
www.serfiex.com
- 13 -
TABLA 2
Estructura temporal de tipos de interés a 7/5/03
Tipos
Tipos
Tipos
Plazo
Plazo
Plazo
interés %
interés %
interés %
1 día
2,48
2 años
2,28
8 años
3,90
15 días
2,47
3 años
2,73
9 años
4,05
30 días
2,46
4 años
2,99
10 años
4,14
90 días
2,38
5 años
3,21
20 años
4,99
180 días
2,28
6 años
3,47
30 años
5,07
1 año
2,21
7 años
3,67
Información obtenida de www.serfiex.com
4.3. Determinación de la función de densidad de probabilidad de default
A partir de un conjunto de j bonos, que vencen en ti ( i = 1,2,..., j ) , se
deduce la estructura temporal de probabilidades de default y se infiere la función
de densidad f(t) .
La diferencia, en el origen, entre el precio de un bono libre de riesgo, G j ,
con la misma estructura de cupones que el bono corporativo j y el precio de
dicho bono, B j , es el valor actual esperado de las pérdidas del título corporativo
j -ésimo. Este valor es
j
G j − B j = ∑ βij ⋅ f(ti )
(9)
i =1
donde βij es la pérdida, en el origen, del bono corporativo j -ésimo, cuando el
suceso de crédito tiene lugar entre ti −1 y ti , siendo f(ti ) la probabilidad neutra al
riesgo de dicho suceso de crédito. Siguiendo a Hull-White (2000) se supone que
f(ti ) es constante para todo el intervalo. Entonces
- 14 -
βij =
ti
∫ v(t) ⋅ (Fj (t) − R ⋅ C j (t)) ⋅ dt
(10)
ti − 1
donde Fj (t) es el precio futuro en t de un bono sin riesgo que generara los
mismos pagos que el corporativo y C j (t) es la cuantía reclamada en t de la
obligación de referencia que vence en t j .
De la ecuación (9) se deduce que
j −1
f(t j ) =
G j − B j − ∑ βij ⋅ f(ti )
i =1
(11)
β jj
Dada la estructura de vencimientos de los títulos considerados, f(t) está
definida desde 7/5/03 hasta 15/12/15. Se trata de una función definida a tramos
siendo constante en cada uno de ellos
⎧0,000557
⎪0,005571
⎪
⎪0,011567
f (t) = ⎨
⎪0,022162
⎪0,065833
⎪
⎪⎩0,013900
0 < t ≤ 0,591781
0,591781 < t ≤ 2,849315
2,849315 < t ≤ 4, 405479
4, 405479 < t ≤ 5, 484932
5, 484932 < t ≤ 7,652055
(12)
7,652055 < t ≤ 12,616438
Esta función se ha obtenido de forma recursiva. En primer lugar, se ha
determinado f(t) para 0 < t ≤ 0,591781. A partir de ésta, se ha determinado
f(t) para 0,591781 < t ≤ 2,849315 y así sucesivamente. Para el cálculo de
cada uno de estos tramos, B j se ha calculado sumando al precio ex–cupón
proporcionado por el mercado, el importe del cupón corrido. Por otra parte, G j
se ha obtenido valorando el título con los tipos de interés libres de riesgo. Según
la estructura de flujos de cada título ha sido preciso interpolar la estructura de
tipos de interés.
- 15 -
Es interesante mencionar que para el cálculo de βij según (10) ha sido
preciso subdividir el intervalo de integración
( ti −1, ti ) ,
determinado por las
fechas de vencimiento de los títulos considerados, en función de las fechas de
pago de los cupones.
Como se puede observar en (12), las probabilidades obtenidas para los
diferentes intervalos son relativamente pequeñas y ello es debido a la buena
calificación crediticia de los títulos considerados. Para el total del plazo
estudiado, la probabilidad acumulada es de 0,266503. Es decir, la probabilidad
de que el suceso de crédito tenga lugar en este plazo, para un título emitido por
una entidad con calidad crediticia A, es del 26,65%. En las Tablas 3 y 4 se
muestran los resultados intermedios de G j − B j y βij respectivamente, utilizados
para el cálculo de las probabilidades y asociados a cada título.
TABLA 3
Valor esperado de la pérdida asociada
a cada obligación a 7/5/03
Gj − Bj
Título
Vencimiento
1
9/12/03
0,000213
2
12/03/06
0,007551
3
1/10/07
0,017912
4
29/10/08
0,035363
5
29/12/10
0,122436
6
15/12/15
0,164142
- 16 -
TABLA 4
Pérdida a 7/5/03 para cada obligación y cada vencimiento ( βij )
Título
2
-
Vencimiento
3
4
-
1
1
0,382320
2
0,358374 1,319689
3
0,381968 1,375136 0,867865
4
0,523781 1,764175 1,013493 0,610039
5
0,642196 2,163655 1,241348 0,744024 1,207689
6
0,566207 1,981100 1,218111 0,771245 1,362055 2,296217
-
5
-
6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4.4. Primas
Las primas obtenidas en este trabajo se presentan en la Tabla 5.
TABLA 5
Spreads y primas para la obligación subyacente
Primas (p.b.)
Vencimiento
Spread
w * ( 5% )
(años)
crediticio (p.b.) w * ( 3% ) w * ( 4% )
1
6,68
16,16
16,28
16,40
2
17,97
25,20
25,35
25,49
3
28,99
30,14
30,31
30,47
4
38,47
40,19
40,40
40,61
5
53,37
53,81
54,10
54,40
6
83,88
88,83
89,34
89,85
7
125,63
131,70
132,41
133,12
8
152,79
152,84
153,61
154,38
9
152,61
149,49
150,24
150,99
10
152,43
147,00
147,64
148,37
Entre paréntesis se indica el tipo de interés anual de emisión de la obligación
subyacente. La información se presenta en puntos básicos (p.b.)
- 17 -
La segunda columna muestra los spreads crediticios (en puntos básicos)
para vencimientos comprendidos entre 1 y 10 años. Las tres columnas restantes
son los valores de las primas del CDS, para estos distintos vencimientos y
diferentes tipos de emisión de la obligación subyacente.
Las primas obtenidas se comparan con spreads crediticios ya que en
España no existe, en la actualidad, un mercado organizado de estos derivados.
Cabe la posibilidad de obtener datos de primas de mercado reales a través de
instituciones financieras internacionales que intervienen en la negociación de
CDS. Sin embargo, el volumen de CDS en los que la empresa de referencia es
española es todavía escaso.
Como se ha comentado anteriormente, los operadores de mercado utilizan
como aproximación de las primas de riesgo los spreads crediticios y por ello la
contrastación estadística de los resultados de este trabajo se fundamenta en la
comparación con estos spreads. Evidentemente, ello supone un sesgo añadido a
la validación de los resultados puesto que la comparación no es con datos reales
sino con una aproximación de ellos. La falta de datos reales obliga a esta
comparación.
Para obtener la columna del spread crediticio, previamente se han
calculado los spreads relativos a las seis obligaciones del BSCH (entidad de
referencia), es decir, la diferencia entre la TIR de cada una de esas seis
obligaciones y el rendimiento de estos mismos títulos pero valorados sin riesgo.
A continuación y para obtener los spreads para los vencimientos
indicados, se han realizado las interpolaciones oportunas.
En este trabajo se calculan las primas obtenidas bajo la hipótesis de no
arbitraje, w ∗ , por tanto para su cálculo se ha utilizado la expresión (8). En
definitiva, ello implica que la cuantía reclamada por el comprador del CDS en el
momento del suceso de crédito es 1 + A ∗ ( t ) , es decir, el nominal y los intereses
- 18 -
acumulados hasta t de la obligación subyacente. De esta cuantía el vendedor
debe pagar en t
(1 − R ) ⋅ (1 + A∗ ( t ) ) = 1 + A∗ ( t ) − R ⋅ (1 + A∗ ( t ) )
expresión que difiere de (3) en la que no se ha tenido en cuenta la hipótesis de
no arbitraje.
Para la obtención de estas primas se ha trabajado con una obligación, que
supuestamente tiene la misma calificación crediticia que las obligaciones de la
entidad de referencia, con tres tipos de emisión distintos, para evaluar la
influencia del cupón en el valor de la prima del CDS. Cabe mencionar, que dada
la función de densidad de probabilidad, ha sido preciso subdividir el intervalo de
integración, para la valoración de la rama fija y variable del CDS, en
subintervalos determinados por dicha función de densidad.
En primer lugar, se observa que spreads y primas toman valores muy
similares, sobre todo para CDS con vencimientos superiores a dos años. Como
se puede apreciar, para cada vencimiento y dada la estructura de tipos de interés
existente en la fecha de análisis, la prima es creciente respecto al tipo de
emisión. Sin embargo, este crecimiento es poco significativo para los tipos
considerados. Por otra parte, se aprecia un incremento de la prima a medida que
aumenta el vencimiento del CDS. Pero, al igual que ocurre con la serie del
spread crediticio, el valor de la prima disminuye a partir del octavo año. Este
comportamiento de las primas, muy similar al de los spreads crediticios
obtenidos directamente del mercado, hace pensar que los resultados son
correctos, y que por tanto, el modelo de Hull-White (2000) se ajusta bien al
mercado español. Según Credit Trade7, empresa líder en el mercado de
7
www.credittrade.com
- 19 -
derivados de crédito, la prima cotizada en el mercado a 7/5/03, para un CDS a 5
años del BSCH fue 40/50 p.b. Este valor corrobora aún más los resultados
obtenidos.
Mediante un análisis estadístico descriptivo, cuyos resultados se muestran
en la Tabla 6, se confirma la validez del modelo Hull-White (2000) para el caso
analizado:
TABLA 6
Principales estadísticos descriptivos
w * ( 3% )
w * ( 4% )
Spread
w * ( 5% )
Media
81.28200
83.53600
83.96800
84.40800
Mediana
68.62500
71.32000
71.72000
72.12500
Máximo
152.7900
152.8400
153.6100
154.3800
Mínimo
6.680000
16.16000
16.28000
16.40000
Desviación Estándar
59.77446
56.84747
57.11468
57.39466
10
10
10
10
Observaciones
Los valores medios de las primas obtenidas están próximos al valor medio
del spread crediticio. Además, el grado de dispersión de las primas es similar al
de los spreads, reflejando la relación directa de primas y spreads con respecto al
vencimiento de la obligación subyacente. El valor mínimo se corresponde con el
menor vencimiento (1 año) y es, en este caso, donde se observa una mayor
diferencia entre la prima obtenida a través del modelo y el spread de mercado.
El valor máximo de spreads y primas es muy similar y se obtiene para un
vencimiento de 8 años. En este sentido, cabe destacar el acierto del modelo en
determinar la prima de mayor importe en el mismo vencimiento en que el
spread obtenido de los datos del mercado toma su máximo valor.
- 20 -
Por otra parte, en la Tabla 7 se muestran los coeficientes de correlación
lineal que acaban de corroborar la alta relación directa entre los spreads y las
primas obtenidas en el trabajo.
TABLA 7
Matriz de coeficientes de correlación
Spread w * ( 3% ) w * ( 4% ) w * ( 5% )
Spread
1.000000 0.998050 0.998018 0.997999
w * ( 3% ) 0.998050 1.000000 1.000000 0.999999
w * ( 4% ) 0.998018 1.000000 1.000000 1.000000
w * ( 5% ) 0.997999 0.999999 1.000000 1.000000
En los siguientes gráficos se ponen de manifiesto las relaciones
anteriormente comentadas.
p.b. 180
p.b. 180
160
160
140
140
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
1
2
3
4
5
Spread
6
7
8
9
10 años
1
2
3
4
5
Spread
w*(3%)
- 21 -
6
7
w*(4%)
8
9
10 años
p.b. 180
p.b. 160
150
160
140
140
130
120
120
110
100
100
90
80
80
60
70
60
40
50
20
40
30
0
1
2
3
4
5
Spread
6
7
8
9
10 años
w*(5%)
20
10
0
1
2
3
4
5
Spread
w*(3%)
6
7
8
9
10 años
w*(4%)
w*(5%)
5. Conclusiones
En los últimos años han adquirido una especial importancia los derivados
de crédito, activos que gestionan el riesgo de crédito asociado a determinadas
transacciones económicas. De ellos los más destacados son los credit default
swaps (CDS). En este artículo se obtienen, a través del modelo de Hull-White
(2000), valores para las primas de CDS sobre empresas españolas. La reciente
aparición de este tipo de derivados y la no existencia de un mercado organizado
en España, hace que los estudios empíricos para entidades de referencia
españolas sean todavía escasos8.
A través de esta metodología y a partir de seis bonos del Banco Santander
Central Hispano, se calcula la probabilidad de default neutra al riesgo para esta
entidad de referencia. Una vez conocida la probabilidad de que el suceso de
crédito tenga lugar en un momento determinado, y bajo ciertas hipótesis, se
calculan las primas a pagar por la protección del riesgo de crédito que ofrece el
8
El único trabajo de referencia en el que se obtienen primas de CDS para entidades españolas
es Elizalde, A. (2003)
- 22 -
CDS al comprador. Estas primas se obtienen para una obligación subyacente
con diferentes vencimientos y suponiendo distintos tipos de emisión, lo cual
permite analizar el efecto de dichas variables sobre las primas.
Así pues y a partir de los resultados obtenidos se puede apreciar que las
primas resultantes se aproximan bien a los spreads crediticios, que en la práctica
se suelen utilizar como alternativa a dichas primas. A la vista del análisis
estadístico descriptivo realizado, se desprende que el comportamiento de ambas
series es similar, pudiéndose observar que son crecientes respecto al
vencimiento con un máximo en los 8 años.
De los gráficos expuestos en el apartado anterior se deduce que el modelo
Hull-White (2000) obtiene primas prácticamente idénticas a los spreads para
vencimientos comprendidos entre 3 y 9 años. Para vencimientos inferiores a 3
años, las primas deducidas del modelo son mayores que los spreads, mientras
que para vencimientos superiores a 9 años son menores.
Por otro lado, se constata que las primas son crecientes en función del tipo
de interés de emisión de la obligación subyacente. Además y para el CDS a 5
años la prima obtenida a través del modelo está en consonancia con la cotización
real del mercado. En definitiva, el modelo Hull-White (2000) es adecuado para
el cálculo de primas de CDS de las entidades españolas.
- 23 -
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