CIV 241 MECÁNICA DE FLUDOS – GUÍA N°1 2° SEMESTRE 2010 1

CIV 241 MECÁNICA DE FLUDOS – GUÍA N°1
1.
2° SEMESTRE 2010
Un cilindro contiene V0 [dm3 ] de aire a T0 [°C] y presión absoluta de p0 [kg/cm2]. Si se comprime
el aire hasta V1 [dm3 ] tal que V0 > V1 , se pide responder:
(a) Suponiendo condiciones isotérmicas, ¿Cuál es la presión en el nuevo volumen y cuál es el
módulo de elasticidad volumétrico?
(b) Al suponer condiciones adiabáticas, ¿Cuál es la presión final, la temperatura final y el
módulo de elasticidad volumétrico?
(c) Determinar el módulo de elasticidad volumétrico del aire si a 37 [kg/cm2] el volumen era
de 30 [dm3] y a 225 [kg/cm2] de 29,70 [dm3].
2.
Un tubo de radio interno R, espesor e y altura H se ubica entre dos cilindros concéntricos de
radios internos R1 y R2, respectivamente. Entre el tubo y el cilindro interior existe un fluido
newtoniano de viscosidad μ1. Entre el tubo y el cilindro exterior cilindros existe un fluido
newtoniano de viscosidad μ2. Si los cilindros están fijos, determinar el torque que debe aplicarse
al tubo para que gire con velocidad angular ω.
R: T 3.
Un prisma cuadrado de lado a = 0,5 [cm] y largo L = 50 [cm] se mueve sobre una película de
fluido newtoniano como se muestra en la Figura 1. Si la película de fluido tiene espesor
e = 1 [cm] y viscosidad μ = 1,5 [cP], y el prisma tiene la mitad de su diagonal d sumergida,
determine el valor de la fuerza F para que el prisma se mueva con velocidad constante
V = 1 [m/s]. Considere distribución lineal de velocidades en el fluido.
F
e
d/2
L
Figura 1: Problema 3
R:
4.
F 6,5 ∙ 10 N
Un vaso cilíndrico de peso despreciable, radio R y altura H, abierto en uno de sus extremos, se
empuja boca abajo a través de la superficie de una piscina. A medida que desciende, el volumen
de aire atrapado (inicialmente a presión atmosférica y densidad 0 ) disminuye conforme
disminuye la altura H en el vaso. En este proceso, se asume que la ley de Boyle es válida.
Si la profundidad de la interfaz agua-aire es D, derive expresiones para la altura H’ y la fuerza de
presión ejercida sobre el vaso en términos de V, H, 0 , 0 , D y la densidad del agua Figura 2: Problema 4
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2° SEMESTRE 2010
Capilaridad y Tensión superficial
(a) Explique el fenómeno de tensión superficial para la interfaz entre dos fluidos en reposo,
haciendo el análisis para un elemento de área como el de la Figura 2, en el cual la tensión
superficial se puede describir en términos de un valor Υ. Determine además la dependencia
de la presión en la interfaz.
(b) Explique qué ocurre si dos fluidos presentan valores negativos de Υ.
(c) Determine bajo qué condiciones de Υ dos fluidos son considerados inmiscibles.
(d) Explique el fenómeno de capilaridad, determinando bajo qué condiciones se presenta y de
qué depende si el menisco presenta una depresión o un ascenso.
(e) Considere dos burbujas de jabón en contacto. Se sabe que la tensión superficial del jabón
con el aire es Υ. Determine el valor y grafique la curvatura que posee la superficie de
contacto entre ambas burbujas si:
(i)
Ambas son de radio R
(ii)
Una posee radio R1 y la otra radio R2, con R2>R1
Figura 3: Problema 5
R:
6.
4Υ
R1
−
4Υ
R2
=
4Υ
R
Los dos estanques de la Figura 4 (a) poseen igual área basal, pero formas diferentes. Si ambos
son llenados con un líquido de densidad hasta la altura h, determine la presión en el fondo y el
peso de fluido. ¿Cómo explicaría la aparente paradoja en cuanto al equilibrio vertical de fuerzas?
Considere que ambos estanques poseen espesor unitario y las paredes inclinadas forman un
ángulo de 45° de altura 0,2h.
R:
7.
(e) ∆p =
Las presiones son iguales.
Determine la fuerza de presión que se ejerce sobre el fondo debida a un líquido contenido en un
cascarón semiesférico como el de la Figura 3(b), si el peso específico del fluido aumenta con la
altura según γ = kh+γ0, donde γ0 es el peso específico en el punto más alto del fluido, donde hay
un agujero que lo conecta con el aire atmosférico.
Figura 4: Problemas 6 y 7
R:
1
F = πr 2 (2 kr 2 + γ0 r + p0 )
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2° SEMESTRE 2010
Determine el valor de la presión relativa entre A y B para el sistema de micromanómetro de la
figura. Suponga que el área transversal de los tubos es 0 y las cajas poseen sección S.
Figura 5: Problema 8
R:
9.
PA − PB = γ2 (h2 +
h4 δ0
2 S
) + h4 (γ3 − γ4 ) − γ1 (h1 +
h 4 δ0
2 S
)
Aplicando la Ley de Newton, F = m, determine la expresión general de la variación de presión
∇p para un fluido estático, sometido a fuerzas de cuerpo originadas por un campo de
aceleración a.
10. Un recipiente cúbico de 1 m3 de capacidad contiene 600 litros de fluido. Inicialmente, el
recipiente está en reposo sobre una superficie horizontal libre de roce. Si posteriormente se le
aplica una aceleración horizontal constante, determinar:
(a) Valor de la aceleración máxima a la que se puede someter sin que se derrame fluido.
(b) Cantidad de líquido derramado, si se somete al recipiente a una aceleración igual al doble
de la anterior.
R: (a) a = 7,81 m/s2, (b) V = 287,5 [L]
11. El sistema de la Figura 6 cuenta con dos planos inclinados, donde los estanques A y B están
unidos por un cable. Debido a la diferencia de peso entre ambos estanques (WA>WB) se genera
el movimiento. Determinar el ángulo x que forma la superficie del líquido al interior del
estanque A con la horizontal.
¿En qué cambiaría su análisis si sobre los planos existe un fluido de viscosidad μ?
R:
x = Arctg [
a∙cos(α)
g−a∙sen(α)
]+α
a = aceleración del sistema
12. Considere un vaso cilíndrico de radio R lleno de fluido de densidad , inicialmente en reposo
con una profundidad h. Posteriormente, el vaso comienza a girar con velocidad angular
constante !. Determine la expresión que describe las isóbaras y la presión que se ejerce sobre
la unión del manto con el fondo. Compare con el caso estático.
R:
p=ρ
ω2 r2
2
− ρg (z − h ω2 R2
4g
)
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x
B
A
α
α
Figura 6: Problema 11
13. Al circular por una curva, la superficie libre de un río o canal deja de ser horizontal para
convertirse en una superficie curva debido al giro alrededor de un eje vertical. Considere un
canal de sección rectangular por el que circula agua inicialmente hasta una altura h, y determine
la elevación del nivel de agua sobre la pared exterior (H) en la curva.
z
R2
h
R1
H
x
R1
R2
Figura 7: Problema 13
R: H = h + (1 −
R1
R 2 −R 1
R
ln ( 2 ))
R1
14. Se le ha encomendado que realice la cubicación del material para una presa de hormigón de
15 [m] de ancho basal y 40 [m] de ancho longitudinal, que sea capaz de retener una carga de 12
[m] de agua. Se determinó la existencia de subpresiones, que actúan sobre todo el ancho basal
en una distribución triangular cuyo valor máximo corresponde a la altura de la carga; además se
debe diseñar considerando una fuerza sísmica sobre el agua (Fsw), correspondiente a un tercio
del empuje hidrostático del agua actuando a una distancia d desde el fondo.
(a) Cubique el muro para un paramento vertical en su cara de aguas arriba (Alternativa A).
(b) Cubique el muro para un paramento de aguas arriba inclinado 60° respecto a la horizontal,
con el mismo centro de gravedad que el caso anterior (Alternativa B).
(c) Compare porcentualmente sus resultados y explique las diferencias.
Datos:
G
L
H
d
γh
γh
α
Distancia al centro de gravedad = 5 [m]
Ancho basal = 15 [m]
Altura de carga de agua = 12 [m]
Distancia a la que actúa Fsw = 4H/3π
Peso específico hormigón = 2,4 [tonf/m3]
Peso específico agua = 1,0 [tonf/m3]
Ángulo inclinación paramento = 60°
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Figura 8: Problema 14
R:
(a) V = 4341 [m3] , (b) V=2670 [m3]
15. Los estanques de la figura contienen el mismo líquido, de peso específico (, y están unidos por
dos manómetros con líquidos de pesos específicos (1 y (2 , respectivamente. El estanque I
cuenta con una compuerta triangular de lados ABC, con bisagra en AB y que se abre con una
fuerza de acción normal en C. Por su parte, el estanque II cuenta con una compuerta rectangular
con bisagra en FG. Se pide:
a) Determinar una expresión para (, en función de los parámetros conocidos (1 , (2 , )1 y )2 .
b) Calcular el módulo de la fuerza ejercida sobre la compuerta triangular, la ubicación del
baricentro y la fuerza *+ necesaria para abrirla.
c) Si la compuerta rectangular tiene un picaporte en D, calcular la magnitud de la fuerza
ejercida sobre él.
Datos:
a = 2,5 [m]
γ1 = 2γ2 = 1,08 [tonf/m3]
h1 = 5h2 = 20 [cm]
12 m
15 m
4m
Figura 9: Problema 15
R:
(a) ( =
,1 -1 +,2 -2
-1 +-2
, (b) Fp = 40,93 [ton] , ycp=0,051 [m] desde el CG , Fc = 12,7 [ton] , (c) FD = 48,9 [ton]
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16. Considere la compuerta en forma de L que se muestra en la Figura 10. Dicha compuerta puede
rotar libremente (sin fricción) alrededor de un eje que pasa por el punto A. La compuerta tiene
ancho a y el tramo A-B tiene longitud H. Si la carga de agua del lado izquierdo aumenta en el
tiempo, determine el valor del radio que debe tener un flotador esférico (lleno de aire)
amarrado a la compuerta en su extremo B para que ésta permanezca cerrada.
Desprecie el peso de la compuerta y del aire en el flotador.
Datos:
h(t) = 5+0,1t , t en horas.
h1 = 3 [m]
H = 4[m]
a = 2 [m]
h(t)
γ
γ
h1
Figura 10: Problema 16
3
R: R(t) = 0,027√t 3 + 150t 2 + 2700t + 26000
17. Calcular la altura de suelo necesaria para que el muro de la Figura 10 no vuelque en torno al
punto A, considerando los siguientes datos:
Wsuelo = 280 [Ton/m]
= 2 [Ton/m3]
γfluido
γsuelo
= 3 [Ton/m3]
La forma de la curva del muro corresponde a una parábola de la forma y = x2
Considere distribución triangular para las presiones del suelo.
Figura 11: Problema 17
R: H = 14,37 [m]
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18. Un aficionado a la navegación diseñó y pretende construir su propia embarcación, de 30 [m] de
largo. No obstante, para no fracasar en su proyecto, solicita su ayuda como estudiante de
mecánica de fluidos para que lo asesore y oriente respecto de la funcionalidad del diseño. Su
estudio debe contemplar lo siguiente:
(a) Encontrar la posición de equilibrio del bote.
(b) Analizar la estabilidad del bote.
(c) Crear un modelo que permita predecir la posición del bote en el tiempo para pequeñas
distorsiones angulares producidas, por ejemplo, por una breve ráfaga de viento.
Datos:
Tramo
AB
AC
CE
DE
Sección
ABCD
CDE
Largo [m]
12
3
10
10
ρ [kg/m3]
400
150
Figura 12: Problema 18
R: (a) h = 1,8 [m] , (b) Estable , (c) .̈ + 1,25. = 0
19. Un cascarón cilíndrico de hormigón (γ = 2,4 [ton/m3]) de radio R = 20 [cm], altura h = 60 [cm] y
espesor e = 2 [cm], se llena completamente con un líquido de peso específico γf = 0,4 [ton/m3].
Si el cascarón se introduce en agua:
(a) Determine la posición de equilibrio.
(b) Determine el período de oscilación del sistema y la ecuación que describe el movimiento
vertical del sistema en el tiempo, si se imprime un desplazamiento inicial x0 respecto de la
posición de equilibrio.
(c) El agua al interior del cascarón comienza a evaporarse, de forma que la altura viene dada
por h(t)=hi-0,05t2, donde hi es la altura inicial y t está en horas. Determine el tiempo en que
el 40% del cascarón sale a flote. ¿Es posible que el 60% del cascarón salga a flote?
e
R
h
x
Figura 13: Problema 19
R:
(a) x = 0,5 [m] , (b) T = 1,0 [s] y xt x1 2 0,25 cos6,25t 0,25 , (c) t = 2,85 [hrs]
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20. Se tiene el siguiente campo de velocidades:
vx =
x
x 2 + y2
vy =
y
x2 + y 2
vz = 0
Obtener las líneas de corriente, las trayectorias y las líneas de humo.
R:
6
67
8
87
21. Cerca de un punto de estancamiento, el campo de velocidades está dado por:
uV
x
L
v 2V
y
L
w0
(a) Calcular el vector aceleración.
(b) Graficar la trayectoria de la partícula que en t 0 estaba en el punto (0,2L,0) y la línea de
corriente que en t L/V pasa por el punto (2L,L,0).
R: (a) a 8 T
U
x , a6 T
U
y , aV 0
22. La velocidad del fluido de la Figura tiene sólo componente en x. Ésta cambia de 6 [m/s] en el
punto A a 18 [m/s] en el punto B. Si se sabe que la velocidad es una función lineal de x,
determine la aceleración en los puntos A, B y C. Asuma flujo estacionario.
0,1 m
A
0,05m
m
B
C
Figura 14: Problema 22
R: aA = 720 [m/s2] , aB = 1440 [m/s2] , aC = 2160 [m/s2]
23. Un tanque cilíndrico de radio R = 1 [m] es llenado de agua mediante una bomba. Se observa que
el nivel de agua se eleva a velocidad V = 1 [mm/s]. Determine el caudal que circula por la
bomba.
R: Q = 3,14 [L/s]
24. Un fluido presenta campo de velocidad V = (x/t)i. Asumiendo que la densidad depende sólo del
tiempo, encuentre ρ(t).
R: ρ = (c/t) , c = constante
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25. Un estanque cónico, que recibe un caudal Q, tiene un orificio de evacuación de diámetro D en el
fondo. Si α = 45° y la velocidad de salida del estanque es v = a2gh, determinar:
(a) La ecuación diferencial que permite encontrar la altura de agua en el tiempo.
(b) La altura de equilibrio del sistema.
h
α
Figura 15: Problema 25
R: (a)
W)2
WY2
X2
a2Z)
4
[) [\
(b) ) ]
^
_`
a
b c
bd
26. Un tanque de volumen V = 10 [m3] está lleno de una solución salina con densidad de sal inicial
ρs0 = 3 [kg/m3]. En t = 0 se comienza a bombear agua fresca a una tasa de Q = 0,01 [m3/s],
desplazando solución salina del estanque a igual tasa. El incremento de agua fresca diluye la
solución salina uniformemente.
(a) Derive y solucione la ecuación diferencial para densidad de sal ρs(t) en el tanque.
(b) Determine la cantidad de agua fresca para reducir la concentración de sal inicial a la mitad.
R: (a) ρ = ρf1 exp ]
gh
T
a , (b) V = 6,93 [m3]
27. Un fluido viscoso e incompresible fluye entre dos placas paralelas. La placa superior se mueve a
velocidad constante V, mientras que la placa inferior permanece estacionaria. Debido a las
grandes dimensiones de las placas, la velocidad del fluido es bidimensional, y la componente
horizontal tiene una distribución parabólica de la forma:
donde fx es sólo función de x.
y yb
u fx m 2 b n
h h
a Usando el volumen de control indicado en la Figura 26, determinar la función fx en
términos de las variables x, V y h.
b Utilizando la forma diferencial de la conservación de masa, derivar una expresión para la
componente vertical de velocidad, vx,y.
y
h
Figura 16: Problema 27
u(x,y)
x
9