Capítulo 4. Máquinas Térmicas

CAPÍTULO 4.
MÁQUINAS Y RENDIMIENTO
POR VÍCTOR FUENZALIDA ESCOBAR
[email protected]
(1995)
#1 Introducción: ANTECEDENTES HISTÓRICOS
En la antigüedad no existió una necesidad imperiosa de disponer de máquinas: el
trabajo podía ser realizado por medio de animales y de personas, estas últimas,
frecuentemente, esclavos. De este modo la figura muestra una "máquina" egipcia del año
2000 a.C.: cadenas de esclavos.
No obstante, las necesidades bélicas si establecieron la necesidad de fabricar
máquinas que extendieran las capacidades mecánicas humanas y animales, como ocurrió
con las catapultas. Es interesante la mención de maquinarias de guerra dada por Polibio 1,
aludiendo al sitio de Siracusa durante la 2ª guerra púnica:
Había también otras máquinas contra los que atacaban, las cuales,
bien que los enemigos estuviesen cubiertos con sus escudos y seguros de ser
ofendidos de los tiros que se disparaban desde la muralla, no obstante,
arrojaban peñascos tan desmesurados, que hacían huir de la proa a los
combatientes. Al mismo tiempo dejaban caer una mano de hierro atada a una
cadena, con la cual aquel que gobernaba la máquina, luego que con la parte
1Polibio
de Megápolis (siglo II A.C.) "Historia Universal" libro octavo, párrafo 8,
____________________________________________________________________________________________________________
Física Estadística
1
anterior de ésta había agarrado la proa del navío, bajaba la posterior por
dentro de la muralla. Una vez levantada la proa, y puesto el buque
perpendicular sobre la popa, quedaba inmoble la parte anterior de la
máquina; pero por medio de cierta polea se aflojaba la mano de hierro y la
cadena, con lo cual unos navíos caían de costado, otros de espaldas, y la
mayor parte, dejada caer la proa desde lo alto, eran sumergidos y echados a
pique.
Tanto y tan admirable es el poder que tiene en ciertos lances un solo
hombre y un solo arte empleado a propósito. Sáquese un solo viejo de
Siracusa; con tantas fuerzas de mar y tierra, al momento se hubieran
apoderado de la ciudad los romanos; pero estando dentro, ni aún tentar
osaban el ataque, a lo menos del modo que Arquímides pudiese prohibirlo...
Como es sabido, las máquinas no fueron suficientes: finalmente los romanos
ingresaron a Siracusa y mataron a Arquímides.
•
Herón de Alejandría diseñó una "turbina
de juguete", a veces llamada turbina
eolípila (posiblemente por Eolo, dios del
viento)
•
El agua fue usada ya durante la época de los romanos para mover molinos de agua, y
hubo invenciones y mejoras importantes durante la edad media que condujeron a la
fabricación de molinos de viento que se adaptaban automáticamente según la dirección
del viento. Ya se trata de máquinas propiamente tales según el sentido que se les da en
este curso.
•
En 1678-1682 Hautefeuille, Huyggins y otros especularon con un motor impulsado por
pólvora, posiblemente a sabiendas de su carencia de interés práctico al ser muy difícil
operarla en un ciclo.
•
En 1690 Dionisio Papin construyó un cilindro que, al llenarse parcialmente con agua,
movía un émbolo al ser calentado y volvía a la posición original al enfriarse. Podría ser
2
considerado un precursor de la máquina de vapor. Incidentalmente, Papin inventó la olla
a presión
•
En 1663 Edward Somerset obtuvo del parlamento el monopolio por 99 años para una
bomba de agua
•
Más adelante, en 1698 Savery construyó una bomba de agua que se usó para extraer
agua de las minas inglesas de carbón (muy ineficiente).
•
En 1712 Thomas Newcomen construyó la primera "máquina" térmica, en el sentido
usual de la palabra. Operaba a seis ciclos por minuto, y llegó a dar 12-15. En esta
máquina el trabajo lo realiza la atmósfera. Se estima que una máquina "atmosférica" de
este tipo de 0,75 m de diámetro entregaba una potencia de 12-20 kW2
ATMOSFERA
EMBOLO
Entrada de
PIVOTE
Entrada de
vapor
agua
Contrapeso
CALDERA
•
En 1736 nació James Watt, quien fabricaba y reparaba instrumentos de física general.
En 1763 la U. de Glasgow le entregó a reparar un modelo de la máquina de Newcomen,
que Watt encontró defectuosa y relativamente fácil de modificar, habiendo definido sus
2"A
History of Mechanical Inventions", Abbot Payson Usher, Dover, NY,
3
ideas hacia 1765. Varios años después Watt patenta su máquina, para tardar aun varios
más en construirla. 3
La figura muestra la máquina de vapor de Watt de doble efecto. Sus características
más importantes son:
i) El trabajo es realizado por la expansión del vapor, no por la atmósfera
ii) El cilindro de trabajo se mantiene caliente, realizándose la condensación en un
recipiente separado
iii) Realiza trabajo en ambas carreras del pistón
iv) Funciona con vapor ligeramente sobrecalentado, a presión moderada. Watt sabía
que una máquina de alta presión era mejor, pero no disponía de los medios para
fabricarla
MÁQUINA DE VAPOR DE WATT
Tiempo 1
Caldera
Condensador
Condensador
Tiempo 2
Caldera
3A
Shory History of Technology, Dover
4
•
En 1824 se publica, en seiscientos ejemplares, el trabajo del ingeniero militar francés
Sadi Carnot titulado "Reflexiones sobre la Fuerza Motriz del Fuego y de las Máquinas
Apropiadas para desarrollarla", que establece una cota al rendimiento de las máquinas
térmicas y sienta las bases de la termodinámica. Carnot dice: Es sabido que el calor
puede producir movimiento. No hay ninguna duda de que posee una gran fuerza motriz,
en estos días en que la máquina de vapor es tan conocida... La importancia del trabajo
fue reconocida por Clapeyron, quien reproduce las ideas principales en 1834.
#2 Aspectos formales
i) Máquina:
• Es un sistema capaz de "transformar" energía
• En el lenguaje de este curso, transfiere la energía transportada por un portador de
energía (los "portadores" son magnitudes extensivas, X e Y) a otro
Finalmente, y aunque no es indispensable que sea así, el concepto de máquina está ligado al
de automatismo: al menos por un tiempo la máquina debe ser capaz de funcionar sin la
intervención permanente de un ser humano.
i
i
f
f
La figura representa una máquina como un sistema que transfiere energía desde una
magnitud X, que ingresa "cargada" de energía y es expulsada "descargada", a otra
variable extensiva Y que ingresa descargada y es expulsada cargada con energía
Ejemplo 1
e, Φ
Energía
(eléctrica)
Energía + entropía
(calor)
e, Φ=0
Una estufa eléctrica: entra energía transportada por una corriente eléctrica a
potencial φ.
5
La corriente sale después descargada a potencial 0, idealmente. En la práctica, y
debido a la resistencia no nula de los conductores, el contacto de baja tensión está muy
ligeramente por encima de cero y una fracción pequeña de la energía ingresada con la
corriente sale con ésta. Por otra parte, sale entropía que transporta toda la energía
introducida por la corriente eléctrica. En este caso se "transformó" energía eléctrica en calor
(la energía se extrajo de la carga eléctrica y se puso en la entropía)
Ejemplo 2
Motor eléctrico: es análogo al anterior, pero la energía sale transportada por momentum
angular (se "transformó" energía eléctrica en mecánica)
En síntesis, una máquina es un sistema capaz de redistribuir la energía entre los
portadores (magnitudes extensivas)
El problema a resolver en este capítulo es si es determinar acaso cualquier
redistribución es posible. Se mostrará que no es así y que la 2ª ley restringe las
redistribuciones posibles.
ii) Máquina cíclica
a)
b)
c)
d)
Es una máquina que opera en un ciclo
Por lo anterior, el estado final del sistema es igual al estado inicial
El estado final del medio NO es necesariamente igual
Si los estados inicial y final son iguales, las funciones de estado, en particular las
magnitudes extensivas, tienen los mismos valores:
Sistema
Ef-Ei=0
Sf-Si=0
(Medio)
Ef'-Ei'=0
S'f-S'i no necesariamente igual a
cero
e) En general, Q≠0 y W≠0 en el ciclo
Por la primera ley, cualquier par de valores Q y W tales que Q+W=0 es posible
f) Según la 2ª ley, se verá que sólo algunos valores Q, W son posibles: no es posible
redistribuir arbitrariamente la energía entre la entropía y otros portadores
Definición local (válida sólo en el curso)
Una máquina que realiza trabajo sobre el medio, es decir, W<0, se llamará "motor". En
la discusión se hará más o menos evidente que el caso inverso, W>0, corresponde
frecuentemente a una estufa (pero también a una máquina frigorífica)
#3 Máquina térmica
Se define como aquella máquina que extrae energía de una fuente térmica para realizar
trabajo (generalmente) mecánico
6
a) Proposición: no es posible "convertir íntegramente el calor en trabajo mecánico" o
"no es posible una máquina térmica cíclica que interactúe con una sola fuente térmica"
En la figura, las flechas señalan la dirección
real del flujo de energía si la máquina actúa
como un "motor", es decir, realiza trabajo
sobre el medio. Esto significa que:
Fuente térmica
T2
Q
Q>0
y
W<0
W
Dem. suponer Q>0 y W<0, es decir, que la máquina efectivamente puede operar como un
motor
Caso a) funcionamiento reversible
Por la 1ª ley es Q+W=0 (no varía la energía en un ciclo)
por la 2ª ley, junto con Q, la fuente transfiere entropía Q/T2 al sistema, o sea,
Sf-Si=Q/Tf
Pero la máquina opera en un ciclo, luego debe ser
Sf-Si=0
Debe ser entonces
Q=0 y por lo tanto W=0
El significado físico de este resultado es que una máquina que opera reversiblemente no
puede convertir 100% el calor en trabajo (no puede "despegar" la energía de la entropía)
Caso b) funcionamiento irreversible
1ª ley Q+W=0
2ª ley: hay transferencia de entropía Q/Tf y creación de entropía Sgen en un ciclo, luego
Sf-Si=Q/Tf+Sgen>0
pero por igualdad de los estados inicial y final debe ser Sf-Si=0: contradicción.
La contradicción proviene de suponer que es posible utilizar 100% el calor para
realizar trabajo mecánico sobre el medio.
7
caso c) "Disipación" de energía.
Contrariamente a lo anterior, sí es posible "convertir" íntegramente el trabajo en calor,
es decir, Q<0 y W>0.
En efecto, del resultado (caso b) se tiene
Q/Tf+Sgen=0
que tiene solución Q=-TSgen<0
Nótese que la desigualdad se puede cumplir solo si el proceso es irreversible, es decir,
se genera entropía. Conclusión: la "conversión" de trabajo en calor, llamada a veces
"destrucción del trabajo útil", es un proceso irreversible.
Interpretación:
La fuente térmica contiene energía almacenada en movimientos atómicos aleatorios
Por otra parte, realizar trabajo supone un desplazamiento macroscópico
"Es estadísticamente imposible (probabilidad prácticamente cero) que el
movimiento aleatorio de los átomos de la fuente se organice espontáneamente para dar
lugar a un desplazamiento macroscópico"
Enunciado de Kelvin-Plank de la segunda ley: resulta como consecuencia directa
de lo anterior: No es posible un proceso cíclico cuyo único resultado sea la "extracción de
calor" de una única fuente y la realización de una cantidad equivalente de trabajo
#4 Máquina térmica cíclica real
Se trata de una máquina que recibe energía térmicamente de la fuente
caliente (Q2>0) y realiza trabajo sobre el medio (W<0)
i)
Balance de entropía
Fuente térmica
T2
a) ciclo⇒ Sf-Si=0
b) Por otra parte, el sistema (la máquina)
-recibe entropía de la fuente caliente:
Q2/T2
-recibe entropía de la fuente fría:
Q1/T1
(en realidad, cede entropía a la fuente, lo que queda
determinado por el signo de Q1)
-debido a procesos irreversibles, genera entropía Sgen en cada
ciclo. No se conoce el valor de Sgen, sólo se sabe que es mayor
que cero. Luego
Q2/T2+Q1/T1+Sgen=0
Q2>0
W<0
Q1<0
Fuente térmica fría
T1
8
Por construcción, Q2 >0
Además, por la segunda ley, Sgen≥0
La igualdad exige que Q1<0 necesariamente
ii) Consecuencias del balance de entropía
a) La máquina térmica debe ceder una parte la energía Q2 a la fuente fría
b) La máquina térmica no puede convertir 100% Q2 en trabajo
c) La máquina no puede funcionar sin fuente fría
d) Lo anterior es válido incluso en el límite reversible en que Sgen→0
e) Q1=-(Q2T1/T2+T1Sgen). El término entre paréntesis representa energía "malgastada" por
descargarse a la fuente fría
f) Mientras más entropía se genera, más energía se "malgasta"
g) Mientras más caliente la fuente caliente, mejor se aprovecha la energía. El límite práctico
está impuesto por la resistencia de los materiales
h) Mientras más fría la fuente fría, mejor se aprovecha la energía. El límite teórico es T1→
0K (posiblemente T→2,7K temperatura de fondo del universo). El límite práctico: T1=
temperatura del agua o el aire
iii) Balance de energía
a) ciclo: Ef-Ei=0
b) 1a ley: Q1+Q2+W=0
c)
W=-(Q1+Q2)
-W=(Q1+Q2)
trabajo realizado por el medio sobre el sistema
trabajo realizado por el sistema sobre el medio. Representa
energía "útil".
La máquina óptima es aquella que, dado Q2, maximiza |W|.
iv) Rendimiento η
En general se entiende por rendimiento la relación beneficio/costo, es decir,
rendimiento=(lo que obtenemos)/(lo que pagamos)
a)
η=(energía utilizable entregada por la máquina)/(energía suministrada a la máquina)
=|W|/Q2
η=1-T1/T2-T1Sgen/Q2
b) el rendimiento es siempre menor que la unidad
c) límite reversible Sgen→0. Entonces η→η(rev)=1-T1/T2 . Este rendimiento límite se
conoce como rendimiento de Carnot.
d) η(real)<η(rev)=1-T1/T2<1
9
e) Notar que el rendimiento reversible depende sólo de T1 y T2, no depende del detalle de
funcionamiento de la máquina. Por este motivo se trata de una limitación fundamental
impuesta por las leyes de la Física.
f)
Ejemplo: la máquina original de Watt, que operaba con vapor a 112ºC y condensaba
el vapor a 50ºC.
η(rev)=1-(273+50)/(273+112)=1-323/385=1-0.84=0.16
En condiciones reversibles la máquina aprovecha sólo el 16% de la energía. El 84%
restante se transfiere al medio. El rendimiento real es muy inferior
g)
Actualmente se usa vapor sobrecalentado. El rendimiento, suponiendo T2=300ºC y
T1=20ºC sería
η(rev)=1-293/573=49
De todos modos, en condiciones ideales, se desaprovecha más de la mitad de la
energía.
iv) Comentarios adicionales
La energía suministrada por la fuente térmica se aprovecha mejor, es decir, la
máquina tiene un rendimiento más elevado, cuanto menos entropía se genera en un ciclo de
operación. Esto significa que la máquina debe funcionar lo menos irreversiblemente
posible, evitando en lo posible los procesos "violentos": aceleraciones bruscas, grandes
gradientes de temperatura, etc. No obstante, desde el punto de vista práctico interesa que la
máquina funcione a alta potencia, lo que la obliga a funcionar a alta velocidad y muy lejos
del equilibrio, generando entropía. Las máquinas reales se construyen a "medio camino"
entre los extremos, tratando de que su rendimiento sea lo mejor (o menos malo) posible
entregando potencia.
Es interesante reproducir las palabras del propio Carnot:
La condición necesaria para el trabajo máximo es que en los cuerpos empleados
para realizar la fuerza motriz del calor no ocurran cambios de temperatura que no se
deban al cambio de volumen. Recíprocamente, cada vez que esta condición se satisfaga se
obtendrá el máximo. Este principio no debe perderse de vista en la construcción de una
máquina térmica, es su base fundamental. Si no se la puede cumplir estrictamente, al
menos se tratará de apartarse lo menos posible del mismo.
En términos más modernos, la máquina debe operar con los mínimos gradientes de
temperatura, de modo que las variaciones de temperatura se deban únicamente a la
expansión y no a flujo térmico causado por los gradientes, lo que se cumplirá mejor en las
máquinas que funcionen con expansiones (y compresiones) muy lentas, de modo que la
temperatura interna sea tan homogénea como resulte posible. Precisamente esta operación
lenta aproxima la operación reversible en que no se genera entropía.
Aunque Carnot no dio un a expresión cuantitativa, más adelante afirma:
La fuerza motriz del calor es independiente del agente empleado para realizarla; su
cantidad está fijada únicamente por las temperaturas de los cuerpos entre los cuales se
efectúa, finalmente, la transferencia de "calórico". Carnot en ese momento piensa que el
"calor" es una magnitud extensiva, aunque parece haber corregido ese punto de vista
10
posteriormente. De hecho estimó el factor de conversión de calorías a Joule en 3,7
(1cal=4,182 Joule).
#5 Máquinas frigoríficas
Se entiende por máquina frigorífica a aquella cuya función es "enfriar" una región
del espacio (la fuente fría). Enfriar significa extraer energía térmicamente, es decir, extraer
energía a través de un flujo de entropía. Esta energía debe entregarse al medio, a mayor
temperatura (la fuente caliente). Finalmente, la experiencia nos indica que e proceso de
extracción requiere realizar trabajo sobre la máquina (la cuenta de la luz a fin de mes, el
refrigerador es uno de los electrodomésticos de mayor consumo).
Se desprende de lo anterior que una máquina frigorífica es una máquina térmica
operando en el sentido inverso:
Fuente fría entrega calor a la máquina (hipótesis): Q1>0
Balance de entropía: Q2/T2+Q1/T1+Sgen=0
Como Sgen>0, DEBE ser Q2<0: en efecto
Q2=-Q1T2/T1-T2Sgen
Por la 1ª ley
Q1+Q2+W=0
luego
W=Q1(T2/T1-1)+T2Sgen, W>0,
es decir, el medio debe realizar trabajo sobre el sistema (la cuenta de la luz).
El buen funcionamiento de la máquina se describe en términos de lo que cuesta
extraer energía desde la fuente fría. Para evitar confusión con el rendimiento, se habla en
este caso de eficiencia E:
E
=(lo que obtenemos)/(lo que pagamos)
=(energía extraída de la fuente fría)/(trabajo realizado para extraerla)
=Q1/W
=[(T2/T1-1)+T2Sgen/Q1] que en el límite reversible es
ECarnot=1/(T2/T1-1)
Las eficiencias pueden ser mayores que la unidad, lo significa solamente que no
cuesta mucho trabajo extraer energía cuando las fuentes fría y caliente están a temperaturas
parecidas.
Por otra parte, la eficiencia tiende a cero cuando T1 tiende a cero: mientras más baja
temperatura se quiere alcanzar, más difícil y costoso se torna el proceso.
11
Una máquina frigorífica puede usarse para calentar un recinto, en cuyo caso se habla
de una bomba térmica. Esta función se usa en el aire acondicionado: se puede demostrar
fácilmente que en este caso es posible disipar en el interior de una habitación más potencia
que la consumida por la máquina.
Los métodos más usados en la práctica para producir descensos de temperatura son:
-expansión adiabática de un gas
-proceso de Joule-Kelvin por debajo de la temperatura de inversión
-transición de fase líquido a vapor.
#6
El ciclo de Carnot
En esta sección se considera la representación gráfica del ciclo de una máquina
térmica reversible, la máquina real (irreversible) no puede ser representada en el gráfico de
estados de equilibrio.
i) Ciclo de Carnot genérico
1ª etapa: la máquina está en contacto con la fuente caliente, tomando energía. Para que el
proceso sea reversible es necesario que la máquina esté en equilibrio térmico con la fuente,
es decir, a la misma temperatura. Se trata por lo tanto de un calentamiento isotérmico a T2.
2ª etapa: la máquina baja su temperatura hasta T1 sin interactuar con otras fuentes, por lo
que se trata de un proceso adiabático. Al ser reversible es por lo tanto isentrópico.
3ª etapa: la máquina está ahora en contacto con la fuente fría, cediéndole energía. Como en
la 1ª etapa, para que el proceso sea reversible es necesario que la máquina esté en equilibrio
térmico con la fuente, es decir, a la misma temperatura. Se trata por lo tanto de un
enfriamiento isotérmico a T1.
4ª etapa: la máquina sube ahora su temperatura hasta T1 sin interactuar con otras fuentes,
por lo que se trata, como en 2ª, de un proceso adiabático. Al ser reversible es también
isentrópico. Esta etapa cierra el ciclo.
El ciclo anterior consiste en dos isotermas y
dos isentrópicas, como se indica en la
figura. El sentido del ciclo se determina
observando que, a la temperatura T2, la
máquina recibe energía térmicamente, por lo
que su entropía aumenta en esa etapa.
T
S
El ciclo anterior se conoce genéricamente como ciclo de Carnot.
ii) Ciclo de Carnot para un gas ideal
La realización del ciclo de Carnot genérico requiere del uso de algún medio físico
particular, vapor de agua en el caso de l máquina de Watt. Puede suponerse que la máquina
consiste en un cilindro de paredes adiabáticas, que pueden convertirse en diatérmicas
12
cuando sea conveniente, provisto de un pistón ideal, y relleno con algún material que se
denomina "substancia de trabajo".
La substancia de trabajo puede ser un gas simple o mezcla, un sólido, un líquido, e
incluso experimentar transiciones de fase durante la ejecución del ciclo. De este modo el
ciclo representado en el plano P-V o en otras representaciones que no sean la T-S puede
tener formas muy diferentes, todas, sin embargo, son un ciclo de Carnot.
Se considera aquí como ejemplo el ciclo correspondiente a un gas ideal con
coeficiente adiabático 1,4 (gases diatómicos simples como el N2). El ciclo de Carnot de la
figura no está a escala: el área real enlazada es mucho menor que la enlazada.
#7 Motor a explosión
El motor a explosión descrito en la figura se puede describir aproximadamente por
el siguiente ciclo:
Inyección
Compresión
Ignición explosión
Expansión
Expulsión
13
Se ingresa al
cilindro mezcla
de combustible y
comburente
desde el
carburador
La mezcla se
comprime
adiabáticamente,
con aumento de
temperatura
La mezcla se
enciende,
siguiendo la
rápida
combustión
(explosión) con
gran aumento de
presión
El gas a presión
impulsa el pistón
durante una
expansión
aproximadament
e adiabática
Los gases
producto de la
combustión son
expulsados al
exterior
Los procesos de inyección y expulsión involucran intercambio de material con el
medio, lo que impide graficarlos en el plano PV, necesitándose (al menos) un eje adicional.
La reacción química es un proceso irreversible (que además cambia el número de moles), y
tampoco puede representarse en el plano PV.
A fin de enmarcar esta máquina dentro de lo que es posible describir aquí, se puede
reemplazar conceptualmente la máquina, que es de combustión interna por otra equivalente
de combustión externa, en la cual el proceso de combustión se reemplaza por un
calentamiento provisto por fuentes externas. De este modo se construye el ciclo de Otto:
a) Compresión: se representa por una compresión adiabática
b) Combustión: se reemplaza por un calentamiento isocórico (la combustión real ocurre en
un tiempo no nulo y el volumen cambia durante la misma)
c) Expansión: se representa por una expansión adiabática
d) Las etapas de expulsión e inyección se emulan por un enfriamiento isocórico
Se deja propuesto como ejercicio:
-Bosquejar el ciclo en el plano P-V
-Suponer que la substancia de trabajo es un gas ideal, darse valores razonables para las
condiciones iniciales y factor de compresión, y resolver el ciclo
-Calcular explícitamente el rendimiento y mostrar que es menor que el de Carnot
Notas:
i) El motor Diesel funciona de manera algo diferente, representándose por el ciclo Diesel
determinado por dos adiabáticas como en el caso anterior, el mismo enfriamiento isocórico,
pero el calentamiento se representa por un proceso isobárico.
ii) las turbinas a gas rotatorias se representan por el ciclo Joule-Brayton, dos adiabáticas y
dos isobaras
#8 El modelo de Curzon-Ahlborn
La máquina de Carnot tiene el rendimiento superior límite, pero supone procesos
reversibles, en particular sin gradientes térmicos, siendo de "funcionamiento infinitamente
lento", es decir, entrega potencia cero. Por otra parte, la experiencia diaria nos enseña que
una transferencia térmica se puede realizar sólo entre cuerpos a diferente temperatura y que
en general es más rápida cuanto mayor la diferencia, por lo que una máquina que entregue
potencia requiere de diferencia de temperatura entre la fuente y la máquina y generará
entropía, teniendo rendimiento menor que el de Carnot pero entregando potencia no nula.
14
Un modelo para describir una máquina "real" (tampoco lo es) supone:
-Una máquina de Carnot operando entre dos temperaturas T2' <T2 y T1'>T1.
-La máquina opera reversiblemente entre T1' y T2', luego su rendimiento será 1-T1'/T2'
-Se supone entonces que toda la irreversibilidad se concentra en las etapas de toma de
energía desde la fuente caliente a T2' y la de ceder entropía a la fuente fría
T2
Fuente caliente real
Q2
T2'
Fuente caliente
"Vista por la máquina"
W
T1'
Q1
T1
Fuente fría
"Vista por la máquina"
Fuente fría real
Es importante destacar que esta máquina constituye un modelo particular de
máquina térmica funcionando de un modo particular, contrariamente a la de Carnot, que es
un modelo general. Se trata ahora de un caso particular de la máquina térmica irreversible
descrita en el #4, en el que resulta posible calcular Sirr, la entropía generada
irreversiblemente en un ciclo.
i) Modelo
Para concretar el modelo es necesario especificar una propiedad de los materiales
que conforman la máquina, añadiéndole aún más particularidad al ejemplo. Se observa que
en muchas situaciones prácticas la tasa de transferencia térmica de enrgía es proporcional a
la diferencia de temperatura (más precisamente, el vector de flujo térmico es proporcional
al gradiente de temperatura, como se discutirá en el capítulo de fenómenos de transporte).
Esto significa que la tasa a la cual se transfiere Q2 es
dQ2/dt=K(T2-T2')>0
donde K es la "conductancia térmica" que depende del material y la geometría de la
máquina. Del mismo modo Q1 se transfiere desde la máquina a la fuente fría a una tasa:
dQ1/dt=K(T1-T1')<0
Nótese que, al poner la misma constante de proporcionalidad K se supuso, como hipótesis
simplificadora adicional, que la máquina es simétrica (no es obvio que esto sea lo más
conveniente en la práctica).
ii) Balance de entropía
15
Las temperaturas intermedias T1' y T2' no son independientes. En efecto, si se
considera la máquina operando reversiblemente entre T2' y T1' el balance de entropía debe
dar cero en un ciclo, es decir:
Q1/T1'+Q2/T2'=0
que al derivar con respecto al tiempo y reemplazar las expresiones para dQ/dt queda:
(T1-T1')/T1' + (T2-T2')/T2'=0
o bien
T1/T1' + T2/T2' =2
que define una de ellas en función de la otra, ya que T1 y T2, las temperaturas de las fuentes
térmicas, están dadas. Conviene introducir la variable auxiliar x como el cuociente entre las
temperaturas intermedias: x=T1'/T2', que al reemplazar en la ecuación anterior conduce a:
T2'=(T1/x+T2)/2
y
T1'=(T1+xT2)/2
nótese que: T1/T2<x<1
iii) Balance de energía
La potencia entregada por la máquina es
Potencia = |dW/dt|
Por conservación de enrgía debe ser
W=-(Q1+Q2)
luego
|dW/dt|=K(T1+T2-T1'-T2')
que al reemplazar queda en función de x:
|dW/dt|=K(T1+T2)/2 - K(T1/x+xT2)/2
*
Se encuentra entonces que:
a) la potencia de esta máquina es una función de x, donde el rendimiento está dado por (1x).
b) En particular, si x=1 las temperaturas máxima y mínima de la máquina son iguales y esta
no trabaja, es decir, el rendimiento es cero y también |dW/dt|=0.
c) Si x asume su valor máximo, el rendimiento es el de Carnot (1-T1/T2), pero la potencia
es
|dW/dt|=K(T1+T2)/2-K(T2+T1)/2=0, es decir, no sirve para nada
d) Debe existir un valor de x que hace que la potencia sea máxima
iv) Rendimiento a potencia máxima
El modelo es interesante en la medida que permite determinar las temperaturas intermedias
que hacen máxima la potencia entregada por la máquina. Al derivar (*) con respecto a x se
16
obtiene que el máximo de |dW/dt| se obtiene cuando x2=T1/T2, es decir x=√T1/√T2. En
este caso el rendimiento a potencia máxima es:
η(Curzon-Ahlborn)=1-√T1/√T2<η(Carnot)=1-T1/T2
Rendimiento de Curzon-Ahlborn
Máquina "endoreversible"
14
0.6
12
0.5
10
0.3
6
Rendimiento
Potencia (u. a.)
0.4
8
0.2
4
0.1
2
0
0.5
0
0.7
0.9
Cuociente x=T1'/T2'
La figura muestra el comportamiento de una máquina que opera entre fuentes térmicas a
T1=300K y T2=600 K. La potencia (curva azul) se muestra en función del cuociente de
temperaturas de operación de la máquina endoreversible en unidades arbitrarias. La recta
decreciente en rojo representa el rendimiento de la máquina, mientras que la recta
horizontal es el rendimiento de Carnot que solo se obtiene si x=0,5.
v) Valor predictivo
El caso general, que conduce al rendimiento de una máquina reversible de Carnot
tiene validez general, pero carece de valor predictivo, ya que las máquinas operan muy por
debajo del rendimiento de Carnot. Por el contrario, el modelo mostrado aquí, aunque MUY
particular, permite estimar mejor el rendimiento real de una máquina térmica cuando ésta
opera a potencia máxima.
La tabla siguiente muestra el rendimiento real de plantas de generación eléctrica de
potencia de diferentes tipos. Nótese que los rendimientos reales se aproximan mejor por el
rendimiento η(Curzon-Ahlborn). Por supuesto, es posible encontrar una máquina con
rendimiento superior, lo que significa que no está funcionando a potencia máxima, pero es
imposible encontrar una máquina con rendimiento superior al de Carnot.
RENDIMIENTO REAL
DE PLANTAS DE POTENCIA
17
Planta
Lugar
UK
Canada
Italia
Suiza
Francia
T1
ºC
T2
ºC
25
25
80
25
25
565
300
250
690
680
Tipo
Carbón
Nuclear
Geotérmica
Turbina
Turbina
η
real
η
0,36
0,30
0,16
0,32
0,34
η de
Carnot
ηC=
1-T1/T2
0,64
0,48
0,32
0,69
0,69
η de CurzonAhlborn
η'=
1-(T1/T2)1/2
0,40
0,28
0,18
0,44
0,44
Rendimiento de otros procesos
Proceso
Generación eléctrica a partir de
combustibles
TOTAL
Hidroeléctrica
TOTAL
Desde
("forma")
Química
Calor
Mecánica
Química
Potencial
Rotación
Potencial
Hacia
("forma")
Calor
Mecánica
Eléctrica
Eléctrica
Rotación
Eléctrica
Eléctrica
Real
%
85-95
40-48
95-98
32-42
85-90
95-98
81-88
Teoría
%
100
63
100
63
100
100
100
18