CHAPTER 2

5.13 (a)
n=
log(35 / .05)
= 9.45 o 10 iteraciones
log(2)
(b)
iteración
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xr
17.5
26.25
30.625
28.4375
27.34375
26.79688
26.52344
26.66016
26.72852
26.76270
para os = 8 mg/L, T = 26.7627 oC
para os = 10 mg/L, T = 15.41504 oC
para os = 14mg/L, T = 1.538086 oC
5.14
Se presenta un programa en VBA para implementar la función de Bisección (Fig. 5.10) en un
programa amable con el usuario:
Option Explicit
Sub
Dim
Dim
Dim
Dim
TestBisect()
imax As Integer, iter As Integer
x As Single, xl As Single, xu As Single
es As Single, ea As Single, xr As Single
raiz As Single
Sheets("Hoja1").Select
Range("b4").Select
xl = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Select
xu = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Select
es = ActiveCell.Value
ActiveCell.Offset(1, 0).Select
imax = ActiveCell.Value
Range("b4").Select
If f(xl)
raiz =
MsgBox
MsgBox
MsgBox
MsgBox
Else
MsgBox
End If
* f(xu) < 0 Then
Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
"La raíz es: " & raiz
"Iteraciones:" & iter
"Error estimado: " & ea
"f(xr) = " & f(xr)
"No hay cambio de signo en el rango inicial"
End Sub
Function Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
Dim xrvie As Single, prue As Single
iter = 0
Do
xrvie = xr
xr = (xl + xu) / 2
iter = iter + 1
If xr <> 0 Then
ea = Abs((xr - xrvie) / xr) * 100
End If
prue = f(xl) * f(xr)
If prue < 0 Then
xu = xr
ElseIf prue > 0 Then
xl = xr
Else
ea = 0
End If
If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do
Loop
Bisect = xr
End Function
Function f(c)
f = 9.8 * 68.1 / c * (1 - Exp(-(c / 68.1) * 10)) - 40
End Function
Para el ejemplo 5.3, la hoja de cálculo de Excel usada para la entrada se vería así:
Ejemplo de Bisección
Correr
El programa produce una raíz de 14.78027 después de 12 iteraciones. El error aproximado en este
punto es 6.63×10−3 %. Todos estos resultados se presentan en formas de cuadros de mensaje. Por
ejemplo, la verificación del resultdao se presenta de la siguiente forma:
5.15 Vea las soluciones a los problemas. 5.1 al 5.6 para verificar resultados.
5.16 Errata en el enunciado del problema: Pruebe el programa duplicando el ejemplo 5.5.
Se presenta un subprocedimiento en VBApara implementar el método de falsa posición modificada .
Está configurado para evaluar el ejemplo 5.5.
Option Explicit
Sub
Dim
Dim
Dim
TestFP()
imax As Integer, iter As Integer
f As Single, FalsaPos As Single, x As Single, xl As Single
xu As Single, es As Single, ea As Single, xr As Single
xl = 0
xu = 1.3
es = 0.01
imax = 20
MsgBox "La raíz es: " & FalsaPos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
MsgBox "Iteraciones: " & iter
MsgBox "Error estimado: " & ea
End Sub
Function FalsaPos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
Dim il As Integer, iu As Integer
Dim xrvie As Single, fl As Single, fu As Single, fr As Single
iter = 0
fl = f(xl)
fu = f(xu)
Do
xrvie = xr
xr = xu - fu * (xl - xu) / (fl - fu)
fr = f(xr)
iter = iter + 1
If xr <> 0 Then
ea = Abs((xr - xrvie) / xr) * 100
End If
If fl * fr < 0 Then
xu = xr
fu = f(xu)
iu = 0
il = il + 1
If il >= 2 Then fl = fl / 2
ElseIf fl * fr > 0 Then
xl = xr
fl = f(xl)
il = 0
iu = iu + 1
If iu >= 2 Then fu = fu / 2
Else
ea = 0#
End If
If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do
Loop
FalsaPos = xr
End Function
Function f(x)
f = x ^ 10 - 1
End Function
Cuando el programa se corre para el ejemplo 5.5, produce:
La raíz es: 14.7802
Iteraciones: 5
Error estimado: 3.9×10−5 %
5.17 Errata en el enunciado del problema: Use el subprograma que desarrolló en el problema 5.16
para volver a realizar el cálculo del ejemplo 5.6.
Los resultados se grafican de la siguiente forma
ea%
et,%
es,%
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
0
4
8
12
Interpretación: Al principio, el método manifiesta convergencia rápida. Sin embargo, conforme se
aproxima a la raíz, se acerca a una convergencia cuadrática. Observe también que, después de unas
cuantas iteraciones, la estimación del error aproximado tiene la propiedad de que εa > εt.
5.18 Se presenta un subprocedimiento en VBA para implementar el método de falsa posición, con
evaluaciones mínimas de la función, configurado para evaluar el ejemplo 5.6.
Option Explicit
Sub TestFP()
Dim imax As Integer, iter As Integer, i As Integer
Dim xl As Single, xu As Single, es As Single, ea As Single, xr As Single,
fct As Single
MsgBox "La raíz es: " & FPMinFctEval(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
MsgBox "Iterationes: " & iter
MsgBox "Error estimado: " & ea
End Sub
Function FPMinFctEval(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
Dim xrvie, prue, fl, fu, fr
iter = 0
xl = 0#
xu = 1.3
es = 0.01
imax = 50
fl = f(xl)
fu = f(xu)
xr = (xl + xu) / 2
Do
xrvie = xr
xr = xu - fu * (xl - xu) / (fl - fu)
fr = f(xr)
iter = iter + 1
If (xr <> 0) Then
ea = Abs((xr - xrvie) / xr) * 100#
End If
prue = fl * fr
If (prue < 0) Then
xu = xr
fu = fr
ElseIf (prue > 0) Then
xl = xr
fl = fr
Else
ea = 0#
End If
If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do
Loop
FPMinFctEval = xr
End Function
Function f(x)
f = x ^ 10 - 1
End Function
El programa produce una raís de 0.9996887 después de 39 iteraciones. El error aproximado en este
punto es 9.5×10−3 %. Todos estos resultados se despliegan como cuadros de mensaje.
El número de evaluaciones de la función para esta versión es 2n+2. Éste es mucho menor que las
evaluaciones de la función en el método de falsa posición estándar (5n).
5.19 Resuelva para las reacciones:
R1=265 lbs.
R2= 285 lbs.
Escriba las ecuaciones de las vigas:
0<x<3
x
− 265 x = 0
3
M = 265 − 5.55 x 3
M + (16.667 x 2 )
(1)
3<x<6
x−3
2
) + 150( x − (3)) − 265 x = 0
2
3
2
(2) M = −50 x + 415 x − 150
6<x<10
2
M = 150( x − (3)) + 300( x − 4.5) − 265 x
3
(3) M = −185 x + 1650
10<x<12
M + 100( x − 3)(
M + 100(12 − x) = 0
(4)
M = 100 x − 1200
Combinando ecuaciones:
Dado que la curva cruza el eje entre 6 y 10, utilice (3).
(3) M = −185 x + 1650
Establezca x L = 6; xU = 10
M ( x L ) = 540
xr =
x L + xU
=8
2
xr =
8 + 10
=9
2
xr =
8+9
= 8.5
2
xr =
8.5 + 9
= 8.75
2
xr =
8.75 + 9
= 8.875
2
xr =
8.875 + 9
= 8.9375
2
xr =
8.875 + 8.9375
= 8.90625
2
xr =
8.90625 + 8.9375
= 8.921875
2
M ( xU ) = −200
M ( x R ) = 170 → remplaza x L
M ( x L ) = 170
M ( xU ) = −200
M ( x R ) = −15 → remplaza xU
M ( x L ) = 170
M ( xU ) = −15
M ( x R ) = 77.5 → remplaza x L
M ( x L ) = 77.5
M ( xU ) = −15
M ( x R ) = 31.25 → remplaza x L
M ( x L ) = 31.25
M ( xU ) = −15
M ( x R ) = 8.125 → remplaza x L
M ( x L ) = 8.125
M ( xU ) = −15
M ( x R ) = −3.4375 → remplaza xU
M ( x L ) = 8.125
M ( xU ) = −3.4375
M ( x R ) = 2.34375 → remplaza x L
M ( x L ) = 2.34375
M ( xU ) = −3.4375
M ( x R ) = −0.546875 → remplaza xU
M ( x L ) = 2.34375
M ( xU ) = −0.546875
xr =
8.90625 + 8.921875
= 8.9140625
2
M ( x R ) = 0.8984 Por lo tanto, x = 8.91 pies
5.20 M = −185 x + 1650
Establezca x L = 6; xU = 10
M ( x L ) = 540
M ( xU ) = −200
x R = xo −
M ( xU )( x L − xU )
M ( x L ) − M ( xU )
x R = 10 −
− 200(6 − 10)
= 8.9189
540 − (−200)
M ( x R ) = −2 × 10 −7 ≅ 0
Sólo fue necesaria una iteración.
Por lo tanto, x = 8.9189 pies