La función logaritmo se define como

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
x
La función logaritmo se define como
1
 t dt .
El logaritmo natural es una función que permite
1
calcular el área bajo la función f x  
1
en el intervalo [1,x]. Por ejemplo, si se quiere calcular
x
1
el área por debajo de la función f x   en el intervalo [1,10]:
x
10
1
ln10   dx  2.3
x
1
10
8
6
4
2
0
-10
-8
-6
-4
-2
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-6
-8
-10
Si se saca el logaritmo natural de 10 con la calculadora, el resultado es 2.3. Esto implica que
entre 1 y 10 el área bajo la curva es de 2.3. En el caso del logaritmo de ½, se tiene que hacer
1
2
1
1
1
ln    dx    dx  0.69 . El resultado que se obtiene es negativo ya que se está
2 1 x
1 x
1
2
calculando el área desde el punto x=1 hasta el punto x=½.
integral:
1
2
 x dx  lnx
1
1
1
1
2
Visto desde el punto de vista de la
1
1
 ln   ln1  ln 
2
 2
Entonces, la función logaritmo es una función cuyo resultado da el área por debajo de f x  
entre 1 y el valor dado.
Integral.
Ejemplo 1.
 x dx  3 x dx  3 lnx   c
3
1
En este caso se esta calculando el área por debajo de la función f  x  
3
. No se está
x
obteniendo un número porque es una integral indefinida
6
x
2
3x
dx
1
2
En esta función se propone un cambio de variable en donde u  x 2  1 . Dada esta u, se
du
du
 2 x y, por lo tanto,
 xdx y así,
sabe que
dx
2
6
x 6
x 6
3x
x
du
2 x 2  1 dx  3x2 u dx  3x2 u 
 3 lnu x  2  3 ln6  3 ln2
x 6
8x  5
dx
 5x  6
u  4 x 2  5x  6
 4x
2
du
 8 x  5  du  8 x  5dx
dx
8x  5
1
2
 4 x 2  5x  6 dx   u du  lnu   c  ln 4 x  5x  6

Derivada.
Recordemos que la integral indefinida es la antiderivada, esto es:
d
 f x dx  F x   c  dx F x   c  f x 

1
x
por lo tanto, si


4x3
1
4
 x 4  1 dx   u du  lnu   c  ln x  1  c
entonces,
 
 
d
4x3
4
ln x  1  c  4
dx
x 1
Así, se puede establecer que
du
1
d
dx
 u du  lnu   c  dx lnu   u
Se llega, entonces, a dos fórmulas generales:
 u du  lnu   c
1
du
d
lnu   dx
dx
u
Ejemplo 2.
Resolver la siguiente derivada
d 
ln
dx 


x 1  .

du
d
El argumento de ésta función es x  1 . En la fórmula
ln  u   dx se observa que la
dx
u
derivada de un logaritmo es la derivada del argumento sobre el argumento, por lo tanto,
d 
ln
dx 
Ejemplo 3.

d
1
1
x 1
 x  1 2
x  1   dx
 2

x 1
x 1

Resolver


d 
ln 3x 2  5 x  2  .

dx


d
3x 2  5 x  2
d 
6x  5
2
dx
ln 3x  5x  2  
 2
2

dx
3x  5 x  2
3x  5 x  2


Ejemplo 4.
Resolver


d 
5 x ln 2 x 3  .

dx
Se tiene que seguir la regla de la derivada de un producto,
 
 
 
d 
d
5 x ln 2 x3   5 x ln 2 x3  5 ln 2 x3

dx
dx
2
6x
 5 x 3  5 ln 2 x3  15  5 ln 2 x3
2x
 
d
2 x3
dx
 5x
 5 ln 2 x3 
3
2x
 
 
Ejemplo 5.
Un ejercicio que combina ambos conceptos es:

ln x5 dx 
x
u  ln x
ln x
u6
 u du  6  c  6  c
6
5
du 1
dx
  du 
dx x
x
Leyes de los logaritmos.
Para poder modificar el argumento de una función logarítmica se deben aplicar las leyes de los
logaritmos:
loga xy   loga x   loga  y 
x
loga    loga x   loga  y 
 y
loga x y  y loga x 
 
loga x  
lnx 
lna 
Ejemplo 6.
Utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar la expresión ln
3x  2
 3x  2 
ln
 ln

5x  4
 5x  4 
1
2

3x  2
.
5x  4
1  3x  2  1
ln
  ln3x  2  ln5 x  4
2  5x  4  2
La ventaja de esto es que a partir de las leyes de los logaritmos, funciones muy complejas se
pueden reacomodar. Esto es una ventaja al derivar, si se derivara la función anterior:
d 
3x  2 
ln

dx 
5x  4 

d  3x  2 


dx  5 x  4 
1  15x  12  15x  10 



2 
5 x  42

3x  2 3x  2
5x  4 5x  4
1  3x  2 


2  5x  4 

3x  2
5x  4
1  22

2  5 x  42

3x  2
5x  4




1
2
 35 x  4   53 x  2  


2




5
x

4


3x  2
5x  4
225 x  4
25 x  4 3x  2
2

11
5x  43x  2
El resultado de esta derivada es algo muy complejo. Sin embargo, si se utilizan las leyes de los
logaritmos antes de derivar:
3x  2
 3x  2 
ln
 ln

5x  4
 5x  4 
se puede derivar
1
2

1  3x  2  1
ln
  ln3x  2  ln5 x  4
2  5x  4  2
d 
3x  2 
d 1

ln
en
lugar
de
derivar






ln
3
x

2

ln
5
x

4

.

dx 
5x  4 
dx  2
Así,
d 1
ln3x  2  ln5x  4  1  3  5  .

dx  2
 2  3x  2 5 x  4 
Para comparar el resultado con el anterior, se saca el común denominador
1 3
5  1  35x  4  53x  2 1 15x  12  15x  10
11

 
 





2  3x  2 5x  4  2  3x  25x  4  2  3x  25x  4  3x  25x  4
Como se puede ver, el resultado es el mismo pero es mucho más sencillo utilizar las leyes de los
logaritmos que derivar utilizando la regla de la cadena.
Algunos ejercicios propuestos para el lector.
d
ln 3 x  3 ln x
dx
d
2
ln 4 x  2 3 x  4 
dx
d  3x  2 x 2  1 
ln 

dx  x  3x  23 
d 3
ln y 3  1
dy








Derivada logarítmica.
Las mismas leyes de los logaritmos simplifican la derivación de funciones algebráicas
complejas. Sea y  yx   5
3x 2  9
. Como esta es una función muy compleja, utilizaremos
2x 2  4
los logaritmos:
y
5
3x 2  9
2x 2  4
ln y  ln 5
3x 2  9
2x 2  4



1
1
ln y  ln 3 x 2  9  ln 2 x 2  4
5
5
1 dy 1  6 x  1  4 x 
 
 

y dx 5  3 x 2  9  5  2 x 2  4 

 1  6 x  1  4 x 
dy
 y  2
  2

dx
 5  3 x  9  5  2 x  4 
dy 3 3 x 2  9  1  6 x  1  4 x 


 

dx
2 x 2  4  5  3 x 2  9  5  2 x 2  4 
A esto se le llama derivada implícita o derivada logarítmica. Se realiza la derivada de una
función, en este caso y, sin especificar lo que vale y como función de x.
Logaritmos de diferentes bases.
d
1 du
ln u  
. Si se quiere derivar un logaritmo de diferente base, se
dx
u dx
deben usar las leyes de los logaritmos.
Hasta ahora, se sabe que
f x   loga u  
lnu 
lna 
df
d  lnu  
1 d



lnu 



dx dx  lna  lna   dx

Ejemplo 7.
Derivar la función log 3x  4 .
d
log3x  4  1  3 
dx
ln10  3x  4 
Ejemplo 8.





 lnx
 


f x  ln x 2  4
Determinar que función crece con mayor rapidez en x=2:
g x  log x 2  4 .
o

 4

g x  log x 2  4



f x  ln x 2  4
d
2x
lnx 2  4  2
dx
x 4
En x=2:
df
4
  0.5
dx 8

 
2
d
d
log x 2  4 


dx
dx  ln10 
 1 d
 1  2 x 

 2
 
ln x 2  4  

 ln10  dx
 ln10  x  4 
En x=2
dg
1 4

   0.217
dx 2.3  8 
Al comparar los resultados, se tiene que f(x) crece más rápidamente que g(x).
Valores extremos.
Al igual que con otras funciones, en las funciones logarítmicas también se pueden sacar
máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Ejemplo 9.


Sea f x  ln x 2  1 , obtener intersecciones, puntos críticos, puntos de inflexión y la gráfica.
Intersecciones: f(x)=0
f  x  0


ln x 2  1  0
e


ln x 1
2
 e0
x2  1  1
x2  0
x0
Hay una intersección en x=0.
Puntos críticos:
df
0
dx
d
f  x  0
dx


d
ln x 2  1  0
dx
2x
0
2
x 1
2x  0
x0
Únicamente hay un punto crítico y se encuentra en x=0. Para determinar que es ese punto
crítico, se puede utilizar el criterio de la segunda derivada o bien determinar el comportamiento
de la función antes y después del punto crítico. Se resolverán ambos métodos con el propósito
de comparar.
Criterio de la segunda derivada
 

d2 f
d2
d  2x 

ln x 2  1   2

2
2
dx  x  1 
dx
dx


d 2 f 2 x 2  1  2 x2 x 

2
dx2
x2 1


d 2 f  2x 2  2

2
dx2
x2 1
Para determinar si el punto crítico x=0 es
un máximo o mínimo, sustituyo en la
segunda derivada:
2
2
d f
 20  2 2


x

0

 20
2
1
dx2
02  1




El resultado es positivo, por lo tanto, es un
mínimo (un punto crítico en una zona
Comportamiento de la función alrededor
del punto crítico
El punto crítico se encuentra en x=0. Antes
del punto crítico, en x=-1
df
x  1  22 1   2  1 ,
dx
 1  1 2
la función es decreciente ya que la derivada
es negativa.
Después del punto crítico, en x=1
df
x  1  221  2  1
dx
1  1 2
la función es creciente ya que la derivada
es positiva.
Esta es una función que decrece hasta
llegar a un punto crítico y luego crece: el
punto crítico es un mínimo.
donde la función es cóncava hacia arriba es
un mínimo).
Hay un punto crítico en x=0 y es un mínimo.
Puntos de inflexión:
d2 f
0
dx 2
d 2 f  2x 2  2

0
2
dx 2
x2 1


 2x  2  0
2


 2 x2 1  0
x 1  0
2
x2  1
x  1
Hay dos puntos críticos: en x=1 y en x=-1.


En la figura anterior se presenta la gráfica de la función f x  ln x 2  1 donde el punto verde
representa tanto la intersección como el mínimo. Este es un mínimo total puesto que es el punto
más bajo de la función. Hay dos puntos de inflexión marcados en azul. Estos puntos definen el
momento en que una función cambia de concavidad. En rosa se marca la zona donde la función
es cóncava hacia abajo mientras que en azul se marca la sección donde es cóncava hacia arriba.