Un homomorfismo clásico - Universidad Autónoma de Yucatán

Abstraction & Application 9 (2013) 82 − 85
UADY
Un homomorfismo clásico
a
Vı́ctor Manuel Bautista Ancona, b Alejandro Waldemar Cobá Magaña, c Jesús Efrén Pérez
Terrazas
Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán
a
[email protected], b [email protected], c [email protected]
Abstract
Here we analyze the image of a classical homomorphism, useful when one is dealing with base field
extension.
Resumen
Se analiza la imagen de un homomorfismo clásico, el que se utiliza cuando se está trabajando con la
técnica conocida como extensión del campo base.
Keywords and phrases : Algebra, base field extension, homomorphism.
2010 M athematics Subject Classif ication 16D99.
Consideremos un campo k y una k−álgebra Λ, es decir que Λ es un anillo asociativo con unitario y que
existe un homomorfismo de anillos unitarios φ : k → Λ tal que la imagen de φ está contenida en el centro de Λ.
Es conocido que Λ tiene asociada, vı́a φ, una estructura de k−espacio vectorial, y que bajo dicha estructura
el producto es k−bilineal. Denotamos por Λ−Mod a la categorı́a de los Λ−módulos izquierdos, y recordemos
que cada uno de dichos módulos tiene una estructura canónica de k−espacio vectorial: denotaremos por
Λ−mod a la subcategorı́a plena de Λ−Mod de los módulos de k−dimensión finita. Decimos que Λ es una
k−álgebra de dimensión finita cuando la dimensión de Λ como k−espacio vectorial es finita, lo que denotamos
como dimk (Λ) < ∞.
Un tema clásico en álgebra es estudiar la subcategorı́a Λ−mod cuando dimk (Λ) < ∞, pues en tal caso
es conocido que todo módulo en dicha subcategorı́a se descompone, de manera única salvo permutaciones
e isomorfismos, en una suma directa finita de los llamados módulos inescindibles (lo que es un análogo de
la factorización en primos de los enteros mayores que 1), ası́ que bastarı́a con clasificar y entender a los
inescindibles de la subcategorı́a para comprender a la subcategorı́a completa.
Sin embargo, tal clasificación es algo que no se ha podido lograr en general, y la situación en que se tiene
mayor avance es cuando el campo base, es decir k, es algebraicamente cerrado.
Es por eso que es de interés una técnica conocida como extensión del campo base, la cual consiste en
considerar una extensión de campo F de k, usualmente algebraica y frecuentemente finita, y analizar la
F −álgebra Λ ⊗k F, a la que se acostumbra denotar como ΛF , y usar la subcategorı́a ΛF −mod para obtener
información de la subcategorı́a Λ−mod: notemos que si M es un Λ−módulo (izquierdo) entonces M ⊗k F,
denotado como M F , tiene una estructura canónica como ΛF −módulo (izquierdo), es decir que si λ ∈ Λ,
m ∈ M, c1 , c2 ∈ F, entonces (λ ⊗ c1 ) (m ⊗ c2 ) = (λm) ⊗ (c1 c2 ) .
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Vı́ctor Bautista, Alejandro Cobá, Efrén Pérez
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Tenemos entonces el funtor ⊗k F : Λ − Mod → ΛF − Mod y, para cada pareja M, N ∈ Λ − Mod,
un homomorfismo de grupos inducido αM,N : HomΛ (M, N ) ⊗k F → HomΛF M F , N F , determinado por
αM,N (f ⊗ c) = f ⊗ ρc , donde f ∈ HomΛ (M, N ) , c ∈ F y ρc : F → F está dada por ρc (x) = xc.
El objetivo de este breve artı́culo de revisión es observar que αM,N siempre es inyectivo, ası́ como dar una
descripción de la imagen de αM,N , lo que permite señalar casos en que dicho homomorfismo es biyectivo.
Para cumplir con el objetivo señalado, comenzaremos por recordar algunos resultados estándar, para
después mostrar el argumento principal.
1.
Homomorfismos
Recordemos que dado R un anillo, M un R−módulo derecho y N un R−módulo izquierdo, entonces los
elementos de la forma m ⊗ n, con m ∈ M y n ∈ N, constituyen un conjunto generador del grupo abeliano
M ⊗R N, ası́ que para determinar una función sobre M ⊗R N es suficiente con conocer su valor sobre los
mencionados elementos.
Vale la pena recordar que V ⊗R W se define a través de un cociente, por lo que se debe ser cuidadoso al
definir funciones sobre el producto tensorial. (Ver páginas 10 y 11 de [4].)
Dados V y W k−espacios vectoriales, con respectivas bases {vi }i∈I y {wj }j∈J , el grupo abeliano V ⊗k W
tiene una estructura canónica de k−espacio vectorial y el conjunto {vi ⊗ wj }i∈I,j∈J es una base, luego
dimk (V ⊗ W ) = dimk (V ) dimk (W ) . (Ver, por ejemplo, el teorema 2.8 de [4].)
Por otro lado, si f : V → V 0 y g : W → W 0 son funciones lineales entre k−espacios vectoriales entonces
existe un homomorfismo de grupos f ⊗g : V ⊗k W → V 0 ⊗k W 0 , determinado por f ⊗g (m ⊗ n) = f (m)⊗g (n)
(ver corolario 1.7.4 de [5]). Es fácil verificar que f ⊗ g es una transformación k−lineal.
Si V y V 0 son R−k−bimódulos y f es un homomorfismo de bimódulos entonces f ⊗g es un homomorfismo
de R−módulos izquierdos. Si W y W 0 son k − S−bimódulos y g es un homomorfismo de bimódulos entonces
f ⊗ g es un homomorfismo de S−módulos derechos. Si se cumplen todas las anteriores entonces f ⊗ g es
un homomorfismo de R − S−bimódulos. (Ver teorema 1.8 de [4] y proposición 1.7.9 de [5], y después hacer
algunas cuentas adicionales.)
De acuerdo con los párrafos previos, dados la k−álgebra Λ, la extensión de campo F dek y los Λ−módulos
izquierdos M y N, tenemos una función α : HomΛ (M, N ) × F → HomΛF M F , N F determinada por
α (f, c) = f ⊗ ρc , donde ρc : F → F es la F −transformación lineal ρc (x) = xc. Es sencillo verificar que α es
k−biaditiva, concepto que también es nombrado como mapeo balanceado (ver páginas 9 de [4]
y 82 de [5]),
por lo que existe un homomorfismo de grupos αM,N : HomΛ (M, N ) ⊗k F → HomΛF M F , N F determinado
por αM,N (f ⊗ c) = f ⊗ ρc (usar proposición 1.7.3 de [5]).
Ahora consideremos la inyección canónica jM : M → M ⊗k F dada por jM (m) = m ⊗ 1 : es fácil ver que
jM es un homomorfismo de Λ−módulos.
Fijemos una k−base de F, a la que denotaremos por {el }l∈L . Entonces hay un isomorfismo inducido de
`
`
k−espacios vectoriales ω : F → l∈L k y un isomorfismo de Λ−módulos 1 ⊗ ω : N ⊗k F → N ⊗k
l∈L k .
`
`
También existe un isomorfismo canónico de Λ−módulos θ : N ⊗k
→ l∈L
l∈L k `
N. Luego se tiene
F
F
un homomorfismo de grupos abelianos β : HomΛF M , N
→ HomΛ M, l∈L N dado por β (h) =
θ (1 ⊗ ω) hjM .
Puesto que el funtor HomΛ (M, ) : Λ − Mod →
2.9 de [4]) tenemos que
`Ab es exacto izquierdo
Q(teorema
existe un monomorfismo de grupos i : HomΛ M, l∈L N → HomΛ M, l∈L N .
Q
Q
También queremos considerar el isomorfismo canónico γ : HomΛ M, l∈L N → l∈L HomΛ (M, N )
(teorema 2.6 de [4]).
`
F
La k−base {el }l∈L de F también induce un isomorfismo de grupos
→ l∈L HomΛ (M, N )
` δ1 : HomΛ (M, N ) Q
y, por otra parte, se tiene un monomorfismo canónico de grupos t : l∈L HomΛ (M, N ) → l∈L HomΛ (M, N ) :
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Un homomorfismo clásico
denotaremos por δ a la composición tδ1 .
Por fin estamos listos para escribir adecuadamente el resultado que queremos analizar.
Teorema 1.1 Sean Λ una k−álgebra, F una extensión de campo de k y M, N ∈ Λ−Mod, y consideremos
los homomorfismos de grupos mencionados previamente en esta sección, entonces la composición γiβαM,N
es igual a δ. Se sigue que αM,N es inyectivo en general, mientras que es suprayectivo si y solo si la imagen
de δ coincide con la imagen de la composición γiβ.
Demostración: El argumento es simplemente escribir de manera clara el resultado de aplicar cada
homomorfismo en un elemento de la forma f ⊗ el , donde f ∈ HomΛ (M, N ) y {el }l∈L es una k−base de F.
Tenemos ası́ que αM,N (f ⊗ el ) = f ⊗ ρel , mientras que β (f ⊗ ρel ) es un Λ−homomorfismo que envı́a al
elemento m ∈ M en el vector (nj )j∈L , donde nj = 0 si j 6= l y nl = f (m) .
Luego γiβ (f ⊗ ρel ) es el vector de Λ−homomorfismos (fj )j∈L , donde fj = 0 si j 6= l y fl = f.
Es fácil ver que δ (f ⊗ el ) es el vector (fj )j∈L del párrafo previo, ası́ que por aditividad se obtiene que
γiβαM,N = δ.
Puesto que δ es inyectivo se tiene que αM,N es inyectivo.
Como γi es inyectivo tenemos que Imγiβ = Imγiβα si y solo si α es suprayectiva, obteniéndose la última
parte del enunciado.
Corolario 1.2 Dado el contexto del teorema 1.1 se sigue que si F es una extensión finita entonces αM,N
es una biyección.
Demostración: Si [F : k] < ∞ entonces t es una biyección, luego δ también lo es, ası́ que Imδ =
Imγiβα ⊃ Imγiβ, y puesto que la otra contención es evidente, el resultado se sigue por el teorema 1.1.
Corolario 1.3 Asumiendo el contexto del teorema 1.1 se sigue que si M es finitamente generado como
Λ−módulo entonces αM,N es una biyección.
Demostración: Es sencillo verificar que la hipótesis implica Imγiβ ⊂ Imt, ası́ que de la identidad
Imt = Imδ obtenemos la hipótesis del teorema 1.1.
2.
Comentarios finales
Las propiedades del homomorfism αM,N han sido usadas en el lema 3.2 de [2], allı́ vı́a un par de funtores
adjuntos, en el lema 2.3(a) de [3], e incluso se usa una generalización en el contexto de las ditálgebras en [1].
Agradecimientos
Agradecemos al árbitro por sus sugerencias, ası́ como por habernos permitido mantener el estilo propuesto
para la redacción de este artı́culo.
Vı́ctor Bautista, Alejandro Cobá, Efrén Pérez
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Referencias
[1] Raymundo Bautista, Efrén Pérez, Leonardo Salmerón. Generic modules of tame algebras over real closed
fields. Aceptado (salvo correcciones) en Journal of Algebra.
[2] Stanislaw Kasjan. Base field extensions and generic modules over finite dimensional algebras. Arch.
Math. 77 (2001) 155-162.
[3] Efrén Pérez. On semigeneric tameness and base field extensions. Aceptado (salvo correcciones) en
Glasgow Mathematical Journal.
[4] Joseph J. Rotman. An introduction to Homological Algebra. Academic Press. 1979.
[5] Louis H. Rowen. Ring Theory, Student Edition. Academic Press. 1991.