Resolviendo la Ecuación Diferencial de 1er Orden J.I. Huircán Universidad de La Frontera February 16, 2010 Abstract El siguiente documento plantea distintos métodos para resolver una ecuación diferencial de primer orden de coe…cientes constantes. Sólo considera las ecuaciones con excitación igual a cero y la excitación constante. 1 Ecuaciones diferenciales y redes Los procesos transitorios de las redes compuestas por resistores, capacitores y/o bobinas son descritos mediante ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden de coe…cientes constantes. La variable a determinar, ya sea voltaje o corriente, se encuentra resolviendo este tipo de ecuación. Sea la ecuación dy (t) + ao y (t) = x (t) (1) dt Donde y (t) respresenta la respuesta y x (t) es la excitación de la red. Si x (t) = 0 , la ecuación será homogénea, la variable buscada no depende de la excitación, si x (t) 6= 0; será no homogénea. En términos matemáticos la solución de (1) tiene dos partes, una llamada solución general y otra llamada solución particular, desde el punto de vista de las redes eléctricas se habla de una solución transitoria y permanente. a1 x(t) Red Lineal v(t), i(t) y(t) v(t), i(t) Respuesta Excitación Figure 1: Red lineal. 1 2 Resolviendo la Ecuación Homogénea Esta ecuación se resuelve por integración directa, despejando en un lado de la ecuación la variable buscada. Sea la ecuación homogénea dy (t) + ao y (t) = 0 (2) dt Note que (2) es resultado de la aplicación de las leyes de Kirccho¤ en una red en la cual no existen excitaciones. Luego despejando y (t) e integrando a1 dy (t) y (t) ao dt a Z Z 1 1 ao dy (t) = dt y (t) a1 ao ln y (t) = t+k a1 = (3) (4) (5) Aplicando ex , a ambos lados de la ecuación y (t) = e ao a1 t+k ao a1 =e t k e (6) Luego, se hace K = ek ; entonces ao a1 y (t) = Ke t (7) El valor de K se determina conociendo el valor de la función y (t) en un punto, lo cual se conoce como condición inicial, luego, si y (to ) = Yo , entonces ao a1 to Yo = Ke (8) Despejando Yo K= ao e a1 to Por lo general, to = 0, así K = Yo ; …nalmente y (t) = Yo e ao a1 t (9) (10) Donde = aao1 , se conoce como constante de tiempo y corresponde al tiempo en el cual la respuesta varia en un 32% de su valor original. La Fig. 2 permite ver la evolución de la función y (t). Se considera que cuando el tiempo transcurrido es de 5 , el valor de la función es cero. 2 y(t) Yo 0.63Yo t τ Figure 2: Variación de y (t) en el tiempo. 3 Resolviendo la Ecuación No Homogénea Cuando la Ecuación es No homogénea, la función x (t), tiene dos formas x (t) = A = Cte: o x (t) = A cos (!t + ) Para este análisis se considerará excitación constante. Sea la ecuación dy (t) + ao y (t) = A dt La respuesta de la ecuación (11) tiene dos partes a1 y (t) = yt (t) + yp (t) (11) (12) La primera será llamada solución transitoria (respuesta de la ecuación homogénea) y la segunda será conocida como solución permanente (la cual depende de la excitación). La respuesta transitoria se determina solucionando la ecuación dyt (t) + ao yt (t) = 0 dt Así, de acuerdo a (7) se tiene a1 yt (t) = Ke ao a1 t (13) (14) Para encontrar la solución permanente se resuelve dyp (t) + ao yp (t) = A (15) dt En régimen permanente las derivadas se anulan, pues, los elementos tales como capacitores y bobinas, están almacenando energía, entonces a1 a1 0 + ao yp (t) = A A yp (t) = ao Luego reemplazando (14) y (16) en (12) se tiene 3 (16) ao a1 y (t) = Ke t + A ao (17) El valor de K se encuentra usando la condición inicial y (to ) = Yo ; luego ao a1 to Yo = Ke + A ao (18) Así K= Yo e A ao ; Si to = 0, entonces, K = Yo y (t) = A ao ao a1 to (19) …nalmente la solución A ao Yo e ao a1 t + A ao (20) Si la condición inicial es cero, entonces y (t) = A ao A e ao ao a1 t (21) y(t) A ao A 0.63 a o t τ Figure 3: Variación de y (t) en función del tiempo. La Fig. 3, indica la variación de la respuesta, esta vez, la constante de tiempo indica el porcentaje de variación del 63 % del valor …nal. Cuando han transcurrido 5 ; se considera que la curva ha llegado al valor …nal. 4 Resolución Usando el Factor de Integración Permite encontrar las dos partes de la ecuación no homogénea. Sea la ecuación dy (t) + P y (t) = Q (22) dt Donde P es una constante y Q constante o función de t. Multiplicando la ecuación (22) por eP t , entonces eP t dy (t) + eP t P y (t) = QeP t dt 4 (23) pero si d dt y (t) eP t = y (t) P eP t + eP t dy(t) dt entonces d y (t) eP t = QeP t dt (24) Así y (t) = e Z Pt QeP t dt + Ke Pt (25) Habitualmente el primer término se conoce como integral particular y el segundo como función complementaria, el cual no depende de la excitación. Para un problema de redes, P siempre será positivo. Finalmente, considerando el caso en que Q es una constante, evaluando la integral y (t) = e = Pt Q eP t + Ke P Q + Ke P Pt Pt (26) Cuando el límite de la integral particular es distinto de cero, el resultado se conoce como valor a estado permanente. Note que cuando no existe excitación Q = 0, solamente queda la función complementaria. 5 Aplicando los métodos 5.1 Resolviendo la ecuación homogénea Considere la ecuación dv (t) 1 + v (t) = 0 dt R Cuya condición inicial v(0) = Vo : (27) C Usando el método del apartado 2, se despeja la variable v (t) dv (t) = v (t) 1 dt RC (28) Luego integrando 1 t+k RC Así, aplicando ex en ambos lados de (29) ln fv (t)g = v (t) = e 1 RC t+k 5 = Ke 1 RC (29) t (30) Tomando la condición inicial v (0) = Vo 1 RC Vo = Ke 0 =K (31) Finalmente v (t) = Vo e Donde 1 RC t (32) = RC. Usando el factor de integración. Modi…cando (27) de acuerdo a (22) 1 dv (t) + v (t) = 0 dt RC Luego P = 1 RC (33) 1 y Q = 0, multiplicando por e RC t ; se tiene 1 e RC t 1 dv (t) 1 + e RC t v (t) = 0 dt RC o 1 d n v (t) e RC t = 0 dt (34) Despejando e integrando 1 v (t) e RC t = K 1 RC v (t) = Ke t (35) Usando la condición inicial v (t) = Vo e 5.2 1 RC t (36) Resolviendo la ecuación no homogénea Considere la ecuación diferencial no homogénea L di (t) + Ri (t) = V dt (37) Considerando i(0) = 0: Utilizando el Método propuesto en el apartado 3. La solución esta dada i (t) = it (t) + ip (t) (38) Luego, resolviendo la ecuación homgénea L dit (t) + Rit (t) = 0 dt 6 (39) Integrando de acuerdo a (7) it (t) = Ke R Lt (40) Por otro lado, tomando la ecuación no homogénea y anulando la derivada L dip (t) + Rip (t) = V dt L 0 + Rip (t) = V V ip (t) = R Luego V R Ahora, introduciendo la condición inicial para encontrar K. i (t) = it (t) + ip (t) = Ke R Lt R L i (0) = 0 = it (0) + ip (0) = Ke K= + 0 + V R (41) (42) V R (43) Finalmente V e R i (t) = Donde = R Lt + V R (44) L R. Usando el factor de integración. Se modi…ca (37) de acuerdo a (22) di (t) R V + i (t) = dt L L Se tiene P = R L yQ= R eLt V L: (45) Multiplicando (45) por eP t R R R V di (t) + e L t i (t) = e L t dt L L o R R V d n t t = eL i (t) e L dt L (46) Despejando i (t) e integrando i (t) = e R Lt Zt R eLt V dt + Ke L R Lt (47) 0 = V e L R R Lt eLt R L + Ke 7 R Lt = V + Ke R R Lt (48) Usando la condición inicial se determina el valor de K. i (t) = 6 V e R V R R Lt (49) Conclusiones Claramente se ve que el primer método es el menos complicado, pues, simpli…ca el procedimiento al cálculo de una integral elemental en el caso de la solución transitoria y un cálculo algebráico para la solución permanente. Este procedimiento evita memorizar fórmulas. Cuando la ecuación es homogénea, la solución solo tiene una componente transitoria, también llamada complementaria o general. 8