Resolviendo la Ecuación Diferencial de 1er Orden

Resolviendo la Ecuación Diferencial de 1er
Orden
J.I. Huircán
Universidad de La Frontera
February 16, 2010
Abstract
El siguiente documento plantea distintos métodos para resolver una
ecuación diferencial de primer orden de coe…cientes constantes. Sólo considera las ecuaciones con excitación igual a cero y la excitación constante.
1
Ecuaciones diferenciales y redes
Los procesos transitorios de las redes compuestas por resistores, capacitores y/o
bobinas son descritos mediante ecuaciones diferenciales de primer y segundo
orden de coe…cientes constantes. La variable a determinar, ya sea voltaje o
corriente, se encuentra resolviendo este tipo de ecuación. Sea la ecuación
dy (t)
+ ao y (t) = x (t)
(1)
dt
Donde y (t) respresenta la respuesta y x (t) es la excitación de la red. Si
x (t) = 0 , la ecuación será homogénea, la variable buscada no depende de la
excitación, si x (t) 6= 0; será no homogénea.
En términos matemáticos la solución de (1) tiene dos partes, una llamada
solución general y otra llamada solución particular, desde el punto de vista de
las redes eléctricas se habla de una solución transitoria y permanente.
a1
x(t)
Red
Lineal
v(t), i(t)
y(t)
v(t), i(t)
Respuesta
Excitación
Figure 1: Red lineal.
1
2
Resolviendo la Ecuación Homogénea
Esta ecuación se resuelve por integración directa, despejando en un lado de la
ecuación la variable buscada. Sea la ecuación homogénea
dy (t)
+ ao y (t) = 0
(2)
dt
Note que (2) es resultado de la aplicación de las leyes de Kirccho¤ en una
red en la cual no existen excitaciones. Luego despejando y (t) e integrando
a1
dy (t)
y (t)
ao
dt
a
Z
Z 1
1
ao
dy (t) =
dt
y (t)
a1
ao
ln y (t) =
t+k
a1
=
(3)
(4)
(5)
Aplicando ex , a ambos lados de la ecuación
y (t) = e
ao
a1
t+k
ao
a1
=e
t k
e
(6)
Luego, se hace K = ek ; entonces
ao
a1
y (t) = Ke
t
(7)
El valor de K se determina conociendo el valor de la función y (t) en un
punto, lo cual se conoce como condición inicial, luego, si y (to ) = Yo , entonces
ao
a1 to
Yo = Ke
(8)
Despejando
Yo
K=
ao
e a1 to
Por lo general, to = 0, así K = Yo ; …nalmente
y (t) = Yo e
ao
a1
t
(9)
(10)
Donde = aao1 , se conoce como constante de tiempo y corresponde al tiempo
en el cual la respuesta varia en un 32% de su valor original. La Fig. 2 permite ver
la evolución de la función y (t). Se considera que cuando el tiempo transcurrido
es de 5 , el valor de la función es cero.
2
y(t)
Yo
0.63Yo
t
τ
Figure 2: Variación de y (t) en el tiempo.
3
Resolviendo la Ecuación No Homogénea
Cuando la Ecuación es No homogénea, la función x (t), tiene dos formas
x (t) = A = Cte: o x (t) = A cos (!t + )
Para este análisis se considerará excitación constante. Sea la ecuación
dy (t)
+ ao y (t) = A
dt
La respuesta de la ecuación (11) tiene dos partes
a1
y (t) = yt (t) + yp (t)
(11)
(12)
La primera será llamada solución transitoria (respuesta de la ecuación homogénea) y la segunda será conocida como solución permanente (la cual depende
de la excitación). La respuesta transitoria se determina solucionando la ecuación
dyt (t)
+ ao yt (t) = 0
dt
Así, de acuerdo a (7) se tiene
a1
yt (t) = Ke
ao
a1
t
(13)
(14)
Para encontrar la solución permanente se resuelve
dyp (t)
+ ao yp (t) = A
(15)
dt
En régimen permanente las derivadas se anulan, pues, los elementos tales
como capacitores y bobinas, están almacenando energía, entonces
a1
a1 0 + ao yp (t) = A
A
yp (t) =
ao
Luego reemplazando (14) y (16) en (12) se tiene
3
(16)
ao
a1
y (t) = Ke
t
+
A
ao
(17)
El valor de K se encuentra usando la condición inicial y (to ) = Yo ; luego
ao
a1 to
Yo = Ke
+
A
ao
(18)
Así
K=
Yo
e
A
ao ;
Si to = 0, entonces, K = Yo
y (t) =
A
ao
ao
a1 to
(19)
…nalmente la solución
A
ao
Yo
e
ao
a1
t
+
A
ao
(20)
Si la condición inicial es cero, entonces
y (t) =
A
ao
A
e
ao
ao
a1
t
(21)
y(t)
A
ao
A
0.63 a
o
t
τ
Figure 3: Variación de y (t) en función del tiempo.
La Fig. 3, indica la variación de la respuesta, esta vez, la constante de
tiempo indica el porcentaje de variación del 63 % del valor …nal. Cuando han
transcurrido 5 ; se considera que la curva ha llegado al valor …nal.
4
Resolución Usando el Factor de Integración
Permite encontrar las dos partes de la ecuación no homogénea. Sea la ecuación
dy (t)
+ P y (t) = Q
(22)
dt
Donde P es una constante y Q constante o función de t. Multiplicando la
ecuación (22) por eP t , entonces
eP t
dy (t)
+ eP t P y (t) = QeP t
dt
4
(23)
pero si
d
dt
y (t) eP t = y (t) P eP t + eP t dy(t)
dt entonces
d
y (t) eP t = QeP t
dt
(24)
Así
y (t) = e
Z
Pt
QeP t dt + Ke
Pt
(25)
Habitualmente el primer término se conoce como integral particular y el
segundo como función complementaria, el cual no depende de la excitación.
Para un problema de redes, P siempre será positivo.
Finalmente, considerando el caso en que Q es una constante, evaluando la
integral
y (t)
= e
=
Pt
Q
eP t
+ Ke
P
Q
+ Ke
P
Pt
Pt
(26)
Cuando el límite de la integral particular es distinto de cero, el resultado se
conoce como valor a estado permanente. Note que cuando no existe excitación
Q = 0, solamente queda la función complementaria.
5
Aplicando los métodos
5.1
Resolviendo la ecuación homogénea
Considere la ecuación
dv (t)
1
+ v (t) = 0
dt
R
Cuya condición inicial v(0) = Vo :
(27)
C
Usando el método del apartado 2, se despeja la variable v (t)
dv (t)
=
v (t)
1
dt
RC
(28)
Luego integrando
1
t+k
RC
Así, aplicando ex en ambos lados de (29)
ln fv (t)g =
v (t) = e
1
RC
t+k
5
= Ke
1
RC
(29)
t
(30)
Tomando la condición inicial v (0) = Vo
1
RC
Vo = Ke
0
=K
(31)
Finalmente
v (t) = Vo e
Donde
1
RC
t
(32)
= RC.
Usando el factor de integración. Modi…cando (27) de acuerdo a (22)
1
dv (t)
+
v (t) = 0
dt
RC
Luego P =
1
RC
(33)
1
y Q = 0, multiplicando por e RC t ; se tiene
1
e RC t
1
dv (t)
1
+
e RC t v (t) = 0
dt
RC
o
1
d n
v (t) e RC t
= 0
dt
(34)
Despejando e integrando
1
v (t) e RC t
= K
1
RC
v (t) = Ke
t
(35)
Usando la condición inicial
v (t) = Vo e
5.2
1
RC
t
(36)
Resolviendo la ecuación no homogénea
Considere la ecuación diferencial no homogénea
L
di (t)
+ Ri (t) = V
dt
(37)
Considerando i(0) = 0:
Utilizando el Método propuesto en el apartado 3. La solución esta dada
i (t) = it (t) + ip (t)
(38)
Luego, resolviendo la ecuación homgénea
L
dit (t)
+ Rit (t) = 0
dt
6
(39)
Integrando de acuerdo a (7)
it (t) = Ke
R
Lt
(40)
Por otro lado, tomando la ecuación no homogénea y anulando la derivada
L
dip (t)
+ Rip (t) = V
dt
L 0 + Rip (t) = V
V
ip (t) =
R
Luego
V
R
Ahora, introduciendo la condición inicial para encontrar K.
i (t) = it (t) + ip (t) = Ke
R
Lt
R
L
i (0) = 0 = it (0) + ip (0) = Ke
K=
+
0
+
V
R
(41)
(42)
V
R
(43)
Finalmente
V
e
R
i (t) =
Donde
=
R
Lt
+
V
R
(44)
L
R.
Usando el factor de integración. Se modi…ca (37) de acuerdo a (22)
di (t) R
V
+ i (t) =
dt
L
L
Se tiene P =
R
L
yQ=
R
eLt
V
L:
(45)
Multiplicando (45) por eP t
R R
R V
di (t)
+ e L t i (t) = e L t
dt
L
L
o
R
R V
d n
t
t
= eL
i (t) e L
dt
L
(46)
Despejando i (t) e integrando
i (t)
= e
R
Lt
Zt
R
eLt
V
dt + Ke
L
R
Lt
(47)
0
=
V
e
L
R
R
Lt
eLt
R
L
+ Ke
7
R
Lt
=
V
+ Ke
R
R
Lt
(48)
Usando la condición inicial se determina el valor de K.
i (t) =
6
V
e
R
V
R
R
Lt
(49)
Conclusiones
Claramente se ve que el primer método es el menos complicado, pues, simpli…ca
el procedimiento al cálculo de una integral elemental en el caso de la solución
transitoria y un cálculo algebráico para la solución permanente. Este procedimiento evita memorizar fórmulas. Cuando la ecuación es homogénea, la solución solo tiene una componente transitoria, también llamada complementaria o
general.
8