TEMA 4: MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL

TEMA 4: MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Las características del movimiento circular uniforme son:
-
La trayectoria que describe es una circunferencia (o una parte de ella).
-
El módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.
Ejemplos de movimientos circulares: el de las manecillas de un reloj, las aspas de un
aerogenerador, las ruedas, el plato de un microondas, los tiovivos...
OBSERVACIÓN:
-
El movimiento circular en el que el módulo de la velocidad no es constante pero aumenta o
disminuye de manera uniforme se denomina movimiento circular uniformemente variado.
Ahora veremos las magnitudes que podemos medir en el movimiento circular.
2.- ESPACIO RECORRIDO Y ÁNGULO BARRIDO
2.1.- Espacio recorrido
Recordar que la distancia o espacio recorrido por un móvil es la longitud de su trayectoria. Como
la trayectoria que sigue un móvil con m.c.u. es una circunferencia o una parte de ella (llamada arco
de circunferencia), la distancia o espacio recorrido por el móvil se calculará aplicando las fórmulas
matemáticas que conocemos para calcular la longitud de una circunferencia o de un arco de
circunferencia:
-
Longitud de una circunferencia = 2 ⋅ π ⋅ R
-
Longitud de un arco de circunferencia =
-
Longitud de un arco de circunferencia = R ⋅ ϕ (si el ángulo ϕ está en radianes)
2 ⋅π ⋅ R ⋅ϕ
(si el ángulo ϕ está en grados)
360º
ϕ
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2.2.- Ángulo barrido
El ángulo barrido por un móvil con m.c.u. es el ángulo que forman los radios que unen el centro
de la circunferencia que describe el móvil con las posiciones inicial y final respectivamente.
ϕ
Lo representaremos con la letra ϕ y su unidad en el sistema internacional es el radián (rad),
aunque en la práctica también se utilizan otras dos unidades, el grado sexagesimal y la vuelta o
revolución. Para hacer un cambio entre las unidades anteriores hay que tener presentes las
siguientes equivalencias:
180 º = 2 π rad
1 vuelta o revolución = 2 π rad
1 vuelta o revolución = 180 º
3.- VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
3.1.- Velocidad lineal
En el movimiento circular uniforme la velocidad lineal se define como el espacio recorrido por el
móvil a través de la circunferencia en un tiempo determinado. Su unidad en el sistema internacional
es el m/s.
v=
s
t
OBSERVACIÓN:
-
La velocidad lineal que lleva un móvil depende de la distancia que haya entre el móvil y el
centro de la circunferencia que describe.
Observar que cuanto más lejos esté el móvil del centro de la circunferencia, mayor será el
espacio recorrido por el mismo y por lo tanto mayor será la velocidad lineal.
3.2.- Velocidad angular
La velocidad angular se define como el ángulo barrido por un móvil en un tiempo determinado:
ω=
ϕ
t
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donde ω es la velocidad angular, ϕ el ángulo barrido y t el tiempo transcurrido. La unidad de ω
en el sistema internacional es el rad , aunque también se suele trabajar en r.p.m. ó rev
s
min
(revoluciones por minuto).
Ejemplo 1: Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular.
Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos, 120º a los diez segundos y
240º a los 20 s. Calcula:
a) El ángulo barrido en cada caso, expresado en radianes.
b) La velocidad angular del movimiento.
c) El tiempo que tardará en dar una vuelta completa.
OBSERVACIÓN:
-
La velocidad angular que lleva un móvil NO depende de la distancia que lo separe del centro
de la circunferencia que describe, ya que el ángulo que barre un móvil en un tiempo
determinado (que es lo que determina la velocidad angular) es el mismo independientemente
de si se encuentra cerca o lejos del centro de la circunferencia.
90º
90º
4.- RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL
La relación que existe entre la velocidad angular y la velocidad lineal viene dada por la siguiente
expresión:
v =ω⋅R
donde v es la velocidad lineal, ω la velocidad angular y R el radio de la circunferencia descrita
por el móvil.
Demostración:
Ya sabemos que el espacio recorrido por un móvil que describe un arco de circunferencia se puede
calcular con la siguiente fórmula: s = R ⋅ ϕ (suponiendo que el ángulo barrido venga expresado en
rad).
Despejando de esta fórmula el ángulo barrido tenemos que:
ϕ=
Por otro lado sabemos que la velocidad angular se define así:
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s
R
ω=
ϕ
t
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Si ahora sustituimos el ángulo barrido en esta última fórmula, nos queda lo siguiente:
ω=
ϕ
t
s
=
R = s :t = s = v
t
R
R ⋅t R
el espacio recorrido en un tiempo determinado es la velocidad lineal
Así hemos llegado a esta fórmula: ω =
v
R
Ahora solo falta despejar v:
ω=
v
⇒
R
ω⋅R
R
=
v
⇒ω⋅R =v
R
Es decir, v = ω ⋅ R como queríamos demostrar.
OBSERVACIÓN:
-
A lo largo de la demostración ha salido otra fórmula que puede resultar útil a la hora de
resolver problemas:
ϕ=
s
R
5.- ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA
Recordar que la magnitud que se encarga de medir los cambios que se producen en el módulo de
la velocidad se llama aceleración tangencial, y la que mide los cambios que se producen en la
dirección de la velocidad se llama aceleración normal o centrípeta. Recordar también que la
dirección de la velocidad que lleva un móvil en un punto determinado es la recta tangente a la
trayectoria en dicho punto. Así, como en el movimiento circular la dirección de la velocidad va
cambiando a lo largo del tiempo, cualquier movimiento circular posee aceleración normal o
centrípeta, la aceleración tangencial la poseerá o no dependiendo de si el módulo de la velocidad es
constante o varía.
La aceleración es una magnitud vectorial, se representa por tanto mediante un vector. En el
m.c.u., la aceleración centrípeta es un vector que se dibuja apuntando siempre hacia el centro de la
circunferencia que describe el móvil, de ahí su nombre (centrípeta). También se cumple que dicho
vector va a ser siempre perpendicular al vector velocidad, por eso también se le llama aceleración
normal (ya que cuando dos vectores son perpendiculares se dice que son vectores normales).
Recordar que dos vectores o rectas son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º.
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El módulo de la aceleración normal o centrípeta se calcula con las siguientes fórmulas:
an =
v2
R
an = ω 2 ⋅ R
Recordar que la unidad de la aceleración en el sistema internacional es el m
s2
.
6.- FRECUENCIA Y PERÍODO
-
La frecuencia se representa por la letra f y es el número de vueltas que da el móvil en un
segundo.
-
El período se representa por la letra T y es la magnitud inversa, es decir, el tiempo que tarda
el móvil en dar una vuelta completa.
OBSERVACIÓN:
-
Al ser magnitudes inversas, conociendo una de ellas se puede calcular la otra:
f =
1
T
T=
1
f
En la práctica lo que se hace es darle la vuelta a los resultados obtenidos.
Ejemplo 2: Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el
periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.
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7.- LA POSICIÓN DE LA TIERRA EN EL UNIVERSO
En esta pregunta se trata de estudiar las distintas teorías que han intentado explicar a lo largo de
la historia el movimiento de los astros y el lugar que ocupa la Tierra en el universo.
Ya los astrónomos de las culturas antiguas intentaron estudiar el movimiento de los astros
simplemente observando el cielo. Colocaban grandes piedras de manera que señalaran el lugar por
donde salía y se ponía el sol así como las fases de la luna en momentos concretos del año. Un
famoso monumento que no se descarta que fuera utilizado como observatorio astronómico es el
Stonehenge en Inglaterra.
Cualquier cuerpo que se pueda observar en el cielo se llama cuerpo celeste o astro. A los astros
que emiten luz propia se les denominan estrellas y a los que no la emiten cuerpos opacos
(ejemplos: planetas, satélites…)
El tamaño de las estrellas es variable, las hay supergigantes (tamaño mil veces superior al del
Sol) y enanas (tamaño incluso menor que el de la Tierra). En cuanto al color, que depende de la
temperatura de su superficie, pueden ser rojas, amarillas, blancas y azules.
Una constelación es un conjunto de estrellas relacionadas entre sí. Estas relaciones que existen
entre unas y otras las establecieron las antiguas civilizaciones al fijarse en que algunas estrellas
formaban figuras y les dieron nombres relacionados con leyendas mitológicas. Entre las
constelaciones más conocidas están la Osa Mayor, la Osa Menor (donde se encuentra la Estrella
polar), las constelaciones zodiacales, Pegaso…
Pegaso
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Las estrellas y los panetas están continuamente dando vueltas alrededor de un centro
describiendo órbitas. Todas las estrellas y planetas que orbitan en torno a un centro común forman
una galaxia.
Las galaxias adoptan formas determinadas, y se clasifican según esa forma:
La Tierra pertenece a una galaxia llamada la Vía Láctea que está formada por todas las estrellas
que se ven a simple vista desde la Tierra (unas cien mil millones), incluida el Sol.
Otros ejemplos de galaxias son la Nubes de Magallanes y la galaxia de Andrómeda.
Un planeta es un astro opaco, de forma aproximadamente esférica y que gira alrededor de una
estrella. Hay ocho planetas que giran alrededor del sol: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter,
Saturno, Urano y Neptuno.
Un satélite es un astro opaco que gira alrededor de un planeta. Por ejemplo, la Tierra tiene un
satélite llamado Luna y Marte tiene dos satélites llamados Fobos y Deimos.
Un cometa es un astro de poca masa que gira alrededor del Sol describiendo una órbita muy
alargada y que solo es visible cuando se aproxima al Sol.
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7.1.- Teorías geocéntricas
La teoría geocéntrica es una antigua teoría elaborada por los filósofos griegos Platón y
Aristóteles. Para Aristóteles el universo era perfecto, finito y esférico, estaba formado por esferas
con el mismo centro cada una de las cuales contenía un astro. La esfera más externa, que era la que
contenía las estrellas, la movía Dios y esta movía a las demás, excepto a la más interna, ocupada por
la Tierra, que no se mueve y es el centro del universo.
Esta teoría, que se mantuvo en pie durante mil cuatrocientos años y contó con el apoyo de la
Iglesia católica, fue completada por Claudio Ptolomeo en el siglo II a. C., quien dejó constancia de
su trabajo en su obra “Almagesto” (que significa “El más grande”), en la que introdujo los llamados
epiciclos, ecuantes y deferentes.
La Tierra está inmóvil y se encuentra como hemos dicho en el centro del universo; el astro más
cercano a ella es la Luna y según nos vamos alejando, están Mercurio, Venus y el Sol casi en línea
recta, seguidos sucesivamente por Marte, Júpiter, Saturno y las llamadas estrellas inmóviles.
Para explicar los diversos movimientos de estos planetas en torno a la Tierra, el sistema de
Ptolomeo los describía formando pequeñas órbitas circulares llamadas epiciclos, de manera que los
centros de esas órbitas giraban a su vez alrededor de la Tierra en otras órbitas circulares llamadas
deferentes (formando así una espiral). El movimiento de todas las esferas se produce en sentido
contrario a las agujas del reloj (de oeste a este). El ecuante era un punto cerca del centro de la órbita
del planeta en el cual, si uno se paraba allí y miraba, el centro del epiciclo del planeta parecería que
se moviera a la misma velocidad.
La teoría geocéntrica de Ptolomeo fue utilizada por astrónomos y navegantes durante 14 siglos
hasta que en el siglo XIII recibió las primeras críticas. Fue el rey Alfonso X El Sabio (entusiasta
de la astronomía) quien rectificó algunos datos del modelo de Ptolomeo, modelo que fue
finalmente reemplazado en el siglo XVI por la teoría heliocéntrica.
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7.2.- Teorías heliocéntricas
Ya en el siglo III a.C., el astrónomo griego Aristarco de Samos sugirió un modelo del universo
en el que el Sol se sitúa en el centro del mismo y los planetas conocidos hasta entonces (incluida la
Tierra) giraban alrededor de él. Aristarco situó la Tierra entre Venus y Marte y afirmó que tardaba
un año en recorrer una órbita completa. Sus observaciones le llevaron a la conclusión de que la
Tierra, además de girar alrededor del Sol, giraba también sobre sí misma. Realizó investigaciones
con idea de averiguar las distancias que separaban unos cuerpos celestes de otros, y aunque hoy
sabemos que sus cálculos no fueron exactos, se aproximaron mucho a la realidad. Se puede decir
por tanto, que Aristarco de Samos describió con gran exactitud lo que actualmente llamamos
sistema solar, sin embargo su teoría no convenció a los sabios de su época y tuvo poca relevancia,
solo 18 siglos después fue retomada y completada por el científico Nicolás Copérnico.
Copérnico resumía su teoría en los siguientes postulados:
-
Los movimientos celestes son uniformes, eternos y circulares o compuestos de diversos
ciclos (epiciclos).
-
El centro del universo se encuentra cerca del Sol.
-
Orbitando alrededor del Sol se encuentran, en este orden, Mercurio, Venus, la Tierra y la
Luna, Marte, Júpiter y Saturno (aún no se conocían Urano y Neptuno).
-
Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan alrededor
del Sol.
-
La Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual y la inclinación
sobre su eje.
-
El movimiento retrógrado de los planetas es explicado por el movimiento de la Tierra.
-
La distancia de la Tierra al Sol es pequeña comparada con la distancia a las estrellas.
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