Modelos teóricos y numéricos en los estudios de predecibilidad

Modelos teóricos y numéricos en los estudios de predecibilidad
climática: Introducción elemental
José M. Pacheco1
Departamento de Matemáticas
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Resumen
En la presente ponencia se pasa revista al concepto de modelo y a cuáles de ellos son de aplicación
en Climatología, explicitando sus ventajas e inconvenientes. Se propone, como mejor alternativa de
valor científico y metodológico, la utilización de modelos mixtos, combinando los de carácter
teórico –o conceptual- con los grandes modelos numéricos.
Abstract
In the present communication the idea of a model is reviewed, as well as its applications to
Climatology. Their advantages and pitfalls are also commented. A proposal is made, that of
considering mixed models built as a mixture of first-principle derived models and numerical ones, as
the best outcome in the scientific and methodological realm.
Introducción: Generalidades sobre la predicción
Predicción tiene por etimología el latín pre+dicere, esto es, “decir antes”. Una vez
sabido el significado general, conviene irlo afinando para ajustarlo a los usos que la
práctica demanda. Por ello, no se trata sólo de “decir antes”, sino de “decirlo bien”, o
sea, acertar; también, hacerlo con un plazo suficiente para poder tomar las medidas que
se crean oportunas, y además tener una idea de hasta cuándo es posible predecir el
futuro con cierto éxito.
Cuando se efectúa una predicción, se está estimando un valor futuro de alguna variable
que se considere representativa de una cierta situación. Por ejemplo, en cuestiones
climáticas podría tratarse de temperaturas medias de la atmósfera en determinados
niveles, concentraciones de gases, precipitación, etc. También se pueden hacer
predicciones espaciales, como la ubicación, movilidad e intensidad local de fenómenos
extremos, caso por ejemplo de los huracanes y tormentas tropicales (Fernández &
Pacheco 2000, Pacheco & Hayek 1997). Normalmente ambos tipos de predicción están
ligados y se realizan a la vez, como lo prueban los productos que ofrecen las grandes
agencias e institutos de Meteorología y Climatología.
Las estimaciones realizadas para predecir se denominan predictores. Pueden construirse
de modos muy diversos, de algunos de los cuales nos ocuparemos en este trabajo, y su
bondad se mide -como es natural- por el porcentaje de aciertos en situaciones del pasado
predichas con igual técnica. Las bases de registros disponibles hoy día permiten realizar
experimentos de predecibilidad con datos pasados y simular situaciones ya conocidas
mediante diversas técnicas, estudiando y comparando los resultados. Es claro que para
estos experimentos la tercera propiedad de la predicción no tiene demasiado interés,
pues la predicción -o mejor, simulación- del pasado no incita a la prisa.
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E-mail: [email protected]
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Sin embargo, en las predicciones día a día para fenómenos meteorológicos, o
anualmente para situaciones climáticas, es conveniente que la predicción pueda llevarse
a cabo con antelación suficiente. Por supuesto, hay predictores que se pueden formular
de inmediato: por ejemplo tomemos la permanencia y el paseo aleatorio. El primero
consiste en suponer que la situación actual se prolongará hasta el momento para el que
se quiere predecir; el segundo supone que la predicción es una mera cuestión de suerte.
Ambos son predictores válidos y utilizados con frecuencia como “enemigos a batir” por
cualquier otro diseño de predicción. Pero no todos los métodos son tan rápidos, y lleva
siempre cierto tiempo efectuar la predicción. Así, una predicción a 24 horas vista
necesitará siempre, para ser de alguna utilidad, que se haga en menos de 24 horas, y si
es en cuatro o cinco, mejor aún. Hasta hace unos cuarenta años no se consiguió que esta
importante propiedad se cumpla con regularidad, y estamos tan acostumbrados a ella
que al parecer todo el mundo la da por descontada, pero no siempre es cierto, sobre todo
en relación con fenómenos extremos.
Para finalizar esta introducción presentaremos el problema de “hasta cuándo” es posible
predecir con confianza. Ese límite, a partir del cual la predicción no es fiable, se llama
“horizonte de la predicción”, es calculable y debe ofrecerse entre los resultados que se
presenten (Gimeno et al. 2001). La pérdida de valor de la predicción con el tiempo, o lo
que es igual, la dificultad de predecir más allá de cierto lapso temporal, se debe a la
incapacidad de contar para construir el predictor con la información generada entre el
instante de su formulación y aquél al cual se refiere. Por eso nunca vemos predicciones
meteorológicas para más de siete u ocho días: En esa semana pueden generarse
fenómenos atmosféricos que invaliden, debido a las nuevas informaciones que
transportan, una predicción que no pudo tenerlas en cuenta.
Series temporales
Prácticamente todos los registros interesantes en Meteorología y Climatología se
presentan en forma de series temporales, esto es, los datos están ordenados de forma
correlativa respecto del tiempo. En fórmulas, se trata de trabajar con conjuntos de
valores de la forma {X t t = 1,2,..., N }.
En esencia, el análisis de datos temporales se reduce a encontrar pautas o patrones que
se repiten más o menos exactamente a lo largo de ellas. Para las series meteorológicas,
por ejemplo, existe una pauta periódica de un año que se corresponde con el periodo de
traslación de la Tierra alrededor del Sol. Para datos tomados a intervalos muy cortos de
tiempo es posible distinguir la pauta diaria de día/noche asociada a la rotación de la
Tierra, y varias más. Todas estas pautas pueden ser sustraídas de la señal original
dejando un resto o residuo como resultado de este primer análisis:
X t = Pt + Rt
Sobre la señal residual se aplican las técnicas de la Estadística para extraer aquellas
informaciones que no fueron captadas en la primera fase del estudio. Una primera
investigación es investigar si el residuo es algún tipo de ruido, en cuyo caso la señal
básica se interpretaría como un comportamiento periódico modulado por fenómenos
asociados al azar.
2
Ahora bien, no todos los ruidos son iguales. Un ruido es simplemente una sucesión de
valores muestreados en una distribución estadística, por tanto son números alrededor de
un valor medio y distribuidos alrededor de él con un grado de agrupamiento que viene
dado por la varianza de la distribución. Así se puede hablar de ruidos Gaussianos,
uniformes, etc. Pero existe otra manera de clasificar los ruidos, atendiendo a si existe
correlación entre un valor y los anteriores, esto es, se calcula la función de
autocorrelación
g ( s ) =< Rt Rt −s >
que nos indica si para cada intervalo o distancia temporal s existe correlación entre los
ruidos correspondientes. Si es nula, esto es, no existe correlación para ningún valor de s
exceptuando el caso obvio en que s = 0 , donde no puede ser nula, se dice que el ruido
es blanco, lo cual es una forma abreviada de decir que carece de estructura de memoria
y en la predicción ésta se reducirá a la parte periódica de la señal básica más un
complemento puramente aleatorio que nos podrá informar, como mucho de unas
fluctuaciones medias y poco más.
Para datos climáticos el objetivo habitual es el da hallar periodicidades en la escala
decadal (decenas de años) o incluso superior. En este caso, la existencia de
correlaciones a largo plazo con valores previos se indica diciendo que el ruido es rojo,
lo cual indica la presencia de una memoria en el fenómeno estudiado, que puede ser
utilizada en la predicción. Hay métodos cuantitativos para apreciar el grado de rojez de
un ruido y poder establecer el horizonte de la predicción y demás cuestiones de interés
sobre el fenómeno estudiado (Caldeira et al. 2006).
El principal inconveniente de los estudios de series temporales es que obvian la
fenomenología subyacente, a menos de llevarse a cabo un estudio muy detallado de la
interpretación de las informaciones obtenidas (Fernández et al. 2003). Un ejemplo lo
aclarará mejor: Supongamos que se ha obtenido que determinada señal presenta una
pauta periódica de cuatro semanas detectada con el análisis de un ruido rojo. En ese
momento hay que preguntarse si verdaderamente existe alguna causa para esa
característica o, por el contrario, se trata de un artificio del aparato matemático. Por ello
es conveniente también combinar los estudios de series temporales con los modelos
teóricos procedentes de la aplicación de primeros principios.
Modelos teóricos
Un modelo es una representación simplificada de alguna parcela del mundo real. Por
ejemplo, las series temporales del apartado anterior son representaciones del mundo real
donde sólo se considera como descripción el dato de la variable que se haya elegido,
como podría ser la temperatura del aire.
Sin embargo, la Ciencia avanza sobre la construcción de Teorías (o “visiones”) que por
regla general se componen de partes o “modelos”. En este caso, un modelo es una
formulación de alguna parte de la teoría. Si nos hallamos en el mundo de la Física
utilizaremos casi sin dudar las Matemáticas para escribir un modelo, y por tanto recibirá
el nombre de “modelo matemático”. La inmensa ventaja del modelo matemático es que
permite aplicar a las ecuaciones o expresiones que lo conforman todo el aparato
deductivo de las Matemáticas y obtener resultados interpretables en términos físicos,
3
resultados que con toda seguridad no habrían sido previstos por la fase inductiva de
recopilación y clasificación de datos.
Para ver en acción esta forma de entender la Física, supongamos que deseamos estudiar
la dinámica atmosférica siguiendo a una partícula en el aire. La primera observación es
que se halla sometida a diferentes fuerzas, como la del viento, la presión atmosférica,
etc. Usando la segunda ley de Newton, escribiremos:
→
→
ma = F
para indicar la proporcionalidad entre la aceleración y la fuerza total a que se halla
sometida la partícula. Ahora bien, la fuerza total puede desmenuzarse en otras según el
grado de finura de nuestro análisis, de modo que
→
F = gradP +Coriolis + ...
Si además descomponemos las magnitudes vectoriales en sus tres componentes respecto
a algún sistema de referencia, tendremos las expresiones habitualmente denominadas
ecuaciones primitivas o de Euler. Dado que al introducir las diversas fuerzas
aparecieron otras magnitudes como la presión, la temperatura y alguna más, se han de
añadir a las ecuaciones derivadas de la ley de Newton las correspondientes a las nuevas
magnitudes, generando un modelo teórico al que se le pueden aplicar las técnicas
habituales de las Matemáticas. Para este caso se pueden establecer resultados de
existencia de soluciones, desarrollar aproximaciones cualitativas para conocer aspectos
de las soluciones, pero por desgracia no hay técnicas de resolución –integración de
ecuaciones diferenciales- que permitan obtener de forma explícita soluciones del
sistema planteado.
Este comportamiento es muy frecuente cuando se construyen modelos para hechos
físicos. Salvo que se haya seleccionado una versión muy simplificada a base de
despreciar diferentes relaciones y magnitudes, lo más corriente será encontrarse con
expresiones de las que sólo se pueden obtener soluciones de modo aproximado, que
pueden calcularse mediante métodos numéricos. Pero antes de pasar a los modelos
numéricos conviene insistir en la necesidad de formular modelos teóricos.
Tales modelos están basados en la experiencia acumulada por especialistas y suelen
descansar sobre una comprensión profunda de la fenomenología de lo que se desea
estudiar, al contrario de lo que pasaba, por ejemplo, con los análisis de series
temporales, donde la interpretación es siempre a posteriori. Por tanto, si se han
formulado con las necesarias dosis de simplificación y sabiduría en la elección de las
magnitudes y relaciones fundamentales, los modelos teóricos son la base más sólida
para un estudio provechoso de cualquier fenómeno físico.
Modelos Numéricos
Los modelos numéricos son hijos del desarrollo tecnológico, aunque no debe pensarse
que lo sean sólo desde que existen ordenadores. Las técnicas de cálculo numérico para
hallar soluciones de ecuaciones algebraicas, de integrales definidas, para la integración
de ecuaciones diferenciales ordinarias y de algunas en derivadas parciales, aparecieron
4
de forma gradual a lo largo del Siglo XVIII y del XIX y fueron implementadas en
grandes hojas de cálculo manual, luego suplementadas por calculadoras básicas
manejadas por verdaderos ejércitos de calculistas –por regla general eran mujeres- que
alimentaban sus máquinas con las operaciones elementales a que se reducen en última
instancia los cálculos numéricos. Mucho antes de la existencia de máquinas electrónicas
ya se conocían resultados teóricos y prácticos acerca de las condiciones bajo las que las
soluciones de las aproximaciones numéricas se podían considerar razonablemente
aproximadas a las soluciones –por otra parte no conocidas explícitamente- de las
ecuaciones de los modelos teóricos. Entre estos resultados teóricos se encuentra, para
las ecuaciones en derivadas parciales, el cálculo del número de condición o de CourantFriedrichs y Levy (CFL) que relaciona el tamaño de los pasos espacial y temporal de la
integración. Si no respeta la condición dada por el número CFL, el cálculo se
inestabiliza y resulta inútil a efectos prácticos.
Sin embargo, la popularización de las máquinas electrónicas y su imparable velocidad
de crecimiento en complejidad, capacidad de memoria, rapidez en los cálculos, etc., han
conseguido que los esquemas numéricos utilizados para la resolución de las
aproximaciones de las ecuaciones de los modelos teóricos conformen por sí mismos una
nueva categoría de modelos, en especial cuando se trata de situaciones de gran
complicación por el elevado número de variables, o lo extenso de los dominios espaciotemporales que deben discretizarse y controlar por tanto el crecimiento de las fuentes de
error en los cálculos aproximados.
Para hacernos una idea del volumen de los cálculos que pueden intervenir en un modelo
numérico, pensemos en un programa de ordenador ideado para evaluar velocidad de
viento, concentración de varios gases de efecto invernadero y temperatura a nivel
hemisférico con una malla espacial de unos100 km de lado y dividiendo la atmósfera en
veinte capas. Para una extensión de 4000 por 3000 km, más o menos la parte continental
de los Estados Unidos, se requerirían 40 × 30 × 20 = 24000 nodos donde efectuar el
cálculo. Si el número de variables que se van a determinar es de 10, habrá que resolver
sistemas numéricos de 240000 ecuaciones, y dado que cada ecuación requiere un
número de operaciones elementales, que podríamos fijar en 10000 (estimación muy
conservadora), una determinación de las 10 variables necesitará como mínimo 2400
millones de operaciones. Pero en la predicción hay que llevar a cabo esa determinación
muchísimas veces, una tras otra, utilizando la anterior como punto de partida de la
siguiente. El número de veces que hay que repetir el cálculo depende de varios factores,
entre ellos del número CFL, pero no es arriesgado decir que una predicción
meteorológica razonable necesite calcular una determinación para cada cinco minutos.
Eso indica que en una predicción a un día harían falta 24 × 12 = 288 repeticiones de los
2400 millones de cálculos elementales, esto es, unas 7 × 1011 operaciones que han de
realizarse, con todo su proceso de control de ejecución y generación de resultados en
formatos comprensibles en bastante menos de las 24 horas de la predicción.
Lo anterior nos muestra de nuevo que es razonable pensar en que por sí solos los
modelos numéricos bien merecen ser considerados una categoría nueva, separada de las
otras clases de modelos predictivos. Dado que el análisis interno de los modelos
numéricos se lleva a cabo de nuevo con técnicas matemáticas, existen matemáticos y
expertos en computación cuya tarea es el estudio de esta clase de modelos como si
fuesen una nueva clase de fenómenos físicos (o tecnológicos).
5
Los resultados o output de los modelos numéricos se analizan de nuevo con ayuda de
los métodos estadísticos tradicionales para comparar su desempeño en situaciones
conocidas (simulación) y así ser utilizados después, ya de modo efectivo, en la
realización de predicciones.
Los Modelos de la Climatología
Las características esenciales de los modelos utilizados por los grandes institutos y
agencias dedicados a la Climatología son las siguientes:
• En principio, utilizan las mismas ecuaciones dinámicas que los modelos
meteorológicos, pero para variables promediadas espacial y temporalmente.
• Suelen extenderse espacialmente al menos a un hemisferio terrestre.
• Están estructurados en submodelos, uno para cada característica que se estime
conveniente incluir:
1. Submodelo atmosférico
2. Submodelo oceánico
3. Submodelo de casquetes polares
4. Submodelo de asimilación de datos
5. Otros…
• En función de cómo se consideren las partes atmosférica y oceánica, las dos
grandes divisiones son
1. Modelo combinado de circulación general atmosférica (AGCM) con un
modelo más sencillo de océano, por lo general de orden cero (sin
derivadas). Sobre este punto volveremos algo más adelante.
2. Modelo de doble circulación general, tanto atmosférica como oceánica
(AGCM + OGCM).
3. También existe el punto de vista de que la Climatología es una cuestión
puramente oceánica, siendo la atmósfera un simple sistema esclavo del
océano, lo cual llevaría a contemplar modelos del tipo OGCM acoplados
a modelos muy sencillos de atmósfera, como el tipo 1 pero al revés.
Aquí no entraremos en los detalles de los diversos modelos. Baste saber que
prácticamente cada servicio meteorológico y climático posee el suyo, o un conjunto de
ellos. Pero sí presentaremos algunas ideas acerca de cómo se trabaja con ellos. La
técnica de trabajo presenta las siguientes etapas típicas:
•
•
•
Establecido el modelo, se plantea un escenario inicial, esto es, el conjunto de
condiciones iniciales para lanzarlo.
Algunas de las características del escenario inicial pueden ser variables de
carácter exógeno, con variaciones en principio independientes de las de las
variables típicamente climáticas. Tal es el caso de los gases de efecto
invernadero: Para ellos se puede considerar que evolucionan según el protocolo
de Kioto, o no. Esta evolución es incorporada a lo largo de la simulación, con lo
cual el modelo correrá de diferente manera y ofrecerá diferentes proyecciones o
escenarios futuros como resultado.
Con los mismos escenarios iniciales, se cambia un modelo por otro y se
comparan los resultados de ambos. Existen estudios de comparación de hasta 15
ó veinte modelos simulando a partir de las mismas condiciones iniciales, y no
siempre generan los mismos escenarios para el futuro.
6
•
•
Se utiliza el submodelo o módulo de asimilación de datos para ir variando las
entradas al modelo general según éste va corriendo, con lo cual se puede ir
alargando el horizonte de predicción.
Como producto final se suele ofrecer un abanico de posibles futuros
promediados obtenidos a partir de una selección de modelos y de escenarios
iniciales.
La utilidad que se le pueda dar a estos productos finales dependerá de los gestores
ambientales, que son quienes tienen el poder de tomar decisiones en cuestiones de tanta
importancia como la limitación de emisiones de gases de efecto invernadero, su
cuantificación en términos de externalidades económicas, o el establecimiento de
mercados de derechos de emisión, etc.
Algo más sobre modelos mixtos GCM+conceptual
Abandonando el campo de la política y restringiendo nuestro estudio a algunos aspectos
puramente científicos, existen en la actualidad dos tendencias en la profundización de la
comprensión del clima y sus variaciones:
•
•
Usar modelos numéricos, cuanto más sofisticados y potentes, mejor…, pero
plantean el problema de que la imprecisión de las condiciones suplementarias
dificulta o impide la predicción. Como ya hemos dicho antes, el proceso de
asimilación de datos ayuda a paliar este problema.
Por ello se tiende, al menos en una primera etapa, y a modo de guía preliminar,
a combinar modelos numéricos con modelos conceptuales.
Esta filosofía se utiliza esencialmente, para hacer más cómoda la predicción. Por
ejemplo, un modelo global del tipo AGCM+OCGM es mucho más complicado de
controlar, matemáticamente hablando, que un modelo mixto AGCM+conceptual u
OGCM+conceptual, y puede ocurrir que las predicciones sean de igual calidad con un
coste, tanto computacional como económico, mucho menor.
Vamos a comentar un modelo conceptual que puede transformarse en diferentes
modelos mixtos: El modelo de Bretherton y Battisti para la NAO (North Atlantic
Oscillation, Oscilación del Atlántico Norte), presentado el año 2000 (Modelo BB2000).
Véase Bretherton & Battisti 2000. Las ecuaciones del modelo son las siguientes, a las
que hay que añadir condiciones iniciales (SST: Sea Surface Temperatura, temperatura
superficial del mar), donde ε es un parámetro pequeño para indicar que la variación de
la SST es lenta con relación a las variaciones atmosféricas:
dNAO
= − aNAO + bSST + R (0,1)
dt
dSST
= ε [cNAO − dSST ]
dt
Un breve análisis de este modelo nos dice lo siguiente:
•
BB2000 no presenta, a priori, capacidades predictivas a plazo superior a unos
pocos meses, debido a que la SST está determinada por el ruido atmosférico
7
•
•
•
Sin embargo, los experimentos muestran que reproduce bastante bien las
características básicas descritas por modelos más complejos.
Sin el término de ruido R (0,1) el sistema es lineal, sus elementos básicos son la
b ⎤
⎡− a
traza y el determinante de la matriz ⎢
⎥ . Para valores adecuados de los
⎣ εc − εd ⎦
parámetros se consigue que el origen sea estable, bajo las condiciones:
Det = ε ( ad − bc ) > 0 y Traza = −( a + εd ) < 0 .
Pero la introducción del término ruidoso cambia la estabilidad del origen,
originando oscilaciones. En términos matemáticos, se ha producido una
bifurcación de Hopf estocástica (Banerjee et al. 2000)
Vemos aquí la NAO (azul, más abrupta) y la SST (roja, más lisa) asociada a ella según
el modelo BB2000
1: NAO
1:
2:
2: SST
3
0
2
1
1:
2:
2
1
0
2
1
1
1
2
1:
2:
-2
-0
0.00
45.00
Page 1
90.00
Time
135.00
180.00
NAO (azul) y SST
Figura 1: NAO y SST según BB2000 (realizada con STELLA).
donde hemos utilizado la siguiente realización de ruido blanco Gaussiano N (0,1) :
1: Ruido
1:
4
1
1:
1
1
1
1
1:
Page 1
-3
0.00
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Time
135.00
180.00
Realización del ruido blanco
Figura 2: Realización de ruido utilizada en la obtención de la Figura 1 (realizada con STELLA).
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Se observa la pauta general de que una de las señales sigue a la otra con un ligero
retardo. Ello indica que si se conoce una de ellas, obtenida por ejemplo a partir de un
modelo AGCM u OGCM, se podrá utilizar para predecir la otra. Como siempre,
quedará abierto el problema de cuál es la causa y cuál es el efecto.
Por tanto, los experimentos realizados a partir del modelo BB2000 han sido:
•
•
•
•
Experimentos sólo con BB2000
Acoplar la parte SST con un AGCM
Acoplar la parte NAO con un OGCM
Aplicar las técnicas de análisis de datos a los outputs de estas combinaciones
Por ejemplo, los experimentos sólo con BB2000 llevan la siguiente pauta:
1.
2.
3.
4.
Generar una solución y guardar la SST resultante.
Resolver la parte NAO de BB2000 varias veces con la SST anterior fijada
Promediar los resultados obtenidos
Calcular la correlación entre esta NAO media y la SST
Los experimentos mixtos serán, pues, de dos tipos: El primero, utilizar la señal generada
de SST por BB2000 como si fuera un dato observacional y alimentar con ella el modelo
AGCM para calcular la NAO; el segundo, usar la señal NAO generada por BB2000
como entrada al modelo OGCM que nos dará la SST. Pueden verse resultados de estos
experimentos en Eden & Greatbatch 2003.
Conclusiones
Las conclusiones científicas de esta ponencia son tres, muy simples:
•
•
•
La predicción climática es inseparable de la formulación de modelos.
No siempre los modelos más complicados son los mejores, si no se someten a
comparación con modelos simples que todavía conservan las ideas físicas
primitivas.
Queda un inmenso esfuerzo por hacer en la comprensión de la complejidad del
sistema climático, de las fuerzas que lo impulsan y de las posibles
perturbaciones a que se halla sometido y que pueden modificar drásticamente su
comportamiento futuro.
Referencias
Banerjee S, Bhattacharya R, Chakrabarti C (2000) Shift of bifurcation point due to noise
induced parameter, Int. J. Math.& Math. Sci. 23(6), pp.435-439.
Bretherton C, Battisti D (2000) An interpretation of the results from atmospheric
general circulation models forced by the time history of the observed SST distribution,
Geophys. Res. Letters 27(6), pp. 767-770.
Caldeira R, Fernández I & Pacheco J (2006) On NAO's predictability through the DFA
method. Meteorology and Atmospheric Physics. Online: 15 Nov 2006.
9
Eden C, Greatbatch R (2003) A damped decadal oscillation in the North Atlantic
Climate System, J. Climate 16, pp.4043-4060.
Fernández I, Hernández C, Pacheco J (2003) Is the NAO just a pink noise? , Physica A
323, pp.705-716.
Fernández I, Pacheco J (2000) Bases para la predicción de ENSO, In E. Hernández and
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Complutense and Fundación MAPFRE.
Gimeno L, García R, Pacheco J, Hernández E, Ribera P (2001) Predictability of global
surface temperature by means of nonlinear analysis, Earth & Planetary Science Letters
184, pp. 561-565.
Pacheco J, Hayek N (1997) Climate, Mathematics, and the Canary Islands. In Díaz, J.I.
(ed) The Mathematics of Models for Climatology and Environment (411-418), Springer
Verlag (NATO ASI Series I, Nº 48).
10