Unidad 3_Cónicas Respuestas faltantes edic 2006

Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal
Editorial Mc Graw Hill. Edición 2007
Kozak – Pastorelli – Vardanega
Capítulo 3: Secciones Cónicas (Autor Sonia Pastorelli).
Respuestas ejercicios edición 2007
Sección 3.3: Transformación de coordenadas
Ejercicio 3-1
Respuesta:
a) Simetría respecto de ambos ejes y respecto del origen.
b) Simetría respecto de ambos ejes y respecto del origen,
c) Simetría respecto del eje x.
d) Simetría respecto del eje y,
e) Simetría respecto de ambos ejes y respecto del origen.
f) sin simetría respecto de los ejes y el origen.
g) Simetría respecto del origen, sin Simetría respecto de los ejes.
h) Simetría respecto de ambos ejes y respecto del origen
Ejercicio 3-2
Respuesta:
a) y + x + 1 = 0
b) y + x − 1 = 0
c) (1 − 3 ) y − (1 + 3 ) x − 2 = 0
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Sección 3.5: Circunferencia
Ejercicio 3-3
Respuesta:
Circunferencia de centro C(1, –2) y radio r = 2.
2
2
La ecuación es equivalente a ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4
Ejercicio 3-4
Respuesta:
No representa una circunferencia sino representa un punto C(–2, –1).
La ecuación es equivalente a ( x + 2 ) + ( y + 1) = 0
2
2
Ejercicio 3-5
Respuesta:
( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 10
Ejercicio 3-6
Respuesta:
2
1
29

x2 +  y +  =
2
5

Ejercicio 3-7
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Respuesta:
A(- 1;1)
 7 −1
y B ; 
5 5 
Ejercicio 3-8
Respuesta:
100 x + 300 y = 195
Se debe probar que el sistema 
es incompatible
2
2
( x + 1) + ( y + 2) = 8
Ejercicio 3-9
Respuesta:
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(x − 5 4 ) + (y − 5 2 )
2
2
= 85
16
Ejercicio 3-10
Respuesta:
( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 8
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Sección 3.6: Elipse
Ejercicio 3-11
Respuesta:
a) Familia de elipses con eje focal paralelo al eje y, simétricas respecto de éste, de eje mayor 8 y eje
menor 4.
x 2 ( y − 20 ) 2
x 2 ( y + 20 ) 2
b)
+
=1 y
+
= 1.
4
16
4
16
c) c1) k = 0 ; c2) k = −2 ; k = 6 c3) k = 3 − 2 3 c4) ∃/ .
Ejercicio 3-12
Respuesta:
2
2
1
5


x − 
y+ 
2
2
a) 
+
=1
16
64
2
2
1
5


y+ 
x − 
2
2

b) No representa ningún lugar geométrico. Ecuación 
= −1
+
16
64
3
3
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2
c) Representa el punto (0,5 ; − 2,5) Ecuación:  x −

2
1

x
−


2
d) Representa una circunferencia Ecuación 
16
5

y+ 
2
1
2

=0 .
 +
2
4
2
5

y
+


2
+
= 1.
16
Ejercicio 3-14
Respuesta: 100 y 2 + 324 x 2 − 648 x − 1701 = 0 ; 100 x 2 + 324 y 2 − 200 x − 1925 = 0
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Sección 3.7: Parábola
Ejercicio 3-16
Respuesta:
a) y = − x 2
b) ( y + 1) 2 = −4( x − 4)
c) ( y − 3) = 6 x − 15
d) y 2 = 8( x + 2)
2
Ejercicio 3-17
Respuesta:
a) F = (0;1) , V (0,3) ; r: y = 5
b) F = (2;1) , V (2,0) ; r: y = −1
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c) F = (1;−0,5) , V (1,−1) ; r: y = −1.5
d) F = (−0,25 ; 1) , V (0,5 , 1) ; r: 4 x = 5
Ejercicio 3-18
Respuesta:
Vértice
 1 3 ,
;


 2 2
lado recto 4. Ecuación − 9 + 4 x'+2 y '− y ' 2 .
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Sección 3.8 : Hipérbola
Ejercicio 3-19:
Respuesta:
b) x − ( y − 1) = 1
2
2
2
a) x − y = 1 y y − x 2 = 1
4
16
2
2
4
20
80
2
2
c) ( y − 1) − ( x − 1) 2 = 1 d) ( y − 1) − ( x − 1) 2 = 1 e) ( x + 1) − ( y − 1) = 1
2
3
2
3
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80
3
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Ejercicio 3-20:
Respuesta: : t ≤ − 15 ∨ t ≥ 15
Ejercicio 3-21:
Respuesta:
4y2 x2
4x 2 y 2
Familias
−
= 1 y 2 − 2 = 1.
9t 2 t 2
9t
t
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Ejercicio 3-22:
Respuesta:
( x + 3) 2 ( y + 4 ) 2
a)
9
−
16
b) x 2 − ( y + 4 ) = 1
2
=1
1
c) circunferencia
9
d) rectas.
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Sección 3. 9: Ecuación General de Segundo Grado en dos variables
Ejercicio 3-24:
Respuesta:
a) 23 − 2 x − x 2 − 12 y = 0 : Parábola cóncava hacia abajo con vértice en (−1,2) . Foco en (−1,−1) y
directriz y = 5 . Ecuación 12 y = −( x + 2) 2 .
b) 12 − 8 x + 4 x 2 + 18 y + 9 y 2 = 0 : Elipse con centro (1,−1) y focos (1 ± 5 / 6;−1) . Semiejes 1/3 y ½
.Ecuación
( x − 1) 2 ( y + 1) 2
+
= 1.
1
1
4
9
c) 2 y − y 2 = 5 + 8 x : Parábola que abre hacia la izquierda con vértice en (−0,5 ;1) . Foco en
1
2
(−2,5 ; 1) y directriz 2 x = 3 .Ecuación canónica − 8( x + ) = ( y + 1) .
2
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d) 18 x + 9 x 2 + 2 y − y 2 = 1 : Hipérbola con eje focal x = −1 . Focos en (−1 ± 10 ; 1) , centro en
(−1;1) , asíntotas y = 4 + 3 x ; y = −2 − 3 x . Ecuación canónica ( x + 1) 2 −
( y − 1) 2
=1
9
e) 2 y − y 2 = 0 Un par de rectas y = 0 ∧ y = 2
f) − 1 − 4t − 2 x − x 2 + 4t y = 0 : Parábola con vértice (−1,1) , directriz paralela al eje x y = k − c ,
abren hacia arriba si t es positivo y hacia abajo si es negativo. Foco en (−1 ; 1 + t ) Lado recto 4t. Si
t = 0 representa una recta ( x = 0 ). Forma canónica: 4t ( y − 1)) = ( x + 1)
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En el gráfico se representa t>0.
g) 4 y 2 + 16 x 2 − 16 x + 20 y + 779 = 0 : No representa ningún lugar geométrico (ecuación equivalente
2
2
1
5


a 4  y +  + 16  y −  = −750 ).
2
2


2
2
h) 4 y + 16 x − 16 x + 20 y + 29 = 0 : representa el punto (0,5 ; − 2,5) . geométrico (ecuación
2
2
1
5


equivalente a 4  y +  + 16  y −  = 0 ).
2
2


Sección 3. 10: Exectricidad y definición general de cónica
Ejercicio 3-24:
Respuesta:
2
Sección 3. 11: Ecuación General de Segundo Grado en dos variables
Ejercicio 3-25:
Respuesta: Las barras, numeradas del centro al los extremos tienen longitud:
L1=2,31m;
L2=2,58m;
L3=2,19m;
L4=3,01m;
L5=2,12m;
L6=3,51m;
L7=1,73m;
L8=3,61m
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Ejercicio 3-26:
Respuesta: a) 12 − 8 x + x 2 − 2 y + y 2 = 0 ; b) 40,84m 3 ; c) 2,01 m
Ejercicio 3-27:
Respuesta:
h=21 m
Ejercicio 3-28:
Respuesta:
Máxima distancia = 1,50895 10 8 Km (a+c). Mínima distancia = 1,46105 10 8 Km (a-c)
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Notar que al ser la excentricidad casi nula, la órbita “parece” circular, de ahí que la diferencia entre
máxima y mínima distancia es mucho menor a ellas, (diferencia 2c= 4,79 10 6 Km ). Ver
representación de la órbita a escala.
Sección 3. 12: Formas paramétricas de las cónicas
Ejercicio 3-29:
Respuesta:
b) y c) son circunferencias. c) es un segmento de recta. La curva a) se traza con computadora.
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Ejercicio 3-30:
Respuesta:
Ejercicio 3-31:
Respuesta:
a) y + 1 =
1
x−2
; b) y 2 − x 2 = 1 c) ( x − 2) 2 − ( y − 1) 2 = 1; x ≥ 2 d) x − 2 =
3
y +1
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Ejercicio 3-32:
Respuesta:
P (0;0) y P (1;1) ( λ = 0; t =
−π
y λ = 1; t = 0 respectivamente)
2
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