optimización con matlab - Listado de Páginas Web Docente

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA
INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
OPTIMIZACIÓN CON MATLAB®
MCs. Ing. Armengol Blanco Benito
Oruro, octubre 2004
1
OPTIMIZACIÓN CON MATLAB®
Armengol Blanco
L
a optimización, es una herramienta matemática poderosa que emplea el enfoque
científico para la asignación de recursos económicos y materiales para el logro de un
determinado objetivo al resolver problemas prácticos y reales. El tool box de
optimización de Matlab®, es una herramienta computacional interesante para resolver
problemas de optimización lineal y no-lineal.
Lo interesante de la solución de un problema de optimización, no es la solución misma, lo
importante son los multiplicadores de Lagrange-Karush-Kuhn-Tucker asociados con cada
restricción, es decir, los precios duales. Estos últimos permiten tomar decisiones para
mejorar la solución o considerar el cambio de las restricciones que pueden mejorar (ó
empeorar) la solución hallada.
En este texto, se presenta una aplicación a problemas típicos de la operación económica de
sistemas eléctricos, se hace hincapié en la interpretación de los parámetros del tool box de
optimización de Matlab®.
Un problema de optimización, queda formulado como:
min f ( x )
(1)
s. a :
g(x) = 0
h(x) ≤ 0
(2)
(3)
donde:
f()
g()
h()
x
Función objetivo
Restricción de igualdad
Restricción de desigualdad
Variable de decisión
Las funciones f(), g() y h() pueden ser funciones lineales y/ó no lineales. Las restricciones de
igualdad y de desigualdad pueden ser lineales y/o no lineales, entonces, el modelo se puede
explicitar con mayor detalle, por ejemplo para trabajar con Matlab [1], se utiliza la formulación
siguiente:
2
min f ( x )
s. a :
C eq (x) = 0
(4)
(5)
A eq ⋅ x = b eq (6)
C(x) ≤ 0
A⋅x≤b
L≤x≤U
donde:
Ceq()
Aeq
C()
A
beq
b
L, U
x
(7)
(8)
(9)
Restricciones de igualdad, estrictamente no lineales.
Matriz de las restricciones de igualdad lineales.
Restricciones de desigualdad, estrictamente no lineales.
Matriz de las restricciones de desigualdad lineales.
Lado derecho de las restricciones de igualdad.
Lado derecho de las restricciones de desigualdad.
Vectores de límites inferior y superior de las variables de decisión x.
Variables de decisión del problema.
Este modelo, se puede clasificar como un problema de optimización no lineal que
corresponde al ámbito de la programación matemática. Se tienen varios métodos de la
programación matemática para su resolución.
Este modelo, se puede resolver mediante la caja de herramientas de optimización del
MATLAB® [2], que tiene un comando fmincon para ese propósito.
fmincon
Determina el mínimo de una función multivariable con restricciones de igualdad y
desigualdad, lineales y no lineales. Todo problema de maximización puede ser convertido en
un problema de minimización al cambiar el signo la función objetivo.
Sintaxis
Las diferentes formas de emplear el comando fmincon, son las siguientes:
x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
[x,fval] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)
3
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)
Descripción [1]
Argumentos
Los argumentos que toma el comando fmincon, son los siguientes:
fun es un archivo de texto ASCII, con la extensión m, que contiene la función objetivo a
minimizar.
x0 punto inicial para la búsqueda de la solución.
A, b, Aeq, beq, lb, ub, definidas en el problema de optimización, corresponden a las
restricciones lineales.
nonlcon archivo extensión m que contiene las restricciones no lineales.
options opciones de los parámetros de optimización.
P1, P2, … parámetros de fun y nonlcon
Salidas
Las salidas que entrega el comando fmincon, son las siguientes
x vector solución
fval valor de la función objetivo
exitflag condición de terminación de fmincon
output estructura de la salida
lambda multiplicadores de Lagrange
grad gradiente de la función fun evaluada en el punto solución
hessian valor de la Hessiana
Mayores detalles, se puede consultar en el manual [1], páginas 4-30 al 4-42.
Las variables de los argumentos y salidas pueden tomar nombres cualesquiera, solamente
es necesario respetar el lugar de su ubicación.
Ejemplo 1 Problema de Programación no Lineal
Determinar el Despacho Económico de Carga de un Sistema Eléctrico de Potencia, cuyas
funciones de costos de generación, son las que siguen:
4
Función de Costo de Generación
⎡$⎤
⎢⎣ h ⎥⎦
Pmin
Pmax
[MW ]
[MW ]
F1 = 800 + 10.1 ⋅ P1 + 0.06 ⋅ P12 + 0.006 ⋅ P13
35
100
F2 = 350 + 6.0 ⋅ P2 + 0.07 ⋅ P22 + 0.006 ⋅ P23
45
125
F3 = 350 + 7.1 ⋅ P3 + 0.06 ⋅ P32 + 0.007 ⋅ P33
50
200
F4 = 800 + 7.2 ⋅ P4 + 0.07 ⋅ P42 + 0.006 ⋅ P43
47
200
La formula de pérdidas, es:
Pperd = 0.00008 ⋅ P12 + 0.00009 ⋅ P22
Ésta expresión significa que las unidades 1 y 2, son responsable de las pérdidas solamente.
La unidad 2 más que la 1.
La demanda:
PD = 200 MW
EL modelo de optimización, es:
N
Min FT =
∑ Fi ( P i )
i =1
s. a :
N
G = P D + P perd - ∑ P i = 0
i =1
min
max
Pi
≤ P i ≤ Pi
La función objetivo, está dado por:
FT =
N
∑ Fi (Pi ) = 2300 + 10.1 ⋅ P1 + 0.06 ⋅ P12 + 0.006 ⋅ P13
i =1
+ 6.0 ⋅ P2 + 0.07 ⋅ P22 + 0.006 ⋅ P23 + 7.1 ⋅ P3 + 0.06 ⋅ P32 + 0.007 ⋅ P33 +
+ 7.2 ⋅ P4 + 0.07 ⋅ P42 + 0.006 ⋅ P43
5
La restricción de igualdad:
N
G = P D + P perd - ∑ P i = 0
i =1
G = 200 + 0.00008 ⋅ P 2 + 0.00009 ⋅ P 2 − P1 − P2 − P3 − P4 = 0
1
2
Las restricciones de desigualdad, se reducen al acotamiento de las potencias generadas por
cada unidad:
P min ≤ P i ≤ P max
i
i
35 ≤ P1 ≤ 100
45 ≤ P 2 ≤ 125
50 ≤ P 3 ≤ 200
47 ≤ P 4 ≤ 200
El modelo de optimización se implementó en tres archivos tipo m: funobj.m, restricnl.m y
resolucion.m [1]. La primera contiene la función objetivo del problema, la segunda las
restricción de igualdad no lineal y la tercera contienen los parámetros del problema,
respectivamente.
En los parágrafos siguientes, se lista estos archivos.
funobj.m
function f=funobj(p)
F1=800+10.1*p(1)+0.06*p(1)^2+0.006*p(1)^3;
F2=350+6.0*p(2)+0.07*p(2)^2+0.006*p(2)^3;
F3=350+7.1*p(3)+0.06*p(3)^2+0.007*p(3)^3;
F4=800+7.2*p(4)+0.07*p(4)^2+0.006*p(4)^3;
f=F1+F2+F3+F4;
restricnl.m
function [c,ceq]=restricnl(p)
c=[]; % El problema no tiene restricciones de desigualdad no lineales
pd=200; % Demanda
ceq=[pd+0.00008*p(1)^2+0.00009*p(2)^2-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)];
% Restricción de igualdad no lineal
solucion.m
6
% Programa para resolver los problemas del 1er parcial de ELT3811 1/2003
p0=[40 50 55 55]'; % Punto de partida
A=[]; b=[]; Aeq=[]; beq=[]; % Matrices y vectores de las restricciones lineales: Vacio
lb=[35 45 50 47]'; % Límite inferior de generación
ub=[100 125 200 200]'; % Límite superior de generación
[p,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon('funobj',p0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, 'restricnl')
La ejecución del programa solucion.m, entrega la siguiente solución:
» solucion
Warning: Trust region method does not currently solve this type of problem,
switching to line search.
> In C:\MATLABR11\toolbox\optim\fmincon.m at line 190
In C:\MATLABR11\work\solu1.m at line 9
Optimization terminated successfully:
Magnitude of directional derivative in search direction
less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation
is less than options.TolCon
Active Constraints:
1
4
p=
49.2078
50.7749
50.0000
50.4431
fval =
7.6191e+003
exitflag =
1
output =
iterations: 7
funcCount: 43
stepsize: 1
algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
firstorderopt: []
cgiterations: []
7
lambda =
lower: [4x1 double]
upper: [4x1 double]
eqlin: [0x1 double]
eqnonlin: 60.0631
ineqlin: [0x1 double]
ineqnonlin: [0x1 double]
»
Interpretación de los Resultados
¾ Las primeras líneas indican que el método empleado no es el más adecuado para este
problema, pero la optimización fue exitosa.
¾ Las restricciones 1 y 4 están activas:
La restricción 1 corresponde a la restricción de igualdad, G: el cual debe satisfacerse.
La restricción 4 es la restricción de desigualdad de P3 se activa a su valor mínimo.
¾ Los resultados, son:
P1 = 49.2078
P2 = 50.7749
P3 = 50.0000
P4 = 50.4431
¾ El valor de la función objetivo, es:
FT = 7619.1 $/h
¾ La optimización terminó exitosamente: exitflag = 1, en 7 iteraciones y se utilizó un
algoritmo para tamaño medio; el método de búsqueda Cuasi Newton.
¾ El multiplicador de Lagrange (precio dual) de la restricción de igualdad, es:
eqnonlin: 60.0631. Es el costo marginal del sistema. Corresponde a la restricción G.
' dF (P )
Los costos marginales de las unidades Fi = i i , son:
dPi
8
F1' = 59.5902
F2' = 59.5142
F3' = 65.6000
F4' = 60.0631
La unidad 3, está saturada en su límite mínimo, y es la unidad más cara, pero debe operar
por estar programada –seguramente para tener un margen de reserva en giro u otra
consideración, está situación fue definida en el predespacho-. Las unidades 1 y 2 de acuerdo
a sus costos marginales se puede decir que son las más económicas, pero como son
responsables de las pérdidas del sistema están penalizadas y sus factores de penalización
son:
PFi =
1−
1
∂Pperd
∂Pi
1
PF1 =
= 1.0079
1 − 0.00016P1
1
PF2 =
= 1.0092
1 − 0.00016P2
Las unidades 3 y 4 tienen factores de penalización iguales a 1, es decir, su funcionamiento
no introduce pérdidas al sistema.
PF3 = 1
PF4 = 1
La unidad marginal, es la unidad 4, cuyo costo marginal es igual al costo marginal del
sistema.
Programación lineal
Si el problema de optimización queda formulado como un problema de programación lineal,
Matlab [2] tiene un comando para resolver este problema, es Linprog.
Linprog
Resuelve un problema de programación lineal.
Las diferentes formas de emplear el comando linprog, son las siguientes:
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
9
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval] = linprog(...)
[x,fval,exitflag] = linprog(...)
[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)
Descripción [1]
Argumentos
Los argumentos que toma el comando linprog, son los siguientes:
f vector columna que contiene los coeficientes de la función objetivo a minimizar.
x0 punto inicial para la búsqueda de la solución.
A, b, Aeq, beq, lb, ub, definidas en el problema de optimización, corresponden a las
restricciones lineales.
options opciones de los parámetros de optimización.
Salidas
Las salidas que entrega el comando linprog, son las siguientes
x vector solución
fval valor de la función objetivo
exitflag condición de terminación de fmincon
output estructura de la salida
lambda multiplicadores de Lagrange
Mayores detalles, se puede consultar en el manual [1], páginas 4-91 al 4-97.
Ejemplo 2 Problema de Programación Lineal
Es un ejemplo de fabricación de pinturas [3, 4], el modelo de optimización queda planteado
como un problema de programación lineal:
Maximizar Z= 3XE+2XI
Sujeto a:
XE+2XI ≤ 6
2XE+XI ≤ 8
-XE+XI ≤ 1
XI ≤ 2
XE; XI ≥ 0
función objetivo
restricciones
El problema tiene cuatro restricciones de desigualdad lineales. La cuarta restricción, se
puede tratarla como acotamiento de la variable de decisión XE. Por tanto, se tiene solamente
tres restricciones de desigualdad. El problema no tiene restricciones de igualdad lineales.
10
Se renombran las variables, XE; XI, por X1; X2, el modelo se implementó en un archivo
extensión m. prolineal.m, que se lista en el parágrafo siguiente:
prolineal.m
% Programa para resolver un problema de programación lineal
f=[-3 -2]'
A=[1 2
21
-1 1]
b=[6 8 1]'
Aeq=[]; beq=[];
lb=zeros(2,1)
ub=[100 2]'
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
La ejecución del programa dio la siguiente salida:
» prolineal
f=
-3
-2
A=
1
2
-1
2
1
1
b=
6
8
1
lb =
0
0
ub =
100
2
Optimization terminated successfully.
x=
3.3333
1.3333
11
fval =
-12.6667
exitflag =
1
output =
iterations: 7
cgiterations: 0
algorithm: 'lipsol'
lambda =
ineqlin: [3x1 double]
eqlin: [0x1 double]
upper: [2x1 double]
lower: [2x1 double]
» lambda.ineqlin
ans =
0.3333
1.3333
0.0000
»
Interpretación de los Resultados
La optimización fue exitosa, se utilizó la rutina ‘lipsol’; algoritmo para optimización de gran
escala. Fueron necesarias siete iteraciones.
Los resultados, son:
XE = 3.3333
XI = 1.3333
fval = -12.6667
El problema original, fue de maximizar, por tanto, el valor de la función objetivo es:
Z = 12.6667
12
Los multiplicadores de Kuhn-Tucker (precios duales), son:
µ1 = 0.3333
µ2 = 1.3333
µ3 = 0.0000
Las dos primeras restricciones, están activas y el tercer multiplicador indica que la tercera
restricción está inactiva
Referencias Bibliográficas
[1] Thomas Coleman, et al., Optimization Toolbox For Use with Matlab®. User’s Guide,
Version 2, January, 1999.
[2] Software, Matlab®. Versión 5.3, 1999.
[3] F.S. Hillier, G. J. Lieberman, Una Introducción a la Investigación de Operaciones. Mc
Graw-Hill, 3a Edición, México, 1991.
[4] A. Blanco, Operación Económica y Planificación de Sistemas Eléctricos de
Potencia. Apuntes de la asignatura, 2003.
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