Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante

Proyecto Fin de Carrera
Trabajo Fin de Grado
Ingeniería
de Ingeniería
Telecomunicación
Grado en
Aeroespacial
Formato
de Publicación
dede
laplaneo
Escuela
Optimización
del vuelo
deTécnica
aviones
Superior
de Ingeniería
comerciales
mediante control óptimo
Eulalia
Hernández
Autor:Autor:
F. Javier
Payán
Somet Romero
Franco
Espín
Tutor:Tutor:
Juan Antonio
José Murillo
Fuentes
Dpto.
deTeoría
Ingeniería
y Mecánica de Fluidos
Dep.
de laAeroespacial
Señal y Comunicaciones
Escuela
Técnica
Superior
de Ingeniería
Escuela
Técnica
Superior
de Ingeniería
Universidad
de Sevilla
Universidad
de Sevilla
Sevilla, 2014
Sevilla, 2013
Trabajo Fin de Grado
Grado en Ingeniería Aeroespacial
Optimización del vuelo de planeo de aviones
comerciales mediante control óptimo
Autor:
Eulalia Hernández Romero
Tutor:
Antonio Franco Espín
Profesor Ayudante Doctor
Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2014
Trabajo Fin de Grado:
Autor:
Tutor:
Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante control óptimo
Eulalia Hernández Romero
Antonio Franco Espín
El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:
Presidente:
Vocal/es:
Secretario:
acuerdan otorgarle la calificación de:
El Secretario del Tribunal
Fecha:
Resumen
En este trabajo se analiza el vuelo de planeo de un avión comercial de mínimo coste en presencia de viento. Se
han considerando restricciones a los estados asociadas a limitaciones operacionales en la velocidad calibrada
CAS y el número de Mach máximos de vuelo. El problema de mínimo coste, enteniendo este como suma del
coste del combustible y del coste de tiempo, se estudia haciendo uso de la Teoria del Control Óptimo.
El control óptimo sin restricciones es del tipo bang-singular-bang, apareciéndo tramos de CAS y Mach
constantes en las trayectorias restringidas. Se ha obtenido la trayectoria óptima sin necesidad de resolver el
problema de los adjuntos, que se han resuelto posteriormete para comprobar la optimalidad de la solución.
Los resultados se han presentado para un modelo lineal de viento y para un modelo aerodinámico del
Boeing 767-300ER, una aeronave típica comercial de pasajeros de fuselaje ancho y dos motores. Se analiza
el efecto sobre la trayectoria óptima del viento medio, el gradiente de viento, el peso y el Cost Index. Este
último parámetro, relación entre el coste del tiempo y el coste de combustible, resulta tener una enorme
influencia sobre la trayectoria óptima.
I
Abstract
The minimum-cost unpowered descent of a commercial aircraft in presence of winds is analysed in this
project. State constraints associated with operational limits in the maximum calibrated-airspeed and Mach
number are considered. The minimum-cost problem, including both fuel and time costs, is studied using the
Theory of Optimal Control.
The unconstrained optimal control is of the bang-singular-bang type, whereas constant CAS and Mach arcs
can be found in constrained trajectories. The optimal trajectory can be solved independently of the adjoints
problem, wich will be solved afterwards to verify the optimality of the solution.
The results are presented for a linear wind model and for an aerodynamic model of a Boeing 767-300ER,
a typical commercial, wide-body and twin-engine airliner. The effect on the optimal trajectory of the average
wind, wind shear, aircraft weight and Cost Index is analysed. This last parameter, ratio of time cost to fuel
cost, is shown to have a large influence on the optimal trajectory.
III
Índice
Resumen
Abstract
I
III
1. Introducción
1
1.1.
Objetivos y esquema del proyecto
1
2. Formulación del problema
2.1.
2.2.
2.3.
3
Hipótesis y ecuaciones del movimiento
Modelos
2.2.1. Modelo de aeronave
2.2.2. Modelo de tierra
2.2.3. Modelo de atmósfera
2.2.4. Modelo de viento
Problema de mínimo coste
2.3.1. Coste del planeo
2.3.2. Minimización
3
4
4
4
4
5
5
5
6
3. Planteamiento de la solución
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
9
Principio del Máximo: Condiciones Necesarias de Optimalidad
Arco singular
Restricción en la Velocidad Calibrada
Restricción en el Número de Mach
Estructura de la solución
Resolución numérica
3.6.1. Caso 1: bang-singular-bang
3.6.2. Caso 2: bang-singular-CAS-bang
3.6.3. Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang
3.6.4. Caso 4: bang-singular-Mach-CAS-bang
3.6.5. Caso 5: bang-Mach-CAS-bang
4. Resultados
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
9
10
11
13
14
14
15
16
17
17
18
21
Estructura de la solución
4.1.1. Arco singular
4.1.2. Trayectorias divisorias.
Efecto del Cost Index
Efecto del viento medio
Efecto del gradiente de viento
Efecto del peso
Actuaciones integrales.
Comprobaciones de optimalidad
21
21
22
24
27
30
32
34
38
5. Conclusiones y trabajo futuro
41
V
Índice
VI
Apéndice A.El problema de control óptimo
A.1.
A.2.
A.3.
A.4.
Planteamiento del problema de control óptimo sin restricciones
El Principio del Máximo de Pontryagin
Control óptimo singular
Problema de control óptimo con restricciones en las variables de estado.
43
43
44
45
46
Apéndice B.Modelo aerodinámico de Aeronave
47
Apéndice C.Desarrollo de expresiones
49
C.1.
C.2.
C.3.
C.4.
Atmósfera
C.1.1. Derivadas primeras
C.1.2. Derivadas segundas
Resistencia aerodinámica
C.2.1. Derivadas primeras
C.2.2. Derivadas segundas
Arco singular
Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach
C.4.1. Restricción en CAS
C.4.2. Restricción en Mach
Índice de Figuras
Índice de Tablas
Bibliografía
49
49
49
49
50
50
50
51
51
52
53
55
57
1 Introducción
L
a optimización de trayectorias ocupa un puesto fundamental en la industria aeronáutica. Gracias a esta
rama de la Mecánica del Vuelo, las aerolíneas tienen herramientas en su mano para evaluar y mejorar
las actuaciones de sus aeronaves, minimizando el consumo de combustible, el coste del vuelo o su impacto
ambiental.
Teniendo en cuenta la gran cantidad de dinero que mueve esta industria y sus inmesas implicaciones en la
economía de cada país, no es de extrañar que esta disciplina esté ampliamente estudiada.
En concreto, en este proyecto se analiza el trayecto de descenso de la aeronave. Este problema puede
abordarse desde diferentes puntos de vista, según la función objetivo que desee optimizarse:
• Minimización del tiempo de vuelo.
• Maximización del alcance o, lo que es lo mismo para el caso de descensos no propulsados, minimización
del consumo de combustible.
• Minimización del coste de vuelo.
• Minimización del impacto ambiental o de la contaminación acústica.
Entre los métodos de resolución de este tipo de problemas destaca el Cálculo de Variaciones o Cálculo
Variacional. Este método es el más general y consiste en encontrar las funciones que hacen óptimo un
funcional. En oposición a otros métodos menos generales como el de optimización paramétrica, las funciones
que conforman la solución son variables en el tiempo, radicando aquí el gran alcance de este método pero
también su complejidad.
El método usado en este proyecto es una ampliación del Cálculo Variacional llamada Control Óptimo.
Nacida a finales de los años 50, se trata de una herramienta muy usada debido a su flexibilidad que, unida a la
potencia de cálculo que ofrecen los ordenadores de hoy en dia, hace que sea capaz de resolver casi cualquier
problema de optimización.
1.1 Objetivos y esquema del proyecto
El objetivo de este proyecto es encontrar la ley de control óptima que minimice el coste del descenso no
propulsado de un avión comercial de pasajeros, con unas condiciones iniciales y finales en velocidad y altitud
dadas y en presencia de viento. En esta optimización se va a tener en cuenta tanto el coste de combustible
como el coste de tiempo de vuelo.
Para ello, se pleantea el problema y su solución utilizando las ecuaciones de la Mecánica del Vuelo y del
Control Óptimo. El problema se particulariza para un modelo de aeronave de un Boeing 767-300ER y para
un perfil de vientos en la misma dirección que la aeronave y lineales con la altitud.
En primer lugar se formulará el problema en el Capítulo 2 donde, de forma general, se plantearán las
ecuaciones que gobiernan la trayectoria de descenso de la aeronave y el problema de optimización. A
continuación, en el Capítulo 3 se abordará el problema desde el punto de vista de la Teoría del Control
1
2
Capítulo 1. Introducción
Óptimo, obteniéndose las ecuaciones que constituyen la solución al problema. En el Capítulo 4 se presentan
los resultados obtenidos y se analiza el comportamiento de la solución en función de los parámetros del
problema. Por último, se presentarán las conclusiones en el Capítulo 5. Además, en los Anexos A, B y C se
hace una introducción al Control Óptimo, se presenta el modelo aerodinámico utilizado y se incluyen ciertas
expresiones que, por hacer más claro el documento, no se desarrollan en capítulos anteriores.
2 Formulación del problema
E
n el presente capítulo se plantea el problema del planeo desde el punto de vista de la Mecánica del Vuelo,
formulando las ecuaciones que gobiernan la trayectoria de descenso de la aeronave. También se define
el criterio de optimización y se describen los modelos necesarios para el desarrollo del problema.
2.1 Hipótesis y ecuaciones del movimiento
En general, los aviones comerciales realizan el descenso con un empuje mínimo (motores al ralentí o idle
rating) con el fin de mantener los motores en funcionamiento y suministrar energía a sistemas auxiliares
de la aeronave. En este proyecto se va a simplificar el problema estudiando el vuelo de planeo, es decir, el
descenso con empuje nulo.
Se estudiará el avión como un cuerpo rígido puntual con tres grados de libertad, dejando al margen el
problema de estabilidad y control de la aeronave. También se considerará que el vuelo es simétrico y contenido
en un plano vertical, esto es, fijando un rumbo constante.
Adicionalmente, se van a establecer las siguientes hipótesis:
- Peso constante (Ẇ = 0)
- Ángulo de asiento de la velocidad aerodinámica pequeño (γ 1). Lo que conlleva senγ ≈ γ, cosγ ≈ 1
y sen2 γ ≈ 0.
- Aceleración normal a la trayectoria despreciable (γ̇ ≈ 0)
- Viento horizontal y dependiente con la altitud.
De esta forma, el sistema de ecuaciones que define el problema es:
dx
dt
dh
dt
dV
dt
L
= V + w(h)
(2.1)
= Vγ
(2.2)
D(h,V )
dw(h)
− gγ −V
γ
m
dh
= mg
(2.3)
= −
(2.4)
Este sistema, formado por tres ecuaciones diferenciales (2.1, 2.2 y 2.3) y una algebraica (2.4), relaciona
tres variables de estado (altitud h, velocidad aerodinámica V y distancia horizontal recorrida x) y una variable
de control (ángulo de trayectoria γ). La resistencia aerodinámica D(h,V ) es una función conocida.
Las ecuaciones 2.1 y 2.2 definen, respectivamente, la cinemática horizontal y vertical. Por otro lado, en las
ecuaciones 2.3 y 2.4 se establece el equilibrio de fuerzas horizontales y fuerzas verticales.
En cuanto a las condiciones de contorno del problema, se fijan unas condiciones iniciales ho ,Vo y xo y
unas condiciones finales h f y V f determinadas, dejando como incógnita el alcance x f . Además, la variable
de control γ se encuentra acotada entre unos valores γmin y γmax .
3
4
Capítulo 2. Formulación del problema
2.2 Modelos
En este apartado se describen los modelos de aeronave, tierra, atmósfera y viento usados en el trabajo.
2.2.1
Modelo de aeronave
Se ha usado el modelo de un Boeing 767-300ER, una aeronave comercial típica de pasajeros, con dos motores
a reacción y fuselaje ancho, cuyas características aerodinámicas se presentan en el Apéndice B.
Este tipo de aviones opera en regimen subsónico pero a números de Mach lo suficientemente elevados como
para tener en cuenta los efectos de la compresibilidad, por lo que el coeficiente de resistencia aerodinámica
CD dependerá tanto del coeficiente de sustentación CL como del Mach de vuelo M.
CD = CD (CL ,M)
(2.5)
La polar del avión queda definida en el Apéndice B.
Haciéndo uso de la definición de CD y CL y de la ecuación 2.4 se obtiene la expresión de la resistencia
aerodinámica como:
1
D = ρV 2 SW CD (CL ,M)
2
(2.6)
con
CL =
mg
1
2
2 ρV SW
(2.7)
siendo M = V /a el número de Mach (donde a es la velocidad del sonido), ρ la densidad del aire y SW la
supecie alar de referencia.
Además de proporcionar los datos necesarios para la resolución del sistema de ecuaciones, el modelo de
aeronave aporta unas restricciones adicionales al problema de optimización que van a influir notablemente
en los resultados.
Estas restricciones, relacionadas con limitaciones puramente físicas de la aeronave, son la Velocidad
Calibrada Máxima de Operación (VMO ) y el Número de Mach Límite de Operación (MMO ).
Estas limitaciones acotan la Velocidad Calibrada CAS y el número de Mach M que es capaz de alcanzar la
aeronave. En concreto, para el Boeing 767-300ER, estos límites son:
CASmax = 360 kt
2.2.2
Mmax = 0.86
(2.8)
Modelo de tierra
Se va a usar la hipótesis de tierra plana así como un sistema de referencia topocéntrico, válido para vuelos
cortos. Además, se va a suponer que la aceleración de la gravedad se mantiene constante con la altitud, siendo
el valor de esta g = 9.80665 m/s2 .
2.2.3
Modelo de atmósfera
El modelo de atmósfera empleado es el de la Atmósfera Estándar Internacional (ISA). Este modelo, partiendo
de la hipótesis de que la temperatura T varía linealmente con la altitud h, utiliza la fluidostática para definir
las presión p, densidad ρ y velocidad del sonido a en función de esta.
En este proyecto solo se estudiará el vuelo en la troposfera (por debajo de los 11 km de altitud), de forma
que las ecuaciones que definen la atmósfera, asi como las constantes usadas en estas, son las que se describen
a continuación:
2.3 Problema de mínimo coste
T
p
ρ
a
(2.9)
= To + αh
g
h − Rg α
= po 1 + α
To
g
h −( Rg α +1)
po
1+α
=
Rg To
To
R
α
g
p −
2g
= ao
po
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Tabla 2.1 Constantes de la Atmósfera ISA.
2.2.4
Parámetro
Símbolo
Unidades
Valor
Gradiente de temperaturas en la troposfera
α
K/m
−6.5 · 10−3
Temperatura a nivel del mar
To
K
288.15
Presión a nivel del mar
po
Pa
101326
Constante de los gases para el aire
Rg
J/(KgK)
287.053
Velocidad del sonido a nivel del mar
ao
m/s
340.3
Modelo de viento
En cuanto al viento, va a usarse un modelo lineal donde la velocidad del viento varia con la altitud de la
siguiente forma:
w(h) = w + ∆w
h−h
hi − h
(2.13)
donde, dadas una altitud inicial hi y una altitud final h f determinadas, h = (hi + h f )/2 es la altitud media,
w = w(h) la velocidad del viento media y ∆w el gradiente de viento.
El parámetro ∆w define el valor de dw/dh
w0 =
dw(h)
2∆w
=
dh
hi − h f
(2.14)
siendo el caso ∆w = 0 kt el de viento constante con la altitud. Para que la variación del viento sea físicamente
coherente, se deben cumplir dos condiciones que acotan el valor de ∆w:
- El viento aumenta con la altitud: sign(w) = sign(∆w).
- El viento no debe cambiar de sentido: |w| ≥ |∆w|
2.3 Problema de mínimo coste
La ley de pilotaje o ley de control que determina una trayectoria se construye atendiendo a un criterio de
optimización determinado. Por ejemplo, puede minimizarse el consumo de combustible, el tiempo de vuelo
o maximizarse el alcance. En este problema, el criterio seleccionado es la minimización del Coste Operativo
Directo (DOC).
2.3.1
Coste del planeo
El Coste Operativo Directo, generalmente utilizado en el crucero, se define como la suma del coste del
combustible (cF ) y el coste de mantener la aeronave en vuelo (ct ), que suelen medirse en $/hr y cents/kg.
5
6
Capítulo 2. Formulación del problema
De esta forma, puede escribirse el DOC como:
DOC = cF mF + ct tT
(2.15)
Siento mF la masa final de combustible consumida y tT el tiempo total del vuelo.
El Coste Operativo Directo está por tanto medido en unidades monetarias. A la hora de realizar comparaciones, esta medida no es muy práctica debido a que los precios cF y cT dependen de factores económicos,
demográficos y sociales y, por lo tanto, son muy variables en el tiempo. Es preferible definir un coste medido
en los kg de combustible consumidos a lo largo del vuelo.
Con este objetivo se define el Cost Index: CI = ct /cF (medido en kg/s), de modo que expresión anterior
puede reformularse de la forma:
DOC =
DOC
= mF +CItT
cF
(2.16)
Se desea determinar la trayectoria de descenso que aporta la mínima contribución al DOC de la trayectoria
global. Esta claro que, al no consumirse combustible en el caso del planeo,conviene que este tramo tenga un
alcance lo más grande posible sin que tenga un tiempo de vuelo demasiado alto. Teniendo en cuenta esto, la
contribución de un descenso de alcance x f puede aproximarse por:
J = −Kx f +CIt f
(2.17)
con t f el tiempo empleado en el planeo y donde K representa el coste kilométrico del crucero, medido en
kg/m. Esta contribución del planeo al DOC establece el precio, medido en kg de combustible, que supone la
realización del descenso: el primer sumando representa el ahorro en coste frente a suponer que la distancia de
descenso x f se recorriese en crucero, mientras que el segundo sumando hace referencia al coste directamente
asociado a la realización del propio planeo.
Nótese que el coste del crucero K debe incluir tanto el coste de combustible como el coste temporal
asociados a él. Además, teniendo en cuenta que el crucero presenta un coste dependiente del Coste Index, el
parámetro K será una función de CI.
La elección de los valores K y CI, así como de las condiciones iniciales del planeo, deben elegirse
atendiendo a criterios de minimización del coste y partiendo de un modelo de consumo. Este estudio no se
llevará a cabo en este proyecto, donde se resolverá el problema para valores genéricos de K y CI. De este
modo, a lo largo del proyecto también se va a trabajar con el parámetro Ω (medido en m/s), que se define
como
Ω(CI) =
CI
K(CI)
(2.18)
Este parámetro va a tener una dependencia positiva con CI, lo que implica que para valores bajos de Ω el
alcance del planeo tendrá bastante peso en el problema de minimización mientras que para valores de Ω altos
será el tiempo de vuelo el predominante.
La función objetivo obtiene finalmente la expresión:
J = −x f + Ωt f
2.3.2
(2.19)
Minimización
El objetivo de este problema es, finalmente, maximizar el ahorro de combustible definido en la ecuación
2.17. Haciendo uso de las ecuaciones definidas en el Apartado 2.1 y teniendo en cuenta las restricciones en
el estado (Apartado 2.2.1), la formulación final del problema queda de la forma:
2.3 Problema de mínimo coste
Minimizar
sujeto a :
Z tf
J=
[− V + w(h) + Ω]dt
0
D
− gγ −V w0 γ
m
ḣ = V γ
V̇ = −
ẋ = V + w
con :
h(0) = ho
h(t f ) = h f
V (0) = Vo
V (t f ) = V f
x(0) = 0
C1 (V,h) ≤ 0
C2 (V,h) ≤ 0
γmin ≤ γ ≤ γmax
(2.20)
Donde C1 y C2 hacen referencia a la restricción en la velocidad CAS y a la restricción en Mach respectivamente.
7
3 Planteamiento de la solución
E
n este capítulo se resuelve el problema de mínimo coste formulado en el capítulo anterior usando la
teoría del control óptimo. Se desarrollan las ecuaciones que definen el control óptimo y se estudian los
diferentes tipos de soluciones que pueden aparecer. En el Anexo A se ha hecho una breve introducción a la
teoría del control óptimo, donde se pueden consultar los aspectos matemáticos utilizados para llevar a cabo
la resolución del problema.
3.1 Principio del Máximo: Condiciones Necesarias de Optimalidad
El Hamiltoniano del problema queda definido como:
D
+ gγ +V w0 γ + λhV γ + λx (V + w) + µ1C1(q) + µ2C2(q)
(3.1)
m
donde se ha aplicado la condición de normalidad η = 1. Las funciones µ1 (t) y µ2 (t) que acompañan a las
restricciones adoptan la siguiente expresión:
> 0 si C1 = 0
> 0 si C2 = 0
µ1
(3.2)
µ2
(3.3)
= 0 si C1 < 0
= 0 si C2 < 0
H = −(V + w) + Ω − λv
Las variables adjuntas λv , λh y λx se obtienen aplicando las ecuaciones dinámicas de los adjuntos
(ecuaciones A.7), que constituyen, después de la condición de no trivialidad, la segunda condición de
optimalidad:
λ̇v
λ̇h
λ̇x
1 ∂D
∂C(q)
∂C(q)
∂H
= 1 + λv
+ w0 γ − λh γ − λx − µ1 1 − µ2 2
∂V
m ∂V
∂V
∂V
(q)
(q)
∂C
∂C
1 ∂D
∂H
= w0 + λv
+V w00 γ − λx w0 − µ1 1 − µ2 2
= −
∂h
m ∂h
∂h
∂h
∂C1(q)
∂C2(q)
∂H
= −µ1
− µ2
= −
∂x
∂x
∂x
= −
(3.4)
Como se verá un poco más delante, C1(q) y C2(q) no van a depender explícitamente de t ni de x.
Se tiene entonces que λ̇x = 0 y, aplicando las condiciones de transversalidad (ecuaciones A.9) y teniendo
en cuenta que el alcance final no está determinado, se deduce:
λx (t f ) = 0
(3.5)
lo que, unido al resultado obtenido en la ecuación 3.4, desemboca en
λx = 0
(3.6)
Teniendo en cuenta que no se especifica t f , se puede aplicar la condición de transversalidad A.10 para obtener
H(t f ) = 0
9
(3.7)
10
Capítulo 3. Planteamiento de la solución
La condición de minimización del Hamiltoniano queda de la forma:
S=
∂C(q)
∂C(q)
∂H
= −λv (g +V w0 ) + λhV − µ1 1 − µ2 2 = 0
∂γ
∂γ
∂γ
(3.8)
Si además se aplica esta última condición y teniendo en cuenta que el tiempo t no aparece explícitamente
en la expresión de H, se deduce a partir de A.11 que, en la trayectoria óptima, este es constante y, usando 3.7:
H(t) = 0
Por último, la variable de control γ óptima será:

 γmax si S < 0
γ
si S = 0
γ∗ =
 arco
γmin si S > 0
(3.9)
(3.10)
donde γarco es el control óptimo en cada arco de la trayectoria, que se determinará en los siguientes apartados
y dependerá de si el arco corresponde o no a una de las dos restricciones.
3.2 Arco singular
En este apartado se va a determinar el control óptimo en los arcos de la trayectoria que no están sobre una
restricción, es decir:
C1 < 0,
µ1 = 0
C2 < 0,
µ2 = 0
(3.11)
El Hamiltoniano es por tanto:
H = −(V + w) + Ω − λv
D
m
+ gγ +V w0 γ + λhV γ
(3.12)
Puede apreciarse que el Hamiltoniano es lineal con la variable de control γ, por lo que puede escribirse de
la siguiente forma:
H = H + Sγ
(3.13)
Será necesario, por tanto, aplicar las ecuaciones de control óptimo singular al problema.
Las ecuaciones dinámicas de las variables adjuntas toman ahora la forma:
λ̇v
λ̇h
1 ∂D
∂H
= 1 + λv
+ w0 γ − λh γ
∂V
m ∂V
1 ∂D
∂H
0
= −
= w + λv
+V w00 γ
∂h
m ∂h
= −
(3.14)
El arco singular del problema queda definido haciendo que la función de conmutación sea cero (S = 0) a
lo largo de todo el arco (Ṡ = 0). Así, teniendo también en cuenta que en la trayectoria óptima H = 0, las
ecuaciones que definen el arco son:
H
S
Ṡ
D
=0
m
= −λV (g +V w0 ) + λhV = 0
∂D
∂ D i
D
λV h ∂ D
V −g
+ w0 D −
V − λh − g = 0
=
m ∂h
∂V
∂V
m
= −(V + w) + Ω − λV
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Manipulando las ecuaciones anteriores se llega a una expresión del tipo f (V,h) = 0 para el arco singular:
V
∂D
∂D
w−Ω D
− (g +V w0 )
−g
=0
∂h
∂V
(V + w) − Ω V
(3.18)
3.3 Restricción en la Velocidad Calibrada
El control óptimo singular se obtiene al igualar a cero la primera derivada temporal de S donde aparece
explicitamente el control γ. Al ser S̈ la derivada donde esto ocurre, se obtiene un arco de orden ξ = 1.
Derivando la ecuación 3.17 y sustituyendo con las ecuaciones 3.14 se obtiene una expresión de S̈ que tiene la
siguiente forma:
S̈ = A(V,h) + γB(V,h)
(3.19)
donde los valores de A(V,h) y B(V,h) se desarrollan en el Apéndice C.
Por tanto, el control óptimo singular está dado por la expresión
γsing = −
A(V,h)
B(V,h)
(3.20)
Finalmente, para garantizar la optimalidad debe verificarse la condición generalizada de Legendre-Clebsch
(ecuación A.17), que para este problema es:
B(V,h) ≤ 0
(3.21)
3.3 Restricción en la Velocidad Calibrada
Como se comentó en el Capítulo 2, el avión tiene una limitación física sobre la velocidad CAS máxima que
puede alcanzar, que para este problema es CASmax = 360 kt. Aparece entonces en el problema una restricción
de desigualdad en las variables de estado que toma la forma:
C1 (V,h) = V −VCAS (h) ≤ 0
(3.22)
Donde, siendo CASmax una constante, VCAS (h) viene dada por la expresión:
v
"
"
!1/k
#!k
#
u
u2
po
k ρo
t
2
VCAS (h) =
R T (h) 1 −
1+
CASmax
−1
−1
k g
p(h)
2 po
(3.23)
con k = (κ − 1)/κ y κ = 1.4 el coeficiente de dilatación adiabática del aire y el resto de variables y constantes
las definidas en la Atmósfera ISA (ver Apartado 2.2.3).
Para que la trayectoria permanezca en la restricción a lo largo de todo el arco, el control óptimo debe ser
tal que la primera derivada temporal de la restricción C1 (V,h) donde aparezca explícitamente el control sea
cero. En este caso, esto ocurre en la derivada primera, por lo que la restricción en CAS es una restricción de
primer orden.
D
dV (h)
dV (h) C˙1 (V,h,γ) = V̇ − CAS ḣ = −
+ gγ +V w0 γ +V γ CAS
=0
dh
m
dh
(3.24)
donde la expresión de dVCAS (h)/dh se desarrolla en el Apéndice C. El control óptimo γCAS en la restricción
queda entonces determinado por la ecuación:
γCAS =
−D/m
(h)
g +V w0 +V dVCAS
dh
(3.25)
El Hamiltoniano y las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en este arco toman la forma:
H = −(V + w) + Ω − λv
D
dV (h) + gγ +V w0 γ + λhV γ − µ1
+ gγ +V w0 γ +V γ CAS
m
m
dh
D
(3.26)
11
12
Capítulo 3. Planteamiento de la solución
λ̇v
λ̇h
1 ∂D
1 ∂D
∂H
dV (h) = 1 + λv
+ w0 γ − λh γ + µ1
+ w0 γ + CAS γ
∂V
m ∂V
m ∂V
dh
1 ∂D
1 ∂D
2
∂H
d
V
CAS (h)
V
γ
= −
= w0 + λv
+V w00 γ + µ1
+V w00 +
∂h
m ∂h
m ∂h
dh2
= −
con
µ1
> 0 si C1 = 0
= 0 si C1 < 0
(3.27)
(3.28)
Del mismo modo que ocurría en el arco singular, el Hamiltoniano es linear con el control. Aplicando la
condición de minimización del hamiltoniano y teniendo en cuenta que H(t) = 0, en la restricción deben
cumplirse las siguientes ecuaciones:
D
D
− µ1 = 0
m
m
(3.29)
H
= −(V + w) + Ω − λv
S
dV (h) =0
= λhV − λv (g +V w0 ) − µ1 g +V w0 +V CAS
dh
(3.30)
(3.31)
Adicionalmente a la ecuación 3.24, debe cumplirse a lo largo de la restricción la condición:
(3.32)
C1 (V,h) = 0
Teniendo en cuenta que la derivada de C1 es nula a lo largo del arco (ecuación 3.24), la condición anterior va
a cumplirse siempre que en el punto de entrada al arco de la restricción se de la condición de tangencia 3.32.
Esta condición va a traducirse en una discontinuidad en las variables adjuntas del problema en el punto de
entrada a la restricción que tendrán que cumplir las condiciones de salto que se describen a continuación.
Llamando te− y te+ a los instantes inmediatamente anterior y posterior al instante de entrada a la restricción
te y ts− y ts+ a los de salida, las condiciones de salto en los extremos de la restricción son:
λv (te− ) = λv (te+ ) + π1
∂C1 ∂V te
∂C λh (te− ) = λh (te+ ) + π1 1 ∂V te
∂C1 ∂V te
∂C λh (ts− ) = λh (ts+ ) + π 1 ∂V te
H(te− ) = H(te+ )
H(ts− ) = H(ts+ )
S(te− ) = S(te+ )
λv (ts− ) = λv (ts+ ) + π
(3.33)
S(ts− ) = S(ts+ )
(3.34)
Siendo π1 una constante. Se tendrá, por tanto, una discontinuidad a la entrada del arco de CAS constante
en las funciones λv y λh , mientras que a la salida de este van a permanecer constantes. Por otro lado, tanto el
Hamiltoniano como su derivada respecto al control serán constantes a lo largo de toda la trayectoria.
Por último, la nueva condición de optimalidad que debe verificarse en el arco para que la trayectoria sea
óptima es:
µ1 (t) ≥ 0 en la restricción C1 = 0
(3.35)
3.4 Restricción en el Número de Mach
3.4 Restricción en el Número de Mach
La segunda limitación de la aeronave es el Mach máximo en el que puede operar. En este problema, el límite
está en Mmax = 0.86. La expresión que define esta restricción en las variables de estado es ahora:
C2 (V,h) = V −VM (h) ≤ 0
(3.36)
VM (h) = Mmax a(h)
(3.37)
con
Del mismo modo que ocurrió en el apartado anterior, esta restricción es de primer orden, siendo su primera
derivada temporal dependiente de forma directa con el control γ.
D
dV (h)
dV (h) =0
C˙2 (V,h,γ) = V̇ − M ḣ = −
+ gγ +V w0 γ +V γ M
dh
m
dh
(3.38)
Así, puede obternerse el control óptimo γM de la siguiente ecuación:
γM =
−D/m
(3.39)
M (h)
g +V w0 +V dVdh
El Hamiltoniano y las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en este arco son las siguientes:
H = −(V + w) + Ω − λv
λ̇v
λ̇h
D
dV (h) + gγ +V w0 γ + λhV γ − µ2
+ gγ +V w0 γ +V γ M
m
m
dh
D
1 ∂D
1 ∂D
dV (h) ∂H
= 1 + λv
+ w0 γ − λh γ + µ2
+ w0 γ + M γ
∂V
m ∂V
m ∂V
dh
1 ∂D
1 ∂D
2
d
V
∂H
M (h)
= w0 + λv
+V w00 γ + µ2
+V w00 +
V
γ
= −
∂h
m ∂h
m ∂h
dh2
(3.40)
= −
(3.41)
siendo
µ2
> 0 si C2 = 0
= 0 si C2 < 0
(3.42)
De nuevo, aparece una condición de tangencia en el punto de entrada al arco de la restricción que trae
consigo un salto en λv (t) y λh (t).
(3.43)
C2 (V,h) = 0
λv (te− ) = λv (te+ ) + π2
∂C2 ∂V te
∂C λh (te− ) = λh (te+ ) + π2 2 ∂V te
∂C1 ∂V te
∂C λh (ts− ) = λh (ts+ ) + π 1 ∂V te
H(te− ) = H(te+ )
H(ts− ) = H(ts+ )
S(te− ) = S(te+ )
λv (ts− ) = λv (ts+ ) + π
(3.44)
S(ts− ) = S(ts+ )
(3.45)
13
14
Capítulo 3. Planteamiento de la solución
La condición adicional de optimalidad es en este arco:
µ2 (t) ≥ 0
en la restricción
(3.46)
C2 = 0
3.5 Estructura de la solución
La trayectoria óptima será una combinación de arcos con γmin y γmax en los intervalos inicial y final, γsing en
el arco singular y γCAS y γM en las restricciones. Si aparecen o no estos tramos y cuándo lo hacen vendrá
determinado por parámetros del problema como el viento (w y ∆w), el Cost Index(Ω) o el peso de la aeronave
al comienzo del planeo (W ). Un ejemplo de las trayectorias que podrían aparecer se puede ver en la Figura
3.1.
Teniendo en cuenta que la velocidad y la altitud inicial y final están dadas, será extremadamente improbable
que estos puntos pertenezcan al arco singular o a las restricciones en CAS y en Mach. Esto obliga a que
aparezcan arcos donde γ tenga que tomar valores máximos o mínimos (lo que se conoce como control tipo
bang) que unan los puntos inicial y final con los segmentos donde se da la trayectoria óptima (es decir, el
arco singular o alguna de las restricciones). A raiz de los resultados, se adelanta que los tipos de trayectorias
que uno espera encontrar van a ser:
1. bang-singular-bang
2. bang-singular-CAS-bang
3. bang-Mach-singular-CAS-bang
4. bang-singular-Mach-CAS-bang
5. bang-Mach-CAS-bang
(a)
(b)
Figura 3.1 Esquema de dos posibles trayectorias: a) bang-singular-bang y b) bang-singular-CAS-bang.
En el Capítulo 4 se verán los tipos de soluciones que realmente aparecen y cómo las estructuras varían en
función de los parámetros anteriormente nombrados.
3.6 Resolución numérica
Para la integración del sistema de ecuaciones diferenciales que define el problema se ha usado la función
ode45 de MATLAB.
Puede apreciarse que las ecuaciones diferenciales que definen el estado (ecuaciones 2.1 a 2.3) están desacopladas de las ecuaciones dinámicas de los adjuntos (ecuaciones 3.4), es decir, no es necesario obtener los
valores de λv y λh para resolver la trayectoria, en principio, óptima. Sin embargo, los valores de las variables
adjuntas serán necesarios para comprobar que las condiciones de optimalidad se cumplen siempre a lo largo
de la trayectoria. Por ello, en lugar de resolver simultáneamente las ecuaciones de estado y las ecuaciones
de los adjuntos, se ha optado por integrar la trayectoria en primer lugar, y, con los datos obtenidos de esta
3.6 Resolución numérica
primera integración, resolver posteriormente los adjuntos.
El procedimiento seguido para encontrar la solución es diferente para cada tipo de trayectoria. A continuación se expondrá el proceso llevado a cabo en cada caso.
3.6.1
Caso 1: bang-singular-bang
Comenzando en el punto [ho ,Vo ] (punto 0), tomando xo = 0 y siendo el control γ = γmin o γ = γmax , se
integran las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 desde t = 0 hasta que se alcanza el arco singular (punto 1), obteniéndose
así el primer bang.
Las elección del control se hace en función de la posición del arco o la restricción respecto al punto inicial.
Es decir, si para alcanzar el arco o restricción desde el punto inicial es necesario acelerar, el control será
γ = γmin ; si por el contrario es necesario disminuir la velocidad, se tendrá γ = γmax .
Para determinar el segundo bang se integran hacia detrás las ecuaciones desde el punto final [h f ,V f ] hasta
alcanzar el arco singular (punto 2). Aunque x f no es conocido, se toma un valor cualquiera (en este caso se
ha escogido x f = 0) para comenzar la integración, obteniendose así la distancia recorrida (∆x) en ese último
tramo que posteriormente podrá sumarse al resto de la trayectoria.
Ahora, si partiendo desde el arco o la restricción correspondiente es necesario acelerar para llegar al punto
final, se tomará γ = γmin ; si es necesario decelerar entonces γ = γmax .
Para la integración del arco singular se integran las ecuaciones de estado desde el punto 1 hasta el punto 2,
tomando como condiciones iniciales los valores del vector de estado obtenidos tras la integración del primer
bang.
En la Figura 3.2 a) se esquematiza el proceso realizado, donde las flechas marcan el sentido en el que se ha
hecho integración.
(a)
(b)
Figura 3.2 Sentidos de integración Caso 1: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.
Tras haber realizado la integración de las variables de estado se pasa a la de las variables adjuntas. Hay
que resaltar que a lo largo del arco singular no es necesario el cálculo de estas variables, ya que la condición
de optimalidad que hay que comprobar (B ≤ 0, ecuación A.17) solo depende de las variables de estado. Es
más, combinando las ecuaciones 3.15 y 3.16 es posible obtener expresiones analíticas de λv y λh a lo largo
del arco singular, lo que hacen innecesaria la integración en caso de querer conocer estos valores:
λv
=
λh
=
m
Ω − (V + w)
D
m
Ω − (V + w) g +V w0
DV
(3.47)
(3.48)
Usando entonces los datos obtenidos de la primera integración, se calculan los valores de λv y λh en los
puntos 1 y 2 usando las expresiones anteriores. Este resultado servirá como valor inicial en la resolución
15
16
Capítulo 3. Planteamiento de la solución
de las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en los bangs, cuya integración se hará hacia atrás en desde
el punto 1 hasta el punto 0 en el bang inicial y hacia delante desde 2 hasta f en el bang final, como se ha
esquematizado en la Figura 3.2 b).
Una vez obtenidos los valores de los adjuntos puede comprobarse que la condición
γmax si S < 0
∗
γ =
(3.49)
γmin si S > 0
se cumple y que, por tanto, la solución es óptima.
3.6.2
Caso 2: bang-singular-CAS-bang
La integración de las variables de estado en este caso es igual que en el anterior con la diferencia de que,
cuando se integra el arco singular, la condición de parada es la llegada a la restricción en CAS en lugar de al
bang final. Así, se integrarán las ecuaciones hacia delante desde el punto 0 hasta el punto 3 y hacia detrás
desde el punto f hasta el punto 3.
En cuanto a las ecuaciones de los adjuntos, es necesario tener en cuenta que, en el punto de entrada a la
restricción (punto 2) las funciones λv (t) y λh (t) son discontinuas.
(a)
(b)
Figura 3.3 Sentidos de integración Caso 2: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.
Si tenemos en cuenta que la función de conmutación S es continua (condiciones 3.33 y 3.34) y que en el
arco de CAS constante se da que S(t) = 0 por la condición de minimización del Hamiltoniano, se tiene que
S(t3− ) = S(t3+ ) = 0
(3.50)
Dado que en el instante t3+ la trayectoria ya ha salido de la restricción (µ1 = 0), las expresiones 3.15 y 3.16
son válidas en este punto, siendo por tanto posible el cálculo de los adjuntos en este punto usando de nuevo
las ecuaciones 3.47.
El procedimiento llevado finalmente a cabo para el cálculo de los adjuntos consiste en la aplicación de
las ecuaciones 3.47 para el cálculo de λv (t) y λh (t) en los puntos 1 y 3 y la integración de las ecuaciones
dinámicas de los adjuntos a partir de estos puntos tal y como se muestra en Figura 3.3.
En cuanto a la condición de salto en el punto 2, manipulando las ecuaciones 3.33 se obtiene que
λv (t2− ) = λv (t2+ ) + µ1 (t2+ )
λh (t2− ) = λh (t2+ ) − µ1 (t2+ )
∂VCAS ∂ h t2
(3.51)
Esta condición, junto a µ1 (t) ≥ 0 a lo largo del arco de la restricción y las condiciones 3.49 en los bangs,
debe ser comprobada para garantizar la optimalidad de la solución.
3.6 Resolución numérica
3.6.3
Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang
En este caso, la integración de las variables de estado no varía demasiado con respecto al caso anterior. Ahora,
la condición de parada del primer bang es la restricción de Mach (punto 1) y el arco de Mach constante
se integrará desde este punto hasta que se llegue al arco singular (punto 2). El proceso de integración se
esquematiza en la Figura 3.4 a).
De la continuidad de S(t) en la trayectoria se obtienen λv (t) y λh (t) en los puntos 1, 2 y 4, a partir de los
cuales se integran las ecuaciones dinámicas de los adjuntos a lo largo de los arcos de las restricciones y de
los bangs, en el sentido que se muestra en la Figura 3.4 b).
El cumplimiento de µ1 (t) ≥ 0 en C1 = 0, µ2 (t) ≥ 0 en C2 = 0, las condiciones en los bangs y las condiciones
de salto en las variables adjuntas garantizarían que la solución es óptima. Estas últimas condiciones de salto
son para este tipo de trayetoria:
λv (t3− ) = λv (t3+ ) + µ1 (t3+ )
λv (t1− ) = λv (t1+ ) + µ2 (t1+ )
λh (t1− ) = λh (t1+ ) − µ2 (t1+ )
∂VM (3.52)
∂ h t1
λh (t3− ) = λh (t3+ ) − µ1 (t3+ )
(a)
∂VCAS (3.53)
∂ h t3
(b)
Figura 3.4 Sentidos de integración Caso 3: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.
3.6.4
Caso 4: bang-singular-Mach-CAS-bang
Para estas trayectorias se integra, como en los dos primeros casos, el primer bang desde el punto 0 hasta
alcanzar el arco singular (punto 1) y el bang final desde el punto f hasta la restricción en CAS (punto 4). El
arco singular se integra con la condición de parada de Mach máximo, comenzando un arco de restricción que
termina cuando se alcanza el valor de CAS máximo.
En el caso de los adjuntos, la continuidad de S(t) solo permite calcular λv y λh con las ecuaciones 3.47 en
los puntos 1, 2 y 4, ya que en el punto 3 aparece una discontinuidad debido al comienzo de la restricción en
CAS. Es necesario por tanto aplicar las condiciones de salto en este punto para encontrar los valores de los
adjuntos en 3 a partir de los cuales poder comenzar la integración. Estas condiciones en 3 son:
λv (t3− ) = λv (t3+ ) + µ1 (t3+ )
λh (t3− ) = λh (t3+ ) − µ1 (t3+ )
∂VCAS ∂ h t3
(3.54)
Por lo tanto, para este tipo de trayectorias es necesario en primer lugar la integración de las ecuaciones
de los adjuntos en el tramo de CAS constante desde 4 hasta 3 para obtener el valor µ1 (t3+ ) y poder seguir
posteriormente integrando desde ese punto las ecuaciones a lo largo del arco de Mach constante.
17
18
Capítulo 3. Planteamiento de la solución
(a)
(b)
Figura 3.5 Sentidos de integración Caso 4: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.
La condición de salto adicional en este caso es:
λv (t2− ) = λv (t2+ ) + µ2 (t2+ )
λh (t2− ) = λh (t2+ ) − µ2 (t2+ )
3.6.5
∂VM ∂ h t2
(3.55)
Caso 5: bang-Mach-CAS-bang
El procedimiento a seguir en este caso es prácticamente igual que en el caso anterior, con la salvedad de que
no aparece en ningún momento el arco singular.
Las ecuaciones de estado se integran, por lo tanto, hacia delante en el primer bang, desde el punto 0 hasta
la condición de parada en Mach máximo (punto 1). El bang final se integra hacia detrás desde el punto f
hasta el punto 3, donde se alcanza la restricción en CAS. El arco de Mach constante se integra desde el punto
1 hasta el punto 2 y el de CAS constante desde el punto 2 hasta el 3, tomando como valores iniciales los
obtenidos de la integración anterior. Este proceso queda esquematizado en la Figura 3.6 a).
(a)
(b)
Figura 3.6 Sentidos de integración Caso 5: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.
En cuanto a las ecuaciones de los adjuntos, es posible el cálculo analítico de estos usando la continuidad de
S(t) en los puntos 1 y 3, debiendo aplicarse adicionalmente una condición de salto en 2 para poder calcular
estos valores. Al igual que ocurría en el Caso 4, será por tanto necesaria la integracción del arco de CAS
constante y la obtención de µ1 (t2+ ) antes de comenzar con la integración en Mach.
3.6 Resolución numérica
Por último, las condiciones de salto para este tipo de trayectorias vienen dadas por:
λv (t2− ) = λv (t2+ ) + µ1 (t2+ )
λv (t1− ) = λv (t1+ ) + µ2 (t1+ )
λh (t1− ) = λh (t1+ ) − µ2 (t1+ )
∂VM (3.56)
∂ h t1
λh (t2− ) = λh (t2+ ) − µ1 (t2+ )
∂VCAS (3.57)
∂ h t2
19
4 Resultados
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos en función de los diferentes parámetros que gobiernan
el problema: el Cost Index, el viento y peso de la aeronave.
Se ha tomado Mc = 0.8 y hc = 33.000 f t como condiciones iniciales del problema, correspondientes al
valor del Mach y la altitud al final del crucero. Las condiciones finales son CAS f = 210 kt y h f = 10000 f t.
El control tiene como límites γmax = 0◦ y γmin = −10◦ .
4.1 Estructura de la solución
Como se comentó en el Apartado 3.5, la solución puede adoptar diferentes formas en función de los parámetros
del problema. En concreto, el hecho de que los puntos del arco singular cumplan o no las restricciones en el
Mach y la CAS de vuelo es decisivo a la hora de determinar la estructura de la trayectoria óptima.
4.1.1
Arco singular
A continuación se presentan los resultados obtenidos tras representar la función que define el arco singular
(ecuación 3.18) para diferentes valores de Ω, del viento y del peso. En la Figura 4.1 se ha representado el
arco singular para diferentes valores estos parámetros. En estas gráficas, se muestran tanto los puntos que
definen el arco singular (en línea continua) como las restricciones en Mach y CAS (en línea discontinua).
En la Figura 4.1 (a) puede verse cómo depende el arco singular de Ω, para el caso de atmósfera en calma y W = 1200 kN. Como era de esperar, las velocidades de vuelo se hacen cada vez mayores a medida
que aumenta Ω. Se aprecia que para ciertos valores de Ω entre 100 m/s y 150 m/s el arco singular corta
a la restricción CASmax , mientras que la restricción Mmax se alcanza para valores de Ω entre 200 m/s y 250 m/s.
La evolución del arco singular con el viento medio puede verse en la Figura 4.1 (b), para valores que van
desde un viento de cara (HW) de w = −50 kt hasta un viento de cola (TW) de w = 50 kt para dos valores
distintos de Ω y W = 1200 kN. Como puede observarse, las velocidades que se alcanzan son menores para
vientos de cola que para vientos de cara. Esto se explica si uno atiende a la expresión del alcance de la
aeronave (ecuación 2.1): para conseguir el mismo alcance, un aumento del viento implica una velocidad
menor. También puede verse que el viento medio tiene una mayor influencia en el arco para valores de Ω
altos.
La Figura 4.1 (c) muestra cómo varía el arco singular con el parámetro de gradiente de viento ∆w. Se han
representado los resultados para viento de cara con w = −50 kt y ∆w desde −50 kt hasta 0 kt y para viento
de cola con w = 50 kt y ∆w desde 0 kt hasta 50 kt, para dos valores de Ω y W = 1200 kN.
El comportamiento del arco singular con este parámetro no es tan predecible como lo era con los anteriores.
Puede observarse que para altitudes altas un mayor gradiente de viento implica velocidades más bajas mientras
que el comportamiento a altitudes bajas es el contrario, existiendo un punto alrededor de h = 6000 m donde
el parámetro ∆w no tiene influencia sobre la posición del arco singular.
Por último, en la Figura 4.1 (d) se encuentran representadas las diferentes configuraciones del arco singular
en función del peso W de la aeronave, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, con atmósfera en calma y
21
22
Capítulo 4. Resultados
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.1 Configuración del arco singular para diferentes valores de a) Cost Index (Ω), b) viento medio w,
c) cizalladura del viento ∆w y d) peso de la aeronave W .
para dos valores de Ω. Se observa que, para Ω = 0 m/s la velocidad de la aeronave aumenta ligeramente con
el peso, aunque para un valor mayor de Ω este parámetro es casi irrelevante en la posición del arco singular.
En conclusión, el parámetro que sin duda será decisivo a la hora de establecer la estructura trayectoria óptima
será Ω (y por definición el Cost Index), es decir, la penalización por tiempo de vuelo es muy determinante en
el problema. En comparación con el efecto de Ω, el resto de parámetros no influyen significativente en la
forma de la solución, aunque esto no quiere decir que no sean significativos en la evolución temporal de la
misma.
4.1.2
Trayectorias divisorias.
Teniendo en cuenta la fuerte dependencia del arco con el valor del Cost Index vista en los resultados del
apartado anterior, cabe preguntarse cuál es el valor de Ω que hace que, para una determinada configuración de
viento y peso, se pase de un tipo de trayectoria a otra. Estos valores de Ω van a marcar los arcos singulares que
determinan las trayectorias divisorias, que establecen el límite entre dos estructuras de la solución diferentes.
A partir de ahora se llamará Ω1 al primer valor de este parámetro para el cual el arco singular coincide con
la restricción en CAS al comienzo del bang final, Ω2 al que hace que el arco coincida con la restricción en
Mach al final del primer bang y Ω3 al valor de Ω para el cual el arco pasa por la la intersección de ambas
restricciones. Ω1 , Ω2 y Ω3 dependerán tanto de los valores que tome viento como del peso de la aeronave. En
la Figura 4.2 se muestra un ejemplo de qué forma tomarían los arcos singulares que definen las trayectorias
divisorias para dos configuraciones diferentes de viento.
Como se dijo anteriormente, las trayectorias divisorias van a marcar el límite entre dos estructuras diferentes.
Por ejemplo, para valores de Ω menores que Ω1 la trayectoria será del tipo bang-singular-bang (ya que el
arco singular está por debajo de la restricción en CAS), mientras que para valores mayores que Ω1 y menores
4.1 Estructura de la solución
(a)
(b)
Figura 4.2 Arcos singulares para diferentes trayectorias divisorias con a) Ω2 < Ω3 y b) Ω2 > Ω3 .
que Ω2 y Ω3 la solución será del tipo bang-singular-CAS-bang. En la Tabla 4.1 se muestran los diferentes
casos que pueden aparecer en función del valor de Ω respecto a Ω1 , Ω2 y Ω3 .
Tabla 4.1 Estructura de la solución en función de Ω.
Valor de Ω
Estructura de la solución
Ω < Ω1
Caso 1
bang-singular-bang
Ω1 < Ω < min{Ω2 , Ω3 }
Caso 2
bang-singular-CAS-bang
Ω2 < Ω < Ω3
Caso 3
bang-Mach-singular-CAS-bang
Ω3 < Ω < Ω2
Caso 4
bang-singular-Mach-CAS-bang
max{Ω2 , Ω3 } < Ω
Caso 5
bang-Mach-CAS-bang
En la Figura 4.3 se han representado Ω1 , Ω2 , Ω3 en función del viento medio para diferentes valores del
peso de la aeronave y valores de ∆w nulos. A raiz de los resultados puede comprobarse que el peso W influye
mínimamente en el valor de Ω1 y practicamente nada en los valores de Ω2 y Ω3 . Como ocurrió en el apartado
anterior (Figura 4.1 (d) ), el peso a Cost Index altos no influye en la posición del arco singular.
Por otro lado, el viento medio influye en los valores de Ω de forma lineal: a mayores valores del viento
medio, mayores Ω1 , Ω2 y Ω3 . Puede comprobarse también que la diferencia entre un valor de Ω y otro es
siempre constante al cambiar w.
Figura 4.3 Ω1 , Ω2 y Ω3 en función de w para W desde 1100 kN hasta 1300 kN.
23
24
Capítulo 4. Resultados
(a)
(b)
Figura 4.4 Ω1 , Ω2 y Ω3 en función de ∆w para a) viendo de cola w = 50 kt b) viendo de cara w =
−50 kt1100 kN; W = 1200 kN.
En este ejemplo en concreto Ω2 siempre es menor que Ω3 , tal y como ocurria en el ejemplo de la Figura 4.2
(a) . Esto significa que una solución del tipo Caso 4 (ver Cuadro 4.1) no aparecerá para esta configuración de
vientos. Como se verá a continuación, va a ser el valor de ∆w el que determine si aparece el Caso 3 o el Caso 4.
En la Figura 4.4 se observa la evolución con ∆w para un viento medio de w = 50 kt (viento de cola) y para
w = −50 kt (viento de cara).
Como se puede predecir de la Figura 4.1 (c) del apartado anterior, Ω1 disminuye con ∆w, mientras que
Ω2 y Ω3 aumentan. El principal resultado ahora es que la distancia entre estos valores ya no es constante,
siendo iguales Ω2 y Ω3 en aproximadamente ∆w = 22.6 kt: esto marcará el punto en el cual deja de aparecer
la solución Tipo 3 y aparece la de Tipo 4. Es más, como la diferencia entre Ω2 y Ω3 permanecía constante
con w y dependia mínimamente de W , este valor divisorio de ∆w va a marcar en todos los casos el límite
entre los dos tipos de soluciones.
Una vez se ha visto qué forma va a adoptar la trayectoria, se va a pasar a ver el comportamiento de esta en
función de los diferentes parámetros del problema.
En los siguientes apartados de este capítulo se muestran los perfiles que van a adoptar las variables de
estado y el control, asi como de qué forma varían estos con el Cost Index, el viento y el peso de la aeronave.
4.2 Efecto del Cost Index
En este apartado se analizará la influencia que tiene el Cost Index sobre las variables de estado del problema
en la trayectoria óptima. Para ello, se han representado los perfiles de velocidad, altitud y control frente al
alcance para diferentes valores de este parámetro.
En la Figura 4.5 se muestran los perfiles de velocidad V frente al alcance x para una atmósfera en calma y
W = 1200 kN. En la Figura se presentan los 4 tipos diferentes de trayectoria que existen para esta configuración
de vientos: recuérdese que para una atmósfera en calma se tenía Ω2 < Ω3 y por lo tanto aparecía la solución
correspondiente al Caso 3 (ver Tabla 4.1).
Uno de los resultados más llamativos puede verse en la Figura 4.5 (d): cuando el arco singular está por
encima de las dos restricciones (Ω ≥ Ω3 ) la trayectoria permanece inalterable frente a incrementos de Ω.
Este resultado también podrá verse un poco más adelante en los perfiles de altitud y control.
En general se observa que, como era de esperar, el alcance total es menor cuanto mayor es Ω debido a la
penalización por tiempo de vuelo, resultado que se analizará con más detalle en el Apartado 4.6.
4.2 Efecto del Cost Index
(a) Ω ∈ [0, Ω1 ].
(b) Ω ∈ [Ω1 , Ω2 ].
(c) Ω ∈ [Ω2 , Ω3 ].
(d) Ω = 0 m/s, Ω ≥ Ω3 .
Figura 4.5 Perfiles de velocidad para w = 0 kt, ∆w = 0 kt, W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, con
Ω1 = 137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s.
Para el Caso 1: bang-singular-bang, correspondiente a las trayectorias representadas en 4.5 (a), puede
observarse que la velocidad decrece tanto en los bangs, donde lo hace a altitud constante, como a lo largo de
arco singular.
En el Caso 2: bang-singular-CAS-bang, 4.5 (b), comienza a darse el caso en el que es necesario acelerar
para alcanzar el arco singular, por lo que aparecen bangs de inicio donde γ = γmin . También puede verse que
llega un momento a medida que aumenta Ω donde se da una aceleración también a lo largo del tramo de arco
singular. Por su parte, en los tramos de CAS constante la velocidad siempre disminuye.
Dado que Ω2 y Ω3 son valores muy parecidos (lo que se da para todas las configuraciones de viento y peso)
y puesto que el tramo de Mach constante es muy corto en relación al resto de la trayectoria, las soluciones del
tipo Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang van a ser muy parecidas a las del Caso 5: bang-Mach-CAS-bang,
como puede observarse en 4.5 (c). Lo mismo ocurrirá en configuraciones donde aparezca la solución Caso 4:
bang-singular-Mach-CAS-bang.
Es interesante observar en la Figura 4.5 (d) cuán diferentes pueden llegar a ser unas trayectorias de otras
cuando varía el parámetro del Cost Index, lo que deja clara una vez más la gran importancia que la penalización por tiempo de vuelo tiene sobre el problema.
En la Figura 4.6 se han representado los perfiles de altitud h frente a x.
Puede observarse que la altitud no se ve tan afectada como la velocidad ante cambios de Ω y, aunque
pueden apreciarse los quiebros en las curvas, no son tan acentuados como en los perfiles anteriores. En esta
Figura puede verse que el descenso más pronunciado se da para el bang inicial con γmin seguido de los tramos
de arco singular y Mach constante, siendo los descensos a CAS constante los más suaves.
Llama la atención el aumento del bang final a altitud constante con Ω, que para valores altos de este
parámetro constituye una parte bastante importante de la trayectoria de planeo.
25
26
Capítulo 4. Resultados
(a) Ω ∈ [0, Ω1 ].
(b) Ω ∈ [Ω1 , Ω2 ].
(c) Ω ∈ [Ω2 , Ω3 ].
(d) Ω = 0 m/s, Ω ≥ Ω3 .
Figura 4.6 Perfiles de altitud para w = 0 kt, ∆w = 0 kt, W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, con Ω1 =
137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s.
Por último, en la Figura 4.7 se representan los perfiles del control óptimo γ frente a x. El parámetro Ω para
este caso cambia radicalmente el perfil obtenido. También pueden apreciarse claramente las discontinuidades
que colleva el cambio de un arco de la trayectoria a otro.
En la Figura 4.7 (a) se han representado diferentes perfiles para el Caso 1: bang-singular-bang. Puede
verse cómo el bang inicial a γmax va acortandose a medida que aumenta Ω, debido al acercamiento del arco
al punto de condiciones iniciales. Se aprecia una ligera disminución (o aumeto de |γ|) con el parámetro
Ω. Ademas, para una trayectoria dada, se observa cómo el control decrece suavemente a lo largo del arco
singular, acentuándose este comportamiento a medida que aumenta Ω.
Para valores del Cost Index que colocan a la trayectoria en el Caso 2: bang-singular-CAS-bang aparecen
los perfiles mostrados en 4.7 (b). Lo más interesante de estos perfiles es que el control sobre el arco de CAS
constante es prácticamente independiente de Ω. En estos tramos de CAS constante, el control aumenta al
inicio para mantenerse aproximadamente constante durante el resto del arco.
Como ocurría en los perfiles de velocidad y altitud, los resultados para Ω2 y Ω3 son muy parecidos. Puede
verse que el control para el tramo de Mach constante es menor que para el del arco singular, mientras que
para el resto de la trayectoria el control no varía lo más mínimo. Se observa además que el control disminuye
considerablemente en el arco de Mach constante a lo largo del cual γ varía casi un grado, a pesar de ser un
tramo bastante pequeño de la trayectoria.
Finalmente, se han representado en la Figura 4.7 (d) los perfiles del control para las trayectorias extremas,
con Ω = 0 m/s y Ω ≥ Ω3 . En esta figura aparecen todos los tipos de arco que pueden darse en la trayectoria
y se ve claramente cómo se comporta γ a lo largo de estos.
4.3 Efecto del viento medio
(a) Ω ∈ [0, Ω1 ].
(b) Ω ∈ [Ω1 , Ω2 ].
(c) Ω ∈ [Ω2 , Ω3 ].
(d) Ω = 0 m/s, Ω ≥ Ω3 .
Figura 4.7 Perfiles del control óptimo para w = 0 kt, ∆w = 0 kt, W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, con
Ω1 = 137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s .
4.3 Efecto del viento medio
En esta sección se analiza el efecto del viento medio w. Para ello se han representado los resultados de
trayectorias desde un viento de cara (HW) de w = −50 kt hasta uno de cola (TW) de w = 50 kt, tomando
∆w = 0 kt y con un peso de W = 1200 kN y para cuatro valores diferentes de Ω. Estos cuatro valores se
han tomado de forma que los dos primeros muestren una trayectoria sin restricciones (Ω ≤ Ω1 , Caso 1:
bang-singular-bang), el tercero una trayectoria del tipo Caso 2: bang-singular-CAS-bang (Ω ≤ max{Ω2 , Ω3 })
y el último una trayectoria que contenga todas las trestricciones (Ω ≥ Ω3 , Caso 5: bang-Mach-CAS-bang).
En la Figura 4.8 se han representado los perfiles que adopta la velocidad frente al alcance. Puede observarse
que, para Ω = 0 m/s, el valor del viento medio influye significativamente en el punto de la trayectoria donde
termina el arco singular, aunque no afecta demasiado al comportamiento de la velocidad a lo largo de este.
Para Ω = 100 m/s ya aparece una dependencia más grande de la velocidad sobre el arco singular con w,
disminuyendo esta a medida que aumenta el viento medio. De nuevo, el punto de inicio del bang final se
alcanza para x más altas cuando w aumenta.
Con Ω = 200 m/s aparece la restricción en CAS constante y el bang inicial se realiza a γmin . La influencia
de w sobre la velocidad a lo largo del arco singular es la misma que se daba con Ω = 100 m/s y ahora es el
punto de comienzo de la restricción en CAS el que se desplaza a la izquierda con w. Es interesante el hecho
de que el punto de comienzo del bang final se da siempre a la misma velocidad, independientemente del
valor de w, cosa que no ocurría en los casos anteriores. Esto puede explicarse observando que el bang final,
para Ω ≥ Ω1 , es idéntico en todos los casos, como se vio en el Apartado 4.1.2.
Para Ω = 300 m/s desaparece de la trayectoria el arco singular. Nótese que en este caso los saltos de un
tipo de arco a otro se dan a la misma velocidad y todos ocurren a valores de x más altos cuando aumenta w.
Al igual que en el caso anterior, esto se debe a que el perfil V − h para Ω ≥ Ω3 es independiente del viento
27
28
Capítulo 4. Resultados
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.8 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,
W = 1200 kN.
medio al no aparecer el arco singular.
La influencia del parámetro w sobre la altitud se presenta en la Figura 4.9, donde se han representado los
perfiles de h frente a x para diferentes valores de Ω.
En este caso, el aumento del alcance con el viento medio se traduce en unos descensos cada vez menos
pronunciados.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
Figura 4.9 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,
W = 1200 kN..
4.3 Efecto del viento medio
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.9 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω ; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,
W = 1200 kN.
En la Figura 4.10 se presenta el efecto de w sobre los perfiles del control óptimo γ.
Puede verse que para Ω = 0 m/s el efecto del viento medio sobre el arco singular es mínimo, estando su
única influencia en los puntos de final e inicio de los bangs. Tal y como ocurría con la velocidad, la influencia
de w sobre γ a lo largo del arco singular aumenta con Ω: para Ω = 100 m/s y Ω = 200 m/s , puede apreciarse
cómo γsing aumenta cuando lo hace w, siendo más pronunciado este aumento para el valor de Ω más alto.
En la Figura 4.10 (d), donde el arco singular no aparece, el control apenas se ve afectado por cambios en el
viento medio.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.10 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt,
∆w = 0 kt, W = 1200 kN.
29
30
Capítulo 4. Resultados
En general, se ha observado que tanto los bangs de inicio y final de la trayectoria como los arcos de CAS y
Mach constantes parecen depender poco con w: los perfiles de los arcos mantienen la misma forma y w solo
influye significativamente en los puntos de comienzo y final de estos tramos. Sin embargo, el viento medio sí
tiene una influencia clara en el comportamiento de las variables en los tramos de arco singular.
En efecto, atiendiendo a las ecuaciones que definen las variables de estado (ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3),
puede verse que el viento medio solo aparece de forma explícita en la expresión de ẋ, mientras que para V̇ y ḣ
aparece indirectamente a través del control. A su vez, el control γ va a depender del viento medio únicamente
sobre el arco singular (ecuación 3.20) mientras que en las expresiones que definen el control en los bangs y
en los arcos de Mach y CAS constante el viento no interviene.
Una consecuencia interesante de esto es que, para Ω = 300 m/s, la influencia del viento medio sobre los
perfiles de V , h y γ que se ha observado en las Figuras anteriores viene dada únicamente por la influencia de
w sobre x, mientras que las evoluciones de V , h y γ con el tiempo permanecen inalterables ante cambios en
el viento medio.
4.4 Efecto del gradiente de viento
En las siguientes Figuras se han representado los perfiles de la trayectoria para diferentes valores de ∆w.
El viento medio toma valores de w = −50 kt (HW) y de w = 50 kt (TW), variando el gradiente de viento
desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt y desde ∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt respectivamente. Se analizarán
las trayectorias para Ω = 0 m/s y Ω = 100 m/s (Caso 1: bang-singular-bang), Ω = 200 m/s (Caso 2:
bang-singular-CAS-bang y Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang) y Ω = 300 m/s (Caso 5: bang-MachCAS-bang), para un peso de W = 1200 kN.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.11 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w = −50 kt (HW) con
grafiente de viento desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW) con
∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.
4.4 Efecto del gradiente de viento
En la Figura 4.11 se han representado los perfiles de velocidad V frente a x, donde puede verse en general
un aumento del alcance con el gradiente de viento.
Para el Caso 1, Figuras 4.11 (a) y (b), puede apreciarse que el comportamiento de V con ∆w varía a lo
largo de la trayectoria: para x se observa una ligera disminución de V con ∆w, mientras que para x altas el
comportamiento es el contrario. Como ocurría con el viento medio, el gradiente de viento también influye en
los puntos de final e inicio de los diferentes arcos, que se desplazan a la derecha cuando aumenta ∆w.
Con Ω = 200 m/s se observa que la velocidad disminuye con ∆w sobre el arco singular, mientras que
aumenta en los bangs y en el segmento de CAS constante. Para valores extremos de vientos de cara (∆w =
−40 kt y ∆ = −50 kt) aparece un pequeño tramo de Mach constante donde el comportamiento de las variables
es similar al que tienen en el arco singular. También puede verse que la velocidad a la que se produce el salto
al bang final vuelve a ser invariante frente al viento.
Para las trayectorias con Ω = 300 m/s se vuelve a dar un aumento de V en los bangs y el arco de CAS
constante, mientras que en la restricción en Mach la velocidad dismnuye ligeramente cuando lo hace w. En
cuanto a los puntos de final y comienzo de los distintos arcos, se da que tanto para el final de la restricción en
Mach (e inicio del tramo de CAS constante) y como para el comienzo del bang final la velocidad no varía
con w, mientras que sí lo hace para el salto del bang inical al segmento de Mach constante.
Los perfiles de altitud h frente a x se han representado en la Figura 4.12.
El comportamiento de h con el gradiente de viento es similar al que se tenía con el viento medio, obteniéndose descensos cada vez menos pronunciados a medida que aumenta w. Cabe destacar que el gradiente de
viento afecta siempre de la misma manera al perfil vertical, independientemente del tipo de trayectoria.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.12 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w = −50 kt (HW) con
grafiente de viento desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW) con
∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.
Para el control óptimo se han obtenido los perfiles mostrados en la Figura 4.13. Se observa que el gradiente
de viento no solo tiene influencia somrbe el control singular, sino también sobre el control en los arcos
de Mach y CAS constante, cosa que no ocurría con el viento medio. En general se da un aumento de γ
31
32
Capítulo 4. Resultados
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.13 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w = −50 kt (HW)
con grafiente de viento desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW)
con ∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.
con ∆w, con excepción del arco singular donde en algunos puntos se invierte esta tendencia para ciertas
configuraciones (observable para Ω = 200 m/s).
4.5 Efecto del peso
En esta sección se analiza el comportamiento de la trayectoria ante variaciones del peso de la aeronave.
Los perfiles representados se han obtenido para una atmósfera en calma y para Ω = 0 m/s, Ω = 100 m/s,
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
4.5 Efecto del peso
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.14 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, con
w = 0 kt y ∆w = 0 kt.
Ω = 200 m/s y Ω = 300 m/s, dando valores al peso desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN.
En la Figura 4.14 se representan los perfiles de velocidad frente a x. Puede verse que la velocidad sobre el
arco singular aumenta al hacerlo W , aunque este comportamiento se atenúa al aumentar Ω. Para Ω = 0 m/s
se observa un ligero descenso del alcance final con W , tendencia que se invierte al aumentar Ω, siendo el
efecto más importante para los valores de Ω más altos.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.15 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, con
w = 0 kt y ∆w = 0 kt.
Los perfiles correspondientes a la altitud se muestran en la Figura 4.15. Puede verse que el efecto del peso
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34
Capítulo 4. Resultados
sobre esta variable es mínimo sobre el bang a γmin , el arco singular o sobre el arco de Mach máximo, mientras
que para el arco de CAS constante, la altitud crece ligeramente al hacerlo W .
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.16 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN,
con w = 0 kt y ∆w = 0 kt.
Por
control solo es significativo a valores de Ω altos e influye más en los arcos de Mach y CAS constante que
sobre el arco singular.
En esta Figura se aprecia muy bien cómo afecta el peso a los puntos de salto de un arco a otro. Puede verse
cómo el peso solo afecta significativamente al salto entre la restricción en CAS y el bang final, desplazándose
este a la derecha con W . La influencia del peso en la posición del resto de saltos es mínima.
4.6 Actuaciones integrales.
A continuación se analiza la evolución con los parámetros del problema del alcance (x f ), el tiempo de vuelo
(t f ) y la contribución al DOC (o función objetivo J). Este último término, tal y como se definió en el Capítulo
2, toma la siguiente forma:
J = −x f + Ωt f
(4.1)
En las Figuras 4.17, 4.18 y 4.19 se muestra la influencia que tiene el peso de la aeronave sobre estas propiedades de la trayectoria, así como el resultado para diferentes configuraciones de viento. Se han representado,
para vientos de cara (HW), de cola (TW) y para una atmósfera en calma (NW), el alcance x f , tiempo de vuelo
t f y contribución al DOC (J) frente al peso W para cuatro valores del CostIndex (Ω = 0 m/s, Ω = 100 m/s,
Ω = 200 m/s y Ω = 300 m/s).
Como puede verse en la Figura 4.17, la influencia del peso en el alcance varía en función del Cost Index:
para Ω = 0 m/s, el efecto del peso es prácticamente nulo, mientras que sí cobra cierta importancia para
4.6 Actuaciones integrales.
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.17 Alcance final para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w = −50 kt, desde
∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt), NW (w = 0 kt, ∆w = 0 kt), TW (w = 50 kt, desde ∆w = 0 kt
hasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.
valores mayores de Ω: el alcance aumenta de forma lineal con W y, además, lo hace con una ratio sobre la
que el viento medio w tiene una influencia muy pequeña y sobre el que no afecta el gradiente de viento ∆w.
También puede observarse que los aumentos de viento de cola conllevan siempre un aumento del alcance.
En cuanto al tiempo de vuelo, vuelve a ser crucial el efecto de Ω: para Ω = 0 m/s se tiene un tiempo total
que decrece con el peso, mientras que esta tendencia se invierte para valores de Ω mayores. En cualquiera de
los casos, la influencia del peso es muy pequeña en comparación con la del viento o con la del Cost Index (la
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
35
36
Capítulo 4. Resultados
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.18 Tiempo de vuelo para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w = −50 kt,
desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt), NW (w = 0 kt, ∆w = 0 kt), TW (w = 50 kt, desde ∆w = 0 kt
hasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.
diferencia entre tener un viento de cara o un viento de cola son varios minutos, mientras que se tiene menos
de un minuto de variación entre W = 1100 kN y W = 1300 kN ).
La influencia del viento medio sobre t f es bastante variable: influye muy poco para Ω = 0 m/s y Ω =
200 m/s, tiene una importancia mayor para Ω = 100 m/s y para Ω = 300 m/s no influye en absoluto (para
∆w = 0 kt las gráficas de TW, HW y NW coinciden). Esto se explica teniendo en cuenta que, como se vió en
(a) Ω = 0 m/s.
(b) Ω = 100 m/s.
(c) Ω = 200 m/s.
(d) Ω = 300 m/s.
Figura 4.19 Función objetivo J para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w = −50 kt,
desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt), NW (w = 0 kt, ∆w = 0 kt), TW (w = 50 kt, desde ∆w = 0 kt
hasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.
4.6 Actuaciones integrales.
el Apartado 4.3, el viento medio solo tiene influencia sobre V (t) y h(t) en los tramos en los que aparece el
arco singular y, además, esta influencia es pequeña para Ω bajos. Dado que t f se obtiene de la integración de
estas dos variables, es lógico ver que los valores de Ω para los que el viento medio es importante sobre t f son
valores altos donde el arco singular ocupa una gran parte de la trayectoria global.
De nuevo, se tiene que a mayor gradiente de viento mayor tiempo de vuelo.
En la Figura 4.19 aparece la evolución de la función objetivo J con W .
La influencia del peso vuelve a ser muy pequeña en comparación con la del viento y, sobre todo, con la de Ω.
El parámetro del Cost Index tiene una enorme influencia ahora: se pueden llegar a valores inferiores a −200 km
para Ω = 0 m/s y para Ω = 300 m/s se obtienen valores positivos. En cuanto al viento, el efecto de ∆w se invierte a valores de Ω altos mientras que se tiene que los vientos de cola siempre dan valores de J más pequeños.
Viendo la clara importancia que tiene el Cost Index sobre las actuaciones integrales de la trayectoria, en la
Figura 4.20 se han representado estas frente al parámetro Ω para diferentes configuraciones de viento y un
peso fijo de W = 1200 kN.
(a)
(b)
Figura 4.20 a) Alcance, b) Tiempo de vuelo y c) Función objetivo con W = 1200 kN; para HW (w = −50 kt,
desde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt), NW (w = 0 kt, ∆w = 0 kt), TW (w = 50 kt, desde ∆w = 0 kt
hasta ∆w = 50 kt); desde Ω = 0 m/s hasta Ω = 300 m/s.
El alcance y el tiempo de vuelo decrecen significativamente con el Cost Index y de forma no lineal hasta
llegar a Ω = Ω3 , valor a partir del cual permanecen constantes.
La contribución al DOC del planeo aumenta considerablemente cuando lo hace Ω, dejando clara la notable
influecia que tiene la penalización por tiempo de vuelo sobre el coste del planeo para valores altos del Cost
Index.
37
38
Capítulo 4. Resultados
4.7 Comprobaciones de optimalidad
En este apartado se presentan los resultados obtenidos tras combrobar que la solución final es, en efecto, la
óptima. Como se comentó en el Capítulo 3, las condiciones de optimalidad a comprobar son:
• Sobre los bangs:
∗
γ =
S < 0 si γ = γmax
S > 0 si γ = γmin
(4.2)
• Sobre el arco singular
(4.3)
B≤0
• Sobre las restricciones
µ1 ≥ 0 en C1
µ2 ≥ 0 en C2
(4.4)
Comprobaciones a las que hay que sumar las condiciones de salto en las variables adjuntas λv y λh
nombradas en el Apartado 3.6.
(a)
(b)
Figura 4.21 Funciones S(t) y B(t) para Ω = 0 m/s.
(a)
(b)
Figura 4.22 Funciones S(t) y B(t) para Ω = 100 m/s.
4.7 Comprobaciones de optimalidad
A modo de ejemplo, se han representado las funciones S, B, µ1 y µ2 frente al tiempo para cuatro valores
de Ω, un peso de W = 1200 kN y cinco configuraciones de viento diferentes: atmósfera en calma (w = 0 kt,
∆ = 0 kt, representado con línea discontinua), vientos de cara( w = −30 kt, ∆w = −30 y 0 kt) y vientos de
cola (w = 30 kt , ∆w = 0 y 30 kt).
En las Figuras 4.21 y 4.22 se han representado las funciones S(t) y B(t) frente al tiempo para valores de
Ω = 0 m/s y Ω = 100 m/s, que corresponden a trayectorias del tipo Caso 1: bang-singular-bang.
En la Figura 4.23 aparecen representadas las funciones S(t), B(t) y µ1 (t) frente al tiempo para Ω = 200 m/s,
donde se obtienen trayectorias del Caso 2: bang-singular-CAS-bang
(a)
(b)
(c)
Figura 4.23 Funciones S(t), B(t) y µ1 (t) para Ω = 200 m/s.
Por último, se representan en la Figura 4.24 los valores para Ω = 300 m/s (Caso 5: bang-MAch-CAS-bang)
de las funciones S(t), µ1 (t) y µ2 (t).
Como puede verse, se cumplen todas las condiciones de optimalidad nombradas. Además,se ha comprobado
que los resultados numéricos también cumplen las condiciones de salto.
Puede decirse, por lo tanto, que la trayectoria óptima obtenida es la correcta.
39
40
Capítulo 4. Resultados
(a)
(b)
(c)
Figura 4.24 Funciones S(t), µ1 (t) y µ2 (t) para Ω = 300 m/s.
5 Conclusiones y trabajo futuro
E
n este trabajo se ha resuelto el problema de optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales en
presencia de viento y considerando restricciones en los estados asociadas a las limitaciones en velocidad
satisfactoriamente, realizándose las comprobaciones necesarias para determinar que la solución alcanzada es
la correcta.
Tras la resolución de dicho problema se ha obtenido que la trayectoria de mínimo coste está formada por dos
arcos tipo bang, de γ mínimo o máximo al inicio y al final de la trayectoria, y tramos de arco singular, Mach
máximo y CAS máximo, dependiendo la duración y el orden de aparición de estos arcos de los parámetros
del problema.
La conclusión principal que puede extraerse de este trabajo es que el Cost Index, a través del parámetro
Ω, tiene una influencia sobre la trayectoria óptima realmente importante: dada una configuración de viento
y peso determinada, no solo se observa que la estructura de esta cambia significativamente al aumentar Ω,
sino que también se produce un fuerte descenso en el alcance x f , el tiempo de vuelo t f . La función objetivo
J aumenta considerablemente al hacerlo el Ω, siendo incluso positiva para valores de este muy altos. Esto
significa que es más caro realizar el planeo que recorrer la misma distancia en configuración de crucero,
aunque esta claro que la fase de descenso es necesaria en cualquier vuelo.
Es muy interesante también ver cómo el aumento del coste del tiempo lleva a la aeronave a alcanzar su
límite físico, obteniéndose a un valor de Ω por encima del cual la trayectoria óptima está únicamente formada
por arcos de Mach y CAS máximos, además de por los bangs necesarios para conectarlos con los puntos
inicial y final.
En cuanto al efecto del viento y del peso de la aeronave, se llega a la conclusión de que la influencia
de W sobre el problema es mucho menor que la del resto de parámetros. Por otro lado, tanto el viento
medio w como el gradiente de viento ∆w, aunque menos influyentes que Ω, tienen un efecto significativo sobre la trayectoria final, produciéndose con el aumento de estos un aumento también en x f y t f . Es
interesante ver que la influencia de estos parámetros sobre la trayectoria es dependiente a su vez con Ω,
como puede verse por ejemplo en la Figura 4.15, donde el comportamiento de los perfiles de altitud frente
a cambios en W se invierte al aumentar Ω. El caso más llamativo donde el efecto de los parámetros del
problema varía con el Cost Index es el del viento medio, parámetro que para valores de Ω mayores que Ω3
no tiene influencia sobre el control γ, sobre las variables V (t) y h(t) o, por lo tanto, sobre el tiempo de vuelo t f .
Una de las mayores limitaciones de este trabajo radica en la elección de la atmósfera ISA como modelo de
atmósfera, con el cual no puede estudiarse el paso de la aeronave de la estratosfera a la troposfera debido a
la discontinuidad que presenta en la tropopausa. Un posible desarrollo futuro podría incluir este salto en el
problema, comenzando con una altitud inicial superior a los 11 km y sustituyendo el modelo ISA con uno
donde se sustituya la tropopausa por una tramo de tropopausa finita de forma que las variables atmosféricas
sean derivables a lo largo de este.
Considerar otros tipos de perfiles de viento, por ejemplo, del tipo w(h,x) o que tengan una dirección
diferente a la de la aeronave, también podría ser materia para trabajos futuros.
Tal y como se hizo en Franco, Rivas y Valenzuela en [5] para el planeo de máximo alcance, la comparación
de la trayectoria óptima con un descenso a CAS constante complementaría muy bien al presente proyecto.
Sería muy interesante como trabajo futuro el estudio de un descenso óptimo formado por tramos de CAS y
Mach constante y su posterior comparación con la solución obtenida con la Teoría del Control Óptimo.
41
Apéndice A
El problema de control óptimo
En este Apéndice se va a hacer una introducción al problema de control óptimo. Se presentan las condiciones
necesarias de optimalidad que debe cumplir la solución y se estudian los problema de control óptimo singular
y con restricciones en las variables de estado. En este trabajo, las condiciones suficientes de optimalidad no
van a considerarse.
A.1 Planteamiento del problema de control óptimo sin restricciones
Sea un sistema dinámico en tiempo continuo dentro de un horizonte temporal [to ,t f ] con condiciones iniciales
dadas por el vector yo ∈ Rn . La evolución temporal de este sistema va a depender de determinadas variables
llamadas variables de control, recogidas en el vector u ∈ Rm con valores en U. El vector de estados y(t) ∈ Rn
con t ∈ [to ,t f ] define la situación del sistema para cada instante t. El sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias que describe el comportamiento del sistema dinámico se llama ecuación de estado y viene dado
por:
ẏ
para todo t ∈ [to ,t f ]
= f(y(t),u(t),t),
(A.1)
y(to ) = yo
donde f es una función dinámica cuyo dominio esta contenido en Rn × Rm × R, toma valores en Rn y tiene
derivadas parciales primeras continuas.
Se define el funcional objetivo como:
Z tf
J(y, u) = φ [t f , y(t f )] +
l(y(t),u(t),t)dt
to
(A.2)
siendo φ el coste terminal y l el índice de actuación (running cost o performance index), ambas funciones
conocidas. En ocasiones, también se puede definir una función ψ que restringe los valores que puede tomar
el sistema en t f como:
ψ[y(t f ),t f ] = 0
Finalmente, el problema de control óptimo puede resumirse como:
Sea un sistema dinámico que evoluciona de acuerdo con una ecuación de estado y con condiciones iniciales conocidas, el objetivo es encontrar un vector de control que sea admisible y que
haga mínimo el funcional obetivo.
43
(A.3)
44
Capítulo A. El problema de control óptimo
Minimizar
sujeto a :
con :
Z tf
J(y, u) = φ [t f , y(t f )] +
ẏ = f (y(t),u(t),t),
l(y(t),u(t),t)dt
to
para todo t ∈ [to ,t f ]
y(to ) = yo
u(t) ∈ U
(A.4)
ψ[y(t f ),t f ] = 0
A.2 El Principio del Máximo de Pontryagin
El Principio del Máximo de Pontryagin, o Principio del Máximo, da las condiciones necesarias que debe
cumplir el sistema (y, u) para ser solución del problema de control óptimo.
En primer lugar se definen el Hamiltoniano H η y el Lagrangiano terminal E η del problema como:
H η (y, u, λ ,t) = ηl(y, u,t) + λ T f(y, u,t)
η
T
E (y(t f ), ν,t f ) = ηφ (y(t f ),t f ) + ν ψ(y(t f ),t f )
(A.5)
(A.6)
Donde λ es el vector de variables adjuntas o de coestado y ν se conoce como el vector de multiplicadores
de Lagrange del estado final. El parámetro η es el multiplicador de coste1 y, en condiciones normales, puede
considerarse η = 1. Esto se conoce como condición de normalidad y a partir de ahora se aplicará en este
proyecto a los planteamientos sucesivos.
Así, las condiciones necesarias de optimalidad del problema se presentan en el Principio del Máximo de la
siguiente forma:
Principio del Máximo de Pontryagin Sean u∗ la solución de control óptima e y∗ la trayetoria de estado óptima
a ella asociada, ambas definidas en t ∈ [to ,t f ]. Existen una función vectorial continua λ ∈ Rn : [to ,t f ] y un
vector de multiplicadores ν ∈ Rk que satisfacen las siguientes condiciones para todo t ∈ [to ,t f ]:
1. Condición de no trivialidad: (λ (t), ν) 6= 0.
2. Ecuación dinámica de las variables adjuntas:
λ̇ (t) = −
∂H ∗
[y (t), u∗ (t), λ (t),t]
∂y
(A.7)
3. Condición de minimización del Hamiltoniano:
u∗ [y∗ (t), λ (t),t] = arg mı́n[y∗ (t), u∗ (t), λ (t),t]
u∈U
(A.8)
Esta condición establece que si el control el óptimo entonces el Hamiltoniano del problema es mínimo.
4. Condiciones de transversalidad:
λ (t f ) =
∂E
[y∗ (t f ), ν,t f ]
∂ y(t f )
(A.9)
Además, si el instante final t f es desconocido, es necesario aplicar una condición de transversalidad
extra dada por:
∂E ∗
H[y∗ (t f ), u∗ (t f ), λ (t f ),t f ] = −
[y (t f ), ν,t f ]
(A.10)
∂t f
1
El multiplicador de coste η se utiliza para tener en cuenta situaciones en las que η = 0, es decir, la solución no depende de l o φ . Este
caso se da cuando las condiciones de contorno son muy restrictivas y se conoce como caso anormal
A.3 Control óptimo singular
Adicionalmente, se define la ecuación de evolución del Hamiltoniano de la forma:
∂H ∗
H˙ [y∗ (t),λ (t),t] =
[y (t), u∗ (t), λ (t),t]
∂t
(A.11)
siendo H el Hamiltoniano minimizado
H (y,λ ,t) = mı́n[y, u, λ (t),t]
u∈U
(A.12)
De esta forma, atendiendo a las ecuaciones A.10 y A.11, si el Hamiltoniano es una función que no depende
del tiempo y además el instante final es desconocido, puede concluirse que H = 0.
A.3 Control óptimo singular
La condición de minimización del Hamiltoniano (ecuación A.8) permite determinar el control óptimo a
través de la condición de Euler-Lagrange:
∂H ∗
[y (t), u∗ (t), λ (t),t] = 0
∂u
para todo t ∈ [to ,t f ]
(A.13)
siempre y cuando u∗ (t) sea interior al espacio U, teniéndose que cumplir adicionalmente la condición de
Legendre-Clebsch:
∂ 2H ∗
[y (t), u∗ (t), λ (t),t] ≥ 0 para todo t ∈ [to ,t f ]
(A.14)
∂ u2
Sin embargo, puede ocurrir que ∂∂Hu no dependa directamente de u(t), haciendo que la ecuación A.14 sea
estrictamente 0 en algunos o en todos los instantes de tiempo. Esto es lo que se conoce como el problema de
Control Óptimo Singular.
La solución a este tipo de problemas se presentará a continuación para el caso en el control es un escalar
(con U = {umin ≤ u ≤ umax ∈ R}) y H depende linealmente de u.
En primer lugar, se define la función de conmutación como:
S(y,u,t) =
∂H
(y,u,t)
∂u
(A.15)
Esta función puede hacerse 0 a lo largo de un intervalo de tiempo. Se define así lo que se conoce como arco
singular del proceso, siendo el control singular using (y,t) el control a lo largo de este.
Como es imposible encontrar el control singular a través de la ecuación de minimización del Hamiltoniano,
este se determina imponiendo que S debe mantenerse igual a cero en el arco, lo que implica que las derivadas
de S con el tiempo también deben ser nulas a lo largo de dicho arco.
De esta forma, el control singular queda definido por la siguiente ecuación:
d 2ξ S
(y,using ,t) = 0
dt 2ξ
(A.16)
siento ξ el orden del arco singular, definiéndose como el valor ξ donde la derivada de orden 2ξ es en la que
aparece por primera vez el control singular explícitamente.
Para cerrar el problema de control óptimo singular, es necesario que se cumpla adicionalmente la condición
generalizada de Legendre-Clebsch que, para ξ = 1, toma la siguiente forma:
−
∂ S̈
≥0
∂u
(A.17)
45
46
Capítulo A. El problema de control óptimo
A.4 Problema de control óptimo con restricciones en las variables de estado.
Es posible que, además de las condiciones de contorno normbradas con anterioridad, se apliquen al sistema
restricciones en alguno o en todos los instantes de tiempo. Existen muchos tipos de restricciones, que pueden
aplicarque al estado, al control y/o a puntos intermedios de la trayectoria.
Aquí se introduce el caso en el que se tiene una restricción en las variables de estado del tipo:
(A.18)
C(y,t) ≤ 0
En este caso (donde, por simplicidad, tomamos C y u como escalares) el Hamiltoniano del problema pasa
a ser:
H(y, u, λ ,t) = l(y, u,t) + λ T f(y, u,t) + µC(q)
(A.19)
siendo la derivada temporal de orden q de C la primera en la que aparece explicitamente el control u, µ ≥ 0 y
cumpliéndose que
C(q)
= 0
en la restricción
µ
= 0
fuera de la restricción
C=0
C<0
(A.20)
(A.21)
Además, al problema se le añade la nueva condición necesaria que debe cumplirse en la trayectoria óptima:
µ(t) ≥ 0
en la restricción
C=0
(A.22)
Para que el control mantenga la trayectoria dentro de la restricción a lo largo del arco, es necesario que la
trayectoria que entre y salga de una restrición cumpla adicionalmente las condiciones de tangencia


C(y,t)
 C(1) (y,t) 




.

=0
N(y,t) = 
(A.23)

.




.
C(q-1) (y,t)
Por conveniencia, se toma el instante de entrada a la restricción t1 como punto en el que se imponen dichas
condiciones, cumpliéndose estas automáticamente en el punto de salida t2 debido a A.20.
Deben cumplirse, por tanto, un conjunto de restricciones en el instante t1 que harán que el Hamiltoniano
H(t) y las funciones λ (t) no sean necesariamente continuos en este punto, produciéndose un salto en estas
funciones. Las ecuaciones que definen las condiciones de salto en t1 y t2 son:
∂ N ∂ N (A.24)
λ T (t2− ) = λ T (t2+ ) + π T
(A.27)
∂ y t1
∂ y t2
∂N ∂N H(t1− ) = H(t1+ ) − π T
H(t2− ) = H(t2+ ) − π T
(A.25)
(A.28)
∂t t1
∂t t1
∂H −
∂H +
∂H −
∂H +
(t1 ) =
(t1 )
(A.26)
(t2 ) =
(t )
(A.29)
∂u
∂u
∂u
∂u 2
con π un vector constante de multiplicadores de Lagrange de q componentes y donde se ha llamado ti− al
instante inmediatamente anterior a ti y ti+ al instante inmediatamente posterior.
λ T (t1− ) = λ T (t1+ ) + π T
Apéndice B
Modelo aerodinámico de Aeronave
En este apéndice se presenta el modelo aerodinámico del Boeing 767-300ER usado en este proyecto en los
procesos numéricos.
Este modelo va a determinar la polar del avión, función necesaria para el cálculo de la resistencia aerodinámica mediante las ecuaciones 2.6 y 2.7. Para esta aeronave, el valor de la superficie alar de referencia es
SW = 283.3m2 y la polar del avión está dada por:
5
5
5
CD = CD0,i + ∑ k0 j H j (M) + CD1,i + ∑ k1 j H j (M) CL + CD2,i + ∑ k2 j H j (M) D2L
j=1
j=1
(B.1)
j=1
con
(M − 0.4)2
H(M) = √
1 − M2
(B.2)
siendo CD0,i , CD1,i y CD2,i los coeficientes de la polar incompresible con valores de CD0,i = 0.01322,
CD1,i = −0.00610 y CD2,i = 0.06000 y donde k0 j , k1 j y k2 j toman los valores mostramos en la Tabla B.1.
Tabla B.1 Coeficientes de la polar parabólica compresible.
j
1
2
3
4
5
k0 j
0.0067
-0.1861
2.2420
-6.4350
6.3428
k1 j
0.0962
-0.7602
-1.2870
3.7925
-2.7672
k2 j
-0.1317
1.3427
-1.2839
5.0164
0.0000
47
Apéndice C
Desarrollo de expresiones
En este apéndice se presenta el desarrollo las expresiones utilizadas en el Capítulo 3. Entre estas expresiones
se encuentran las derivadas parciales de las propiedades atmosfericas, de la resistencia aerodinámica y otras
variables usadas en la resolución del problema.
C.1 Atmósfera
Aquí se presentan las derivadas con respecto a la altitud h de las propiedades atmosféricas en la troposfera,
obtenidas a partir de las expresiones de la Atmósfera ISA en el Apartado 2.2.3.
C.1.1
Derivadas primeras
dT
dh
dp
dh
dρ
dh
da
dh
C.1.2
= α
g
g
h − Rg α −1
po 1 + α
Rg To
To
g
g
p α
h −( Rg α +2)
o
= −
+1
1+α
Rg α
Rg To To
To
kRg α
p
=
2 kRg T
= −
(C.1)
Derivadas segundas
d2T
dh2
d2 p
dh2
d2ρ
dh2
d2a
dh2
= 0
g
g
g
h − Rg α −2 α
po
+1 1+α
Rg To
Rg α
To
To
g
g
g
p α 2 h −( Rg α +3)
o
=
+1
+2
1+α
Rg α
Rg α
Rg To To
To
=
= −
kRg α 2
p
4T kRg T
(C.2)
C.2 Resistencia aerodinámica
En esta sección se presentan las expresiones que toman las derivadas parciales con respecto a la altitud h y a
la velocidad V de la resistencia aerodinámica D(h,V ).
49
50
Capítulo C. Desarrollo de expresiones
Como se recordará, la ecuación que define esta variable es:
1
D = ρ(h)V 2 SW CD (CL ,M)
2
C.2.1
(C.3)
Derivadas primeras
∂D
∂h
∂D
∂V
=
=
1 2 dρ
∂C V SW
CD + ρ D
2
dh
∂h
1
∂C
ρSW 2VCD +V 2 D
2
∂V
(C.4)
con
∂CD
∂h
∂CD
∂V
=
=
∂CD ∂ M ∂CD ∂CL
+
∂M ∂h
∂CL ∂ h
∂CD ∂ M ∂CD ∂CL
+
∂ M ∂V
∂CL ∂V
(C.5)
obteniéndose estas últimas derivadas de la definición de CL (ecuación 2.7) y de las ecuaciones que definen
el modelo de aeronave (Apéndice B).
C.2.2
Derivadas segundas
∂ 2D
∂ h2
∂ 2D
∂ h∂V
∂ 2D
∂V 2
=
=
=
1 2 d2ρ
dρ ∂CD
∂ 2CD V SW
C
+
2
+
ρ
2
dh2 D
dh ∂ h
∂ h2
1
dρ
∂C
dρ ∂CD
∂ 2CD SW 2V
CD + 2V ρ D +V 2
+V 2 ρ
2
dh
∂h
dh ∂V
∂ h∂V
2
1
∂CD
∂
C
D
ρS 2CD + 4V
+V 2
2 W
∂V
∂V 2
(C.6)
Tal y como se hizo en C.2.1 , las derivadas del coeficiente de resistencia CD (CL , M) se obtienen haciendo
uso del modelo de aeronave.
C.3 Arco singular
En este apartado se desarrollan las expresiones necesarias para la resolución de la trayectoria sobre el arco
singular (Apartado 3.2). En concreto, se presenta la ecuación que define la segunda derivada temporal de la
función conmutación S̈:
S̈ = A(V,h) + γB(V,h)
(C.7)
siendo
A(V,h) = A1 (V,h) + wA2 (V,h) + w0 A3 (V,h)
B(V,h) = B1 (V,h) + wB2 (V,h) + w0 B3 (V,h) + w02 B4 (V,h) + w00 B5 (V,h)
(C.8)
C.4 Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach
donde
A1 (V,h) =
Ω −V ∂ D ∂ D
∂ 2D
∂ D Ω −V ∂ 2 D
∂ D Ω − 2V g ∂ D ∂ D V
+
g 2 −V
+
−g
−
−
Dm ∂V
∂h
∂V
m
∂V
∂ h∂V
∂h
m
V ∂V
∂h
A2 (V,h) =
1 ∂D ∂D
∂D 1 ∂D
∂ 2D
∂ 2D g ∂ D g
−V
+
2
+V
−g 2 −
Dm ∂V ∂V
∂h
m ∂h
∂ h∂V
∂V
V ∂V
A3 (V,h) =
Ω − (V + w) ∂ D ∂D
V ∂ D Ω − (V + w) ∂ 2
2D −V
−1
+
V
Dm
∂V
∂V
m ∂V
m
∂V 2
B1 (V,h) =
Ω −V ∂D
∂ 2D
∂ 2D g2 ∂ D
∂ 2D
− 3g
+2
+V 2 2 + g2 2 − 2gV
D
∂h
V ∂V
∂h
∂V
∂ h∂V
B2 (V,h) =
1 ∂D
g2 ∂ D
∂ 2D
∂ 2D
∂ 2D 3g
−2
−V 2 2 − g2 2 + 2gV
D
∂h
V ∂V
∂h
∂V
∂ h∂V
B3 (V,h) =
2
∂D
∂D
∂ 2D
Ω − (V + w) gD
2 ∂ D
−
−V
+ 3g
+ 2gV
−
2V
D
V
∂h
∂V
∂V 2
∂ h∂V
B4 (V,h) =
Ω − (V + w) ∂ 2 D ∂ D V V
+
D
∂V 2 ∂V
V 2 ∂ D
B5 (V,h) = − Ω − (V + w)
D ∂V
(C.9)
C.4 Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach
Por último, se presentan en esta sección las derivadas de las variables VCAS (h) y VM (h) con respecto a la
altitud h, necesarias para el desarrollo de la solución en las restricciones sobre las variables de estado del
problema.
C.4.1
Restricción en CAS
v
"
"
!1/k
#!k
#
u
u2
po
k ρo
t
2
R T (h) 1 −
1+
CASmax
−1
−1
VCAS (h) =
k g
p(h)
2 po
dVCAS (h)
dh
=
"
2
VCAS
(h) dT (h)
p d p(h)
− 2Rg T (h) 2 o
2VCAS (h) T (h)
dh
p (h) dh
!#
1
k ρo
k
2
1+
CASmax
−1
2 po
1
! k−1
k
2
kVCAS
(h)
+1
2Rg T (h)
51
52
Capítulo C. Desarrollo de expresiones
d 2VCAS (h)
dh2
"
! k−1
k
2
2
1
dVCAS (h) VCAS
1
(h) dT (h)
po d p(h) kVCAS
(h)
= −
−
2R
T
(h)
+
1
g
2 (h)
2 VCAS
dh
T (h)
dh
p2 (h) dh
2Rg T (h)
"
!#
1
1
dV (h)
k ρo
1
k
2
CASmax
2VCAS (h) CAS T (h)
1+
−1
+
2 po
2VCAS (h) T 2 (h)
dh
!
"
2
dT (h) dT (h) VCAS
(h) d 2 T (h)
1
dT (h) 2
2
− 2Rg po 4
−VCAS
(h)
+
p (h)
dh
dh
T (h)
dh2
p (h)
dh
!
#
! k−1
k
1
2
k ρo
d p(h) d p(h) T (h) d 2 p(h)
kVCAS
(h)
k
2
1
+
−T (h)2p(h)
CAS
+ 2
+
1
max
dh
dh
p (h) dh2
2Rg T (h)
2 po
!
!
!− 1
k
1
2
po d p(h) k ρo
k
−
1
kV
(h)
k
CAS
2
−1 − 2Rg T (h) 2
1+
CASmax
−1
+1
p (h) dh
2 po
k
2Rg T (h)
!!#
k
1
dV (h)
2 dT (h)
2VCAS (h) CAS T (h) −VCAS
2Rg T 2 (h)
dh
dh
(C.10)
C.4.2
Restricción en Mach
VM (h) = Mmax a(h)
dVM (h)
dh
= Mmax
da(h)
dh
d 2VM (h)
dh2
= Mmax
d 2 a(h)
dh2
(C.11)
Índice de Figuras
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Esquema de dos posibles trayectorias
Sentidos de integración Caso 1
Sentidos de integración Caso 2
Sentidos de integración Caso 3
Sentidos de integración Caso 4
Sentidos de integración Caso 5
14
15
16
17
18
18
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
Variación del arco singular con los parámetros del problema
Arcos singulares para diferentes trayectorias divisorias
Ω1 , Ω2 y Ω3 en función de w para diferentes valores de W
Ω1 , Ω2 y Ω3 en función de ∆w
Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω
Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω
Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω
Perfiles de velocidad para diferentes valores de w
Perfiles de altitud para diferentes valores de w
Perfiles del control óptimo para diferentes valores de w
Perfiles de velocidad para diferentes valores de ∆w
Perfiles de altitud para diferentes valores de ∆w
Perfiles del control óptimo para diferentes valores de ∆w
Perfiles de velocidad para diferentes valores de W
Perfiles de altitud para diferentes valores de W
Perfiles del control óptimo para diferentes valores de W
Alcante final frente a W
Tiempo de vuelo frente a W
Función objetivo frente a W
Actuaciones integrales frente a Ω
Comprobaciones de optimalidad Ω = 0 m/s
Comprobaciones de optimalidad Ω = 100 m/s
Comprobaciones de optimalidad Ω = 200 m/s
Comprobaciones de optimalidad Ω = 100 m/s
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Índice de Tablas
2.1.
Constantes de la Atmósfera ISA
5
4.1.
Estructuras de la solución
23
B.1.
Coeficientes de la polar parabólica compresible
47
55
Bibliografía
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