matemáticas ccss / c. valenciana junio 10

MATEMÁTICAS CCSS / C. VALENCIANA JUNIO 10
Instrucciones:
a)
Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que se harán los TRES problemas propuestos. LOS
TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
b)
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se
prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
c)
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
OPCIÓN A
EJERCICIO 1.
En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada
grande requiere para su elaboración 500 g de masa y 250 g de relleno, mientras que una pequeña requiere
250 g de masa y 250 g de relleno. Se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de relleno. El beneficio obtenido
por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros.
a)
¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea
máximo?
b)
¿Cuál es el beneficio máximo?
Se trata de un problema de programación lineal.
Con los datos del problema se obtiene:
Ensaimadas
Cantidad
Masa
Relleno
Beneficio
Grande
x
0,5x
0,25x
2x
Pequeña
y
0,25y
0,25y
1,5y
20 kg
15 kg
Disponibilidad
El objetivo es maximizar los beneficios. Esto es, Maximizar: B( x, y ) = 2 x + 1,5 y
restringido por: 0,5 x + 0,25 y ≤ 20 ; 0,25 x + 0,25 y ≤ 15 ; x ≥ 0; y ≥ 0
Estas restricciones generan la región factible sombreada en la siguiente figura.
Los vértices de esa región son:
0,50 x + 0,25 y = 20
O = (0, 0), P = (0, 60), Q: 
⇒ Q = (20, 40), R = (40, 0)
0,25 x + 0,25 y = 15
a)
El beneficio máximo se encuentra en alguno de los vértices de esa región factible. Ese beneficio vale:
En O, B(0, 0) = 0.
En Q, B(20, 40) = 100 €
En P, B(0, 60) = 90 €
En R, B(40, 0) = 80 €
El beneficio máximo se da cuando se elaboran 20 ensaimadas grandes y 40 pequeñas.
b)
El beneficio máximo es de 100 euros.
MATEMÁTICAS CCSS / C. VALENCIANA JUNIO 10
EJERCICIO 2.
Dada la función f ( x ) =
x2 +1
, se pide:
x2 − 9
a)
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b)
Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d)
Máximos y mínimos locales.
e)
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
a)
El denominador de la función se anula cuando x 2 − 9 = 0 . Dominio: R − {−3, 3}.
Corte con el eje Y: Si x = 0, f (0) = −
Corte con el eje X:
b)
x2 +1
x2 − 9
1
1

. Punto  0, −  .
9
9

= 0 . f (x ) nunca se anula. La función no corta al eje X.
La función tiene dos asíntotas verticales, las rectas x = −3 y x = 3.
En efecto:
lim f ( x ) = +∞ y lim + f ( x ) = −∞
x →−3 −
x →−3
lim f ( x ) = −∞ y lim+ f ( x ) = +∞
x → 3−
x →3
x2 +1
= 1+ . Tanto para −∞ como para +∞ la
x → ±∞ x 2 − 9
También tiene una asíntota horizontal, la recta y = 1, pues lim
curva va por encima de la asíntota.
c)
Derivando: f ´( x ) =
2 x ( x 2 − 9 ) − ( x 2 + 1) ⋅ 2 x
(x
2
−9
)
2
=
− 20 x
(x
2
−9
)
2
La derivada es positiva para todo x < 0, salvo en x = −3 donde no esta definida. Por tanto, la función crece
cuando x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, 0).
La derivada es negativa para todo x ∈ (0, 3) ∪ (3, +∞). En ese intervalo la función es decreciente.
d)
La derivada se anula en el punto x = 0. Como a su izquierda la función crece, y a su derecha decrece, en x = 0
se da un máximo relativo.
e)
Con la información anterior y dando algunos
valores se traza el dibujo adjunto.
Algunos valores:
Nota: Puede observarse que la función es par.
MATEMÁTICAS CCSS / C. VALENCIANA JUNIO 10
EJERCICIO 3.
Se sabe que p(B | A) = 0,9 , p = ( A | B) = 0,2 y p( A) = 0,1.
a)
Calcula p( A ∩ B) y p(B ).
b)
¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
c)
Calcula p( A ∪ B) , donde B representa el suceso complementario o contrario de B.
a)
Se sabe que p(B | A) = 0,9 , p = ( A | B ) = 0,2 y p( A) = 0,1 . Por tanto, como
p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A) ⇒ p(A ∩ B) = 0,1 · 0,9 = 0,09.
Igualmente,
p(A ∩ B) = p(B) · p(A/B) ⇒ 0,09 = p(B) · 0,02 ⇒ p(B) = 0,45.
Dos sucesos A y B son independientes cuando p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Como 0,1 · 0,45 = 0,045 ≠ 0,09, los sucesos A y B no son independientes.
También podría indicarse que, puesto que
p ( A) = 0,1 ≠ p = ( A | B ) = 0,2 , los sucesos A y B no son
independientes.
La situación se muestra en el siguiente diagrama de Venn.
b)
Si p(B) = 0,45 ⇒ p(B ) = 1 − 0,45 = 0,55.
Por otra parte, P ( A ∩ B ) = 0,01.
Luego, p( A ∪ B ) = p( A) + p(B ) − P ( A ∩ B ) = 0,1 + 0,55 − 0,01 = 0,64
MATEMÁTICAS CCSS / C. VALENCIANA JUNIO 10
OPCIÓN B
EJERCICIO 1.
Obtén la matriz X que verifica:
 1 

2 
 2
 3   2 0 − 1
 X −   = 
 5 
2
 − 1 − 3
 2   4 − 1 3  3 
− 
EJERCICIO 2.
La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de euros en función del tiempo,
t, a lo largo de los últimos 13 años:
5 − 0,1t

f (t ) =  4,5 + 0,05(t − 5)
 4,75 + 0,1(t − 10)2

0≤t <5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t ≤ 13
a)
Estudia analíticamente en el intervalo [0,13]:
b)
Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad.
c)
Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración máxima.
d)
Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima.
EJERCICIO 3
Al 80% de los miembros de una sociedad gastronómica le gusta el vino Raïm Negre. Entre estos, al 75% le
gusta el queso de cabra. Además, a un 4% de los miembros de esta sociedad no le gusta el vino Raïm
Negre ni el queso de cabra.
a)
¿A qué porcentaje le gusta tanto el vino Raïm Negre como el queso de cabra?
b)
¿A qué porcentaje no le gusta el queso de cabra?
c)
Si a un miembro de la sociedad le gusta el queso de cabra, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el
vino Raïm Negre?
d)
¿A qué porcentaje le gusta el vino Raïm Negre entre aquéllos a los que no les gusta el queso de
cabra?