Repaso de lógica.

Repaso de lógica. (20 de agosto)
Traducción al lenguaje lógico
Al resolver un problema matemático, debemos tomar como ciertas las hipótesis del problema, y solo
eso. Si el problema nos dice que una semana tiene 5 dias, entonces al resolver el problema debemos tomar
como cierto que una semana tiene 5 dias aún cuando nosotros sabemos que tiene 7, esto por que en
matemáticas no se habla de resultados que tienen validez total, mas bien son resultados de la forma: “si
estas cosas pasan, entonces podemos deducir esto”, por ejemplo: “si una semana tiene 5 dias, entonces 2
semanas tienen 10 dias”. En ocasiones hay cosas de sentido común que se pueden usar y el problema no
las dice, por ejemplo si un problema nos pide calcular los dias de 2 semanas y no nos indica cuantos dias
tiene una semana, entonces podremos decir que una semana tiene 7 dias y dar como respuesta “14”, sin
embargo para una respuesta mas correcta podemos decir “tomando en cuenta que la semana tiene 7 dias,
la respuesta es 14”.
Los sı́mbolos más usados en lógica son los siguientes:
⇒ implica
⇔ si y solo si
∧y
∨o
¬ negación
El primer paso para la traducción al lenguaje lógico, es dividir en enunciados simples, por ejemplo: “Los
meteorólogos no se equivocan nunca y hoy llueve en Andalucı́a” consta de 2 enunciados: el enunciado
“Los meteorólogos no se equivocan nunca” y el enunciado “hoy llueve en Andalucı́a”, estos enunciados no
se pueden separar. Por ejemplo: si quiero separar el enunciado “hoy llueve en Andalucı́a”, en ”hoy llueve”
y “en andalucı́a”, “en andalucı́a” no cuenta como enunciado, ya que no tiene un verbo. En ocasiones el
verbo va un poco escondido, como es el caso de “Los meteorólogos no se equivocan nunca”, es el verbo
ser aunque el no podrı́a causar confusión.
El segundo paso es dar nombre a nuestros enunciados, llamaremos A al enunciado “Los meteorólogos
no se equivocan nunca” y B al enunciado “hoy llueve en Andalucı́a”. El tercer y ultimo paso es unir los
enunciados con los conectivos, los conectivos son como operaciones entre los enunciados(algo asi como la
suma multiplicacion, inverso etc. para los números.). En el ejemplo que estamos manejando obtenemos
A ∧ B. El enunciado “no esta lloviendo” cuenta como simple, sin embargo en ocasiones se cambia por el
enunciado “esta lloviendo” y agregamos la negación, ya que aveces nos es mas útil no tener negaciones en
nuestros enunciados simples.
En ocasiones, reducir un enunciado en enunciados simples no es tan sencillo, por ejemplo el enunciado:
“Llueve o nieva y a nadie le importa” se puede dividir en los enunciados “Llueve”, “nieva” y el tercer
enunciado pareceria ser “a nadie le importa”; sin embargo es necesario especificar que es lo que a nadie le
importa, de esta forma el tercer enunciado debe ser .a nadie le importa que llueve o nieva”. Es importante
notar la diferencia entre los enunciados “Llueve o nieva y a nadie le importa” y “a nadie le importa que
llueve o nieva”, en el primero afirmamos que llueve o nieva, en el segundo no, solo decimos que a nadie le
importa que alguna de las 2 pase.
Ejercicio. Convierte los siguientes enunciados en enunciados simples y traduce al lenguaje lógico, trata
de no tener negaciones en tus enunciados simples:
No llovió ayer.
Llueve, nieva y graniza.
Habrá buena cosecha si nieva.
No llueve, pero nieva.
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Si Pedro va al cine o Juan al teatro, entonces llamaremos un taxi.
Llueve detrás de la ventana de mi casa.
No es cierto que llueva y me moje.
Si no es cierto que llueva y me moje, entonces los metrorólogos no se equivocan nunca.
Si llueve o nieva, entonces no es cierto que los meteorólogos no se equivocan nunca y que la televisión
da buenos ronósticos del tiempo.
No es cierto que si llueve y me mojo, entonces me resfriaré.
Negaciones
La negación de un enunciado A es el resultado de decir que A es falso, por ejemplo la negación de “mi
playera es azul” es “mi playera no es azul”, un error común es negar el enunciado diciendo “mi playera
es roja”, esto no es la negación, ya que al decir “El enunciado mi “playera es azul” es falso”, no estoy
diciendo de que color es mi playera, solo estoy diciendo de que color no es.
Una doble negación se elimina, ya que si yo digo ¬¬A, estoy diciendo “es falso que el enunciado A es
falso”, es decir “el enunciado A es cierto,” o podemos decir simplemente A
Al negar el enunciado “llueve y nieva” obtenemos el enunciado “no es cierto que llueve y nieva” es
decir “no llueve o no nieva”, observemos que nuestros enunciados simples se niegan, es decir cambiamos
“nieva” por “no nieva” y “llueve” por “no llueve” y además cambiamos el conectivo y por o, esto pasa
siempre con nuestros enunciados compuestos, debemos negar los enunciados simples y negar también los
conectivos. En este caso hemos visto que ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
Ya vimos que la negación de y es o, ahora veamos que pasa con la negación o, al negar “llueve o nieva”
obtenemos “no es cierto que llueve o nieva”, es decir “ni llueve ni nieva”, entonces la negación de o es y,
es decir: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
Al negar el enunciado “si llueve. entonces me mojo” obtengo “no es cierto que si llueve entonces me
mojo”, si yo hago esta afirmación, es por que ya vi que llueve y no me mojo, por eso se cambia por ”llueve
y no me mojo”, en este caso lo que digo no es muy claro y mi argumento tiene sentido, pero no convence
del todo, es por ello que se usan las tablas de verdad, para asegurarnos que esto sea cierto. Entonces en
el caso de la implicación tenemos: ¬(A ⇒ B) = A ∧ ¬B.
Hemos usado A y B como enunciados simples para explicar, pero A y B podrian ser enunciados
compuestos, es decir, podemos separar el enunciado “si Juan es mi vecino y es mayor de edad, entonces es
dentista y músico” en los enunciados compuestos A=“Juan es mi vecino y es mayor de edad” y B=“Juan
es dentista y músico”, de esta forma mi enunciado es A ⇒ B y su negación es la misma que si A y B
fueran enunciados simples: A ∧ ¬B
.
Generalmente conviene negar a pares, tanto para detallar nuestros argumentos, como para no equivocarnos, por ejemplo para negar algo de la forma A ∨ B ∨ C, hay que primero ponerlo como 2 enunciados
A ∨ (B ∨ C)(asociatividad), ahora si, sabemos negar ¬(A ∨ B ∨ C) = ¬[A ∨ (B ∨ C)] = ¬A ∧ ¬(B ∨ C),
además ¬(B ∨ C) = ¬B ∧ ¬C, de esta forma ¬(A ∨ B ∨ C) = ¬A ∧ ¬(B ∨ C) = ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C
Estoy usando la asociatividad, esto podria parecer claro con ejemplos, los enunciados “llueve o nieva
o tiembla”, “llueve o (nieva o tiembla)” y “(llueve o nieva) o tiembla” son iguales, esto es solo para
2
explicarlo, para demostrarlo bien, hay que recurrir a las tablas de verdad. La ley asociativa es también
cierta en el caso de “y”. Como en álgebra, la ley asociativa nos da una regla para 3 enunciados, pero
si tenemos una cadena de mas de 3 enunciados, podemos aplicar la regla varias veces, poniendo en grupos de 3 para aplicar la ley, o acomodando en 3 grupos para poder aplicarla. De esta forma podemos
obtener cosas como A ∨ B ∨ C ∨ D ∨ F = A ∨ B ∨ (C ∨ D ∨ F ) = (A ∨ B ∨ C∨)D ∨ F = y lo mismo
para “y”. Solo tomemos en cuenta que al tomar un enunciado como A ∨ B ∧ C ∨ D, no podemos asociar
tan libremente, solo podremos asociar las “o” o las “y” por separado, en este caso solo tenemos dos “y”
seguidas por lo que solo podemos asociar las “o” A∨B ∧C ∨D = A∨(B ∧C ∨D)∨F = A∨(B ∧C ∨D ∨F ).
Observemos que el Y de alguna forma funciona como multiplicación y la o como suma, esto nos
ayudará de alguna forma a operar mejor con estos conectivos, de hecho tenemos tambien la propiedad
distributiva, decir “llueve y (esta mojado o esta seco)” es lo mismo que decir “(llueve y está mojado) o
(no llueve y está seco)”, en lenguaje lógico A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), en los enunciados es mejor
usar comas en lugar de paréntesis: “llueve, y esta mojado o esta seco”, “llueve y está mojado, o no llueve
y está seco” otra cosa es que generalmente le damos prioridad a la “y”, de esta forma si yo digo A ∧ B ∨ C,
estoy diciendo (A ∧ B) ∨ C, esto es solo notación, generalmente se usa ası́.
Para negar enunciados complejos, hay que separar por pares e ir por partes, según hemos visto, por
ejemplo:
¬([A∨B∧(C∨D)] ⇒ E) = ¬([A∨(B∧(C∨D))] ⇒ E)¬[A∨B∧(C∨D)]∧¬E = [¬A∧¬(B∧(C∨D))]∧¬E =
[¬A ∧ (¬B ∨ ¬(C ∨ D))] ∧ ¬E = [¬A ∧ (¬B ∨ (¬C ∧ ¬D))] ∧ ¬E
Ejercicio. Niega los enunciados del ejercicio anterior en lenguaje lógico, luego traduce la negación del
lenguaje lógico al lenguaje común. por ejemplo para el primer problema tenemos “no llovió ayer” que
equivale a ¬A donde A=“llovió ayer”, su negación es ¬¬A, sabemos que una doble negación se elimina,
ası́ el resultado es A, ahora traducimos al lenguaje común “llovió ayer”
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