Computational Logic Chapter 6. Description Logics

P. Cabalar
Computational Logic
Chapter 6. Description Logics
Pedro Cabalar
Dept. Computer Science
University of Corunna, SPAIN
January 18, 2011
( Dept. Ch6.
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Logics
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Outline
1
Lógica Descriptiva
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva
P. Cabalar
El conocimiento de un dominio usa muchos conceptos. Ejemplo:
una bujía es una pieza y forma parte del motor que es una pieza
...
Idea clave: representar definiciones de conceptos para un
dominio dado. Esto se denomina Conocimiento Terminológico.
Antes conocido como: sistemas terminológicos o lenguajes de
conceptos. Hoy en día, uso más importante: descripción de
Ontologías para Web Semántica (OWL-DL, OWL-Lite).
Usamos unas construcciones básicas (parecidas a operadores
modales) y traducimos a (un subconjunto de) lógica de primer
orden.
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva
Sintaxis: partimos de
1
Un conjunto de átomos llamados conceptos. Representan clases o
conjuntos de objetos. Ejemplos: Persona, Mamífero, Vehículo,
Azul, . . .
2
Un conjunto de roles que representan relaciones binarias entre
objetos. Ejemplos: tiene-hijo, viaja-en, le-gusta-a, . . .
3
Unos constructores para definir nuevos conceptos de forma
recursiva. Ejemplo: vehículos azules o rojos,
Vehículo u (Azul t Rojo). Ejemplo: Persona u ∃tiene-hijo
Tenemos una familia de lógicas descriptivas, dependiendo de los
constructores permitidos.
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva: FL−
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La lógica descriptiva más simple es FL− .
La sintaxis de FL− se describe como:
C ::= A | C u D | ∀R.C | ∃R | > | ⊥
donde A=concepto atómico, C, D=conceptos y R=rol.
Sintaxis alternativa:
C ::= A | (:and C D) | (:all R C) | (:some R)
Cuantificadores: ∀tiene-hijo.Hembra definiría aquellos elementos
cuya prole son todo hembras. Por otro lado ∃tiene-hijo define a
aquéllos que tienen al menos un hijo. También se escribe como
∃R.>.
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva: FL−
Definition (Interpretación)
Una interpretación I es un par h∆I , ·I i donde
∆I es un conjunto no vacío llamado dominio
·I es una función que hace corresponder:
P. Cabalar
1
Cada concepto con un subconjunto de ∆I .
2
Cada rol con un subconjunto de ∆I × ∆I .
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva: FL−
Ampliamos ·I para evaluar conceptos recursivos:
(C u D)I
(∃R)I
(∀R.C)I
= C I ∩ DI
= {x ∈ ∆I : ∃y .(x, y ) ∈ R I }
= {x ∈ ∆I : ∀y .(x, y ) ∈ R I ⇒ y ∈ C I }
(>)I
= ∆I
(⊥)I
= ∅
Ejemplo: ¿qué significan las siguientes expresiones?
P. Cabalar
1
Adulto u Varón
2
∀tiene-hijo.(Adulto u Varón)
3
∃tiene-hijo u ∀tiene-hijo.(∃tiene-hijo u Adulto)
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva: ALC
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Un segundo ejemplo: ALC es más expresiva que FL− . Permite:
C ::= A | C u D | ∀R.C | ∃R | ¬C
con (¬C)I = ∆I \ C I
Una variante más limitada AL sustituye ¬C por ¬A (sólo negación
de conceptos atómicos).
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva: constructores más usados
Constructor
Individuos
Valores de propiedad
Conjunción
Disyunción
Negación
Restr. existencial
Restr. universal
Restr. cardinal
Rol inverso
Rol transitivo
Enumeración
Sintaxis
Semántica
o:C
oI ∈ C I
I
(o1 , o2 ) : R
(o1 , o2I ) ∈ R I
CuD
C I ∩ DI
CtD
C I ∪ DI
¬C
∆I \ C I
∃R.C
{x : ∃y .(x, y ) ∈ R I &y ∈ C I }
∀R.C
{x : ∀y .(x, y ) ∈ R I ⇒ y ∈ C I }
(≥ n R)
{x : |{y .(x, y ) ∈ R I }| ≥ n}
(≤ n R)
{x : |{y .(x, y ) ∈ R I }| ≤ n}
−
R
{(x, y ) : (y , x) ∈ R I }
R∗
(R I )∗
I
{o1 , . . . , on }
{o1 , . . . , onI }
...
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Lógicas Descriptivas: cómo se nombran
Para nombrar cada variante se usan las iniciales
F
E
U
C
S
H
R
I
O
N
Q
(D)
propiedades funcionales
existencial general ∃R.C
unión de conceptos C t D
negación de conceptos ¬C
= ALC más roles transitivos R ∗
jerarquías de roles
roles reflexivos, irreflexivos y disjuntos
rol inverso R −
enumeración {o1 , . . . , on }
restricciones de cardinalidad (≥ n R), (≤ n R)
restricciones de cardinalidad cualificadas (≥ n R.C), (≤ n R.C)
tipos de datos (entero, string, etc)
OWL-DL corresponde a SHOIN ( D) mientras que OWL-Lite está
basado en SHIF ( D).
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Lógica Descriptiva
Lógica Descriptiva
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Una Base de Conocimiento se estructura en dos tipos de
conjuntos de expresiones: TBox y ABox.
TBox: contiene declaraciones terminológicas generales. Son de
dos tipos
1
Una definición de concepto A ≡ C. Ejemplo
Mujer ≡ Persona u Hembra
Madre ≡ Mujer u ∃tiene-hijo.Persona
(se puede imponer que sean acíclicas)
2
Un axioma de inclusión C1 v C2 . Ejemplo
∃tiene-hijo.Persona v Persona
Imponen restricciones en nuestro modelo.
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ABox: contiene aserciones sobre elementos y relaciones
concretas del dominio. De nuevo, tenemos dos tipos:
1
Aserciones de concepto o : C. Ejemplo:
Moby-Dick : Ballena
Juan : Hombre u ∃tiene-hijo
2
Aserciones de rol (o1 , o2 ) : R. Ejemplo:
(Ana, Juan) : tiene-hijo
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Lógica Descriptiva: Problemas de inferencia
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Problemas de inferencia típicos a resolver. A partir de una
descripción dada:
1
Absorción (Subsumption). Comprobar si un concepto es más
general que otro C v D
2
Equivalencia. Comprobar si dos conceptos son equivalentes C ≡ D
3
Consistencia. Comprobar si un concepto tiene sentido C ≡ ⊥
4
Pertenencia. Comprobar si un individuo es miembro de un
concepto o : C
Todos estos problemas son reducibles a consistencia. Por
ejemplo C v D se puede plantear como C u ¬D ≡ ⊥.
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Lógica Descriptiva: Problemas de inferencia
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Existen métodos muy eficientes para resolver estos problemas de
inferencia. En general: mayor expresividad ⇒ mayor complejidad
en el método de inferencia.
Por ejemplo, absorción en FL− es decidible y complejidad P.
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Lógica Descriptiva: traducción a primer orden
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La mayoría de las lógicas descriptivas son decidibles en primer
orden.
Cada C se convierte en un predicado unario C(x); cada R en un
predicado binario R(x, y ).
Podemos traducir a LPO con 2 variables:
tx (A)
tx (C u D)
tx (C t D)
tx (∃R.C)
tx (∀R.C)
=
=
=
=
=
A(x)
ty (A)
tx (C) ∧ tx (D)
ty (C u D)
tx (C) ∨ tx (D)
ty (C t D)
∃y .R(x, y ) ∧ ty (C)
ty (∃R.C)
∀y .R(x, y ) ⇒ ty (C) ty (∀R.C)
=
=
=
=
=
A(y )
ty (C) ∧ ty (D)
ty (C) ∨ ty (D)
∃x.R(y , x) ∧ tx (
∀x.R(y , x) ⇒ tx
En una TBox traducimos C ≡ D por ∀x.tx (C) ↔ tx (D).
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