Problema 19 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
19.- Una empresa de productos lácteos fabrica dos tipos de leche: entera y desnatada. El
proceso de fabricación se lleva a cabo mediante una máquina de esterilización y otra de
envase, donde el tiempo (expresado en horas por día) empleado por cada máquina y para
cada unidad de leche, viene dado por la siguiente tabla:
Entera
Desnatada
Esterilización
1
4
Envase
3
2
El número máximo de horas diarias disponibles de cada una de las máquinas es de 20.
Según la demanda del mercado, la empresa debe fabricar al menos 5 unidades diarias de
leche entera. El beneficio unitario de la leche entera es de 6 u.m. y el de la desnatada de 9.
Suponiendo que las unidades de leche pueden ser fabricadas total o parcialmente, responda
a las siguientes cuestiones:
a) Halle el número de unidades diarias a fabricar de cada tipo de leche para maximizar el
beneficio.
b) ¿Cuánto aumentaría o disminuiría el beneficio si la máquina de envase pasase a disponer
de una hora más diaria? ¿Y si aumentamos en una hora el tiempo de la máquina de
esterilización?
c) Mediante la representación gráfica, compruebe la solución del apartado a) y explique
gráficamente la repercusión de aumentar una hora en una de las máquinas.
d) Si aumentamos la disponibilidad de las dos máquinas en una hora, ¿el aumento o
decremento del beneficio será la suma de las cantidades del apartado b)? En caso de no
serlo, obtenga el verdadero aumento o decremento.
Solución:
a) Halle el número de unidades diarias a fabricar de cada tipo de leche para maximizar el
beneficio.
Denotamos por x1 el número de unidades de leche entera y por x2 el de leche
desnatada. Dado que las unidades de leche se pueden producir total o parcialmente, las
variables no tienen que tomar necesariamente valores enteros. La formulación
matemática del problema de esta empresa es, por tanto:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Max 6 x1 + 9 x 2
s.a.
x1 + 4 x 2 ≤ 20
3 x1 + 2 x 2 ≤ 20
x1 ≥ 5
x1 , x 2 ≥ 0
Resolviendo este problema con el programa LINDO obtenemos el siguiente
resultado
Por tanto:
•
La empresa debe producir diariamente cinco unidades de leche entera y
5

5/2 unidades de leche desnatada:  x1 * = 5, x 2 * =  .
2

•
Con ello le sobran cinco horas en la máquina de esterilización y ninguna
en la máquina de envasado.
•
El beneficio diario que obtiene es de 52,5 u.m.
b) ¿Cuánto aumentaría o disminuiría el beneficio si la máquina de envase pasase a disponer
de una hora más diaria? ¿Y si aumentamos en una hora el tiempo de la máquina de
esterilización?
Realizamos el análisis acerca del incremento en el número de horas en una de las
máquinas a partir de la interpretación de los multiplicadores de Lagange (variables
duales). Los valores de estas variables, a partir de los resultados obtenidos mediante el
programa LINDO (véase la columna DUAL PRICES) son:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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λ1* = 0 y λ2* = 4,5,
lo que implica que:
•
Un aumento en una hora en la máquina de esterilización (∆b1 = 1) no modifica el
valor de la función objetivo en el óptimo: ∆z* = λ1 ∆b1 = 0⋅1 =0.
•
Un aumento en una hora en la máquina de envase (∆b2 = 1) modifica el valor de
la función objetivo en el óptimo en 4,5 unidades monetarias:
∆z* = λ2 ∆b2 = 4,5⋅1 = 4,5.
No obstante, hay que señalar que esta interpretación de la variable dual es válida
sólo si la variación en el recurso no da lugar a un cambio en la base óptima. Así, si
consideramos una reducción en el primer recurso de 6 unidades, la interpretación
anterior deja de ser válida, porque la base óptima cambia.
Comprobamos esto resolviendo el problema para b1 = 14. Si la base óptima se
mantuviese la variación en la función objetivo sería:
∆z* = λ1 ∆b1 = 0⋅(-6) =0
Sin embargo, si resolvemos el problema con este valor del recurso, la solución
óptima es:
Obsérvese que la función objetivo cambia (de 52,5 pasa a valer 51) y esto se
debe a que la base ha cambiado. Ahora la variable de holgura correspondiente a la
tercera restricción es no nula y la de la primera ha pasado a valer 0.
c) Mediante la representación gráfica, compruebe la solución del apartado a) y explique
gráficamente la repercusión de aumentar una hora en una de las máquinas.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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La gráfica del problema es:
La restricción 1 es redundante. Además una aumento en una hora en la máquina de
envasado desplazará la restricción hacia arriba y la restricción seguirá siendo
redundante.
En cambio, la restricción 2 es activa en el óptimo. Si aumentamos una hora el proceso
de la máquina de esterilización, esta restricción se desplaza hacia arriba. Con ello va a
cambiar la solución óptima (no así la base óptima) y el óptimo se obtiene en una curva
de nivel mayor, lo que indica que aumentará el valor de la función objetivo en el óptimo,
tal y como se ha visto en el apartado b). La siguiente gráfica muestra todo esto:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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d) Si aumentamos la disponibilidad de las dos máquinas en una hora, ¿el aumento o
decremento del beneficio será la suma de las cantidades del apartado b)? En caso de no
serlo, obtenga el verdadero aumento o decremento.
La cuestión que abordamos ahora es qué ocurre si consideramos una variación en ambos
recursos de forma simultánea. Gráficamente, vemos que una variación de estos dos
recursos a la vez hace que cambie el óptimo. Analíticamente, para ver cómo cambia la
función objetivo cuando los dos recursos varían al mismo tiempo, tendríamos que
calcular la derivada direccional de la función objetivo evaluada en el óptimo, respecto
de los recursos, con el vector dirección v = (1, 1)t:
D(1,1) z ( x * (b1 , b2 ))
Sin embargo, dado que nuestro problema es lineal, se verifica que:
∆z* = λ1 ∆b1 + λ 2 ∆b2 = 0 ·1 + 4,5 ·1 = 4,5 .
No obstante, hay que recordar que la interpretación de las variables duales es válida sólo
si la variación en los recursos no da lugar a un cambio en la base óptima.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz