Determinar el área bajo la curva normal estándar

Probabilidad – Cap 6
DISTRIBUCION NORMAL
ESTANDAR
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4.1 - 1
La distribución normal estándar
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2
Variable aleatoria normal estandarizada
Podemos determinar el área bajo la curva
normal primeramente estandarizando la
variable.
Determinamos el valor Z para cada valor de la
variable usando la transformación
Luego usamos la tabla conocida como la tabla
para la curva normal para determinar el área
bajo la curva.
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Propiedades de la curva de normal estándar
1. Es simétrica alrededor de su media, 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1.
2. La moda = media = mediana =0, y el punto más alto
se produce en 𝑥 = 0.
3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 1
4. El área bajo la curva es igual a 1.
5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al
1
área bajo la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a .
2
4
EJEMPLO
Estandarizar una variable aleatoria
Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media,
μ = 2,200 libras y desviación estándar, σ = 200 libras.
• Estandarice la variable X.
• Determine el área bajo la curva normal estándar para X entre
los valores de Z correspondientes a x=2000 y x = 2300.
𝑥−𝜇
𝑧=
𝜎
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Area bajo una curva de normal estándar
• Calcule el área bajo la curva normal estándar:
• entre z=0 y z=1
• entre z=1 y z=2
• entre z=2 y z=3
7-6
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4.1 - 6
Determinar el área bajo una curva normal
estándar usando tablas.
La tabla A-2 para la distribución normal estándar da el área
bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de
alguna Z, como se muestra
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EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
Determinar el área bajo la curva normal estándar a la
izquierda de Z = -0.38.
Área hacia la izquierda de z = -0.38 es________
7-8
Area bajo una curva normal estándar
Área bajo la curva normal estándar a
la derecha de zo es igual a 1 – Area
to the left of zo
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7-9
EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
Determinar el área bajo la curva normal estándar a la derecha
de Z = 1.25
Área a la derecha 1.25 = 1 – área a la izquierda de 1.25
7-10
EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
Determinar el área bajo la curva normal estándar entre
z = -1.02 y z = 2.94.
Área entre -1.02 y 2.94
= (Área a la izquierda de z = 2.94) – (área a la izquierda de z = -1.02)
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Problema
Procedimiento
Solución
Determinar el área a la
izquierda de z
Sombrear el área a la
izquierda de z
Usar la tabla normal para
hallar la fila y la columna
que corresponden a z. El
área el el valor donde la fila
y la columna intersecan.
Determinar el área a la
derecha de z
Sombrear el área a la
derecha de z
Usar la tabla normal el área
a la izquierda de z. Luego
reste 1 – área a la izquierda
de z
Determinar el área entre
𝑧1 𝑦 𝑧2
Sombrear el área entre
𝑧1 𝑦 𝑧2
Usar la tabla normal el área
a la izquierda de 𝑧1 y a la
izquierda de 𝑧2 . Luego
reste área a la izquierda 𝑧2
– área a la izquierda de 𝑧1
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EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la
curva a la izquierda de z.
Determinar z, dado que el área a la izquierda de z es 0.7157
El valor z tal que el área a la izquierda de z es 0.7157 es
_____________.
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EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la
curva a la derecha de z.
Determinar z, dado que el área a la derecha de z es 0.3021.
El área a la izquierda de z es ___________________________________.
La aproximación para el valor de z que corresponde a un área de 0.3021 a la
derecha es _________________________.
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Práctica
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La tabla normal
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La tabla normal (cont)
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Práctica
Determinar el área bajo la curva normal estándar que
está a la derecha de z.
Determinar el área bajo la curva normal estándar que
está entre:
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Probabilidad para una variable aleatoria
normal estándar
P(a < Z < b)
representa la probabilidad de que una variable
aleatoria normal estándar está entre a y b
P(Z > a)
representa la probabilidad de que una variable
aleatoria normal estándar es mayor que a.
representa la probabilidad de que una variable
aleatoria normal estándar es menor que a.
P(Z < a)
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EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable
aleatoria normal estándar.
Determinar las siguientes probabilidades:
(a) P(Z < -0.23)
(b) P(Z > 1.93)
(c) P(0.65 < Z < 2.10)
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P(Z=z)
NOTA:
Para cualquier variable aleatoria continua, la probabilidad de observar
un valor específico de la variable aleatoria es 0.
Por ejemplo, para una variable aleatoria normal estándar, P (a) = 0,
para cualquier valor de a.
Esto es debido a que no hay área bajo la curva normal estándar en
un sólo valor, por lo que la probabilidad es 0.
Por lo tanto, las siguientes probabilidades son equivalentes:
P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b)
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