Práctica 4 - Unican.es

PRÁCTICA
INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO ESCALAR
CURSO 2014-2015
CÁLCULO II
Prácticas Matlab
Práctica 4 (10/03/2015)
Objetivos
o
Utilizar representaciones gráficas como apoyo para entender las definiciones y las propiedades de las integrales de campos escalares. o
Profundizar en la comprensión y el cálculo de integrales de línea, mediante aplicaciones. Comandos de Matlab
1.‐ Para representar el vector z, sobre un conjunto de puntos (x,y), utilizando segmentos verticales terminados en un marcador stem3(x,y,z)
Ejemplo: >>
>>
>>
>>
x = linspace(0,1,10);
y = x./2;
z = sin(x) + cos(y);
stem3(x,y,z)
2.‐ Para resolver ecuaciones de forma simbólica sol = solve('eq',var)
Resuelve la ecuación 'eq', en la variable var. Ejemplo: >> syms x
>> a=solve('x^4 - 5*x^2 + 6*x = 2', x)
Integral de línea de un campo escalar sobre una curva
Siendo C una curva suave y f ( x, y , z ) una función continua sobre C la integral de línea de f sobre C es:  f ( x, y, z )ds
C
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MATLAB: INTEGRALES DE LINEA
Si la curva C es plana, la integral de línea es  f ( x, y)ds
C
Definición (Diferencial de arco).‐ Dada una curva C, se llama diferencial de arco a la longitud del arco elemental, que se define como: ds  dx 2  dy 2 , en  2 ds  dx 2  dy 2  dz 2 , en  3 Por tanto, si la curva viene dada en paramétricas por r (t ) con t   a, b  , la integral de línea de f sobre C es, En  : 2
b

f ( x, y )ds =  f ( x(t ), y (t )) x(t ) 2  y(t )2 dt 
f ( x, y, z )ds =  f ( x(t ), y (t ), z (t )) x(t ) 2  y(t ) 2  z(t )2 dt C
En  : 3
C
a
b
a
Ejercicios
Integral de línea de un campo escalar. 1 Representa y calcula la longitud del camino recorrido por una partícula entre los instantes t = 0 y t = 1 , si en cada instante su posición viene determinada por las coordenadas x(t )  a cos3
t
2
, y (t )  a sen 3
t
2
Indicaciones Este es el ejercicio propuesto nº12 del tema 2. Escribe el código Matlab para representar la trayectoria de la partícula tomando a  2 : a=2;
t=linspace(0,1,30);
x=a*cos(pi*t/2).^3;
y=a*sin(pi*t/2).^3;
MATLAB: PRÁCTICA 4
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plot(x,y)
grid on

La integral que se pide es: L  ds C
Calcula a mano la diferencial de arco utilizando las ecuaciones paramétricas de la curva. Debes obtener el siguiente resultado: ds  dx 2  dy 2 
3a
t
t
cos sen dt 2
2
2
Compruébalo con Matlab: syms u;
sym('a0','positive')
dx=diff(a0*cos(pi*u/2)^3,u);
dy=diff(a0*sin(pi*u/2)^3,u);
ds=simplify(sqrt(dx^2+dy^2))

Calcula a mano la integral pedida: L  ds 
C
3a 1
t
t
cos sen dt 
2 0
2
2
Comprueba el resultado con Matlab: L=int(ds,u,0,1)
Integral de línea de un campo escalar. 2 Representa el área de la cortina vertical comprendida entre el plano z = 0 y el arco de espiral dado por x(t ) = cos t , y (t ) =sen t , z (t ) = 2t , 0  t  2
Halla, haciendo uso de integración, el área de esta cortina vertical. Comprueba el resultado con Matlab. Indicaciones Este es el ejercicio propuesto nº13 del tema 2. Código Matlab para representar el área buscada: %ejercicio 2
t=linspace(0,2*pi,100);
x=cos(t);y=sin(t);z=2*t;
stem3(x,y,z,'marker','none')
box off
xlabel('x');ylabel('y')
hold on
plot(x,y)
plot3(x,y,z)
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MATLAB: INTEGRALES DE LINEA
hold off
Calcula a mano la diferencial de arco y el área. Deberás obtener: área   f ( x, y )ds 
C
2
 2tdt   t 
2 2
0
 4 2 0
Comprobación con Matlab: syms u
dx=diff(cos(u)); dy=diff(sin(u));
ds=simplify(sqrt(dx^2+dy^2));
area=int(2*u*ds,u,0,2*pi)
Integral de línea de un campo escalar. a) Representa un alambre cuya forma es la de la primera espira de la hélice circular 3 x(t ) = cos t , y (t ) =sen t , z (t ) = t b) Halla la masa del alambre si la densidad lineal en cada punto es igual al módulo del vector de posición del mismo. Resuelve la integral con Matlab. c) Calcula la densidad media y encuentra los puntos de la hélice cuya densidad coincide con la densidad media y represéntalos sobre ella. Indicaciones Este es el ejercicio propuesto nº14 del tema 2. a) Código Matlab para representar la hélice: %representación de la hélice
t=linspace(0,2*pi,50);
x=cos(t);y=sin(t);z=t;
plot3(x,y,z,'LineWidth',2);
grid on
b) Plantea la integral para calcular la masa y resuélvela con Matlab: syms u
dx=diff(cos(u));dy=diff(sin(u));dz=diff(u);
ds=simplify(sqrt(dx^2+dy^2+dz^2));
masa=double(int(sqrt(1+u^2)*ds,u,0,2*pi))
c) Cálculo de la densidad media: %densidad media
long=double(int(ds,u,0,2*pi));
dm=masa/long;
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d) Localización de los puntos que tienen densidad media: %localización de los puntos que tienen densidad media
t0=double(solve(sqrt(1+u^2)==dm,u));
xv=cos(t0(1));yv=sin(t0(1));zv=(t0(1));
hold on
plot3(xv,yv,zv,'*r')
hold off
Resumen de comandos
Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I. 
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Para generar gráficos: Para resolver ecuaciones de forma simbólica: stem solve