Ayudantía No6

Ayudantía No6
MAT-210
Álgebra Lineal
Ayudante: Nicolás Varela Campos
1.
Quiz 4
Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. Dada una transformación lineal ϕ : E → E tal que
ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ para toda transformación lineal ψ : E → E.
Demuestre que ϕ = λı, para algún escalar λ, donde ı es la transformación identidad.
Sugerencia: Pruebe que para cada x ∈ E existe un escalar λx tal que ϕ(x) = λx ı(x) y luego pruebe que
λx no depende de x.
2.
Ayudantía 6
1. Considere A como el subespacio de todos los polinomios p(x) ∈ R2 JxK tales que p(−x) =
Rx
0
tp00 (t)dt.
a) Determine la forma matricial de una transformación lineal T de R2 JxK en A.
b) Determine la forma matricial de un isomorfismo de R2 JxK/Ker(T ) en A.
2. Sean E, F y G K-espacios vectoriales. Sean ϕ : E → F y ψ : E → G transformaciones lineales tales que
Ker(ϕ) ⊂ Ker(ψ)
Demuestre que existe χ : F → G tal que χ ◦ ϕ = ψ.
3.
a) Demuestre que si E ≤ F ≤ G, entonces se cumple que
(G/E)/(F/E) ∼
= G/F
b) Construya un isomorfismo explícito para el caso donde G = M2×2 (Z3 ), F es el conjunto de las matrices simétricas y E es el conjunto de las matrices diagonales, todas de dimensión 2 × 2.
1
3.
Ejercicios propuestos 6
1. Definición: (Secuencias exactas, secuencias exactas cortas, secuencias exactas cortas separadas)
La secuencia de transformaciones lineales
ϕ
F
/E
ψ
/G
es exacta en E si Im(ϕ) = Ker(ψ).
Una secuencia es exacta si es exacta en cada espacio vectorial intermedio de la secuencia.
La secuencia
0
/F
ϕ
/E
ϕ
/Ei
ψ
/G
/0
G
/0
es corta exacta si es exacta en F, E y G.
La secuencia corta exacta
0
/F
ψ
)
χ
es separada si existe una transformación lineal χ : G → E tal que ψ ◦ χ = ı.
a) Dada la secuencia exacta
F
ϕ
/E
ψ
/G
χ
/H
Pruebe que ϕ es sobreyectiva si y sólo si χ es inyectiva.
b) Pruebe que la secuencia corta exacta es separada si y sólo si existe una transformación ω : E → F
tal que ω ◦ ϕ = ı
2. Demuestre el siguiente lema:
Lema: (Lema del Hexágono) Dado el diagrama:
}}
}}
}
}
~}
}
h1
AA
AA
AAh2
AA
A
ϕ
B1 `A
B2
AA j
}>
j2 }}
AA 1
AA
}}
A }}}
∼
k1 ∼
=
= k2
E
}> `AAA
}
A
AA
}}
}}
i2 AA
}} i1
ψ
C1 A
C2
AA
}}
AA
}}
A
}
A
}
l1
A ~}} l2
B
en donde todos los triángulos son conmutativos, k1 y k2 son isomorfismos y las diagonales j2 ◦ i1 y j1 ◦ i2
son exatas en E.
Probar que
l1 ◦ k1 ◦ h1 + l2 ◦ k2 ◦ h2 = ψ ◦ ϕ
2