Tema 2: El lenguaje GOTO Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Teorı́a de la Computabilidad Curso 2010–11 TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.1 Modelos de computación El lenguaje GOTO Sintaxis Semántica Funciones computables Macros Ejemplos Expansión de macros TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.2 Modelos de Computación I Un Modelo de Computación proporciona una definición matemática precisa del concepto de algoritmo. I Un Programa es la expresión formal de un algoritmo en un modelo. Caracterı́sticas generales: I 1. Especificación: I I Datos de entrada y salida (suelen ser del mismo tipo). Operaciones básicas. Acciones primitivas que actúan sobre los datos de entrada. 2. Implementación e Interpretación: I I TC0, 2010–11 Sintaxis: reglas gramaticales para la construcción de los procedimientos mecánicos (programas). Semántica: definición lógico-matemática de las funciones o relaciones que definen los procedimientos. Lenguaje GOTO 2.3 Funciones Computables Un modelo de computación, M, viene dado por: I I I Un conjunto de datos de entrada y salida, DM . Un conjunto de programas PM (descrito por la sintaxis de M). Una descripción del modo en que cada programa calcula una función. Sea P un programa en un modelo de computación M. I Asociamos a P una función sobre la estructura de datos [ [[P]]M : D∗ − −→ D donde, D∗ = Dk k∈N−{0} I TC0, 2010–11 [[P]]M (d)= resultado de ejecutar P sobre el dato d. (k) Donde para cada aridad k, [[P]]M = [[P]]M Dk Una función k-aria f : Dk − −→ D es M–computable si existe un M-programa P tal que [[P]](k) = f . Denotamos por M–COMP al conjunto de funciones M–computables Lenguaje GOTO 2.4 Modos de Computación Asocian a la semántica del modelo una definición de solución. I Modo secuencial-determinista. La ejecución sobre un dato es única. Resuelve el problema de manera exacta. I Modo paralelo. Ejecuta diversas tareas en procesadores distintos. Resuelve el problema de manera exacta. I Modo no determinista. Admite instrucciones que pueden elegir entre dos o más opciones. Resuelve un problema si entre sus posibles soluciones proporciona una solución exacta del mismo. I Modo probabilista. Los programas son deterministas, pero se admite como soluciones programas que, con cierta probabilidad, proporcionan una solución exacta del problema. TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.5 El Lenguaje GOTO Es un modelo secuencial y determinista con conjunto de datos: N. I Sintaxis: De entrada: X1 (= X ), X2 , X3 , ... De salida: Y 1. Variables: Auxiliares: Z1 (= Z ), Z2 , Z3 , ... 2. Etiquetas: A1 , B1 , C1 , D1 , E1 , A2 , B2 , C2 , D2 , E2 , . . . I Notación: A = A1 , B = B1 , C = C1 , D = D1 , E = E1 . 3. Instrucciones: Para cada variable V y cada etiqueta L: I I I I I Incremento: V ←− V + 1 Decremento: V ←− V − 1 Condicional: IF V 6= 0 GOTO L Skip: V ←− V Instrucciones etiquetadas: Para cada etiqueta K : [K ] [K ] [K ] [K ] TC0, 2010–11 V ←− V + 1 V ←− V − 1 IF V 6= 0 GOTO L V ←− V Lenguaje GOTO 2.6 Programas GOTO I I I I I I TC0, 2010–11 Un programa GOTO (un G–programa) es una sucesión finita de instrucciones del lenguaje GOTO, P = I1 , I2 , .., In , cuya última instrucción NO es Y ←− Y . Si P = I1 , . . . , In es un programa GOTO el número n se denomina longitud del programa y se denota por |P|. Caso lı́mite: el Programa Vacı́o (con 0 instrucciones). Denotaremos por GOTOP al conjunto de los G-programas. Ejemplo: [A] X ←− X − 1 Y ←− Y + 1 P: IF X 6= 0 GOTO A Cada programa expresa un procedimiento para calcular una cierta función (parcial) de Nn en N. El modo en que cada programa lleva a cabo esto se determina mediante la semántica del lenguaje GOTO. Lenguaje GOTO 2.7 Estados Sea P un programa GOTO. I Denotamos al conjunto de las variables del lenguaje GOTO mediante VAR. I var (P) conjunto de variables que aparecen en P. I Un estado de P es una aplicación σ : VAR → N. I Un estado es, esencialmente, una tabla variable–valor que guarda el valor de las variables del programa en un momento dado. Por ello, a veces, escribiremos V = m en lugar de σ(V ) = m. TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.8 Descripciones instantáneas Sea P un programa GOTO. I Una descripción instantánea, (d.i.) de P, es un par s = (i, σ) donde 1 ≤ i ≤ |P| + 1 y σ es un estado de P. I Cuando i = 1 y σ(V ) = 0 para toda variable V , salvo un número finito de variables de entrada, la d.i. se denomina inicial. I Cuando i = |p| + 1, la d.i. se denomina terminal. I Si s = (i, σ), escribiremos s(V ) en lugar de σ(V ). TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.9 Semántica Sea P un programa y s = (j, σ) y s 0 = (j 0 , σ 0 ) descripciones instantáneas de P con j 6= |p| + 1. Diremos que s 0 es la descripción instantánea siguiente de s en la computación de P, y escribimos s `p s 0 , si: I Caso 1: Ij ≡ V ←− V + 1, s(V)=m. Entonces j 0 = j + 1 y I I Caso 2: Ij ≡ V ←− V − 1, s(V)=m. Entonces j 0 = j + 1 y I I I I σ 0 es σ sustituyendo V = m por V = m + 1. Si m > 0, σ 0 es σ sustituyendo V = m por V = m − 1. Si m = 0, σ 0 = σ Caso 3: Ij es de tipo SKIP. Entonces j 0 = j + 1 y σ 0 = σ. Caso 4: Ij ≡ IF V 6= 0 GOTO L. Entonces σ 0 = σ y I I Si s(V ) = 0, entonces j 0 = j + 1 Si s(V ) 6= 0 I I TC0, 2010–11 Si existe k tal que Ik es la primera instrucción etiquetada con L, entonces j 0 = k Si no existe tal k, j 0 = |p| + 1 Lenguaje GOTO 2.10 Computación de un programa Una computación de un programa P es una sucesión de d.i. de P, s = s1 , . . . , sk , . . . tal que: I s1 = (1, σ) es una d.i. inicial. I Para todo k, con sk no terminal, existe k + 1 tal que sk `p sk+1 Una computación s de p es finita si y sólo si existe k tal que sk es terminal. En tal caso, escribiremos P(s) ↓ y diremos que dicha computación para. En caso contrario, la computación s es infinita; escribiremos P(s) ↑ y diremos que no para. Lema. Para todo P ∈ GOTOP se verifica: I Ausencia de bloqueo: Para toda d.i., s, no terminal, existe s 0 tal que s `p s 0 . I Determinismo: Para cada d.i. inicial existe una única computación. TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.11 Ejemplo [A] [B] IF X 6= 0 GOTO B Z −→ Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO E X −→ X − 1 Y −→ Y + 1 IF X 6= 0 GOTO A s1 = (1, {X = 3, Y = 0, Z = 0}) s2 = (4, {X = 3, Y = 0, Z = 0}) s3 = (5, {X = 2, Y = 0, Z = 0}) s4 = (6, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s5 = (1, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s6 = (4, {X = 2, Y = 1, Z = 0}) s7 = (5, {X = 1, Y = 1, Z = 0}) s8 = (6, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s9 = (1, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s10 = (4, {X = 1, Y = 2, Z = 0}) s11 = (5, {X = 0, Y = 2, Z = 0}) s12 = (6, {X = 0, Y = 3, Z = 0}) s13 = (7, {X = 0, Y = 3, Z = 0}) TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.12 Funciones GOTO–computables Sea P un G–programa. La función de aridad n calculada por P es la función [[P]](n) : Nn − → N definida como sigue: Dado ~a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , 1. Sea σ el estado de P dado por: I I σ(Xi ) = ai (1 ≤ i ≤ n) σ(V ) = 0 para toda V ∈ var (P) \ {X1 , . . . , Xn }. 2. Sea ahora s1 = (1, σ). Entonces sk (Y ) si existe s1 , . . . , sk finita de p a partir de s1 [[P]](n) (~a) = ↑ e.c.o.c. Definición. Diremos que una función f : Nn − → N es GOTO–computable (f ∈ G –COMP), si existe un programa GOTO, P tal que f = [[P]](n) . I TC0, 2010–11 G –COMP (n) es el conjunto de funciones computables de aridad n. Lenguaje GOTO 2.13 Ejemplos I La función identidad IdN : N → N es GOTO–computable. IF X 6= 0 GOTO B Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO E [B] X ←− X − 1 Y ←− Y + 1 IF X 6= 0 GOTO B I La función vacı́a f∅ es GOTO–computable: [A] Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO A I La función nula O : N −→ N GOTO–computable. O(x) = 0 es La función nula es calculada por cualquier programa que pare siempre y en el que no aparezca la variable de salida Y . TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.14 Macros Existen bloques de instrucciones que podemos considerar como “nuevas instrucciones” ya que podemos utilizarlos en cualquier programa para realizar una cierta subtarea. Veamos algunos ejemplos de esto: I El bloque de instrucciones: Z ←− Z + 1 IF Z 6= 0 GOTO L I nos permite realizar un salto incondicional a la instrucción etiquetada por L (o terminar la ejecución del programa). Podemos poner a cero una variable V mediante el siguiente bloque de instrucciones: [L] V ←− V − 1 IF V 6= 0 GOTO L TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.15 Macros (II) I Es útil introducir abreviaturas para poder usar cómodamente los bloques anteriores en la descripción de un programa. I Dichas abreviaturas se denominan macros y para poder usarlas debemos especificar con precisión la forma en que dichas abreviaturas se reemplazan por verdadero código. Zk ←− Zk + 1 GOTO | {z L} =⇒ IF Zk 6= 0 GOTO L | {z } MACRO EXPANSIÓN [K ] V ←− V − 1 V {z 0} =⇒ | ←− IF V 6= 0 GOTO K | {z } MACRO EXPANSIÓN I En el primer caso Zk debe ser una variable que no aparece en el programa en que realizamos la expansión. En el segundo caso K es una etiqueta que no aparece en dicho programa. TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.16 Macros. Asignación La macro V ←− V 0 asigna a V el valor de V 0 , conservando V 0 su valor. V ←− 0 [A] IF V 0 6= 0 GOTO B GOTO C [B] V 0 ←− V 0 − 1 Copia V 0 en V y en Z V ←− V + 1 y Z ←− Z + 1 Pone V 0 a cero GOTO A [C ] IF Z 6= 0 GOTO D GOTO L Copia Z en V 0 [D] Z ←− Z − 1 Pone Z a cero V 0 ←− V 0 + 1 GOTO C [L] V ←− V Continúa TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.17 Uso de las macros La función suma: Sum : N2 [B] P+ [A] −→ N Sum(x, y ) = x + y Y ←− X1 Z ←− X2 IF Z 6= 0 GOTO A GOTO E Z ←− Z − 1 Y ←− Y + 1 GOTO B Ejercicio: Prueba de la corrección para la suma. (∀x, y ∈ N)([[P+ ]](2) (x, y ) = x + y ) (por inducción débil sobre la segunda variable). TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.18 Uso de macros (II) La función producto. Prod : N2 −→ N ·(x, y ) = x·y Z2 ←− X2 [B] IF Z2 6= 0 GOTO A GOTO E [A] Z2 ←− Z2 − 1 p× Z1 ←− X1 + Y Y ←− Z1 GOTO B Nota: Z1 ←− X1 + Y es una macro ejecuta el programa Suma y asigna el resultado a la variable Z1 . TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.19 Expansión de macros (I) Sean f ∈ GCOMP (n) y P ∈ GOTOP tales que [[P]](n) = f . Veamos una expansión para la macro: W ←− f (V1 , . . . , Vn ). 1. Renombrando las etiquetas de P si fuese necesario, podemos suponer que la única etiqueta de salida de P es E y todas las demás etiquetas de P son A1 , .., Ar . 2. Renombrando variables podemos suponer que las únicas variables de entrada que aparecen en P son X1 , . . . , Xn y las únicas variables auxiliares Z1 , . . . , Zk . 3. Podemos expresar la situación anterior escribiendo P ≡ P(Y , X1 , . . . , Xn , Z1 , . . . , Zk ; E , A1 , . . . , Ar ) 4. Dado m ∈ N podemos obtener un nuevo programa Qm ≡ P(Zm , , Zm+1 , .., Zm+n , Zm+n+1 , .., Zm+n+k ; Em , Am+1 , .., Am+r ) sustituyendo en P cada variable y cada etiqueta por la correspondiente de Qm . TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.20 Expansión de macros (II) Para expandir la macro en un programa P 0 , tomamos m ∈ N suficientemente grande para que Qm y P 0 no tengan variables ni etiquetas comunes. Una vez determinado m reemplazamos la macro por: Zm ←− 0 Zm+1 ←− V1 .. . Zm+n ←− Vn .. . W ←− f (V1 , . . . , Vn ) Zm+n+1 ←− 0 .. . Zm+n+k ←− 0 Qm [Em ] W ←− Zm TC0, 2010–11 Lenguaje GOTO 2.21 Macros condicionales Si P(V1 , . . . , Vn ) es un predicado G-computable: macroexpansión Z ←− P(V1 , . . . , Vn ) IF Z 6= 0 GOTO L macro IF P(V1 , . . . , Vn ) 6= 0 GOTO L Ejemplo: IF V = 0 GOTO L V = 0 ≡ P(v ) = donde P(v ) es G-computable: TC0, 2010–11 1 si v = 0 0 si v 6= 0 IF X 6= 0 GOTO E Y ←− Y + 1 Lenguaje GOTO 2.22