Álgebra Lineal Numérica
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Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores Qu = −u Qv = v para todo v ortogonal a u. Teorema 3.2.23 H1 kuk = 1 H2 P = uut T1 Pu = u T2 Pv = 0 para todo v ortogonal a u. T3 P2 = P T4 Pt = P P se llama proyector Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.26 H1 kuk = 1 H2 Q = I − 2uut T1 Qu = −u T2 Qv = v para todo v ortogonal a u. T3 Qt = Q (simétrica) T4 Q−1 = Qt (ortogonal) T5 Q−1 = Q (involución) Q se llama reflector de Householder H1 kuk 6= 0 t H2 Q = I − 2 uu ut u Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Teorema 3.2.30 H1 x 6= y H2 kxk2 = kyk2 T1 Existe Q reflector Qx = y D u = 12 (x − y) H1 x 6= 0 T1 Existe Q reflector Qx = kxk2 e1 D1 y = ± kxk2 e1 Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Reflectores de Householder Algoritmo β ← max|xi | i f (β = 0) γ←0 else x1:n ← x1:n β τ ← kxk2 i f (x1 < 0) τ ← −τ x1 ← x1 + τ γ ← xτ1 x2:n ← xx2:n1 x1 ← 1 τ ← τβ Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Teorema 3.2.20 x x x x x x x x x x x x x x x x Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Teorema 3.2.20 x 0 0 0 x x x x x x x x x x x x Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Teorema 3.2.20 x 0 0 0 x x 0 0 x x x x x x x x Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Teorema 3.2.20 x 0 0 0 x x 0 0 x x x 0 x x x x Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Algoritmo for k = 1, . . . , n − 1 Calcular reflector Qk Transformar ak:n,k Guardar uk Transformar ak:n,k+1,n Actualizar akk Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Unicidad de la descomposición QR Teorema 3.2.46 H1 A no singular. T1 Existen Q y R talque A = QR T2 Q y R únicas D1 Usar teorema 3.2.20. Estabilidad Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Unicidad de la descomposición QR Teorema 3.2.46 H1 A no singular. T1 Existen Q y R talque A = QR T2 Q y R únicas D1 Usar teorema 3.2.20. Estabilidad Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Unicidad de la descomposición QR Teorema 3.2.46 H1 A no singular. T1 Existen Q y R talque A = QR T2 Q y R únicas D1 Usar teorema 3.2.20. Estabilidad Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Unicidad de la descomposición QR Teorema 3.2.46 H1 A no singular. T1 Existen Q y R talque A = QR T2 Q y R únicas D1 Usar teorema 3.2.20. Estabilidad Álgebra Lineal Numérica Cuadrados mínimos Reflectores Descomposición QR por reflectores. Unicidad de la descomposición QR Teorema 3.2.46 H1 A no singular. T1 Existen Q y R talque A = QR T2 Q y R únicas D1 Usar teorema 3.2.20. Estabilidad Álgebra Lineal Numérica
