Intervalos - Rodolfo Robinson

Intervalos y Entornos
La geometría analítica establece una correspondencia entre puntos de una recta y números
reales, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la
recta un único número real. La recta recibe el nombre de recta real o espacio de una dimensión y los
términos punto o número real se usan indistintamente.
En la representación gráfica se indica un punto origen sobre la recta que corresponde al 0 y otro
punto a su derecha para representar el 1, con lo cual queda establecida la escala. La relación de
orden definida en R se interpreta geométricamente considerando que si b > a, entonces el punto b
está a la derecha del punto a.
a
0 1
b
Esta correspondencia entre puntos y números reales facilita la interpretación de muchas
demostraciones y constituye un auxiliar poderoso para su comprensión. Sin embargo, debe tenerse
en cuenta que, si bien cualquier representación gráfica es fuente de claridad, en ninguna
demostración tiene validez la utilización de recursos gráficos puramente intuitivos.
A continuación se consideran algunas definiciones útiles.
Intervalos
Siendo a < b:
1) Intervalo cerrado [a;b] es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los
comprendidos entre ambos:
[a;b] = {x / x R
a x b}
a
b
La longitud del intervalo [a;b] es el número positivo b – a.
2) Intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b:
(a;b) = {x / x R
a x b}
a
b
La longitud de (a;b) es también el número positivo b – a.
3) Intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha (a;b] es el conjunto de números
reales formado por b y los números comprendidos entre a y b:
(a;b] = {x / x R
a x b}
a
b
Análogamente se define el intervalo [a;b).
También,
longitud de (a;b] = longitud de [a;b) = b – a.
Las definiciones anteriores se pueden generalizar cosiderando la semirrecta y la recta como
intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos
y
. Estos símbolos deben
ser considerados con especial atención, recordando que se usan solamente por conveniencia de
notación y nunca como números reales.
a
[a;
) = x/ x
a
(b;
) = x/ x
b
(
;c] = x / x
c
(
;d] = x / x
d
(
;
b
c
d
) = x/ x
R
R
Entorno
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo, entorno de centro a y radio h
es el intervalo abierto (a-h;a+h). Se lo designa E(a,h).
E a; h
x/a h x a h
ó E a; h
x/ x a
h
h
a–h
a
a+h
Los entornos suelen designarse indicando solamente el centro, por ejemplo, E(a).
Entorno Reducido
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h es un número real positivo, entorno reducido de
centro a y radio h es el conjunto de puntos del intervalo abierto (a-h;a+h) del cual se excluye el
centro a. Se lo designa E´(a,h) ó E´(a).
E´ a; h
x/ x a
a h x a h
ó E´ a; h
x/0
x a
h
h
a–h
Obsérvese que exigir 0
a
x a equivale a exigir x
a+h
a , pues x a
0
x
a.
Punto de Acumulación
Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto de a es punto de acumulación de C si
a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C. el punto a puede pertenecer o
no al conjunto C, pero la definición exige que en cualquier entorno del punto a exista por lo menos
un punto de C distinto del punto a.
Es decir:
Conjunto Cerrado
Un conjunto al cual le pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina cerrado. Es
decir, un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación.
C cerrado
a : (a punto de acumulación de C
a C)
Ejemplos
El conjunto R de los números reales es cerrado, pues le pertenecen todos sus puntos de
acumulación que son los números reales.
Un intervalo cerrado es, como su nombre lo indica, un conjunto cerrado.
Puede probarse fácilmente que cualquier conjunto que no tiene puntos de acumulación es un
conjunto cerrado.
En efecto, sea C un conjunto cualquiera que no tiene ningún punto de acumulación.
De acuerdo con la definición, para que C sea un conjunto cerrado debe ser verdadera la
siguiente implicación:
Si a es un punto de acumulación de C, entonces a pertenece a C.
Pero el antecedente de esta implicación es falso, pues C no tiene ningún punto de
acumulación.
Luego, la implicación es verdadera, pues cualquier implicación con antecedente falso es
verdadera.
Por lo tanto, el conjunto N y el conjunto Z, que no tienen puntos de acumulación, son
conjuntos cerrados.
Negación
Un conjunto no es cerrado si y sólo si tiene un punto de acumulación que no le pertenece.
C no es cerrado
a / (a punto de acumulación de C a C )
Ejemplos
El conjunto Q de los números racionales no es cerrado, pues sus puntos de acumulación son
los números reales y, de éstos, los irracionales no pertenecen a Q.
Es decir, Q no es cerrado, pues, por ejemplo 2 es un punto de acumulación de Q y
2 Q.
El intervalo semiabierto a; b no es cerrado, pues a es punto de acumulación de a; b y
a a; b .
Conjunto Denso en sí
Un conjunto es denso en sí si y sólo si todos sus puntos son de acumulación.
Es decir,
C denso en sí
a punto de acumulación de C)
a :( a C
(
a : a C a C´ )
Por lo tanto, un conjunto es denso en sí si y sólo si está incluido en su conjunto derivado:
C C´
C denso en sí
Ejemplos
El conjunto R de los números reales es denso en sí, pues todos sus puntos son de
acumulación.
El conjunto Q de los números racionales también es denso en sí, pues todos sus puntos son
de acumulación.
N y Z no lo son, pues ninguno de sus puntos es de acumulación.
Conjunto Perfecto
Un conjunto es perfecto si y sólo si es cerrado y denso en sí.
Es decir, un conjunto es perfecto si es igual a su conjunto derivado.
En efecto, si C es cerrado, entonces su derivado está incluido en él, y si C es denso en sí,
entonces su derivado lo incluye. Por lo tanto, C´ C C C´ .
Luego, C C´
Ejemplos
R es un conjunto perfecto, pues R´ = R.
Un intervalo cerrado es un conjunto perfecto, pues a; b ´ a; b
Q no es perfecto, pues es denso en sí pero no es cerrado.
Z y N no son perfectos, pues son cerrados pero no son densos en sí.