Análisis de la placa zonal de Fresnel utilizando la teoría fraccional

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 40, No.1, Abril 2008
Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a
Fraccional de Fourier
C. O. Torres a , L. Mattos a , C. Jiménez b , J. Castillo b , Y. Torres
c
a Grupo
LOI, Universidad Popular del Cesar. Valledupar-Colombia.
GIMA, Universidad de la Guajira. Riohacha-Colombia.
c Grupo GOTS, Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga-Colombia.
b Grupo
Recibido 22 de Oct.2007; Aceptado 3 de Mar.2008; Publicado en lı́nea 15 de Abr.2008
Resumen
La placa zonal de Fresnel se describe adecuadamente con ayuda de la teorı́a clásica de la difracción;
en este caso particular se considera una abertura dividida en regiones anulares; es decir una pantalla
de rendijas estrechas de cı́rculos concéntricos la cual es iluminada con una onda plana monocromática;
esta configuración permite enfocar una onda plana monocromática en pequeñas regiones con mucha
intensidad, lo cual da lugar a la formación de una serie de ondas esféricas que convergen o divergen de
puntos focales, de donde se obtiene que la placa zonal es un elemento óptico difractivo con cromatismo
pronunciado. En este artı́culo se presenta una derivación completa y detallada de la difracción producida
por una placa zonal de Fresnel utilizando el formulismo de la teorı́a de la transformada fraccional de
Fourier, obteniéndose de manera formal una ecuación para las coordenadas de los planos focales y para
las amplitudes de los ordenes difractados.
Palabras Clave: Placa zonal de Fresnel, difracción, transformada fraccional de Fourier.
Abstract
The Fresnel zone plates are described suitably with the help of the classic theory of the diffraction; in this
particular case when a plane wave illuminates a certain type of bicomponent optical system, consisting of
plane screens with circular apertures on a given optical axis, a multifocal diffractive focusing effect can
appear; this configuration allows to obtain small regions with much intensity, here the diffraction picture
in the focal planes represents the circular nonlocal bands of the Fresnel zones with a bright narrow peak
at the center. In this article a detailed description of the working principle of the Fresnel zone plates and
general equation for the Fresnel zonal plate diffraction is derived within the framework of the fractional
Fourier transform.
Keywords: Fresnel zone plates, diffraction, fractional Fourier transform
c
°2008.Revista
Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
La placa zonal se considera como el primer elemento óptico difractivo, esta consiste en un conjunto de regiones circulares opacas y transparentes, fue realizado
por Rayleigh en 1871 [1]; en 1918 Wood fabricó la pla-
ca zonal de fase invertida, en los años 50 y 60’s, varios
investigadores consideraron cortes en forma de dientes
de sierra (blazing) en la placa zonal, para incrementar la
cantidad de energı́a concentrada en un orden de difracción particular. A finales de 1960, Lesem, Hirsch y Jordan desarrollaron el kinoform; elemento óptico difrac-
C. O. Torres et al. Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a Fraccional de Fourier
tivo cuyo control de fase se hace modulando el perfil de
una superficie óptica [1,2]. La óptica difractiva se fortaleció en los años 80’s, gracias al excelente trabajo que
fue realizado en el MIT Lincoln Laboratory, el cual hizo posible la fabricación de lentes de Fresnel con altas
eficiencias de difracción[1].
3. Fenómeno de difracción para la placa zonal de
Fresnel
La placa zonal es un ejemplo de la difracción de
Fresnel; y consiste de una abertura dividida en regiones
anulares como las de fig. 1, si la pantalla es iluminada por onda plana monocromática de longitud de onda
λ. Las ondas que emergen de cada una de las ranuras
están en fase, si la diferencia de camino óptico es un
múltiplo entero n de la longitud de onda, por tanto las
rendijas circulares concéntricas son capaces de enfocar
una onda monocromática plana en pequeñas regiones
con mucha intensidad. Si las aberturas circulares son
dividas en zonas de Fresnel y las zonas alternas son cubiertas con un material opaco, se tiene una placa zonal
de Fresnel, si además, varı́a sinusoidalmente, se conoce
como una lente zonal de Fresnel. Según la definición
anterior la transmitancia t (ξ, η) de una placa zonal de
fresnel en amplitud queda expresada mediante:
"
¡
¢#
∞
X
i2πn ξ 2 + η 2
t (ξ, η) =
An exp
⇒
p
n=−∞
·
¸
Z
Z
1 ξ0 +p η0 +p ¡ 2 2 ¢
i2πn(ξ, η)
An =
t ξ , η exp −
dξdη
(3)
p −ξ0
p
−η0
2. Transformada fraccional de Fourier y formula de
Collins generalizada
Resultados preliminares permiten escribir la conocida integral de difracción de Collins como:
2π sin α
UP (u, v) =
iλ (B)

 ¡
¢
2
iπ u2 + v 2
cos
α
D

´ 
exp  − ³
B
λ
A 1− B B
R1
h
h ³ π α ´ii2
exp −i
−
F α [UA (ξ, η)]
4
2
Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (1) se
obtiene:
(1)
Donde los elementos ABCD constituyen la llamada
matriz de transferencia de rayos de un sistema óptico
[2]. La expresión (1) muestra que existe una relación
descrita por la transformación de Fourier de orden fraccional F α de orden α entre la distribución de amplitud
compleja de salida UP (u, v) y la distribución de amplitud compleja de entrada UA (ξ, η); el factor de fase
esta asociado en aproximación paraxial con una onda
divergente [3,4], donde:
³
´
−AB 1 − RB1
³
´
R2 =
AD 1 − RB1 − cos2 α
" ¡
¢¤
£ ¡
¢#
exp i π2 − α
−i u2 + v 2
exp
F [t (ξ, η)] =
2π sin α
2 tan α
" ¡
¢#
·
¸
Z ∞Z ∞
2
2
−i ξ + η
i (uξ + vη)
exp
exp
2 tan α
2 sin α
−∞ −∞
"
¡ 2
¢#
∞
X
i2πn ξ + η 2
An exp
dξdη
p
n=−∞
α
(4)
(2)
Utilizando propiedades de las transformaciones fraccionales de Fourier de funciones simples [5] y considerando que:
La relación (2) establece de manera general la condición de obtención de una transformación de Fourier de
orden fraccional entre superfiucies esféricas cuando es
conocida la matriz de transferencia de rayos del sistema óptico; su significado fı́sico se corresponde con el
principio de Huygen’s. Si, R1 → ∞, la F α estará sobre una superficie esférica de observación con radio
−AB
R2 = AD−cos
2 α.
pn = 4nπ tan α
⇒
" ¡
¢#
∞
2
X
i ξ + η2
An exp
t (ξ, η) =
2 tan α
n=−∞
(5)
Donde p es el periodo fundamental de la placa zonal de Fresnel, es decir la placa zonal de Fresnel ahora está modulada por el orden de la transformación de
Fourier de orden fraccional, se obtiene:
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rev.col.fis(c),vol.40,No 1(2008)
Figura 1. Placa zonal convencional
Figura 2. Simulación digital
F α [t (ξ, η)] =
∞
h ³π
´i
X
= exp −i
− α 2π sin α
An δ (ξ, η)
2
n=−∞
de una placa zonal. Los coeficientes de Fourier dan los
valores de la amplitud de los focos de la Placa Zonal de
Fresnel, La amplitud de la onda enfocada en el plano zn
correspondiente a una placa zonal de perı́odo pn dado
por la ecuación (7) es An .
(6)
Teniendo en cuenta la condición dada en la ecuación
(1) para el caso de propagación una distancia z en el
espacio libre y haciendo el escalamiento respectivo [6]:
"
¡ 2
¢#
2
2π sin α
2 iπ u + v
exp sin α
UP (u, v) =
iλz
λz
h
h ³π
´ii2
exp −i
−α
2
∞
X
n=−∞
An δ
³u v ´
,
λz λz
4. Simulación digital
Utilizando un algoritmo realizado en Matlab se generaron placas zonales moduladas por un valor definido
por el orden de la transformación fraccional de Fourier;
los resultados son mostrados en la figura 2.
(7)
En este caso particular R1 → ∞, iluminación con
onda plana monocromática de amplitud unitaria, se obtiene que la transformada fraccional de Fourier se encuentra sobre una superficie esférica con radio R2 =
−z
= rn . Donde rn corresponde al radio n-esimo
sin2 α
5. Conclusiones
La placa zonal mostrada en esta investigación se
comporta como lo predice la teorı́a de Fresnel, de un
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C. O. Torres et al. Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a Fraccional de Fourier
modo análogo a una lente convergente. La placa zonal concentra una gran fracción de luz difractada en un
punto sobre el eje óptico llamado foco principal, a una
distancia z = rn llamada distancia focal de la placa,
correspondiente al tamaño de las zonas y a la longitud
de onda de la luz utilizada, esta particularidad permite
su uso como elemento de enfoque. En este trabajo mediante la simulación digital implementada se encontró que una adecuada modulación de la placa zonal en
términos del orden fraccional de Fourier mejora el enfoque de la placa zonal.
tivas”, Revista Mexicana de Fı́sica 52 (6) 479 - 500.
2006.
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Referencias
[1] “Optica difractiva: una revisión al diseño y construcción de sistemas ópticos empleando lentes difrac-
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