guia n°1 campos numéricos - CARLOS MARQUEZ FERNANDEZ

Institución Educativa San Vicente de Paúl
Ciencia, Tecnología y Sociedad en Armonía
Área de Matemáticas
AREA: Matemáticas
PROFESOR: Carlos A. Márquez Fernández
Mail: [email protected]
Grado: 11
GUIA Nº 1
TEMA: CAMPOS NUMÉRICOS
CAMPOS NUMÉRICOS
Para el estudio de los números reales comencemos de abajo hacia arriba en el
mapa anterior.
NUMEROS NATURALES
Se denota por N, son los números usados para contar este conjunto de número
tiene como elementos N = {1,2,3,4,5...}
En los naturales hay definidas dos operaciones: Suma y producto.
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros están formados por los naturales( enteros positivos), junto
con los negativos y el cero
Z = {... − 3,−2,−1,0,1,2,3,4,5...}
 Enteros positivos : Z + = N = {1,2,3...}

Es decir los enteros están compuesto por: Z = Cero = {0}
 Enteros negativos : Z − = {... − 2,−3,−1}

Observación:
Puede notarse que Z + = N
El conjunto de los números enteros nos permiten solucionar ecuaciones que no
tienen solución en los números naturales; por ejemplo
x + 2 = 1 tiene como solución x = −1 ; − 1 ∉ N , pero − 1 ∈ Z
En los enteros se pueden definir las operaciones de: Suma, resta(diferencia) y
producto.
NÚMEROS RACIONALES
Se denota por la letra Q y se define como la razón entre dos enteros,
simbólicamente se puede expresar así:
a
Q = con la condición que :
b
i ) a y b son números enteros
ii ) b es diferente de cero (b ≠ 0)
El conjunto de los racionales nos permite resolver ecuaciones que no tienen
solución en el conjunto de los números enteros por ejemplo:
2x − 3 = 2
2x = 2 + 3
2x = 5
5
x=
2
En este conjunto de número se definen las operaciones: Suma, resta,
multiplicación y división.
NÚMEROS IRRACIONALES
Se denota por Q* o por i , son aquellos que No SON RACIONALES, es decir no
a
se pueden expresar de la forma
b
Ejemplo de números irracionales 2 , 3 , 5 , π
El conjunto de los números irracionales permite resolver ecuaciones que no tienen
solución en el conjunto de los números racionales por ejemplo:
x− 2 =0
x= 2
En este conjunto se definen operaciones de: Suma, resta, multiplicación, división y
radicación
Nota: Los Racionales y los irracionales son conjuntos disjuntos (no tienen
elementos comunes), es decir Q ∩ Q * = φ .
NÚMEROS REALES
Se denota por R y es la unión de los racionales y los irracionales, es decir
Q ∪ Q* = R
NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria
Se denota por la letra C y se definen:
C = a + bi
a y b son números reales

donde i :Número imaginario

i = − 1
Los números complejos permiten resolver ecuaciones que no tienen solución en
los reales, por ejemplo
x2 + 4 = 0
x = 2i y x = −2i
En resumen
i

*
 Q
  F
 
  
+
 R Q  Z = N
   Z {0}
    −
   Z
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
1. PROPIEDAD DE COMPLETEZ
Si ubicáramos todos los números reales sobre la recta llegaríamos a la
conclusión de que a cada punto sin excepción, le corresponde un número
real; es decir, después de ubicar todos los reales no quedaría ningún
“hueco” en la recta. Esta propiedad se enuncia así:
Existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de una recta y el
conjunto de números reales.
Los números reales constituyen un estructura de campo porque está dotado de
dos operaciones primitivas: La suma(+) y la multiplicación(.), y una relación
primitiva: La igualdad(=), y cumplen las siguientes propiedades llamadas axiomas
de campo o cuerpo.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE REALES
P1 : Clausurativa
Si a, b ∈ R, entonces a + b ∈ R
P2 : Conmutativa
Si a, b ∈ R, entonces a + b = b + a
P3 : Asociativa
Si a, b, c ∈ R, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
P4 : Modulativa
para todo a ∈ R : a + 0 = 0 + a = a
P5 : Inverso Aditivo
Para todo núemro real " a" , existe el número real"−a" llamado inverso
aditivo, tal que :
a + (−a ) = (− a) + a = 0
Ejemplo 1:
Escriba las proposiciones y las propiedades que se necesita para resolver
la educación
PROPOSICIÓN
PROPIEDAD APLICADA
Ecuación dada
x+3=5
P. uniforme de la suma
x + 3 + ( −3) = 5 + ( −3)
Asociativa de la suma
x + [3 + (−3)] = 5 + (−3)
Inverso aditivo
x + 0 = 5 + ( −3)
Modulativa de la suma
x = 5 + ( −3)
Definición de resta
x = 5−3
X=2
Solución
PROPIEDADES DE LA MULTIPICACIÓN DE NÚMEROS REALES
P1 : Clausurativa
Si a, b ∈ R, entonces a.b ∈ R
P2 : Conmutativa
Si a, b ∈ R, entonces a.b = b.a
P3 : Asociativa
Si a, b, c ∈ R, entonces a.b.c = (a.b).c = a.(b.c)
P4 : Modulativa
para todo a ∈ R : a.1 = 1.a = a
P5 : Inverso multiplicativo
1
Para todo núemro real " a ≠ 0" , existe el número real" = a −1" llamado inverso
a
multiplicativo, tal que :
1
a.a −1 = a. = 1
a
P5 : Distributiva :
Si a, b, c ∈ R, entonces a.(b + c) = a.b + a.c
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE NÚMEROS REALES
P1 : Reflexiva
Si a,∈ R, entonces a = a
P2 : Simétrica
Si a = b, entonces b = a
P3 : Transitiva
Si a = b y b = c, entonces a = c
P4 : Uniforme respecto a la suma
Podemos sumar un mismo número a los dos miembros de una igualdad
Si a = b, entonces a + c = b + c
P4 : Uniforme respecto a la multiplicación
Podemos multiplicar los dos miembros de una igualdad por un mismo número real
Si a = b, entonces a.c = b.c
ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES
La ordenación de los números reales se fundamenta en tres axiomas que
caracterizan al conjunto de números reales positivos, el cual se simboliza R + .
Estos axiomas con:
AXIOMA 1: PROPIEDAD DE LA TRICOTOMÍA
Dado cualquier número real x, una y solo una de las siguientes afirmaciones es
verdadera:
a. x ∈ R +
b. x = 0
c. − x ∈ R +
AXIOMA 2: PROPIEDAD CLAUSURATIVA DE LA SUMA EN R +
Para todo x, y ∈ R + se cumple que x + y ∈ R +
AXIOMA 3: PROPIEDAD CLAUSURATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
Para todo x, y ∈ R + se cumple que x. y ∈ R +
Los
axiomas
anteriores
nos
permiten
definir
las
relaciones
a < b; a > b; a ≤ b, ; a ≥ b; a < 0 y a > 0 Si a, b ∈ R . Estas relaciones se definen de la
siguiente manera
Sean a, b ∈ R :
• a < b si y solo si b − a ∈ R +
• a > b si y solo si a − b ∈ R +
• a ≤ b si y solo si a < b ó a = b
• a ≥ b si y solo si a > b ó a = b
• a > 0 significa que a es un número real positivo
• a < 0 significa que a es un número real negativo
• Los simbolos " <" y " >" sedenominan signos de desigualdad
Nota: Todo número real “a” es mayor que un número real “b”, en la medida que “a”
esté a la derecha de “b”
Taller
1. Completar el siguiente cuadro con los símbolos ∈ y ∉ ´según que el
número de la izquierda pertenezca o no al conjunto dado.
Z+
N
−3+
Z−
Z
F
Q
Q*
R
C
2
4
5
2π
−4
−2
3
1
−
2
0
2,635
2. Indica la propiedad de los números reales que justifica cada una de las
siguientes igualdades.
a. a.b = b.a
b. (9 + 7 ) + 2 = 9 + (7 + 2)
c. b + 0 = 0 + b = b
d. m.1 = 1.m = m
e. 5.( x. y ) = (5.x ). y
f.
g.
(
)
2+ − 2 =0
(− Z ) + Z = 0
1 1
h. b. = b = 1; b ≠ 0
b b
i. c.( a + b) = ( a + b).c
j.
x.( y + 0) = xy
k. ax + ay = a.( x + y )
l.
7 + b( x + y ) = 7 + (bx + by )
3. Demuestre
propiedades
de
números
reales
que
propiedades
de
números
reales
que
propiedades
de
números
reales
que
6. Demuestre utilizando propiedades
(a − b ) a 2 + ab + b 2 = a 3 − b 3
de
números
reales
que
7. Demuestre utilizando propiedades
(a + b ) a 2 − ab + b 2 = a 3 + b 3
de
números
reales
que
(a + b )
2
= a + 2ab + b
4. Demuestre
(a − b )
2
utilizando
2
2
utilizando
= a − 2ab + b
2
2
5. Demuestre utilizando
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
(
(
)
)
8. Amaya y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amaya avanza
6 km y luego retrocede 2 km, mientras que Jorge avanza 8 km y
retrocede 5 km.
a. ¿A qué distancia se encuentra uno del o tro?
b. ¿Quién ha avanzado más de los dos?
c. ¿Quién ha recorrido más km?
9. Se cree que Arquímedes inventó el tornillo. Después de 2146 años se
inventó el ordenador, en 1946. ¿En qué año inventó Arquímedes el
tornillo?
10. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días
en perforar un pozo de petróleo, ¿qué profundidad tiene el pozo?
11. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6
días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha
subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de
la presa?
12. Una bomba extraen el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo
eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el
petróleo?
13. La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón
de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura
del aire es de -81 ºC?
14. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en
el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l
por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15
minutos de funcionamiento?
15. En un depósito había 3.000 litros de agua y estaba lleno. Un día se
gastó 1/6 del depósito y otro día 1250 litros. ¿Qué fracción queda?. Sol.:
5/12 del depósito.
16. De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie y después los 2/3 de lo
que quedaba. El ayuntamiento expropió los 3200 m2 restantes para un
parque público. ¿Cuál era su superficie?. Sol.: 28800 m2.
17. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de
un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la
venta de fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de
naranjas asciende a 8900 ptas., ¿qué caja ha hecho
el establecimiento?. Sol.: 28480 ptas.
18. Con una cuba de vino se han llenado 480 botellas de 2/5 de litro.
¿Cuántas botellas de ¾ de litro se llenarán con una cuba igual a la
anterior?. Sol.: 256 botellas.
19. Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3
del capital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses
reparten beneficios de un millón y medio de pesetas. ¿Cuánto
corresponde a cada uno?. Sol.: 500000 ptas. al primero; 600000 ptas. al
segundo; 400000 ptas. al tercero.
20. A un estanque vierten agua tres caños. El primero lo llena en 5 horas, el
segundo en 8 horas el tercero en 9 horas. Si se abren los 3 caños a la
vez durante 2 horas, ¿Qué fracción del estanque se llenaría?.
Apéndice
1. Cuando usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir “número
real”
2. Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es
racional, entonces su decimal correspondiente es periódico. por ejemplo,
1
2
= 0.5000... = 0.50
= 0.66666... = 0.6
2
3
157
9
= 0.3171717... = 0.317
= 1.285714285714... = 1.285714
495
7
(La barra significa que la sucesión de cifras se repite por siempre.)
3. Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica. Por
ejemplo
2 = 1.4142135623 73095 ...
π = 3.1415926535 89793
Si interrumpimos la expansión decimal de cualquier número en un cierto lugar,
tenemos una aproximación del número, por ejemplo podemos escribir
π = 3.14159265
Donde el símbolo ≈ quiere decir “es aproximadamente igual a” A medida que
tenemos más decimales es mejor la aproximación.
4. Clasificación de los decimales
Una primera clasificación de los decimales puede ser en: decimales finitos y
decimales infinitos.
Decimales Finitos: Son los que tienen un número fijo de cifras decimales.
Decimales Infinitos: Son aquellos que tienen un número ilimitado de cifras
decimales.
En algunos, números decimales infinitos, se repite una cifra o un grupo de cifras,
estos decimales se llaman PERIODICOS y el número de cifras decimales que se
repite se llama PERIODO.
Un decimal infinito se llama periódico, si después de la coma y a partir de cierto
lugar, hay un grupo de cifras que se repite indefinidamente.
7,666...; 86,3473473 ...; 5,438686
El grupo de cifras que se repite en un decimal periódico se llama PERIODO
Un decimal infinito en el cual no hay un periodo que se repita se llama DECIMAL
INFINITO NO PERIODICO
4,3215839...;3,141592... Son decimales infinitos no periódicos.
Un decimal periódico puro el período aparece inmediatamente después de la
coma y en un decimal PERIODICO MIXTO, el período no empieza
inmediatamente después de la coma, sino uno o varios lugares después.
FORMA DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL
Todo número racional puede expresarse mediante el NÚMERO DECIMAL que
resulta de dividir el numerador por el denominador.
a
Todo número racional , es un decimal finito o un decimal infinito periódico
b
Ningún número racional es un decimal no periódico.
Todo decimal finito o decimal periódico es un número racional.
DECIMAL FINITO
Encontremos la fracción que corresponde al decimal finito: 8,35
Llamemos “x” la fracción equivalente a 8,35
x = 8,35 multiplicamos ambos miembros por una potencia de10, cuyo exp onente sea igual al número
de cifras decimales
10 2.x = 10 2.(8,35)
100 x = 835
835
x=
100
835
se denomina FRACCIÓN GENERATRIZ del decimal 8,35
100
DECIMAL PERIODICO PURO
Hallemos la fracción equivalente al decimal 6, 438
x=
Llamamos “x” la fracción equivalente a 6, 438
x = 6, 438 multiplicamos ambos miembros por una potencia de10
cuyo exp onente sea igual al número de cifras del periódo.
103.x = 103.(6, 438)
1000 x = 6438, 438 Re stemos x en ambos miembros
− x = −6,438
999 x = 6432
6432
x=
999
Esta es la fracción generatriz de 6, 438
DECIMAL PERIODICO MIXTO
Hallemos la fracción equivalente al decimal 5,32 47
x = 5,324747...
100 x = 532,47 47
10000 x = 53247, 47 restamos las dos ecuaciones anteriores
9900 x = 52715
52715
x=
es la fracción generatriz de 5,3247
9900
Taller
2. Hallar la fracción generatriz del decimal:
2
a. 0,3535 b. 0,9 c. 7,46 d. 8 e. 6,83942 f. 0,56743743
7
3. Hallar el número decimal que corresponde a cada uno de los siguientes
números:
2
22
1
1
8
1
333
a. 8
b. −
c. 3 d. 7 e.
f.
g.
7
3
6
9
1000
32
444