Enunciado 3

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Práctica de MODELOS DE PROBABILIDAD
1. Objetivos:
Los objetivos que persigue esta práctica son:
• Representar distribuciones de probabilidad conocidas e interpretar sus
parámetros.
• Generar variables aleatorias que se ajusten a los modelos de probabilidad
conocido.
1. Comandos de Statgraphics ® necesarios:
Para poder realizar los ejercicios planteados más adelante es necesario conocer el
manejo de los siguientes comandos:
a) Comandos para dibujar distribuciones:
PLOT / PROBABILITY DISTRIBUTIONS / marcar la distribución correspondiente.
En el Botón Derecho del Ratón, ANALYSIS OPTIONS se modifican los valores de
los parámetros. Opciones gráficas: GRAPHICAL OPTIONS / DENSITY/MASS
FUNCTION (función de probabilidad) y CDF (función de distribución).
b) Comandos para generar números aleatorios siguiendo una determinada
distribución:
PLOT / PROBABILITY DISTRIBUTIONS / marcar la distribución correspondiente
TABULAR OPTIONS / RANDOM NUMBERS / SAVE RESULTS.
c) Comandos para ajustar datos a distribuciones:
DESCRIBE / DISTRIBUTION FITTING /UNCENSORED DATA. En el Botón
Derecho, en ANALYSIS OPTIONS, se elige la distribución a la que se quiere
ajustar. Elegir FRECUENCY HISTOGRAM.
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3. Representación de
probabilidad conocidas.
algunas
distribuciones
de
3.1. Distribución Normal:
En primer lugar vamos a proceder a representar una distribución Normal, que es la
distribución que por defecto Statgraphics nos ofrece. Así debemos en el menú principal
seleccionar PLOT / PROBABILITY DISTRIBUTIONS.
Se selecciona la distribución normal y pulsamos OK:
Obteniéndose el siguiente resultado:
3
Se recuerda que el valor mean o average corresponde a la media aritmética y std. dev. A
la desviación típica. Por defecto, Statgraphics genera una normal (0,1). Para ver la forma
de las funciones de densidad f(x) y de la de distribución F(x), pulsamos sobre el icono
Graphical Options
, seleccionando: Density/Mass function y CDF respectivamente:
De esta forma obtendremos:
4
Para cambiar los parámetros que caracterizan a esta distribución, pulsamos con el botón
derecho del ratón sobre la salida principal:
5
Y seleccionamos la opción Analysis Options, con lo que a continuación se nos muestra el
menú donde podemos generar hasta cinco variables normales con diferentes parámetros.
Para este ejercicio vamos a generar tres distribuciones normales, todas ellas con media 0
y con desviaciones típicas de 0,3; 0,5 y 1,2 respectivamente:
Así si representamos las funciones de densidad de estas variables obtenemos lo
siguiente:
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3.2. Distribución Binomial:
A continuación vamos a generar tres variables binomiales donde p va a tomar siempre el
valor 0,2; mientras que n va a ser 5, 10 y 20. Así tendremos las siguientes distribuciones:
B(5; 0,2); B(10; 0,2) y B(20; 0,2).
Para ello pulsamos PLOT / PROBABILITY DISTRIBUTIONS y seleccionamos distribución
binomial:
Una vez hecho esto y pulsando con el botón derecho del ratón sobre la ventana de
Probability Distributions, se abre un menú donde se seleccionan los parámetros de la
variable conforme a lo indicado:
De esta manera ya hemos generado tres distribuciones de probabilidad binomiales, todas
ellas con p=0,2 y donde lo que cambia es el número de veces que repetimos el
experimento (5, 10 y 20 veces respectivamente).
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Para ver el efecto de aumentar el número de veces que repito el experimento, represento
las funciones de densidad, mediante Graphical Options
Function.
, seleccionando Density/Mass
Binomial
BinomialDistribution
Distribution
Event
prob.,T
Event
prob.,Tr
0,2,5
0,2,5
0,2,10
0,2,10
0,2,20
0,2,20
probability
probability
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0
4
4
8
8
x
12
12
16
16
20
20
x
Se observa claramente que el repetir el experimento produce un desplazamiento de la
media hacia la derecha (1 , 2 y 4 respectivamente), así como un aumento de la simetría
de la función de densidad, ‘pareciéndose’ cada vez más a una Normal, de acuerdo al
Teorema Central del Límite.
4. Generación de números aleatorios
distribuciones de probabilidad conocidas:
conforme
a
A continuación y una vez que sabemos representar distribuciones de probabilidad
conocidas, vamos a proceder a generar variables aleatorias que se comporten de
acuerdo a estas distribuciones de probabilidad conocidas.
4.1. Generación de números aleatorios conforme a la distribución de
Poisson
Para la generación de números aleatorios conforme a distribuciones de probabilidad
conocidas, lo primero que he de hacer, es representar la variable como hemos hecho en
el punto 1 de esta práctica. Así selecciono PLOT/PROBABILITY DITRIBUTIONS y
selecciono la distribución de Poisson:
8
Por defecto Statgraphics representa una distribución de Poisson donde λ=10
Para cambiar el parámetro hago clic con el botón derecho y marco como parámetro por
ejemplo λ=3.
En el caso de la distribución de Poisson el parámetro λ coincide con la media y con la
varianza.
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Para generar los números aleatorios conforme a esta distribución conocida hay que hacer
clic sobre el icono
(Save Results), desplegándose el siguiente cuadro de menú:
Para que los datos se generen hay que marcar Random Numbers for Dist.1 y además
conviene nombrar la serie de manera que nos sea fácil reconocer los datos que se van a
generar. Si pulsamos y nos vamos a la hoja de datos podemos ver que en la primera hoja
me aparecen 100 números aleatorios que se comportarán de manera parecida a una
distribución de Poisson donde la media y varianza deberán estar cercanos a tres:
10
Importante: Dado que se están generando números aleatorios, cada vez que repita esta
operación encontraré diferentes números, pero siempre estos datos habrán de
asemejarse a la distribución conforme a la cual hemos generado los datos.
Para comprobar si efectivamente la media y varianza son tres se puede hacer un análisis
descriptivo de los datos generados, mediante DESCRIBE / NUMERICAL DATA / ONE
VARIABLE ANALYSIS y seleccionamos la variable (POIS1)
De manera que si observamos el resumen de estadísticas y con los datos generados
encontraremos resultados parecidos (nunca iguales al ser números aleatorios) a lo
siguiente:
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Observamos que efectivamente tanto la media como la varianza están cercanos al valor
teórico de λ =3.
El histograma de los datos sería:
Histogram for POIS1
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frequency
20
16
12
8
4
0
0
2
4
6
POIS1
8
10
12
4.2. Generación de números aleatorios conforme a una distribución
Binomial (100; 0,2)
Para generar estos números vamos en primer lugar a representar la variable teórica
conforme a lo establecido en el punto 1.2, mediante PLOT / PROBABILITY
DISTRIBUTIONS:
En primer lugar he de cambiar los parámetros n=100 y p=0,2, por lo que hago clic con el
botón derecho del ratón pulso analysis options e introduzco los parámetros
característicos de la variable a generar:
(Save Results), marcando la serie correspondiente y
Pulso OK y selecciono el icono
dando el nombre a la nueva serie generada:
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Una vez pulsamos OK y vamos sobre la hoja de datos observo la nueva serie generada:
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Así en la columna BIN1, tengo 100 datos que se deberían comportar como una BIN (100;
0,2). Si mis datos están de acuerdo con la distribución teórica deberán tener una media,
que tendrá que ser cercano a n·p= 100·0,2=20 y varianza n·p·q=16. Para comprobarlo
vamos a hacer un análisis descriptivo de los datos generados a través de
DESCRIBE/NUMERICAL DATA / ONE VARIABLE ANALYSIS, seleccionando la variable
BIN1, así deberemos tener unos resultados similares a:
Su histograma:
Histogram for BIN1
frequency
40
30
20
10
0
11
15
19
23
BIN1
27
31
35
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Ejercicios propuestos
•
Generar las siguientes tres distribuciones Binomiales:
o B (100; 0,1)
o B (100; 0,5)
o B (100; 0,8)
¿Qué se puede comentar a la vista de las funciones de densidad?
•
Generar las siguientes distribuciones de Poisson
o P (2)
o P (5)
o P (10)
¿Qué se puede comentar a la vista de las funciones de densidad?