3.ÁNGULOS

Geometría y Trigonometría
Ángulos
3. ÁNGULOS
3.1 Definición y notación de ángulos
El ángulo es la abertura comprendida
entre dos líneas rectas que convergen
en un punto común llamado vértice.
→
Semirrecta
OB
Vértice
→
Semirrecta
OA
Un ángulo se puede denotar de las siguientes maneras:
Ángulo cuyo vértice es A
Una letra mayúscula situada en el vértice.
A
Ángulo cuyo valor es “a” ó cuyo valor es α
Colocando una letra minúscula dentro del
ángulo, generalmente se emplea una letra del
alfabeto griego.
Tres letras mayúsculas de manera que la letra
media indique el vértice del ángulo.
Simbólicamente la notación se realiza
anteponiendo a la letra el símbolo ∠ ó bien
colocando un pequeño ángulo sobre la letra.
Por ejemplo:
∠A
∧
ó
A
se lee “ángulo A”
21
α
a
Ángulo definido por CAB ó BAC
C
A
B
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
Dado que el ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas, una de las cuales permanece fija
mientras que la otra gira, los ángulos pueden ser positivos si el giro es en el sentido contrario a
las manecillas del reloj, mientras que si gira en el mismo sentido el ángulo es negativo.
Ángulo positivo
Ángulo negativo
3.2 Clasificación de ángulos
Por la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación los ángulos pueden ser
clasificados como:
•
Ángulo agudo
•
Ángulo obtuso
•
Ángulo entrante
•
Ángulo recto
•
Ángulo colineal o llano
•
Ángulo perigonal
AGUDO
RECTO
OBTUSO
Mide menos de 90º
Mide 90º
Mide más de 90º y menos de 180º
COLINEAL o LLANO
ENTRANTE
PERIGONAL
Mide 180º
Mide más de 180º y menos de 360º
Mide 360º
22
Geometría y Trigonometría
Ángulos
Por su posición, los ángulos pueden ser:
•
Consecutivos o
contiguos
Complementarios
•
•
Adyacentes
•
Opuestos por el vértice
•
Suplementarios
•
Conjugados
Ángulos consecutivos o contiguos
Opuestos por el vértice
Ángulos Adyacentes
B
C
B
O
A
C
O
A
Ángulos que tienen un vértice
común y un lado que los separa.
Ángulos cuyos lados no comunes
pertenecen a una misma recta.
Son ángulos contiguos:
Son ángulos adyacentes:
∠AOB y ∠BOC
∠AOB y ∠BOC
Complementarios
Cuando dos rectas se
cortan, los pares de
ángulos no adyacentes que
se forman se llaman
opuestos por el vértice.
Además, son iguales.
∠a
y
∠c
y
Suplementarios
∠b son opuestos
∠d son opuestos
Conjugados
C
B
O
a
B
A
C
O
Son ángulos que suman 90º
Son ángulos que suman 180º
∠AOB + ∠BOC = 90º
∠AOB + ∠BOC = 180º
90°=89°60’= 89°59’60”
180°=179°60’=179°59’60”
23
b
A
Son ángulos que suman
360º
∠a + ∠b = 360º
360°=359°60’= 359°59’60”
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 3-1
INSTRUCCIONES.- Nombra todos los ángulos que se forman en la figura y escríbelos en las
líneas.
F
D
C
E
G
B
H
A
Parejas de ángulos opuestos por el vértice:
con ∠
∠
con ∠
∠
Ángulos rectos:
∠
∠
∠
∠
∠
∠
Ángulos agudos
∠
∠
∠
∠
Ángulos obtusos
∠
∠
∠
∠
24
Geometría y Trigonometría
Ángulos
EJERCICIO 3-2
INSTRUCCIONES.- Determina el complemento, el suplemento y el conjugado de cada uno de
los siguientes ángulos.
ÁNGULO
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
CONJUGADO
26º
47º
75º
86º
39º28´
76º16´
55º32´
21º49´06´´
15º32´30´´
81º09´50´´
INSTRUCCIONES.- Encuentra el valor de los ángulos indicados según la información
proporcionada en cada figura.
Encuentra el valor de los ángulos
complementarios AOB y BOC.
Encuentra el valor de los ángulos suplementarios
AOC y BOC.
C
C
B
3 x + 22
2 x + 10
x − 12
A
B
O
O
∠AOB =
x + 20
∠BOC =
A
∠AOC =
25
∠BOC =
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
3.3 Sistemas de medición de ángulos
La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o
separación que hay entre ellos. Medir un ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se
considera como patrón.
Para medir un ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular.
En este sistema la circunferencia se divide en 360
partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre
de grado.
Sistema sexagesimal:
90º
180º
0º ó 360º
Un ángulo de un grado ( º ) es el ángulo central que
1
parte de una circunferencia.
abarca un arco de 360
Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas
minutos ( ´ ), y a su vez cada minuto también se divide
en 60 partes iguales llamadas segundos ( ” ).
270º
Grado (º)
Minuto ( ´ )
Segundos ( ” )
1º = 60' = 3600"
1´= 60"
Por ejemplo:
GRADOS convertidos a GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS
25.87 º
37 º
25 º +(.87 º)(60’)
36 º60’
25 º + 52.2’
36 º59’60”
25 º+52+(.2)(60)
25º 52’ 12”
GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS convertidos a GRADOS
30°26'45"
7°15'
45"
30°26'+
15'
60"
7° +
60'
30°26'+0.75'
7° + 0.25°
26.75'
30° +
7.25°
60'
30° + 0.44°
30.44°
26
Geometría y Trigonometría
Sistema circular:
Ángulos
En este sistema la unidad utilizada es el radián (rad).
Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un
arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia. Dado que:
A
r
r
r
La longitud de una circunferencia = 2π r
B
360º =
2π radianes
Longitud del arco AB es igual al
radio (r) de la circunferencia.
∠AOB = 1 Radián
3.3.1 Relación entre grados sexagesimales y radianes
Dado que una circunferencia es igual a
siguiente manera:
2π radianes, esto puede relacionarse en grados de la
360º =
2π radianes
Radián =
360º 180º
=
2π
π
Radián = 57.295777 º
Radián ≈ 57 º17´44"
Esta relación permite establecer algunos valores de grados en radianes:
∠Grados
∠Radianes
360º
180º
2π
π
90º
π
2
60º
π
3
45º
π
4
30º
π
6
15º
π
12
10º
π
18
1º
π
180
Para efectuar una conversión, se realiza el procedimiento siguiente:
RADIANES a GRADOS
Se multiplica por 180º y se divide entre
por 57.29577º.
27
π
ó bien se multiplica
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
GRADOS a RADIANES
Se multiplica por
entre 57.29577º.
π
y se divide entre 180º ó bien se divide
Por ejemplo:
RADIANES convertidos a GRADOS:
7.81 radianes
π
rad
3
⎛ π ⎞⎛ 180º ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ = 60º
⎝ 3 ⎠⎝ π ⎠
(7.81rad )⎛⎜ 180º ⎞⎟ = 447.480038º
⎝ π ⎠
GRADOS convertidos a RADIANES
415º
25º30´
25º30´=25.5º
⎛ π ⎞
(415º )⎜
⎟ = 7.2431rad
⎝ 180º ⎠
(25.5º )⎛⎜ π
⎞
⎟ = 0.445058rad
⎝ 180º ⎠
28
Geometría y Trigonometría
Ángulos
EJERCICIO 3-3
INSTRUCCIONES.- Expresa en radianes o en ángulos sexagesimales, según la conversión
indicada.
Convertir a Radianes
GRADOS RADIANES
25º
Convertir a grados
RADIANES GRADOS
π
15
π
70º
2
140º
3π
8
34º
π
6
245º
3π
4
165º
2.25 rad
68º
5.345 rad
34º
0.45 rad
200º
9.4248 rad
340º
4.51 rad
29
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
3.4 Teoremas importantes sobre ángulos
TEOREMA 1: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
HIPÓTESIS
∠BOC
y
TESIS
DEMOSTRACIÓN
∠COA ∠BOC + ∠COA = 180º ∠BOC + ∠COA = ∠BOA
∠BOA = 180º
∴ ∠BOC + ∠COA = 180º
son ángulos adyacentes.
Por suma de ángulos.
Por definición de ángulos adyacentes: por la propiedad
transitiva de la igualdad: dos cantidades iguales a una
tercera son iguales entre sí.
TEOREMA 2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
HIPÓTESIS
∠AOD y ∠BOC
son ángulos opuestos por
el vértice.
TESIS
∠AOD = ∠BOC
DEMOSTRACIÓN
∠AOD + ∠AOB = 180º
∠AOB + ∠BOC = 180º
∠AOD + ∠AOB = ∠AOB + ∠BOC
∴ ∠AOD = ∠BOC
Por ángulos adyacentes.
Por la propiedad transitiva de la igualdad: porque una
igualdad no se altera si se resta la misma cantidad a sus dos
miembros.
30
Geometría y Trigonometría
Ángulos
TEOREMA 3: Toda secante o transversal que corta dos paralelas
forma con ellas ángulos alternos internos iguales.
HIPÓTESIS
TESIS
MN y PQ rectas paralelas.
∠c = ∠f
RS corta a MN y a PQ
∠e = ∠d
DEMOSTRACIÓN
∠c = ∠b
∠b = ∠f
Por ser ángulos opuestos por el vértice.
∠c y ∠f
∠e y ∠d
Por ser ángulos correspondientes (son los pares de ángulos,
uno interno y el otro externo que se encuentran en un
mismo semiplano con respecto a la transversal o secante).
son ángulos alternos internos.
∴ ∠c = ∠f se aplica propiedad trasnsitiva de la
igualdad: dos cantidades iguales a una tercera son iguales
entre sí.
TEOREMA 4: Toda secante o transversal que corta dos paralelas
forma con ellas ángulos alternos externos iguales.
HIPÓTESIS
TESIS
MN y PQ rectas paralelas.
∠a = ∠h
RS corta a MN y a PQ
∠b = ∠g
DEMOSTRACIÓN
∠a = ∠d
∠d = ∠h
Por ser ángulos opuestos por el vértice.
∠a y ∠h
∠b y ∠g
son ángulos alternos externos.
Por ser ángulos correspondientes (son los pares de ángulos,
uno interno y el otro externo que se encuentran en un
mismo semiplano con respecto a la transversal o secante).
∴ ∠a = ∠h se aplica propiedad trasnsitiva de la
igualdad: dos cantidades iguales a una tercera son iguales
entre sí.
31
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
TEOREMA 5: Dos ángulos conjugados internos entre paralelas
son suplementarios.
HIPÓTESIS
MN y PQ rectas paralelas.
RS corta a MN y a PQ
TESIS
∠c + ∠e = 180º
∠d + ∠f = 180º
∠c y ∠e son ángulos conjugados internos.
DEMOSTRACIÓN
∠e + ∠f = 180º por ser ángulos
adyacentes.
∠c = ∠f por ser ángulos alternos internos.
∠e + ∠c = 180º por sustitución.
∠d y ∠f son ángulos conjugados internos.
TEOREMA 6: Los ángulos conjugados externos entre paralelas son
suplementarios.
HIPÓTESIS
MN y PQ rectas paralelas.
RS corta a MN y a PQ
TESIS
DEMOSTRACIÓN
∠b + ∠h = 180º ∠g + ∠h = 180º por ser ángulos adyacentes.
∠a + ∠g = 180º
∠g = ∠b por ser ángulos alternos externos.
∠b + ∠h = 180º por sustitución.
∠b y ∠h son ángulos conjugados externos.
∠a y ∠g son ángulos conjugados externos.
32
Geometría y Trigonometría
Ángulos
EJERCICIO 3-4
INSTRUCCIONES.- Determina el valor de los ángulos indicados.
Encuentra la medida de los ángulos con la
información proporcionada en la siguiente figura:
1
D
2
A
Encuentra el valor de los ángulos
indicados, según la figura.
C
B
4
6 x − 12
125º
4 x + 10
B
C
5
6
A
D
E
8
7
∠1
∠5
∠DBA =
∠2
∠6
∠DBC =
∠3
∠7
∠4
∠8
33