Medida de espesores de matriales delgados y uniformes por el

Medida de espesores de materiales delgados por el método de las interferencias
D. A. Bazán, Yuri V. Flores, Oscar Jaramillo López
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Fı́sicas
Escuela Académico Profesional de Fı́sica
(Dated: 08 de Febrero, 2005)
Presentamos el planteamiento, medidiciones y resultados de un experimento montado con el objetivo de medir distancias o espesores de materiales delgados y uniformes por el método de la interferencias. La iterferencia se manifiesta con la formación de franjas brillantes y oscuras producidas
por una pelı́cula de aire en forma de cuña. Se trabajó con tres diferentes longitudes de onda (rojo,
amarillo y verde), obteniéndose resultados satisfactorios en cada uno de ellos. Los espesores calculados por el método de las interferencias fueron comparados por los medidos con un micrómetro.
Se encontró que cuando se utiliza luz de menor longitud de onda, tenemos menos error relativo.
Para generalizar esta afirmación, es necesario realizar experimentos en un mayor rango de longitudes de onda. La gran practicidad, los buenos resultados y la fácil realización de este experimento,
lo convierten, en nuestra opinión, en uno de los mas interesantes para realizar en experiencias de
laboratorio con estudiantes de ciencias, y en particular, con estudiantes de fı́sica.
I.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
Los efectos de interferencia se observan en materiales
transparentes, cuyo espesor varı́a en un amplio rango
de valores que va desde pelı́culas con espesores menores
que la longitud de onda de luz, hasta placas con varios
centı́metros de espesor.
Se dice que una capa de algún material es una pelı́cula
delgada para cierta longitud de onda de radiación electromagnética cuando su espesor es del orden de la longitud
de onda, es decir, es función de la longitud de onda dado
por la relación:
dnf cos θt = (2m + 1)
λ0
4
donde d es el espesor de la pelı́cula, nf el ı́ndice de
refracción de la pelı́cula, θt el ángulo de transmisión,
m el orden de interferencia máxima (0, 1, 2, · · ·) y λ0 la
longitud de onda de la onda incidente.
Existen varias clases de franjas de interferencia para
las cuales el espesor óptico nf d es el parámetro dominante más que el ángulo de incidencia θi . Un ejemplo
común de esto son los efectos cromáticos producidos al
incidir luz sobre una lámina delgada de agua jabonosa.
Cada franja es el lugar geométrico de todos los puntos
en la pelı́cula para el cual es espesor óptico es constante.
En general, nf no varı́a, de tal modo que las franjas
en realidad corresponden a regiones de igual espesor
en la pelı́cula. Por ello son muy útiles para determinar
aspectos diferentes de la superficie de elementos ópticos:
lentes, prismas,etc.
En nuestro caso, estudiaremos las franjas de interferencia que se forman al colocar dos placas de vidrio separadas en un extremo por un objeto de altura h. Esta
configuración crea una cuña de aire entre las placas, la
cual genera el patron de interferencia.
Figura 1: Franjas de una pelı́cula con forma de cuña
Cuando se casi a incidencia normal (θi = 0o ) los
contornos provenientes de una pelı́cula no uniforme se
llaman franjas de Fizeau.
La diferencia de camino óptico Λ entre los dos rayos
reflejados E1 r y E2 r se aproxima a:
Λ = 2nf d cos θt
(1)
donde d es el espesor para un punto particular, y ya que
α es pequeño:
d = αx
(2)
Cuando θi → 0, tenemos de la ley de Snell que θt → 0.
Por lo tanto cos θt ≈ 1. Tenemos entonces que la ecuación
(1) toma la forma:
2
la diferencia de espesor entre dos máximos seguidos (adyacentes) está dada por:
Λ = 2nf d
(3)
Para tener interferencia máxima, debemos tener la condición de:
δ = 2mπ
(4)
λf
2
A cada máximo le corresponde un espesor:
∆d = ∆xα =
dm = (m + 1/2)
Donde δ es la diferencia de fase que proviene de combinar una diferencia de longitud de trayectoria kΛ y una
diferencia de fase inicial.
Es decir:
δ = kΛ + ∆
2mπ = k(2nf d) − π
(6)
2π
λo ).
Reemplazando en
(2m + 1)π = (
(11)
(5)
Recordemos que, independientemente de la polarización
de la luz incidente, los dos haces, uno reflejado interna y
otro externamente, sufrirán un cambio relativo de π radianes. Entonces ∆ = ±π. El signo es irrelevante, ası́ que
tomaremos el negativo para hacer los cálculos mas sencillos. Usando esta condición, la ecuación (3) y la condición
(4), reemplazamos en la ecuación (5):
Como k es el vector de onda (k =
(6):
λf
2
(10)
Figura 2: Espesor de la pelı́cula para varios máximos.
Midamos ahora el espesor (muy pequeño) de un materialcolocado entre las dos placas de vidrio, como en la
siguiente figura:
Figura 3: Vista lateral de la pelı́cula.
2π
)2nf d
λo
De la ecuación (9), deducimos que:
Acomodando los términos obtenemos:
λf
2∆x
α=
(12)
De la figura 3, tenemos que:
(m + 1/2)λo = 2nf d
(7)
Usando la condición (2), tenemos para una franja de orden m:
(m + 1/2)λo = 2nf αxm
Y ya que nf =
λ0
λf ,
h
(13)
L
Para valores de α muy pequeños tenemos que sin α ≈
tan α ≈ α. Entonces igualando las ecuaciones (12) y (13),
despejamos h:
sin α =
esto puede escribirse como:
λf L
(14)
2 ∆x
Definimos una cantidad N como el número de franjas por
unidad de longitud. Entonces, como ∆x es la distancia
de separación entre dos franjas consecutivas y L es la
longitud total. Tenemos que:
h=
xm = (m + 1/2)
λf
2α
(8)
La ecuación (8) nos da la ubicación de las franjas
brillantes (máximos), que ocurren a distancias dadas
λ
3λ
por: 4αf , 4αf , etc. λf es la longitud de la onda en el aire.
La distancia entre dos franjas consecutivas esta dada
por:
∆x = xm+1 − xm =
λf
2α
(9)
L
∆x
Reemplazando en (14), obtenemos:
N=
h=
λf
N
2
(15)
(16)
B
Procedimiento:
3
II.
EXPERIMENTO:
A.
Materiales:
C.
Registro de mediciones - Resultados:
Hemos considerado un rango de valores para cada longitud de onda, estos son:
Lampara de mercurio tipo flurescente con soportes
Filtro rojo
Filtro amarillo
Filtro verde (Papel celofán de colores también
servirá)
Placas de vidrio (02) (También portaobjetos de microscopio, largos y simétricos)
Lupa de aumento
Figura 4: Valores de λ para los diferentes filtros.
La medida de la longitud de las placas L con el
vernier dió un valor de L = 12.8 cm. A continuación
se muestran el número de franjas para cada color y los
valores correspondientes de ∆x y N .
Micrómetro
Vernier
Bandas elásticas
B.
Procedimiento:
Figura 5: Número de franjas por color, ∆x y N .
1. Coloque el material a medir en un extremo de las
placas de vidrio unidas por el vértice. Luego, con
las bandas elásticas asegure el conjunto, tal como
se detalla en la figura 1.
La medida con el micrómetro del espesor de la muestra
dió un valor de:
2. Coloque el conjunto bajo la luz de la lámpara, previamente coloque alguno de los filtros. De acuerdo
al filtro que utilice variará la longitud de onda de
la luz incidente. Observe las franjas de interferencia con una lupa de aumento producidas por la capa delgada de aire entre las placas. Las franjas se
verán rectas siempre y cuando la presión de las bandas elásticas sea uniforme. Si las bandas que se observan no son rectas, uniformize la presión. Puede
probar también colocando algún peso uniforme sobre las placas, o idear algún otro mecanismo.
El espesor medido de acuerdo a (16) y el error relativo
porcentual:
3. Para calcular el espesor del material, según (16),
necesitamos N. Para esto mida el número de franjas
por cm. Llamemos a esta cantidad Nf . Entonces la
separación entre cada franja (dada por una regla
de tres simple) es ∆x = N1f . Con el vernier mida la
longitud total de las placas, es decir, L.
Luego, de (15):
N=
L
∆x
Hecho esto, calcule el espesor del material según la
ecuación (16).
4. Con el micrómetro mida el espesor del material y
compare este resultado con el anterior. Calcule el
error experimental relativo entre estos dos valores.
hm = 30µm
Figura 6: Medidas del espesor y error relativo.
III.
CONCLUSIONES
Podemos señalar que se comprobó exitosamente el
análisis teórico respecto de la formación de franjas
por una pelı́cula de aire en forma de cuña.
Hemos comprobado que el método interferométrico aplicado en este experimento sirve para calcular
espesores de materiales delgados uniformes, con errores situados dentro del margen convencional.
Como se puede deducir de las medidas, cuando se
utiliza luz de longitud de onda más corta (mayor frecuencia) el margen de error disminuye. Podrı́amos pensar que esto será siempre ası́, pero para
aventurarnos a dar esta afirmación es necesario experimentar con un mayor rango de longitudes de
onda.
4
Con respecto al arreglo experimental, podemos
señalar que se debe ser muy cuidadoso al aplicar
la presión de las bandas elásticas. Esta debe ser lo
mas uniforme posible, para garantizar un patrón
bien definido.
[1] E. Hecht, A. Zajac; Optica. 1977 Ed. Fondo Educativo
Interamericano. pág. 312-320.
[2] S. Frish, A. Timoreva; Curso de Fı́sica General. Tomo III,
Editorial MIR - URSS (1973). pág. 65-75.
[3] M. Alonso, E.J. Finn; Fı́sica. Tomo I. 1992. Ed. Addison-
IV.
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos al Prof. Jim Flores R. por el apoyo y
asesorı́a prestada en la realización de este trabajo.
Wesley Iberoamericana. Cap 34.
[4] R. Feynman; Fı́sica Volumen I (1971). Ed. Addison Weseley Longma. Cap. 28, 29.