Matemáticas y Medicina - Departamento de Matematicas

I Encuentro de Métodos Numéricos y Optimización
ICIMAF, La Habana, CUBA
Abril 2-4 de 2012
Matemáticas y Medicina
Jesús López Estradaa
[email protected],
cc: [email protected] [email protected]
Miembros del Grupo de Medicina Teórica, FC-UNAM (Rogelio Avendañob ,
Lourdes Estevaa , José A. Floresa , José L. Fuentesc , Guillermo Gómeza ,
Ursula Iturrarán a y colegas del IMate-Cuernavaca, UNAM).
a
Departamento de Matemáticas, FCiencias, UNAM.
b
Educación Médica, Centro Médico Nacional Siglo XXI, IMSS.
c
Hospital de Infectologı́a, Centro Médico Nacional La Raza, IMSS.
Resumen: En esta plática se bosquejarán ciertas lı́neas de investigación (desarrollo
de modelos y métodos matemáticos como computacionales) en Medicina, algunas por
desarrollar y otras en proceso: Dinámica de enfermedades (SIDA, hepatitis C, influenzas,
cargas, paludismo, etc.), de enfermedades crónico degenerativas (diabetes), Epidinámica
(propagación de epidemias en espacio-tiempo), y pronóstico de riesgo a infarto al miocardio, donde tienen lugar -en particular- algunos problemas inversos mal-planteados de
gran relevancia e interés.
PLAN
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
3 Un estudio sobre la Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en México
(Básicos de Epidemiologı́a e Influenzas)
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
3 Un estudio sobre la Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en México
(Básicos de Epidemiologı́a e Influenzas)
4 Epidinámica
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
3 Un estudio sobre la Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en México
(Básicos de Epidemiologı́a e Influenzas)
4 Epidinámica
5 Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
3 Un estudio sobre la Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en México
(Básicos de Epidemiologı́a e Influenzas)
4 Epidinámica
5 Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
6 Comentarios generales
PLAN
1 Dinámica de enfermedades virales
(Básicos del sistema inmunológico, Hepatitis C y SIDA/VIH)
2 Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
(Diabetes)
3 Un estudio sobre la Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en México
(Básicos de Epidemiologı́a e Influenzas)
4 Epidinámica
5 Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
6 Comentarios generales
Bibliografı́a
1.
Dinámica de enfermedades virales
1.1.
Un problema para matemáticos
La Historia: En una sesión del seminario de Medicina Teórica, el Dr. José L. Fuentes Allen
(médico internista) jefe de piso del Hospital de Infectologı́a del Centro Médico Nacional
“La Raza”del IMSS, nos dijo:
“Les traigo un problema para matemáticos”
1.
Dinámica de enfermedades virales
1.1.
Un problema para matemáticos
La Historia: En una sesión del seminario de Medicina Teórica, el Dr. José L. Fuentes Allen
(médico internista) jefe de piso del Hospital de Infectologı́a del Centro Médico Nacional
“La Raza”del IMSS, nos dijo:
“Les traigo un problema para matemáticos”
Problema. Con sólo datos clı́nicos y de laboratorio (carga viral, niveles de transaminasas
e inmunoglobulinas, entre otros) dar una evaluación del daño hepático de un enfermo de
hepatitis C sin aplicar biopsias percutáneas.
1.
Dinámica de enfermedades virales
1.1.
Un problema para matemáticos
La Historia: En una sesión del seminario de Medicina Teórica, el Dr. José L. Fuentes Allen
(médico internista) jefe de piso del Hospital de Infectologı́a del Centro Médico Nacional
“La Raza”del IMSS, nos dijo:
“Les traigo un problema para matemáticos”
Problema. Con sólo datos clı́nicos y de laboratorio (carga viral, niveles de transaminasas
e inmunoglobulinas, entre otros) dar una evaluación del daño hepático de un enfermo de
hepatitis C sin aplicar biopsias percutáneas.
Importancia. La biopsia percutánea, en ese entonces, era el mejor medio para la evaluación del daño hepático. Pero su aplicación presenta diversos inconvenientes: es cara, no
es fiable, es dolorosa, y no está excenta de riesgo a enfermedades oportunistas.
1.2.
Importancia de la Medmatemática
Las aportaciones de la Matemática a la Medicina han recibido un merecido reconocimiento en la comunidad cientı́fica internacional, gracias a los servicios prestados durante los
últimos veinte años, en la investigación de la dinámica de enfermedades infecciosas (tuberculosis, hepatitis B y C, SIDA, entre otras),
1.2.
Importancia de la Medmatemática
Las aportaciones de la Matemática a la Medicina han recibido un merecido reconocimiento en la comunidad cientı́fica internacional, gracias a los servicios prestados durante los
últimos veinte años, en la investigación de la dinámica de enfermedades infecciosas (tuberculosis, hepatitis B y C, SIDA, entre otras),
Con un modelo matemático se midió la tasa de replicación del VIH y VHC; como investigar la efectividad (acción) de los medicamentos en la eliminación de virus libres y/o la
inhibición de la infección y/o la replicación viral (Neumann A.U. et al. (1998), Perelson
A.S. (2002) y Yasui K. et al., (1998)). Y también para monitorear el daño hepático causado por VHC sin uso biopsias percutańeas de hı́gado (Alavez J., López Je. y Reyes Terán
G., (2006) y Alavez R., J., López Je. y Fuentes J.L. (2011)).
• Tan pronto OMS (WHO) declaró la emergencia de la nueva influenza A/H1N1, durante la
primavera de 2009, formó una red de expertos en modelación matemática para el análisis de
la información epidemiológica y para el estudio del impacto de las posibles medidas a tomar
para su control (Weekly epidemiological record, WHO, August 21, 2009).
1.3.
Sistema inmune y dinámica viral
El objetivo central del sistema inmune es detectar y limpiar el organismo de elementos
extraños (Ag) como bacterias, virus, envenamiento, etc., pero a la de YA
1.3.
Sistema inmune y dinámica viral
El objetivo central del sistema inmune es detectar y limpiar el organismo de elementos
extraños (Ag) como bacterias, virus, envenamiento, etc., pero a la de YA
Hay dos tipos de respuesta inmunológica: Inespecı́fica (secreciones como saliva, orina,
lagañas, etc.) y Especı́fica.
1.3.
Sistema inmune y dinámica viral
El objetivo central del sistema inmune es detectar y limpiar el organismo de elementos
extraños (Ag) como bacterias, virus, envenamiento, etc., pero a la de YA
Hay dos tipos de respuesta inmunológica: Inespecı́fica (secreciones como saliva, orina,
lagañas, etc.) y Especı́fica.
La respuesta especı́fica es a su vez de dos tipos:
1.3.
Sistema inmune y dinámica viral
El objetivo central del sistema inmune es detectar y limpiar el organismo de elementos
extraños (Ag) como bacterias, virus, envenamiento, etc., pero a la de YA
Hay dos tipos de respuesta inmunológica: Inespecı́fica (secreciones como saliva, orina,
lagañas, etc.) y Especı́fica.
La respuesta especı́fica es a su vez de dos tipos:
i) Humoral: Respuesta mediante Anticuerpos (Ac), generados por una previa infección.
Por ello, nunca nos enfermamos de la misma gripe.
1.3.
Sistema inmune y dinámica viral
El objetivo central del sistema inmune es detectar y limpiar el organismo de elementos
extraños (Ag) como bacterias, virus, envenamiento, etc., pero a la de YA
Hay dos tipos de respuesta inmunológica: Inespecı́fica (secreciones como saliva, orina,
lagañas, etc.) y Especı́fica.
La respuesta especı́fica es a su vez de dos tipos:
i) Humoral: Respuesta mediante Anticuerpos (Ac), generados por una previa infección.
Por ello, nunca nos enfermamos de la misma gripe.
ii) Celular: Esta respuesta es un proceso muy complejo, aún no muy bien entendido. Se
inicia con el reconocimiento del Ag mediante las células Th (T de Timos y h de helper),
de sus indagaciones (tipo CIA) se puede desprender una inmediata fuerte respuesta
inmune mediante células B, macrófago y otras para erradicar cuanto antes al Ag. O
bien, a conformar un comando de ataque (Pentágono) para definir las acciones de la
respuesta.
En el caso de la Hepatitis C, como con el SIDA, la respuesta humoral es toalmente
ineficiente debido a la gran capacidad de replicación viral, y con ello de su gran tasa
de mutación. Por esto, en nuestras investigaciones, no se toma en cuenta a la respuesta
humoral.
En el caso de la Hepatitis C, como con el SIDA, la respuesta humoral es toalmente
ineficiente debido a la gran capacidad de replicación viral, y con ello de su gran tasa
de mutación. Por esto, en nuestras investigaciones, no se toma en cuenta a la respuesta
humoral.
Hay dos tipos de virus RNA y DNA. el VHC y VIH son RNA.
En el caso de la Hepatitis C, como con el SIDA, la respuesta humoral es toalmente
ineficiente debido a la gran capacidad de replicación viral, y con ello de su gran tasa
de mutación. Por esto, en nuestras investigaciones, no se toma en cuenta a la respuesta
humoral.
Hay dos tipos de virus RNA y DNA. el VHC y VIH son RNA.
Los virus ¿Son seres vivos? Estrictamente NO. Pues requieren infectar a una célula huesped
para poder reproducirse.
En el caso de la Hepatitis C, como con el SIDA, la respuesta humoral es toalmente
ineficiente debido a la gran capacidad de replicación viral, y con ello de su gran tasa
de mutación. Por esto, en nuestras investigaciones, no se toma en cuenta a la respuesta
humoral.
Hay dos tipos de virus RNA y DNA. el VHC y VIH son RNA.
Los virus ¿Son seres vivos? Estrictamente NO. Pues requieren infectar a una célula huesped
para poder reproducirse.
Los virus RNA una vez dentro de la célula huesped, con a la ayuda de la transcriptasa,
covierten su código genético a DNA. Luego se reproduce usando la energı́a de la célula.
Por último, con la ayuda de la transcriptasa reversa regresa a su tipo RNA original, los
nuevos viriones.
1.4.
Modelos básico para la dinámica viral
Por la ineficacia del Sistema Inmune y abstrayendo la complejidad de su operación, el
modelo básico de una enfermedad viral (Novak M.A., May R.M. [15], 2000) considera
sólo a tres poblaciones: células sanas (Cs ), células infectadas (Ce ) y carga viral (V ).
1.4.
Modelos básico para la dinámica viral
Por la ineficacia del Sistema Inmune y abstrayendo la complejidad de su operación, el
modelo básico de una enfermedad viral (Novak M.A., May R.M. [15], 2000) considera
sólo a tres poblaciones: células sanas (Cs ), células infectadas (Ce ) y carga viral (V ).
Cualitativamente, si Ce y V tienden a desvanecerse con el tiempo, el paciente tenderá a
sanar. Mientras que si Ci → Ce∗ (>)0 y V → V ∗ (> 0) entonces el paciente tenderá a la
enfermedad crónica.
Modelo básico de la dinámica viral:
1 βs
− µs − kV
Cs =
Cs
Cs
1 Cs
=
k
V − µe
Ce
Ce
Ce
1 Ce
= p
− µV
V
V
V
donde es natural suponer que µe ≥ µs > 0













(1)
Modelo básico de la dinámica viral:
1 βs
− µs − kV
Cs =
Cs
Cs
1 Cs
=
k
V − µe
Ce
Ce
Ce
1 Ce
= p
− µV
V
V
V







(1)






donde es natural suponer que µe ≥ µs > 0
Modelo que se suele escribir como
Cs
Ce
V


= β s − µs Cs − k C s V 



= k C s V − µe Ce





= p Ce − µV V
(2)
Ω = (Cs , Ce , V )T ∈ R3+ : 0 ≤ Cs , Ce ≤ CM , Cs + Ce ≤ CM y 0 ≤ V ≤ VM
V
(0,0,VM )
W
(0, H M ,0) He
Hs
I 0 = ( H M ,0,0 ) T
Figura 1: Región Ω invariante positivo. CM = βs /µs y VM = (p/µV ) CM .
Lema 2. Si µe ≥ µs , entonces Ω es un conjunto invariante positivo del sistema (2).
1.5.
Análisis de Estabilidad
1.5.
Análisis de Estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
1.5.
Análisis de Estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (2) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anteriormente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
se cura.
1.5.
Análisis de Estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (2) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anteriormente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
se cura.
• Para su demostración considerese a la función de Lyapunov:
U (Cs , Ce , V ) = µe V + pCe
1.5.
Análisis de Estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (2) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anteriormente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
se cura.
• Para su demostración considerese a la función de Lyapunov:
U (Cs , Ce , V ) = µe V + pCe
• Se tiene:
U ≤ −µe µV (1 − R0 )V ≤ 0 si
R0 ≤ 1
1.5.
Análisis de Estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (2) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anteriormente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
se cura.
• Para su demostración considerese a la función de Lyapunov:
U (Cs , Ce , V ) = µe V + pCe
• Se tiene:
U ≤ −µe µV (1 − R0 )V ≤ 0 si
R0 ≤ 1
• De la Teorı́a de La Salle-Lyapunov, se sigue que el conjunto ω-lı́mite, si existe, de toda
trayectoria solución del sistema (2) que nace en Ω está contenido en:
U0 = (Cs , Ce , V )T ∈ Ω : U = 0
• De la Teorı́a de La Salle-Lyapunov, se sigue que el conjunto ω-lı́mite, si existe, de toda
trayectoria solución del sistema (2) que nace en Ω está contenido en:
U0 = (Cs , Ce , V )T ∈ Ω : U = 0
• Pero:
U ≡ 0 sı́ y sólo si V ≡ 0
ó
R0 = 1
• De la Teorı́a de La Salle-Lyapunov, se sigue que el conjunto ω-lı́mite, si existe, de toda
trayectoria solución del sistema (2) que nace en Ω está contenido en:
U0 = (Cs , Ce , V )T ∈ Ω : U = 0
• Pero:
U ≡ 0 sı́ y sólo si V ≡ 0
ó
R0 = 1
• Si V ≡ 0 and R0 < 1 entonces el sistema (2) se reduce a:
Cs = β s − µs Cs
C e = −µe Ce
V = p Ce
(3)
• De la Teorı́a de La Salle-Lyapunov, se sigue que el conjunto ω-lı́mite, si existe, de toda
trayectoria solución del sistema (2) que nace en Ω está contenido en:
U0 = (Cs , Ce , V )T ∈ Ω : U = 0
• Pero:
U ≡ 0 sı́ y sólo si V ≡ 0
ó
R0 = 1
• Si V ≡ 0 and R0 < 1 entonces el sistema (2) se reduce a:
Cs = β s − µs Cs
C e = −µe Ce
V = p Ce
(3)
• cuyas soluciones claramente convergen a I0 . En ambos casos, V = 0 y R0 = 1 se
tiene que las soluciones de los sistemas restringuidos convergen asintóticamente a la
solución de equilibrio trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T .
• De la Teorı́a de La Salle-Lyapunov, se sigue que el conjunto ω-lı́mite, si existe, de toda
trayectoria solución del sistema (2) que nace en Ω está contenido en:
U0 = (Cs , Ce , V )T ∈ Ω : U = 0
• Pero:
U ≡ 0 sı́ y sólo si V ≡ 0
ó
R0 = 1
• Si V ≡ 0 and R0 < 1 entonces el sistema (2) se reduce a:
Cs = β s − µs Cs
C e = −µe Ce
V = p Ce
(3)
• cuyas soluciones claramente convergen a I0 . En ambos casos, V = 0 y R0 = 1 se
tiene que las soluciones de los sistemas restringuidos convergen asintóticamente a la
solución de equilibrio trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T .
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (2) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (2) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (2) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
• ii). El no trivial
Ie = (Cs∗ , Ce∗ , V ∗ )T =
T
βs
βs
µs
(R0 − 1)
∈ int(Ω)
,
(R0 − 1) ,
µs R0 µe R0
k
es globalmente asintóticamente estable y que corresponde al estado del enfermo endémico.
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (2) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
• ii). El no trivial
Ie = (Cs∗ , Ce∗ , V ∗ )T =
T
βs
βs
µs
(R0 − 1)
∈ int(Ω)
,
(R0 − 1) ,
µs R0 µe R0
k
es globalmente asintóticamente estable y que corresponde al estado del enfermo endémico.
• Para su demostración considérese a la función de Lyapunov U : Ω → R+ :
U (Cs , Ce , V ) = (Cs − Cs∗ ln
Cs
Ce
µe
V
∗
∗
)
+
(C
−
C
ln
)
+
(V
−
V
ln
)
e
e
Cs∗
Ce∗
p
V∗
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (2) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
• ii). El no trivial
Ie = (Cs∗ , Ce∗ , V ∗ )T =
T
βs
βs
µs
(R0 − 1)
∈ int(Ω)
,
(R0 − 1) ,
µs R0 µe R0
k
es globalmente asintóticamente estable y que corresponde al estado del enfermo endémico.
• Para su demostración considérese a la función de Lyapunov U : Ω → R+ :
U (Cs , Ce , V ) = (Cs − Cs∗ ln
Cs
Ce
µe
V
∗
∗
)
+
(C
−
C
ln
)
+
(V
−
V
ln
)
e
e
Cs∗
Ce∗
p
V∗
• Claramente, U ∈ C 1 (Ω) y U (Cs , Ce , V ) < 0 para todo (Cs , Ce , V ) 6= (Cs∗ , Ce∗ , V ∗ ).
Además, si R0 > 1, se puede verificar que U es negativa en int(Ω). Luego, la prueba
se concluye de aplicar la teorı́a clásica de Lyapunov.
1.6.
Implicación importante
Estrategia para la cura por infección viral
Observe que en:
R0 = CM
kp
µe µV
sólo se disponen de los puntos de control: k, p, µe
y
µV .
Esto sugiere, para la cura de la infección viral, el uso de al menos cuatro drogas:
k kc
p pc
me mce
mV mVc
Figura 2: Estrategia para la cura de infección viral.
Dada 0 < ε < 1 de tolerancia, si:
R0c
k c pc
≡ CM c c ≤ 1 − ε, entoces el enfermo se cura.
µe µV
2.
Modelo básico para la Hepatitis C
2.
Modelo básico para la Hepatitis C
El modelo básico para el estudio de la dinámica de la Hepatitis C considera a los hepatocitos sanos (Hs ), los hepatocitos infectados (He ) y a la carga viral (V ):


H s = βs − µs Hs − kHs V 


(4)
H e = kHs V − µe He




=
pH
−
µ
V
V
e
V
2.
Modelo básico para la Hepatitis C
El modelo básico para el estudio de la dinámica de la Hepatitis C considera a los hepatocitos sanos (Hs ), los hepatocitos infectados (He ) y a la carga viral (V ):


H s = βs − µs Hs − kHs V 


(4)
H e = kHs V − µe He




=
pH
−
µ
V
V
e
V
Parámetro umbral:
kpβs
R0 =
µe µs µV
El valor de R0 juega un papel central en el análisis cualitativo del comportamiento global
de las evoluciones de la hepatitis C.
Unidades:
Hs (t) → células/mm3 βs → células/mm3 × dı́a µs → dı́a−1
He (t) → células/mm3 k → µL/UI × dı́a
µe → dı́a−1
V (t) → UI/µL
µV → dı́a−1
p → UI/células × dı́a
2.1.
Análisis estabilidad
2.1.
Análisis estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (4) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anterioemente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
siempre se cura.
2.1.
Análisis estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (4) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anterioemente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
siempre se cura.
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (4) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
2.1.
Análisis estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (4) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anterioemente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
siempre se cura.
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (4) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
2.1.
Análisis estabilidad
Teorema. Bajo el supuesto de que µe ≥ µs :
A). Si R0 ≤ 1 entonces el sistema (4) tiene un sólo estado de equilibrio admisible en Ω,
el trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , el cuál es globalmente asintóticamente estable. Lo que
confirma lo dicho anterioemente que sin importar la intensidad de la infección (es
decir, salvo que el valor de V0 ≤ VM ), el individuo infectado, eventualmente,
siempre se cura.
B). Si R0 > 1 entonces el sistema (4) tiene dos estados de equilibrio admisibles en Ω:
• i). El trivial I0 = (βs /µs , 0, 0)T , que es ahora inestable (hiperbólico), y
• ii). El no trivial
I1 = (Hs∗ , He∗ , V ∗ )T =
T
βs
µs
βs
,
(R0 − 1) ,
(R0 − 1)
∈ int(Ω)
µs R0 µe R0
k
y que es globalmente asintóticamente estable y que corresponde al enfermo endémico
de hepatitis C.
3.
Dinámica del VIH/SIDA
3.
Dinámica del VIH/SIDA
El modelo ”básico“, para el estudio de la dinámica del SIDA/VIH-1 (Perelson et al., 1999),
considera a las células T -helper CD4+ sanas (Ts ), T -helper CD4+ infectadas (Te ) y a
la carga viral (V ):
3.
Dinámica del VIH/SIDA
El modelo ”básico“, para el estudio de la dinámica del SIDA/VIH-1 (Perelson et al., 1999),
considera a las células T -helper CD4+ sanas (Ts ), T -helper CD4+ infectadas (Te ) y a
la carga viral (V ):
Ts
Ts
= qs + βs Ts 1 −
− µs Ts − kTs V
Tmáx
T e = kTs V − µe Te
V
= pTe − µV V











(5)
3.
Dinámica del VIH/SIDA
El modelo ”básico“, para el estudio de la dinámica del SIDA/VIH-1 (Perelson et al., 1999),
considera a las células T -helper CD4+ sanas (Ts ), T -helper CD4+ infectadas (Te ) y a
la carga viral (V ):
Ts
Ts
= qs + βs Ts 1 −
− µs Ts − kTs V
Tmáx
T e = kTs V − µe Te
V
= pTe − µV V






(5)





Es directo verificar que las trayectorias solución de este sistema con C.I. en R3+ , viven
para siempre en R3+ .
3.1.
Estados de equilibrio
3.1.
Estados de equilibrio
El modelo tiene dos posibles estados de equilibrio, el trivial:
∗
I0 = (Ts1
, 0, 0)T
3.1.
Estados de equilibrio
El modelo tiene dos posibles estados de equilibrio, el trivial:
∗
I0 = (Ts1
, 0, 0)T
que corresponde al del individuo sano, donde:
s
"
#
Tmáx
4βs qs
∗
2
(βs − µs ) + (βs − µs ) +
>0
Ts1 =
2βs
Tmáx
3.1.
Estados de equilibrio
El modelo tiene dos posibles estados de equilibrio, el trivial:
∗
I0 = (Ts1
, 0, 0)T
que corresponde al del individuo sano, donde:
s
"
#
Tmáx
4βs qs
∗
2
(βs − µs ) + (βs − µs ) +
>0
Ts1 =
2βs
Tmáx
Y el no trivial:
∗
I1 = (Ts2
, Te∗ , V ∗ )T
que corresponde al individuo infectado endémico.
3.1.
Estados de equilibrio
El modelo tiene dos posibles estados de equilibrio, el trivial:
∗
I0 = (Ts1
, 0, 0)T
que corresponde al del individuo sano, donde:
s
"
#
Tmáx
4βs qs
∗
2
(βs − µs ) + (βs − µs ) +
>0
Ts1 =
2βs
Tmáx
Y el no trivial:
∗
I1 = (Ts2
, Te∗ , V ∗ )T
que corresponde al individuo infectado endémico.
Donde se tiene que:
∗
V >0
⇐⇒
∗
qs
βs Ts2
>0
∗ + (βs − µs ) − T
Ts2
máx
3.2.
Estabilidad global del estado de equilibrio trivial
Sea


∗, 0≤T ≤T


0 ≤ Ts ≤ Ts1
e
max ,
Ω0 = (Ts , Te , V )T ∈ R3+ p

Tmax 
0 ≤ Ts + Te ≤ Tmax y 0 ≤ V ≤ VM ≡
µV
V
(0,0,VM )
W
W0
(0, Tmax ,0)
Te
Ts
(Tmax ,0,0)
I 0 = (Ts*1 ,0,0)T
Figura 3: Región Ω0 ⊆ Ω invariante positivo.
∗ ≤
Lema. Si Ts1
Tmax
2
ó si
∗ >
Ts1
Tmax
2
y
βs Tmax ≤ −4 (qs − µs Tmax ) a
entonces el conjunto Ω0 es invariante positivo del sistema (5).
a
En particular, se debe verificar que qs < µs Tmax .
(6)
∗ ≤
Lema. Si Ts1
Tmax
2
ó si
∗ >
Ts1
Tmax
2
y
βs Tmax ≤ −4 (qs − µs Tmax ) a
(6)
entonces el conjunto Ω0 es invariante positivo del sistema (5).
∗ ≤
Teorema. Bajo las condiciones: R0 ≤ 1 y qs − µs Tmáx < 0. Si Ts1
Tmax
2
ó si
Tmax
∗ , 0, 0)T es globalmente
y la condición (6) tiene lugar, entonces I0 = (Ts1
2
asintóticamente estable en un conjunto Ω ⊂ R3+ que contiene a Ω0 .
∗ >
Ts1
a
En particular, se debe verificar que qs < µs Tmax .
qs = 10, βs = 3 × 10−2 , µs = 2,25 × 10−2 , k = 6,75 × 10−5 , µe = 0,3,
∗ = 800, T ∗ = 888,89, R = 0,9.
p = 2,65, µV = 0,53, Tmáx = 1 200, Ts1
0
s2
800
700
Células sanas
Células enfermas
Carga viral
600
500
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
días
120
140
160
180
200
qs = 10, βs = 0,12, µs = 7,6667 × 10−2 , k = 2,5 × 10−4 , µe = 0,5, p = 2,12,
∗ = 600, T ∗ = 500, T ∗ = 13,33, V ∗ = 53,33, R = 1,2.
µV = 0,53, Tmáx = 1 200, Ts1
0
e
s2
700
Células sanas
Células enfermas
Carga viral
600
500
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
días
120
140
160
180
200
3.3.
Dinámica del SIDA con inhibidores de la proteasa
3.3.
Dinámica del SIDA con inhibidores de la proteasa
Modelo estándar del SIDA con inhibidores de la proteasa (Perelson et al., 1999) dado por:

Ts
− µs Ts − kTs VI 
Ts
= βs + qs Ts 1 − Tmáx






Te
= kTs VI − µe Te
(7)


= (1 − η)pTe − µV VI

VI




V N I = ηpTe − µV VN I
donde:
3.3.
Dinámica del SIDA con inhibidores de la proteasa
Modelo estándar del SIDA con inhibidores de la proteasa (Perelson et al., 1999) dado por:

Ts
− µs Ts − kTs VI 
Ts
= βs + qs Ts 1 − Tmáx






Te
= kTs VI − µe Te
(7)


= (1 − η)pTe − µV VI

VI




V N I = ηpTe − µV VN I
donde:
VI : población de partı́culas de virus infecciosos (no influenciados por un inhibidor de la
proteasa).
3.3.
Dinámica del SIDA con inhibidores de la proteasa
Modelo estándar del SIDA con inhibidores de la proteasa (Perelson et al., 1999) dado por:

Ts
− µs Ts − kTs VI 
Ts
= βs + qs Ts 1 − Tmáx






Te
= kTs VI − µe Te
(7)


= (1 − η)pTe − µV VI

VI




V N I = ηpTe − µV VN I
donde:
VI : población de partı́culas de virus infecciosos (no influenciados por un inhibidor de la
proteasa).
VN I : población de partı́culas de virus no infecciosos (influenciados por un inhibidor de la
proteasa), y
3.3.
Dinámica del SIDA con inhibidores de la proteasa
Modelo estándar del SIDA con inhibidores de la proteasa (Perelson et al., 1999) dado por:

Ts
− µs Ts − kTs VI 
Ts
= βs + qs Ts 1 − Tmáx






Te
= kTs VI − µe Te
(7)


= (1 − η)pTe − µV VI

VI




V N I = ηpTe − µV VN I
donde:
VI : población de partı́culas de virus infecciosos (no influenciados por un inhibidor de la
proteasa).
VN I : población de partı́culas de virus no infecciosos (influenciados por un inhibidor de la
proteasa), y
V = VI + VN I : concentración total del virus.
η : parámetro de efectividad de la droga (inhibidor de la proteasa).
Se verifica que el modelo tiene dos estados de equilibrio:
∗
I0 = (Tss1
, 0, 0, 0)
que corresponde al del individuo sano, donde
s
"
#
4qs βs
Tmáx
∗
2
(qs − µs) + (qs − µs ) +
>0
Tss1 =
2qs
Tmáx
e
Se verifica que el modelo tiene dos estados de equilibrio:
∗
I0 = (Tss1
, 0, 0, 0)
que corresponde al del individuo sano, donde
s
"
#
4qs βs
Tmáx
∗
2
(qs − µs) + (qs − µs ) +
>0
Tss1 =
2qs
Tmáx
e
∗
Ie = (Tss2
, Te∗ , VI∗ , VN∗ I )
donde
∗
Tss2
ss2
qs 1 − TTmáx
− µs
µe µV
β
s
∗
=
,
VI =
+
(1 − η)kp
kTss2
k
µV
η
∗
∗
∗
Te =
VI
y
VN I =
VI∗ .
(1 − η)p
1−η
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
Se demuestra que si
R0η ≡ (1 − η)R0 < 1,
donde R0 ≡
kp ∗
Tss1
µe µV
entonces, I0 es el único estado de equilibrio en Ω, y es local (globalmente?) asintóticamente estable.
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
Se demuestra que si
R0η ≡ (1 − η)R0 < 1,
donde R0 ≡
kp ∗
Tss1
µe µV
entonces, I0 es el único estado de equilibrio en Ω, y es local (globalmente?) asintóticamente estable.
Conjetura. El paciente infectado por el VIH/SIDA se cura si el valor de su parámetro
umbral R0η ≤ 1.
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
Se demuestra que si
R0η ≡ (1 − η)R0 < 1,
donde R0 ≡
kp ∗
Tss1
µe µV
entonces, I0 es el único estado de equilibrio en Ω, y es local (globalmente?) asintóticamente estable.
Conjetura. El paciente infectado por el VIH/SIDA se cura si el valor de su parámetro
umbral R0η ≤ 1.
Se demuestra que si R0η > 1
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
Se demuestra que si
R0η ≡ (1 − η)R0 < 1,
donde R0 ≡
kp ∗
Tss1
µe µV
entonces, I0 es el único estado de equilibrio en Ω, y es local (globalmente?) asintóticamente estable.
Conjetura. El paciente infectado por el VIH/SIDA se cura si el valor de su parámetro
umbral R0η ≤ 1.
Se demuestra que si R0η > 1
a) El estado de equilibrio Ie existe, pertence a Ω, y es globalmente asintóticamente
estable. (Caso del infectado por VIH/SIDA que bajo condiciones del tratamiento, es
un paciente endémico). Y,
El estado de equilibrio Ie cuando está en Ω corresponde al individuo infectado endémico.
Se demuestra que si
R0η ≡ (1 − η)R0 < 1,
donde R0 ≡
kp ∗
Tss1
µe µV
entonces, I0 es el único estado de equilibrio en Ω, y es local (globalmente?) asintóticamente estable.
Conjetura. El paciente infectado por el VIH/SIDA se cura si el valor de su parámetro
umbral R0η ≤ 1.
Se demuestra que si R0η > 1
a) El estado de equilibrio Ie existe, pertence a Ω, y es globalmente asintóticamente
estable. (Caso del infectado por VIH/SIDA que bajo condiciones del tratamiento, es
un paciente endémico). Y,
b) el estado de equilibrio I0 es inestable.
3.4.
Estimación de parámetros en EDO’s
3.4.
Estimación de parámetros en EDO’s
Dada una tabla:
T = (ti , y ) ∈ [t0 , T ] × Rn y = ϕ(ti ; t0 , η , β ) + ε , i = 0 : m
ei
ei
e e
ei
donde ε ∈ Rn son vectores aleatorios i.i.d. con media cero y varianza σ 2 (errores no
ei
observables), en los valores observados de la solución:
t ∈ [t0 , T ]
y (t) = ϕ(t; t0 , η , β ),
e
e e
del problema de V.I. ó de Cauchy:
donde f :
D × π1Θ (Θ)
→
e
∗
Rn
y = f (t, y , β ),
y (t0 ) = η
e
e
e
e
π1Θ
continua, θ ≡ (β , η ) 7−→ β , D ⊆ R × Rn y θ ∈ Θ ⊆ Rp × Rn
tiene un valor teórico θ desconocido,
e
e e
(8)
e e
e
3.4.
Estimación de parámetros en EDO’s
Dada una tabla:
T = (ti , y ) ∈ [t0 , T ] × Rn y = ϕ(ti ; t0 , η , β ) + ε , i = 0 : m
ei
ei
e e
ei
donde ε ∈ Rn son vectores aleatorios i.i.d. con media cero y varianza σ 2 (errores no
ei
observables), en los valores observados de la solución:
t ∈ [t0 , T ]
y (t) = ϕ(t; t0 , η , β ),
e
e e
del problema de V.I. ó de Cauchy:
donde f :
D × π1Θ (Θ)
→
e
∗
Rn
y = f (t, y , β ),
y (t0 ) = η
e
e
e
e e
(8)
e
π1Θ
continua, θ ≡ (β , η ) 7−→ β , D ⊆ R × Rn y θ ∈ Θ ⊆ Rp × Rn
tiene un valor teórico θ desconocido,
e e
e
e
Problema. Hallar una “buena” estimación b
θ para θ∗ .
e
e
3.5.
La estimación vı́a mı́nimo de cuadrados
3.5.
La estimación vı́a mı́nimo de cuadrados
El problema presenta fuertes retos tanto del punto de vista teórico como práctico, Lo
canónico es la identificación de los parámetros mediante el Criterio de Mı́nimo de Cuadrados:
Hallar b
θ tal que g(b
θ) ≤ g(θ), p.t. θ ∈ Θ ⊂ Rp+n
(9)
e
donde:
e
e
e
3.5.
La estimación vı́a mı́nimo de cuadrados
El problema presenta fuertes retos tanto del punto de vista teórico como práctico, Lo
canónico es la identificación de los parámetros mediante el Criterio de Mı́nimo de Cuadrados:
Hallar b
θ tal que g(b
θ) ≤ g(θ), p.t. θ ∈ Θ ⊂ Rp+n
(9)
e
e
e
e
donde:
m
X
1
2
ky − ϕ(ti ; t0 , η , β )k2Wi ,
g(θ) =: kY − F (θ)kW ≡
2
e
e
ei
e e
i=0
θT = β T , ηT ∈ Θ
e

F : Θ → R(m+1)n ;
ϕ(t0 ; t0 , η , β )

e e

 ϕ(t ; t , η , β )
1 0


e e
F (θ) = 
.
e
..



ϕ(tm ; t0 , η , β )
e
e





;









Y =




e e
Y es el vector de observaciones dadas en la tabla T.
y
e0



y 

e1 
.. 
. 


y
em
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
2) Dinámica de Poblaciones (Swartz and Bremermann, 1975)
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
2) Dinámica de Poblaciones (Swartz and Bremermann, 1975)
3) Farmacologı́a (Ralston, et al., 1979)
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
2) Dinámica de Poblaciones (Swartz and Bremermann, 1975)
3) Farmacologı́a (Ralston, et al., 1979)
4) Dinámica de Enfermedades Virales:
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
2) Dinámica de Poblaciones (Swartz and Bremermann, 1975)
3) Farmacologı́a (Ralston, et al., 1979)
4) Dinámica de Enfermedades Virales:
4.1) SIDA (Perelson, 2002; Perelson, et al., (1998, 1999))
Importancia en la Ciencia y la Tecnologı́a
El problema tiene su origen desde los años 1960’s:
1) Cinética Quı́mica (Rosenbrock and Storey, 1962; Ralston, et al., 1979)
2) Dinámica de Poblaciones (Swartz and Bremermann, 1975)
3) Farmacologı́a (Ralston, et al., 1979)
4) Dinámica de Enfermedades Virales:
4.1) SIDA (Perelson, 2002; Perelson, et al., (1998, 1999))
4.2) Hepatitis B y C (Perelson, et al., 1998; Yasui, et al., 1998; Esteva, et al., (2001, 2002);
Alavez (2007, 2011)).
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Varios casos.
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Varios casos.
Uno de especial interés e importancia, es el llamado de datos parciales (como los de
medición indirecta).
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Varios casos.
Uno de especial interés e importancia, es el llamado de datos parciales (como los de
medición indirecta).
De frecuente ocurrencia en Medicina e Ing. Quı́mica (cinética quı́mica), entre otros.
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Varios casos.
Uno de especial interés e importancia, es el llamado de datos parciales (como los de
medición indirecta).
De frecuente ocurrencia en Medicina e Ing. Quı́mica (cinética quı́mica), entre otros.
Es el caso cuando se dispone de una tabla parcial T; i.e., de observaciones de sólo algunas
de las componentes de la solución y (t) = ϕ(t; t0 , η , β ) del problema de Cauchy (8).
e
e e
Casos de estimación de parámetros en EDO’s
Varios casos.
Uno de especial interés e importancia, es el llamado de datos parciales (como los de
medición indirecta).
De frecuente ocurrencia en Medicina e Ing. Quı́mica (cinética quı́mica), entre otros.
Es el caso cuando se dispone de una tabla parcial T; i.e., de observaciones de sólo algunas
de las componentes de la solución y (t) = ϕ(t; t0 , η , β ) del problema de Cauchy (8).
e
Ilustración: Un problema para matemáticos.
e e
Método de Gauss-Newton.
Método de Gauss-Newton.
Gauss parte de la observación que los cálculos en el método de Newton se simplifican
si los residuales rj =: yj − f (tj ; θ), j = 1 : m, son pequeños. Con respecto a nuestro
problema
f (tj ; θ) ≡ ϕ(tj ; t0 , θ)
e
Método de Gauss-Newton.
Gauss parte de la observación que los cálculos en el método de Newton se simplifican
si los residuales rj =: yj − f (tj ; θ), j = 1 : m, son pequeños. Con respecto a nuestro
problema
f (tj ; θ) ≡ ϕ(tj ; t0 , θ)
e
Tomando el desarrollo de Taylor de primer orden para F (θ) en θk :
e
F (θ) = F (θk ) + JF (θk )(θ − θk ) + O kθ −
θk k22
(10)
Método de Gauss-Newton.
Gauss parte de la observación que los cálculos en el método de Newton se simplifican
si los residuales rj =: yj − f (tj ; θ), j = 1 : m, son pequeños. Con respecto a nuestro
problema
f (tj ; θ) ≡ ϕ(tj ; t0 , θ)
e
Tomando el desarrollo de Taylor de primer orden para F (θ) en θk :
e
F (θ) = F (θk ) + JF (θk )(θ − θk ) + O kθ −
El problema de minimizar la función objetivo
1
g(θ) =: kY − F (θ)k2W
2
e
e
es sustituido por el problema lineal de Min Q’s:
1
g(θ) ∼
= kY − F (θk ) − JF (θk )dGN k22
2
e
θk k22
(10)
Método de Gauss-Newton ...c
Método de Gauss-Newton ...c
De donde, dada una aproximación inicial θ0 se obtiene el método de Gauss-Newton:
JFT (θk )JF (θk )dGN = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
(11)
e
θk+1 = θk + dGN ,
e
k = 0, 1, 2, . . .
Método de Gauss-Newton ...c
De donde, dada una aproximación inicial θ0 se obtiene el método de Gauss-Newton:
JFT (θk )JF (θk )dGN = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
(11)
e
θk+1 = θk + dGN ,
k = 0, 1, 2, . . .
e
bajo el supuesto que JFT (θk )JF (θk ) es positiva definida.
Método de Gauss-Newton ...c
De donde, dada una aproximación inicial θ0 se obtiene el método de Gauss-Newton:
JFT (θk )JF (θk )dGN = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
(11)
e
θk+1 = θk + dGN ,
k = 0, 1, 2, . . .
e
bajo el supuesto que JFT (θk )JF (θk ) es positiva definida.
Si krk = 0, la velocidad de convergencia es superlineal.
Método de Levenberg-Marquardt
Método de Levenberg-Marquardt
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron un algoritmo elegante para atenuar las
dificultades de descenso de Gauss-Newton.
Método de Levenberg-Marquardt
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron un algoritmo elegante para atenuar las
dificultades de descenso de Gauss-Newton.
La idea consiste en incluir una componente de máximo descenso γi B en la dirección de
descenso de Gauss-Newton, desde θk , es decir:
(JFT (θk )JF (θk ) + γk B)dLM = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
ek
θk+1 = θk + dLM ,
ek
k = 0, 1, 2, . . .
(12)
Método de Levenberg-Marquardt
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron un algoritmo elegante para atenuar las
dificultades de descenso de Gauss-Newton.
La idea consiste en incluir una componente de máximo descenso γi B en la dirección de
descenso de Gauss-Newton, desde θk , es decir:
(JFT (θk )JF (θk ) + γk B)dLM = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
ek
θk+1 = θk + dLM ,
k = 0, 1, 2, . . .
ek
Que son las ecuaciones normales del problema de Min Q’s:

2
 

Y
−
F
(θ
)
J
(θ
)
k
1 
 −  F k  dLM 2
0
γ 1/2 L e k e
donde B = LT L (descomposición de Cholesky de B).
(12)
Método de Levenberg-Marquardt
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron un algoritmo elegante para atenuar las
dificultades de descenso de Gauss-Newton.
La idea consiste en incluir una componente de máximo descenso γi B en la dirección de
descenso de Gauss-Newton, desde θk , es decir:
(JFT (θk )JF (θk ) + γk B)dLM = JFT (θk ) (Y − F (θk )) ,
ek
θk+1 = θk + dLM ,
(12)
k = 0, 1, 2, . . .
ek
Que son las ecuaciones normales del problema de Min Q’s:

2
 

Y
−
F
(θ
)
J
(θ
)
k
1 
 −  F k  dLM 2
0
γ 1/2 L e k e
donde B = LT L (descomposición de Cholesky de B).
donde γk ≥ 0 y B ∈ Rq×q es una matriz simétrica y definida positiva. Este es también
llamado método de Gauss-Newton regularizado local. Originalmente, B = I.
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Si γk = 0 entonces dLM = dGN .
ek
ek
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Si γk = 0 entonces dLM = dGN .
ek
ek
T (θ )(Y − F (θ ))
Si B = I y γk → ∞ entonces dLM
→
J
k
F k
k
la dirección del máximo descenso.
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Si γk = 0 entonces dLM = dGN .
ek
ek
T (θ )(Y − F (θ ))
Si B = I y γk → ∞ entonces dLM
→
J
k
F k
k
la dirección del máximo descenso.
Dificultad central: como elegir el parámetro γk .
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Si γk = 0 entonces dLM = dGN .
ek
ek
T (θ )(Y − F (θ ))
Si B = I y γk → ∞ entonces dLM
→
J
k
F k
k
la dirección del máximo descenso.
Dificultad central: como elegir el parámetro γk .
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron el algoritmo con ciertas estrategias
para la selección de γk (basadas en monitoreo del descenso del residual).
Método de Levenberg-Marquardt ...c
Si γk = 0 entonces dLM = dGN .
ek
ek
T (θ )(Y − F (θ ))
Si B = I y γk → ∞ entonces dLM
→
J
k
F k
k
la dirección del máximo descenso.
Dificultad central: como elegir el parámetro γk .
Levenberg (1944) y Marquardt (1963) propusieron el algoritmo con ciertas estrategias
para la selección de γk (basadas en monitoreo del descenso del residual).
Pero la versiones más robustas del método de L-M se deben a Powell y Moré, donde el
parámetro γk se determina por el criterio de “región de confianza” de Powell.
Dificultades numéricas
Dificultades numéricas
Nuestro problema de estimación de parámetros Min Q’s no-lineales, presenta varias dificultades desde el punto de vista numérico:
Dificultades numéricas
Nuestro problema de estimación de parámetros Min Q’s no-lineales, presenta varias dificultades desde el punto de vista numérico:
Requiere de integradores rápidos y eficaces
A) Evaluar la función objetivo g(θ), involucra a ϕ(ti ; t0 , η, β), i = 0 : m, que se obtiene
mediante la resolución numérica del problema de V.I. (8) desde t0 hasta tm = T ,
pasando por t1 , t2 , . . . , tm−1 para cada θ = (β, η) dada.
Dificultades numéricas
Nuestro problema de estimación de parámetros Min Q’s no-lineales, presenta varias dificultades desde el punto de vista numérico:
Requiere de integradores rápidos y eficaces
A) Evaluar la función objetivo g(θ), involucra a ϕ(ti ; t0 , η, β), i = 0 : m, que se obtiene
mediante la resolución numérica del problema de V.I. (8) desde t0 hasta tm = T ,
pasando por t1 , t2 , . . . , tm−1 para cada θ = (β, η) dada.
B) Con frecuencia el problema de Cauchy a resolver es “stiff” (tı́pico en dinámicas de la
Hepatitis C y del SIDA, y en Cinética Quı́mica).
Dificultades numéricas ...c
Dificultades numéricas ...c
C) Los métodos de Levenberg-Marquardt involucran el cálculo del Jacobiano JF (θ) de F en
cada paso, es decir, de los Jacobianos:
∂η ϕ(ti ; t0 , η, β) y
∂β ϕ(ti ; t0 , η, β)
Dificultades numéricas ...c
C) Los métodos de Levenberg-Marquardt involucran el cálculo del Jacobiano JF (θ) de F en
cada paso, es decir, de los Jacobianos:
∂η ϕ(ti ; t0 , η, β) y
∂β ϕ(ti ; t0 , η, β)
lo que significa resolver el sistema matricial de EDOś de primeras variaciones:
S = ∂y f (t, y, β) S + [ ∂β f (t, y, β) | 0n×n ] ,
S(t0 ) = [S0 |In×n ]
Dificultades numéricas ...c
C) Los métodos de Levenberg-Marquardt involucran el cálculo del Jacobiano JF (θ) de F en
cada paso, es decir, de los Jacobianos:
∂η ϕ(ti ; t0 , η, β) y
∂β ϕ(ti ; t0 , η, β)
lo que significa resolver el sistema matricial de EDOś de primeras variaciones:
S = ∂y f (t, y, β) S + [ ∂β f (t, y, β) | 0n×n ] ,
S(t0 ) = [S0 |In×n ]
con S = [ ∂β ϕ | ∂η ϕ ]
Esto significa resolver p + n sistemas de n EDOś a lo largo de la solución del problema
de valor inicial.
Dificultades numéricas ...c
C) Los métodos de Levenberg-Marquardt involucran el cálculo del Jacobiano JF (θ) de F en
cada paso, es decir, de los Jacobianos:
∂η ϕ(ti ; t0 , η, β) y
∂β ϕ(ti ; t0 , η, β)
lo que significa resolver el sistema matricial de EDOś de primeras variaciones:
S = ∂y f (t, y, β) S + [ ∂β f (t, y, β) | 0n×n ] ,
S(t0 ) = [S0 |In×n ]
con S = [ ∂β ϕ | ∂η ϕ ]
Esto significa resolver p + n sistemas de n EDOś a lo largo de la solución del problema
de valor inicial.
DIFFPAR/MATLAB de Edsberg y Wedin (1995) es un software libre, muy completo,
amigable y muy útil para la estimación de parámetros en EDO’s.
3.6.
Monitoreo del daño hepático sin biopsias
3.6.
Monitoreo del daño hepático sin biopsias
A continuación se ilustra el monitoreo del daño hepático a partir de mediciones de la carga
viral y resolviendo un problema de estimación numérica de parámetros en EDO’s (caso de
medición indirecta).
3.7.
Generación de datos parciales
Se generaron 17 datos con un ruido del 10 % en los valores numéricos para la carga viral V
en un lapso de 0 a 30 dı́as, usando los valores de los parámetros siguientes:
βs = 100 células/mm3 × dı́a
µs = 2,0 × 10−2 dı́a−1
k = 3,0 × 10−5 µL/UI × dı́a
µe = 5 dı́a−1
p = 100 y 200 UI/células × dı́a µV = 5 dı́a−1
V.I. :
R0 = 0,6
si
R0 = 1,2
y0 = (4 500, 500, 400)
p = 100
si
(Caso en que hay cura)
p = 200
(Caso endémico)
Caso de Cura: hepatocitos enfermos (daño hepático) (células/mm3 )
500
Población inicial conocida
Población exacta
Población estimada
450
400
350
300
He
Hs
250
200
150
100
50
días
0
0
10
20
30
días
40
50
60
Evolución de las cargas virales del VHC (UI/µL)
4500
Carga inicial exacta
Carga inicial estimada
Carga viral exacta
Carga viral estimada
4000
3500
3000
He
2500
V
2000
1500
1000
500
días
0
0
10
20
30
días
40
50
60
Enfermo crónico: los hepatocitos enfermos (daño hepático) (células/mm3 )
Población inicial conocida
Población exacta
Población estimada
30
25
20
He
15
10
5
0
0
100
200
300
400
días
500
600
700
800
Evolución de las cargas virales del VHC (UI/µL)
Carga inicial exacta
Carga inicial estimada
Carga viral exacta
Carga viral estimada
1200
1000
800
V
600
400
200
0
0
100
200
300
400
días
500
600
700
800
3.8.
Comentarios
3.8.
Comentarios
El modelo inicialmente desarrollado considera 4 poblaciones: hepatocitos sanos e infectados, VHC y linfositos T-killer. Dándo lugar a un sistema de EDO’s de 4 ecuaciones, cuya
dinámica y R0 son idénticos al modelo básico de 3 poblaciones aquı́ presentado.
3.8.
Comentarios
El modelo inicialmente desarrollado considera 4 poblaciones: hepatocitos sanos e infectados, VHC y linfositos T-killer. Dándo lugar a un sistema de EDO’s de 4 ecuaciones, cuya
dinámica y R0 son idénticos al modelo básico de 3 poblaciones aquı́ presentado.
Avendaño R., Esteva L., Flores J.A., Fuentes Allen J.L., Gómez G., Je. López-Estrada,
(2002), A Mathematical Model for the Dynamics of Hepatitis C, J. of Theoretical Medicine
4, iss. 2, 109-118.
3.8.
Comentarios
El modelo inicialmente desarrollado considera 4 poblaciones: hepatocitos sanos e infectados, VHC y linfositos T-killer. Dándo lugar a un sistema de EDO’s de 4 ecuaciones, cuya
dinámica y R0 son idénticos al modelo básico de 3 poblaciones aquı́ presentado.
Avendaño R., Esteva L., Flores J.A., Fuentes Allen J.L., Gómez G., Je. López-Estrada,
(2002), A Mathematical Model for the Dynamics of Hepatitis C, J. of Theoretical Medicine
4, iss. 2, 109-118.
Ante la réplica del Dr. Gustavo Reyes Terán (INER), se realizó el estudio cualitativo de un
modelo de 4 poblaciones (hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, VHC y ALT [16]). La
dinámica y R0 resultaron ser idénticos a los exhibos por modelo básico de 3 poblaciones.
3.8.
Comentarios
El modelo inicialmente desarrollado considera 4 poblaciones: hepatocitos sanos e infectados, VHC y linfositos T-killer. Dándo lugar a un sistema de EDO’s de 4 ecuaciones, cuya
dinámica y R0 son idénticos al modelo básico de 3 poblaciones aquı́ presentado.
Avendaño R., Esteva L., Flores J.A., Fuentes Allen J.L., Gómez G., Je. López-Estrada,
(2002), A Mathematical Model for the Dynamics of Hepatitis C, J. of Theoretical Medicine
4, iss. 2, 109-118.
Ante la réplica del Dr. Gustavo Reyes Terán (INER), se realizó el estudio cualitativo de un
modelo de 4 poblaciones (hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, VHC y ALT [16]). La
dinámica y R0 resultaron ser idénticos a los exhibos por modelo básico de 3 poblaciones.
Alavez Ramı́rez, J., López Estrada, Je. y Reyes Terán G., (2006), Dinámica del virus de
la hepatitis C con carga viral y ALT y monitoreo del da no hepático libre de biopsias,
Ingenierı́a y Ciencia 2, No. 4, 125-144.
3.8.
Comentarios
El modelo inicialmente desarrollado considera 4 poblaciones: hepatocitos sanos e infectados, VHC y linfositos T-killer. Dándo lugar a un sistema de EDO’s de 4 ecuaciones, cuya
dinámica y R0 son idénticos al modelo básico de 3 poblaciones aquı́ presentado.
Avendaño R., Esteva L., Flores J.A., Fuentes Allen J.L., Gómez G., Je. López-Estrada,
(2002), A Mathematical Model for the Dynamics of Hepatitis C, J. of Theoretical Medicine
4, iss. 2, 109-118.
Ante la réplica del Dr. Gustavo Reyes Terán (INER), se realizó el estudio cualitativo de un
modelo de 4 poblaciones (hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, VHC y ALT [16]). La
dinámica y R0 resultaron ser idénticos a los exhibos por modelo básico de 3 poblaciones.
Alavez Ramı́rez, J., López Estrada, Je. y Reyes Terán G., (2006), Dinámica del virus de
la hepatitis C con carga viral y ALT y monitoreo del da no hepático libre de biopsias,
Ingenierı́a y Ciencia 2, No. 4, 125-144.
La siguiente variante del modelo básico de 3 poblaciones
Hs


= βs − µs Hs − (1 − η)kHs V 


H e = (1 − η)kHs V − µe He
V
= (1 − ε)pHe − µV V




La siguiente variante del modelo básico de 3 poblaciones
Hs


= βs − µs Hs − (1 − η)kHs V 


H e = (1 − η)kHs V − µe He
V
= (1 − ε)pHe − µV V




ha sido utilizada también para medir la eficacia del tratamiento con interferon-α, ası́ como
para averiguar su función entre bloquear la infección o inhibir la replicación viral.
La siguiente variante del modelo básico de 3 poblaciones
Hs


= βs − µs Hs − (1 − η)kHs V 


H e = (1 − η)kHs V − µe He
V
= (1 − ε)pHe − µV V




ha sido utilizada también para medir la eficacia del tratamiento con interferon-α, ası́ como
para averiguar su función entre bloquear la infección o inhibir la replicación viral.
Neumann A.U., Lam N.P., Dahari H., Gretch D.R., Wiley Th.E., Layden Th.J., Perelson
A.S., (1998), Hepatitis C Viral Dynamics in Vivo and the Antiviral Efficacy of Interferon-α
Therapy, Science 282, 103-107.
La siguiente variante del modelo básico de 3 poblaciones
Hs


= βs − µs Hs − (1 − η)kHs V 


H e = (1 − η)kHs V − µe He
V
= (1 − ε)pHe − µV V




ha sido utilizada también para medir la eficacia del tratamiento con interferon-α, ası́ como
para averiguar su función entre bloquear la infección o inhibir la replicación viral.
Neumann A.U., Lam N.P., Dahari H., Gretch D.R., Wiley Th.E., Layden Th.J., Perelson
A.S., (1998), Hepatitis C Viral Dynamics in Vivo and the Antiviral Efficacy of Interferon-α
Therapy, Science 282, 103-107.
Para el caso η = 0, si se supone Hs = Hsc constante, de la 2a y 3a ecuación de este
sistema se obtiene una ecuación lineal de 2do. orden, cuya solución con las C.I. V (t0 ) = V0
y V 0 (t0 ) = 0 es
h
i
−λ1 (t−t0 )
−λ2 (t−t0 )
+ (1 − A)e
, t > t0
V (t) = V0 Ae
Para el caso η = 0, si se supone Hs = Hsc constante, de la 2a y 3a ecuación de este
sistema se obtiene una ecuación lineal de 2do. orden, cuya solución con las C.I. V (t0 ) = V0
y V 0 (t0 ) = 0 es
h
i
−λ1 (t−t0 )
−λ2 (t−t0 )
+ (1 − A)e
, t > t0
V (t) = V0 Ae
donde
A=
εµV − λ2
λ1 − λ2
y
λ1,2
i
p
1h
2
=
(µe + µV ) ± (µe − µV ) + 4(1 − ε)µe µV
2
Usando esta expresión efectuan un ajuste mı́mimo de cuadrados para la estimación de los
parámetros V0 , t0 , µe , µV y ε. Nótese que con este procedimiento, no es posible estimar
R0 .
Para el caso η = 0, si se supone Hs = Hsc constante, de la 2a y 3a ecuación de este
sistema se obtiene una ecuación lineal de 2do. orden, cuya solución con las C.I. V (t0 ) = V0
y V 0 (t0 ) = 0 es
h
i
−λ1 (t−t0 )
−λ2 (t−t0 )
+ (1 − A)e
, t > t0
V (t) = V0 Ae
donde
A=
εµV − λ2
λ1 − λ2
y
λ1,2
i
p
1h
2
=
(µe + µV ) ± (µe − µV ) + 4(1 − ε)µe µV
2
Usando esta expresión efectuan un ajuste mı́mimo de cuadrados para la estimación de los
parámetros V0 , t0 , µe , µV y ε. Nótese que con este procedimiento, no es posible estimar
R0 .
Alrededor de 2006 el Dr. Fuentes Allen (medico internista en el Centro Médico “La Raza”,
IMSS), nos informó que las estrategı́as del tratamiento de la hepatitis C eran ya diseñadas
con el sólo monitoreo de la carga viral. La discusión presentada aquı́, constituye precisamente un fundamento matemático de esto. Pues, se ha visto, basta con el monitoreo de
la carga viral para la describir la dinámica de la enfermedad, incluyendo el daño hepático.
4.
Daño hepático
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
La disfunción hepática conduce a la hipertensión, el debilitamiento de los vasos sanguineos
producendo varices en la garganta y estómago. Un hı́gado muy dañado puede también
producir:
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
La disfunción hepática conduce a la hipertensión, el debilitamiento de los vasos sanguineos
producendo varices en la garganta y estómago. Un hı́gado muy dañado puede también
producir:
• ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre).
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
La disfunción hepática conduce a la hipertensión, el debilitamiento de los vasos sanguineos
producendo varices en la garganta y estómago. Un hı́gado muy dañado puede también
producir:
• ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre).
• inchasón en piernas y tobillos.
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
La disfunción hepática conduce a la hipertensión, el debilitamiento de los vasos sanguineos
producendo varices en la garganta y estómago. Un hı́gado muy dañado puede también
producir:
• ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre).
• inchasón en piernas y tobillos.
• disfunción renal.
4.
Daño hepático
Un hı́gado normal puede desarrollar una ligera fibrosis (cicatrización) y esteatosis (hı́gado
graso). Un hı́gado con un daño mayor puede desarrollar una pesada cicatrización (cirrosis).
En esta etapa los hepatocitos se mueren por falta de irrigación sanguı́nea, dando lugar a
la disfunción hepática.
La disfunción hepática conduce a la hipertensión, el debilitamiento de los vasos sanguineos
producendo varices en la garganta y estómago. Un hı́gado muy dañado puede también
producir:
• ascitosis (crecimiento de fluidos en el vientre).
• inchasón en piernas y tobillos.
• disfunción renal.
• problemas de disfunción cerebral (cambios en la personalidad, confusión e incluso
encefalopatia).
Daño hepático: fibrosis
La acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización se llama fibrosis, y es consecuencia
del daño hepático (¿Qué es daño hepático?).
Daño hepático: fibrosis
La acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización se llama fibrosis, y es consecuencia
del daño hepático (¿Qué es daño hepático?).
Agreción y/o muerte de hepatocitos (células funcionales) estimula a las células inflamatorias del sistema inmune, liberando sustancias bio-quı́micas (citocinas, factores de crecimiento y otras).
Daño hepático: fibrosis
La acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización se llama fibrosis, y es consecuencia
del daño hepático (¿Qué es daño hepático?).
Agreción y/o muerte de hepatocitos (células funcionales) estimula a las células inflamatorias del sistema inmune, liberando sustancias bio-quı́micas (citocinas, factores de crecimiento y otras).
Los mensajeros bio-quı́micos apoyan directamente la activación de las células estelares
para la producción de colageno, glicoproteinas (fibrosina entre ellas) y otros. Causando el
crecimiento de la matriz extracelular (tejido conectivo no funcional).
Daño hepático: fibrosis
La acumulación de tejido fibroso duro por cicatrización se llama fibrosis, y es consecuencia
del daño hepático (¿Qué es daño hepático?).
Agreción y/o muerte de hepatocitos (células funcionales) estimula a las células inflamatorias del sistema inmune, liberando sustancias bio-quı́micas (citocinas, factores de crecimiento y otras).
Los mensajeros bio-quı́micos apoyan directamente la activación de las células estelares
para la producción de colageno, glicoproteinas (fibrosina entre ellas) y otros. Causando el
crecimiento de la matriz extracelular (tejido conectivo no funcional).
La fibrogenesis (formación de tejido matricial) y la fibrolisis (degradación de tejido matricial) se hallan normalmente en balance. La fibrosis ocurre cuando se rompe este balance
a favor de la fibrogenesis.
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis?
Un problema de gran interés e importancia consiste en la modelación del proceso de
desarrollo y expanción de la fibrosis dentro del hı́gado. Su razón: la burda medición de la
fibrosis vı́a la ”ineficaz“ biopsia per cutanea.
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis?
Un problema de gran interés e importancia consiste en la modelación del proceso de
desarrollo y expanción de la fibrosis dentro del hı́gado. Su razón: la burda medición de la
fibrosis vı́a la ”ineficaz“ biopsia per cutanea.
Recurriendo a la Mecánica de los medios continuos y aplicando el balance de masas, se
llega al modelo EDP’s siguiente:
∂t Hi = ∇x · αi ∇Hi − χ(H , c) · ∇c − ai Hi ∇ρ + fi (H , c)
e
e e
e e
i = 1, . . . , n
∂t cj
= ∇x · (κj ∇cj ) + gj (H , c)
e
e e
j = 1, . . . , m
∂t ρ = h(H , c, ρ)
e e
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis?
Un problema de gran interés e importancia consiste en la modelación del proceso de
desarrollo y expanción de la fibrosis dentro del hı́gado. Su razón: la burda medición de la
fibrosis vı́a la ”ineficaz“ biopsia per cutanea.
Recurriendo a la Mecánica de los medios continuos y aplicando el balance de masas, se
llega al modelo EDP’s siguiente:
∂t Hi = ∇x · αi ∇Hi − χ(H , c) · ∇c − ai Hi ∇ρ + fi (H , c)
e
e e
e e
i = 1, . . . , n
∂t cj
= ∇x · (κj ∇cj ) + gj (H , c)
e
e e
j = 1, . . . , m
∂t ρ = h(H , c, ρ)
e e
donde χ(H , c) representa a los factores de sensibilidad quimiotáctica, ai constantes hape e
totácticas, ...
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
(a) una contribución de flujo linear Fuckiano para cada especie de células consideradas
(hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, células estelares y células de Kupffer);
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
(a) una contribución de flujo linear Fuckiano para cada especie de células consideradas
(hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, células estelares y células de Kupffer);
(b) la quimiotaxis debida y acorde con los mecanismos receptores en la superficie de la
célula;
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
(a) una contribución de flujo linear Fuckiano para cada especie de células consideradas
(hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, células estelares y células de Kupffer);
(b) la quimiotaxis debida y acorde con los mecanismos receptores en la superficie de la
célula;
(c) una haptotaxis lineal; y,
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
(a) una contribución de flujo linear Fuckiano para cada especie de células consideradas
(hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, células estelares y células de Kupffer);
(b) la quimiotaxis debida y acorde con los mecanismos receptores en la superficie de la
célula;
(c) una haptotaxis lineal; y,
(d) un término cinético debido a la mitosis, la transformación fenotı́pica intra especies
celulares y a la apoptosis celular.
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
Bajo los supuestos de modelación siguientes:
i) Para el primer grupo de ecuaciones se está considerando:
(a) una contribución de flujo linear Fuckiano para cada especie de células consideradas
(hepatocitos sanos, hepatocitos infectados, células estelares y células de Kupffer);
(b) la quimiotaxis debida y acorde con los mecanismos receptores en la superficie de la
célula;
(c) una haptotaxis lineal; y,
(d) un término cinético debido a la mitosis, la transformación fenotı́pica intra especies
celulares y a la apoptosis celular.
Obs: En el caso especial de la hepatitis C, habrı́a que tomar en cuenta a la CV (i.e., la
dinámica de hepatitis C).
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
ii) Para el segundo grupo de ecuaciones:
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
ii) Para el segundo grupo de ecuaciones:
(a) flujo por difución y convección lineal; y,
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
ii) Para el segundo grupo de ecuaciones:
(a) flujo por difución y convección lineal; y,
(b) un término cinemático debido a la producción y consumo de sustancias bioquı́micas
por las células y por decaimiento quı́mico natural.
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
ii) Para el segundo grupo de ecuaciones:
(a) flujo por difución y convección lineal; y,
(b) un término cinemático debido a la producción y consumo de sustancias bioquı́micas
por las células y por decaimiento quı́mico natural.
iii) Para la última ecuación, debido que la matriz extracelular está ligada a una estructura
tipo malla, su difusión es ignorada. Aquı́, el término cinemático incluye la sı́ntesis de
colageno por los hepatocitos y al enaltecimiento y de gradación de factores quı́micos de
crecimiento.
¿Cómo se desarrollo y distribuye la fibrosis? ...c
ii) Para el segundo grupo de ecuaciones:
(a) flujo por difución y convección lineal; y,
(b) un término cinemático debido a la producción y consumo de sustancias bioquı́micas
por las células y por decaimiento quı́mico natural.
iii) Para la última ecuación, debido que la matriz extracelular está ligada a una estructura
tipo malla, su difusión es ignorada. Aquı́, el término cinemático incluye la sı́ntesis de
colageno por los hepatocitos y al enaltecimiento y de gradación de factores quı́micos de
crecimiento.
Tarea: Poner en forma explı́cita los términos cinématicos. Y desarrollar propuestas experimentales para la estimación de parámetros en el modelos, en una primera aproximación.
Hepatitis C
Las principales causas de daño hepático: alcoholismo, hı́gado graso e infección por el VHC
(VHB).
Hepatitis C
Las principales causas de daño hepático: alcoholismo, hı́gado graso e infección por el VHC
(VHB).
Hepatitis significa inflamación del hı́gado.
Hepatitis C
Las principales causas de daño hepático: alcoholismo, hı́gado graso e infección por el VHC
(VHB).
Hepatitis significa inflamación del hı́gado.
La hepatitis C es causada por infección del virus de la hapatitis C (VHC). Entre 10 y 25 %
de los pacientes con hepatitis C crónica desarrollan cirrosis.
Hepatitis C
Las principales causas de daño hepático: alcoholismo, hı́gado graso e infección por el VHC
(VHB).
Hepatitis significa inflamación del hı́gado.
La hepatitis C es causada por infección del virus de la hapatitis C (VHC). Entre 10 y 25 %
de los pacientes con hepatitis C crónica desarrollan cirrosis.
La hepatitis C se transmite por contagio de sangre a sangre (transfusión sanguinea, uso
de drogas entrevenosas, prácticas sexuales de alto riesgo, uso de agujas usadas, etc.)
Hepatitis C: Sintomas
El sı́ntoma más común es sentirse muy cansado.
Hepatitis C: Sintomas
El sı́ntoma más común es sentirse muy cansado.
Algunos pacientes manifiestan sentir dolor estomacal, muscular y en las coyunturas.
Hepatitis C: Sintomas
El sı́ntoma más común es sentirse muy cansado.
Algunos pacientes manifiestan sentir dolor estomacal, muscular y en las coyunturas.
Otros pacientas manifiestan sentirse medianamente agripados.
Hepatitis C: Tratamiento
El tratamiento actual aprobado por la FDA-USA consiste en la administración de interferón
α − 2b pegilado, con ribavirina y un inhibidor de protasa del VHC.
Hepatitis C: Tratamiento
El tratamiento actual aprobado por la FDA-USA consiste en la administración de interferón
α − 2b pegilado, con ribavirina y un inhibidor de protasa del VHC.
El interferón y la rivabirina son para ayudar al sistema inmune en la lucha contra VHC
¿Cómo? Aun no se sabe exatamente. Al parecer inhibiendo la replicación viral.
Hepatitis C: Tratamiento
El tratamiento actual aprobado por la FDA-USA consiste en la administración de interferón
α − 2b pegilado, con ribavirina y un inhibidor de protasa del VHC.
El interferón y la rivabirina son para ayudar al sistema inmune en la lucha contra VHC
¿Cómo? Aun no se sabe exatamente. Al parecer inhibiendo la replicación viral.
Cabe mencionar que con este tratamiento hasta un 80 % de los infectado logran deshacerse
del VHC.
5.
Dinámica de la diabetes
5.
Dinámica de la diabetes
La diabetes: grupo de enfermedades caracterizadas por hiperglucemia (i.e., exceso de
azucar en la sangre).
5.
Dinámica de la diabetes
La diabetes: grupo de enfermedades caracterizadas por hiperglucemia (i.e., exceso de
azucar en la sangre).
Esta enfermedad crónico degenetativa (debida a desordenes en la producción de insulina
y/o acción deficiente de la insulina y/o baja respuesta tisular a la insulina, ó todas estas),
mal controlada conduce a severas complicaciones (males cardı́acos, disfunciones del hı́gado, insuficiencia renal, ceguera y amputación de los miembros inferiores)y aun es causa
de muerte.
5.
Dinámica de la diabetes
La diabetes: grupo de enfermedades caracterizadas por hiperglucemia (i.e., exceso de
azucar en la sangre).
Esta enfermedad crónico degenetativa (debida a desordenes en la producción de insulina
y/o acción deficiente de la insulina y/o baja respuesta tisular a la insulina, ó todas estas),
mal controlada conduce a severas complicaciones (males cardı́acos, disfunciones del hı́gado, insuficiencia renal, ceguera y amputación de los miembros inferiores)y aun es causa
de muerte.
La diabetes es una de las causas más frecuentes de atención hospitalaria, su duración
promedio es de las mayores y es también una de las causas más frecuentes de incapacidad
prematura.
5.
Dinámica de la diabetes
La diabetes: grupo de enfermedades caracterizadas por hiperglucemia (i.e., exceso de
azucar en la sangre).
Esta enfermedad crónico degenetativa (debida a desordenes en la producción de insulina
y/o acción deficiente de la insulina y/o baja respuesta tisular a la insulina, ó todas estas),
mal controlada conduce a severas complicaciones (males cardı́acos, disfunciones del hı́gado, insuficiencia renal, ceguera y amputación de los miembros inferiores)y aun es causa
de muerte.
La diabetes es una de las causas más frecuentes de atención hospitalaria, su duración
promedio es de las mayores y es también una de las causas más frecuentes de incapacidad
prematura.
La diabetes es un problema de salud pública con un rápidamente creciente impacto
económico y social. La atención de las complicaciones crónico degenerativas de la diabetes ocupa un alto porcentaje del presupuesto de las instituciones de salud. Los costos
de tratamiento médico de esta enfermedad y sus complicaciones son extremadamente
altos.
La diabetes es un problema de salud pública con un rápidamente creciente impacto
económico y social. La atención de las complicaciones crónico degenerativas de la diabetes ocupa un alto porcentaje del presupuesto de las instituciones de salud. Los costos
de tratamiento médico de esta enfermedad y sus complicaciones son extremadamente
altos.
Aproximadamente 23.6 millones de estadounidenses (7.8 % de la población) han sido diagnosticado con diabetes, se calcularon en aproximadamente $116 billones (americanos)
para 2007. Y sus costos indirectos (incapacidad, desempleo, muerte prematura) se estimaron en $58 billones (americanos) (CDC, 2009).
La diabetes es un problema de salud pública con un rápidamente creciente impacto
económico y social. La atención de las complicaciones crónico degenerativas de la diabetes ocupa un alto porcentaje del presupuesto de las instituciones de salud. Los costos
de tratamiento médico de esta enfermedad y sus complicaciones son extremadamente
altos.
Aproximadamente 23.6 millones de estadounidenses (7.8 % de la población) han sido diagnosticado con diabetes, se calcularon en aproximadamente $116 billones (americanos)
para 2007. Y sus costos indirectos (incapacidad, desempleo, muerte prematura) se estimaron en $58 billones (americanos) (CDC, 2009).
El panorama de la diabetes en México, para 2005 fue el siguiente: las causas de muerte
causadas por diabetes alcanzó 37.8 % en mujeres y el 28.7 % en hombres (Aguilar, 2003
y 2009).
5.1.
Las tareas:
5.1.
Las tareas:
Estudiar la dinámica que regula la homeostasis de la glucosa (i.e., proceso fisiológico
básico y complejo que provee de energı́a a todas las celulas del cuerpo).
5.1.
Las tareas:
Estudiar la dinámica que regula la homeostasis de la glucosa (i.e., proceso fisiológico
básico y complejo que provee de energı́a a todas las celulas del cuerpo).
En especial, entender el papel que juegan en este complejo proceso las células beta y
otras isletas celulares del páncreas encargadas de la producción de insulina, incluyendo la
comunicación y señalamiento entre varios órganos (páncreas, hı́gado, músculos, cerebro,
etc.), ası́ como la conducta de la relación glucosa-insulina en la sangre.
5.1.
Las tareas:
Estudiar la dinámica que regula la homeostasis de la glucosa (i.e., proceso fisiológico
básico y complejo que provee de energı́a a todas las celulas del cuerpo).
En especial, entender el papel que juegan en este complejo proceso las células beta y
otras isletas celulares del páncreas encargadas de la producción de insulina, incluyendo la
comunicación y señalamiento entre varios órganos (páncreas, hı́gado, músculos, cerebro,
etc.), ası́ como la conducta de la relación glucosa-insulina en la sangre.
El desarrollo de modelos matemáticos y simulación numérica para el estudio de la dinámica
de la relación glucosa-insulina en la sangre considerando la inter-relación del páncreas con
el hı́gado, cerebro y músculos y sus afecciones en riñones, vista y corazón entre otros.
5.1.
Las tareas:
Estudiar la dinámica que regula la homeostasis de la glucosa (i.e., proceso fisiológico
básico y complejo que provee de energı́a a todas las celulas del cuerpo).
En especial, entender el papel que juegan en este complejo proceso las células beta y
otras isletas celulares del páncreas encargadas de la producción de insulina, incluyendo la
comunicación y señalamiento entre varios órganos (páncreas, hı́gado, músculos, cerebro,
etc.), ası́ como la conducta de la relación glucosa-insulina en la sangre.
El desarrollo de modelos matemáticos y simulación numérica para el estudio de la dinámica
de la relación glucosa-insulina en la sangre considerando la inter-relación del páncreas con
el hı́gado, cerebro y músculos y sus afecciones en riñones, vista y corazón entre otros.
El desarrollo de estudios de sensibilidad y calibración de parámetros en los modelos desarrollados con base en datos experimentales.
6.
Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en
México.
6.
Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en
México.
Problema (influenza A/H1N1): Valorar la eficacia de las medidas sanitarias de control
(antivirales e intervenciones no-farmacéuticas) de esta pandemia, lo que involucra: (i) la
propuesta de nuevos modelos que consideren el impacto de las medidas sanitarias; y (ii)
la estimación de parḿetros en EDO’s.
6.
Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en
México.
Problema (influenza A/H1N1): Valorar la eficacia de las medidas sanitarias de control
(antivirales e intervenciones no-farmacéuticas) de esta pandemia, lo que involucra: (i) la
propuesta de nuevos modelos que consideren el impacto de las medidas sanitarias; y (ii)
la estimación de parḿetros en EDO’s.
Por ejemplo, para el modelo SIR:
S
I
=
=
R
=
N
=



−k(1 − ε)SI




k(1 − ε)SI − µI 


µI





S+I +R
(13)
6.
Influenza A/H1N1 de primavera 2009, en
México.
Problema (influenza A/H1N1): Valorar la eficacia de las medidas sanitarias de control
(antivirales e intervenciones no-farmacéuticas) de esta pandemia, lo que involucra: (i) la
propuesta de nuevos modelos que consideren el impacto de las medidas sanitarias; y (ii)
la estimación de parḿetros en EDO’s.
Por ejemplo, para el modelo SIR:
S
I
=
=
R
=
N
=



−k(1 − ε)SI




k(1 − ε)SI − µI 


µI





S+I +R
(13)
donde ε = 0 antes y después de la toma medidas de control y tener un valor entre 0 y 1
durante su aplicación.
Parámetro umbral:
R0 =
kN
µ
Parámetro umbral:
R0 =
kN
µ
Es muy importante para el análisis de esta pandemia una estimación precisa de R0 (Math.
modelling of the pandemic H1N1 2009, WHO Weekly epidemiological Record, Aug. 21,
2009).
Parámetro umbral:
R0 =
kN
µ
Es muy importante para el análisis de esta pandemia una estimación precisa de R0 (Math.
modelling of the pandemic H1N1 2009, WHO Weekly epidemiological Record, Aug. 21,
2009).
Otro aspecto relevante es la estimación de los infectados asintómaticos. Su difı́cultad
está en que no son directamente observables.
Parámetro umbral:
R0 =
kN
µ
Es muy importante para el análisis de esta pandemia una estimación precisa de R0 (Math.
modelling of the pandemic H1N1 2009, WHO Weekly epidemiological Record, Aug. 21,
2009).
Otro aspecto relevante es la estimación de los infectados asintómaticos. Su difı́cultad
está en que no son directamente observables.
Justino Alavez Ramı́rez, Guillermo Gómez Alcaraz, Jesús López Estrada, et al., Estimación de Parámetros de un Modelo Matemático de la Influenza A(H1N1), Memorias del
I Symposium on Inverse Problems and Applications, Ixtapa-Zihuatanejo, Enero de 2010.
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
En EUA, durante 2004, las enfermedades cardiovasculares (ECV) fueron la causa principal
de mortalidad con un 36,3 % dando lugar a 2 398 000 muertes, constituyendo un 58 %
del total.
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
En EUA, durante 2004, las enfermedades cardiovasculares (ECV) fueron la causa principal
de mortalidad con un 36,3 % dando lugar a 2 398 000 muertes, constituyendo un 58 %
del total.
Desde 1900, exceptuando 1918, las ECV contaron con más muertes que cualquier otra
enfermedad en los EUA. Alrededor de 2400 estaunidenses mueren de ECV al dı́a, en
promedio una muerte por cada 36 segundos.
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
En EUA, durante 2004, las enfermedades cardiovasculares (ECV) fueron la causa principal
de mortalidad con un 36,3 % dando lugar a 2 398 000 muertes, constituyendo un 58 %
del total.
Desde 1900, exceptuando 1918, las ECV contaron con más muertes que cualquier otra
enfermedad en los EUA. Alrededor de 2400 estaunidenses mueren de ECV al dı́a, en
promedio una muerte por cada 36 segundos.
De hecho, las ECV reclaman más vidas que el cancer, enfermedades respiratorias cróninicas, accidentes y la diabetes melitus.
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
En EUA, durante 2004, las enfermedades cardiovasculares (ECV) fueron la causa principal
de mortalidad con un 36,3 % dando lugar a 2 398 000 muertes, constituyendo un 58 %
del total.
Desde 1900, exceptuando 1918, las ECV contaron con más muertes que cualquier otra
enfermedad en los EUA. Alrededor de 2400 estaunidenses mueren de ECV al dı́a, en
promedio una muerte por cada 36 segundos.
De hecho, las ECV reclaman más vidas que el cancer, enfermedades respiratorias cróninicas, accidentes y la diabetes melitus.
Si todas las muertes por ECV fueran eliminadas, la vida media esperada se elvarı́a por 7
años, si las muertes por cáncer fueran eliminadas, la vida media esperada se elevarı́a por
3 años Rosamond (2007).
7.
Pronóstico de riesgo a infarto al miocadio
La enfermedad de las arterias coronarias es una de las causas principales de muerte en los
paı́ses desarrollados, y en aumento aún en paı́ses como México.
En EUA, durante 2004, las enfermedades cardiovasculares (ECV) fueron la causa principal
de mortalidad con un 36,3 % dando lugar a 2 398 000 muertes, constituyendo un 58 %
del total.
Desde 1900, exceptuando 1918, las ECV contaron con más muertes que cualquier otra
enfermedad en los EUA. Alrededor de 2400 estaunidenses mueren de ECV al dı́a, en
promedio una muerte por cada 36 segundos.
De hecho, las ECV reclaman más vidas que el cancer, enfermedades respiratorias cróninicas, accidentes y la diabetes melitus.
Si todas las muertes por ECV fueran eliminadas, la vida media esperada se elvarı́a por 7
años, si las muertes por cáncer fueran eliminadas, la vida media esperada se elevarı́a por
3 años Rosamond (2007).
Este padecimiento que se debe a la acumulación gradual de placas (colesterol, trigliseridos,
calcio y tejido conectivo fibroso) a lo largo de las paredes de las arterias coronarias. Más
especı́ficamente entre la capa interior (endotelio) y la intermedia ó muscular, dando lugar
al estrechamiento del claro de la sección transversal en las arterias (estenosis).
Este padecimiento que se debe a la acumulación gradual de placas (colesterol, trigliseridos,
calcio y tejido conectivo fibroso) a lo largo de las paredes de las arterias coronarias. Más
especı́ficamente entre la capa interior (endotelio) y la intermedia ó muscular, dando lugar
al estrechamiento del claro de la sección transversal en las arterias (estenosis).
Como los sı́ntomas de esta enfermedad se presentan en etapas tardı́as del padecimiento,
su diagnóstico es muy difı́cil antes del surgimiento de los primeros sı́ntomas, tı́picamente
durante un súbito infarto al miocardio, con frecuencia provocando la muerte, evento con
fuerte impacto económico.
Este padecimiento que se debe a la acumulación gradual de placas (colesterol, trigliseridos,
calcio y tejido conectivo fibroso) a lo largo de las paredes de las arterias coronarias. Más
especı́ficamente entre la capa interior (endotelio) y la intermedia ó muscular, dando lugar
al estrechamiento del claro de la sección transversal en las arterias (estenosis).
Como los sı́ntomas de esta enfermedad se presentan en etapas tardı́as del padecimiento,
su diagnóstico es muy difı́cil antes del surgimiento de los primeros sı́ntomas, tı́picamente
durante un súbito infarto al miocardio, con frecuencia provocando la muerte, evento con
fuerte impacto económico.
Las técnicas comunes para la detección de estenosis comprenden a la angiografı́a y la escultación por Tomografı́a Computarizada (TC). Los angiogramas son una técnica invasiva.
Mientras que la oscultación por TC, para generar imágenes en 3D, expone al paciente a
niveles altos de radiación.
Este padecimiento que se debe a la acumulación gradual de placas (colesterol, trigliseridos,
calcio y tejido conectivo fibroso) a lo largo de las paredes de las arterias coronarias. Más
especı́ficamente entre la capa interior (endotelio) y la intermedia ó muscular, dando lugar
al estrechamiento del claro de la sección transversal en las arterias (estenosis).
Como los sı́ntomas de esta enfermedad se presentan en etapas tardı́as del padecimiento,
su diagnóstico es muy difı́cil antes del surgimiento de los primeros sı́ntomas, tı́picamente
durante un súbito infarto al miocardio, con frecuencia provocando la muerte, evento con
fuerte impacto económico.
Las técnicas comunes para la detección de estenosis comprenden a la angiografı́a y la escultación por Tomografı́a Computarizada (TC). Los angiogramas son una técnica invasiva.
Mientras que la oscultación por TC, para generar imágenes en 3D, expone al paciente a
niveles altos de radiación.
Los bloqueos en las arterias dan lugar a turbulencias en el flujo de la sangre, generando
ondas acústicas que se propagan en la cavitad del torax hasta alcanzar las paredes del
pecho.
Ya que se cuenta con sensores piezoeléctricos (patentados por MedAcoustics a fines de
los 1990), los cuales que pueden detectar las aceleraciones de esta ondas acústicas, parece
factible la detección temprana y de manera expedita de una obstrucción arterial (localización y tamaño). A diferencia de los otros medios de detecteción, este procedimiento es
no-invasivo y económico (Samuels, 2008).
Ya que se cuenta con sensores piezoeléctricos (patentados por MedAcoustics a fines de
los 1990), los cuales que pueden detectar las aceleraciones de esta ondas acústicas, parece
factible la detección temprana y de manera expedita de una obstrucción arterial (localización y tamaño). A diferencia de los otros medios de detecteción, este procedimiento es
no-invasivo y económico (Samuels, 2008).
Ahora, para que esta tecnologı́a de medios visco-elásticos sea factible, se requiere del
desarrollo de modelos matemáticos que describan la propagación de las ondas acústicas
desde la estenosis hasta la superficie del pecho (Banks, 2009).
Ya que se cuenta con sensores piezoeléctricos (patentados por MedAcoustics a fines de
los 1990), los cuales que pueden detectar las aceleraciones de esta ondas acústicas, parece
factible la detección temprana y de manera expedita de una obstrucción arterial (localización y tamaño). A diferencia de los otros medios de detecteción, este procedimiento es
no-invasivo y económico (Samuels, 2008).
Ahora, para que esta tecnologı́a de medios visco-elásticos sea factible, se requiere del
desarrollo de modelos matemáticos que describan la propagación de las ondas acústicas
desde la estenosis hasta la superficie del pecho (Banks, 2009).
Cabe decir que ya se dispone de modelos 1D, 2D y 3D; y que se cuenta con esfuerzos
continuados de investigación dirigidos a la factibilidad de la dectección y localización de
las estenosis.
Ya que se cuenta con sensores piezoeléctricos (patentados por MedAcoustics a fines de
los 1990), los cuales que pueden detectar las aceleraciones de esta ondas acústicas, parece
factible la detección temprana y de manera expedita de una obstrucción arterial (localización y tamaño). A diferencia de los otros medios de detecteción, este procedimiento es
no-invasivo y económico (Samuels, 2008).
Ahora, para que esta tecnologı́a de medios visco-elásticos sea factible, se requiere del
desarrollo de modelos matemáticos que describan la propagación de las ondas acústicas
desde la estenosis hasta la superficie del pecho (Banks, 2009).
Cabe decir que ya se dispone de modelos 1D, 2D y 3D; y que se cuenta con esfuerzos
continuados de investigación dirigidos a la factibilidad de la dectección y localización de
las estenosis.
Los modelos visco-elásticos, dan lugar a problemas inversos computacionalmente tratables
aun cuando lo correspondientes problemas directos plantean retos computacionales aun
por vencer.
Ya que se cuenta con sensores piezoeléctricos (patentados por MedAcoustics a fines de
los 1990), los cuales que pueden detectar las aceleraciones de esta ondas acústicas, parece
factible la detección temprana y de manera expedita de una obstrucción arterial (localización y tamaño). A diferencia de los otros medios de detecteción, este procedimiento es
no-invasivo y económico (Samuels, 2008).
Ahora, para que esta tecnologı́a de medios visco-elásticos sea factible, se requiere del
desarrollo de modelos matemáticos que describan la propagación de las ondas acústicas
desde la estenosis hasta la superficie del pecho (Banks, 2009).
Cabe decir que ya se dispone de modelos 1D, 2D y 3D; y que se cuenta con esfuerzos
continuados de investigación dirigidos a la factibilidad de la dectección y localización de
las estenosis.
Los modelos visco-elásticos, dan lugar a problemas inversos computacionalmente tratables
aun cuando lo correspondientes problemas directos plantean retos computacionales aun
por vencer.
Una situación frecuente: pacientes que en un momento dado tuvieron elevados sus niveles
de colesterol y triglicéridos en la sangre. Aun cuando estas alteraciones se vean corregidas, no se sabe el grado de oclusión en las arterias coronarias ocasionada por dichas
alteraciones. Luego poder dar un diagnóstico no invasivo del grado de la oclusión en las
arterias coronarias con fines de prevención al infarto al meocardio es claramente de vital
importancia.
Una situación frecuente: pacientes que en un momento dado tuvieron elevados sus niveles
de colesterol y triglicéridos en la sangre. Aun cuando estas alteraciones se vean corregidas, no se sabe el grado de oclusión en las arterias coronarias ocasionada por dichas
alteraciones. Luego poder dar un diagnóstico no invasivo del grado de la oclusión en las
arterias coronarias con fines de prevención al infarto al meocardio es claramente de vital
importancia.
Resumiendo, se quiere desarrollar mediante procedimientos no invasivos, fiables y económicos, la localización y valoración del tamaño de la obstrucción en las arterias coronarias
con fines de de prevención al infarto al meocardio.
Una situación frecuente: pacientes que en un momento dado tuvieron elevados sus niveles
de colesterol y triglicéridos en la sangre. Aun cuando estas alteraciones se vean corregidas, no se sabe el grado de oclusión en las arterias coronarias ocasionada por dichas
alteraciones. Luego poder dar un diagnóstico no invasivo del grado de la oclusión en las
arterias coronarias con fines de prevención al infarto al meocardio es claramente de vital
importancia.
Resumiendo, se quiere desarrollar mediante procedimientos no invasivos, fiables y económicos, la localización y valoración del tamaño de la obstrucción en las arterias coronarias
con fines de de prevención al infarto al meocardio.
Lo que plantea diversas tareas: el desarrollo de modelos matemáticos como el antes mencionado (propagación de ondas en medios visco-elásticos biológicos), la resolución de problemas inversos mal-planteados de estimación de parámetros en ecuaciones en derivadas
parciales para tejidos biológicos, que corresponden precisamente a la localización y valoración del tamaño de la estenosis.
8.
Epidinámica
8.
Epidinámica
Debido a las condiciones climáticas de la ex-URSS, el pronóstico con fines de prevención
ante brotes epidémicos de influenza constituyó un serio problema de salud pública con
fuertes repercusiones económicas.
8.
Epidinámica
Debido a las condiciones climáticas de la ex-URSS, el pronóstico con fines de prevención
ante brotes epidémicos de influenza constituyó un serio problema de salud pública con
fuertes repercusiones económicas.
A fines de la década 1960, un equipo interdisciplinario (epidemiólogos, médicos y matemáticos
aplicados) encabezados por O.B. Baroyan, L.A. Rvachov y Yo.G. Ivanniko (1977) establecieron los fundamentos de la Epidinámica, hechando mano de la Mecánica de los
Medios Continuos.
8.
Epidinámica
Debido a las condiciones climáticas de la ex-URSS, el pronóstico con fines de prevención
ante brotes epidémicos de influenza constituyó un serio problema de salud pública con
fuertes repercusiones económicas.
A fines de la década 1960, un equipo interdisciplinario (epidemiólogos, médicos y matemáticos
aplicados) encabezados por O.B. Baroyan, L.A. Rvachov y Yo.G. Ivanniko (1977) establecieron los fundamentos de la Epidinámica, hechando mano de la Mecánica de los
Medios Continuos.
Epidinámica: predicción de la propagación epidemias sobre un determinado territorio.
8.
Epidinámica
Debido a las condiciones climáticas de la ex-URSS, el pronóstico con fines de prevención
ante brotes epidémicos de influenza constituyó un serio problema de salud pública con
fuertes repercusiones económicas.
A fines de la década 1960, un equipo interdisciplinario (epidemiólogos, médicos y matemáticos
aplicados) encabezados por O.B. Baroyan, L.A. Rvachov y Yo.G. Ivanniko (1977) establecieron los fundamentos de la Epidinámica, hechando mano de la Mecánica de los
Medios Continuos.
Epidinámica: predicción de la propagación epidemias sobre un determinado territorio.
Un problema de salud pública de gran espectativa mundial (Alvarado de la Barrera C.,
Reyes Terán G. (2005)) lo constituye el posible brote de una pandemia de fibre aviaria
(Influenza A/H5N1), pues se desconoce la virulencia de una de sus mutaciones capaz de
transmitirse entre humanos.
Contar con un medio para generar mediante simulación numérica videos de propagación
de una epidemia sobre mapas a nivel regional, nacional, continental, e incluso mundial,
constituye un invaluable medio en la toma de prevenciones ante brotes epidémicos.
Contar con un medio para generar mediante simulación numérica videos de propagación
de una epidemia sobre mapas a nivel regional, nacional, continental, e incluso mundial,
constituye un invaluable medio en la toma de prevenciones ante brotes epidémicos.
Un aspecto de gran relevancia a considerar en la modelación de la propagación de una
enfermedad infecciosa, son los medios modernos de transporte masivo (autobuses, metros,
trenes y aviones).
Contar con un medio para generar mediante simulación numérica videos de propagación
de una epidemia sobre mapas a nivel regional, nacional, continental, e incluso mundial,
constituye un invaluable medio en la toma de prevenciones ante brotes epidémicos.
Un aspecto de gran relevancia a considerar en la modelación de la propagación de una
enfermedad infecciosa, son los medios modernos de transporte masivo (autobuses, metros,
trenes y aviones).
Hace unos años, Brockman et al. (2006) pudieron medir el término de transporte mediante
la circulación de las monedas y aplicando procesos estocásticos de Levy.
Contar con un medio para generar mediante simulación numérica videos de propagación
de una epidemia sobre mapas a nivel regional, nacional, continental, e incluso mundial,
constituye un invaluable medio en la toma de prevenciones ante brotes epidémicos.
Un aspecto de gran relevancia a considerar en la modelación de la propagación de una
enfermedad infecciosa, son los medios modernos de transporte masivo (autobuses, metros,
trenes y aviones).
Hace unos años, Brockman et al. (2006) pudieron medir el término de transporte mediante
la circulación de las monedas y aplicando procesos estocásticos de Levy.
Una propuesta novedosa para el desarrollo de modelos matemáticos y software numérico
para la elaboración de videos para la simulación de la predicción de propagación de epidemias consiste en mudar de los paradigmas de la Mecánica de lo Medios Continuos a la
Mecánica Estadı́stica de muestras ”pequeñas”(por desarrollar).
Referencias
[1] Aguilar Salinas Carlos A., (INCMNSZ, Marzo 17 de 2009), ¿Qué es la Diabetes Mellitus?,
presentación, Taller de Vinculación Cientı́fica, UNAM.
[2] Aguilar Salinas C.A., Gómez Pérez F.J., et al. (2003), Characteristics of Patients With
Type 2 Diabetes in Mexico, Diabetes Care 26 (7) 2021-2027.
[3] Alavez Ramı́rez, J., López Estrada, Je. y Reyes Terán G., (2006), Dinámica del virus de la
hepatitis C con carga viral y ALT y monitoreo del da no hepático libre de biopsias, Ingenierı́a
y Ciencia 2, NÂo 4, 125-144.
[4] Alavez R.J., Fuentes Allen J.L. y López-Estrada Je., (2009), Hepatic Damage Monitoring
due to HCV Infection without Biopsies, por someter a Computational and Mathematical
Methods in Medicine.
[5] Alvarado de la Barrera C., Reyes Terán G. (2005) Influenza: Forecast for an epidemic,
Manuscrito, Centro de Investigación en Enfermedades Respiratorias, INER, 2005.
[6] Avendaño R., Esteva L., Flores J.A., Fuentes Allen J.L., Gómez G., Je. López-Estrada,
(2002), A Mathematical Model for the Dynamics of Hepatitis C, J. of Theoretical Medicine
4, iss. 2, 109-118.
[7] Asanchenko A., Marchuk G., et al., (1994), Disease Dynamics, Birkhäuser.
[8] Banks H.T., Samuels J.R., Jr., Detection of Arterial Occlusions Using Viscoelastic Wave
Propagation, Adv. Appl. Math. Mech. 1, No. 1 (2009) 1-28.
[9] Baroyan O.B., Rvachov L.A., Ivanniko Yo.G. (1977) Modelación y predicción de epidemias
de influenza en el territorio de la URSS, Instituto de Epidemiologı́a y Microbiologı́a N.F.
Gamaleya, URSS, Moscú; en ruso.
[10] Borckmann D., Hufnagel L., Geisel T. (Jan. 26, 2006) The scaling laws of human travel,
Nature (Letters) 439, 462-465.
[11] Edsberg L., Wedin P.-Å., (1995), Numerical tools for parameter estimation in ODEsystems, Optmization Methods & Software, Vol. 6, pp. 193-217.
[12] Marchuk G., et al., (1983), Mathematical Models in Immunology, Optimization Software
Inc., Publications Division, N.Y.
[13] Neumann A.U., Lam N.P., Dahari H., Gretch D.R., Wiley Th.E., Layden Th.J., Perelson
A.S., (1998), Hepatitis C Viral Dynamics in Vivo and the Antiviral Efficacy of Interferon-α
Therapy, Science 282, 103-107.
[14] Perelson A.S., (2002), Modelling Viral and Immune System Dynamics,
Nature Reviews | Immunology 2, 28-36.
[15] Novak M.A., May R.M., (2000), Virus Dynamics: Mathematical Principles of immunology
and virology, Oxford U.Press.
[16] Ribeiro R.M., Layden-Almer J., Powers K.A., Layden T.J., and Perelson A.S., (2003),
Dynamics of Alanine Aminotransferase During Hepatitis C Virus Treatment, Hepatology
38(2), 509-517.
[17] Rosamond W. et al. (2007), Heart disease and stroke statistics-2007 update: A report
from the American Heart Association statistics committee and Stroke Statistics Subcommittee, Circulation 115, e69- e171.
[18] Yasui K., Okanoue T., Murakami Y., et al., (1998), Dynamics of hepatitis C viremia
following Interferon-α Administration, The Journal of Infection Diseases 177: 1475-1479.
[19] Comprehensive Diabetes Center, University of Alabama, Birmingham, Web page:
http://diabetes.dom.uab.edu