d. La envolvente convexa En el plano real, hay un conjunto convexo

d.
La envolvente convexa
En el plano real, hay un conjunto convexo SH que es el más pequeño de los que
contienen cualquier conjunto dado de S. (Prueba: Fácilmente cualquier intersección de
conjuntos convexos es convexa; en particular, la intersección de todos los conjuntos
convexos que contienen S es convexa). A SH se le llama la envolvente convexa de S;
está ilustrado esquemáticamente en la Fig. 25. Puede mostrarse que SH es la intersección
de todos los medios-planos que contienen S; y si S es conexa, SH es la unión de todos
los segmentos de líneas cuyos puntos finales están en S.
Claramente S es convexa sii SH = S. De este modo una manera de decidir si S es
convexa es construir su envolvente convexa y ver si realmente contiene S. En cualquier
caso, podemos definir las concavidades de S como las componentes conexas del
conjunto diferencial SH - S.
Fig. 25 Un conjunto (sombreado vertical) y su envolvente convexa (incluye las partes
sombreadas horizontalmente).
La definición del medio-plano conduce a la siguiente construcción de SH , que
puede ser usada también para construir (y definir) una envolvente convexa en el caso
digital. Sea P1 el punto que está más a izquierda de los puntos más arriba de S, y sea L1
la línea horizontal a través de P1. Rotamos L1 en el sentido contrario de las agujas del
reloj sobre P1 hasta que alcance S; llamemos a la línea rotada resultante línea L2, y sea
P2 el punto de S más lejano de P1 a lo largo de L2. Rotemos L2 en sentido contrario de
las agujas del reloj sobre P2 hasta que alcance S; sea L3 esta línea rotada, y sea P3 el
punto más lejano de P2 a lo largo de L3. No es difícil demostrar que cuando se repite
este proceso, eventualmente tenemos Pn = P1 y Ln = L1. El polígono cuyos vértices son
P1, . . ., Pn - 1 es entonces SH. Nótese que las L’s limitan a los medio-planos que tan sólo
contienen S. Otra caracterización de las P’s es la siguiente: Para cualquier punto de
borde P, Q de S, sea ŠPQ la parte de Š que está rodeada por S y por el segmento de línea
PQ. Entonces ŠPQ es maximal (i.e., no está contenido en ninguna otra ŠP’Q’) sii P y Q
son dos Pi’s consecutivos (módulo n - 1).
La unión de la definición de segmentos de línea conduce [4] a la construcción (y
definición) de una envolvente convexa digital que es más apropiada para un ordenador
multiprocesador. Denotemos con S0 el resultado de “untar” S en dirección θ, i.e., es la
unión de todos los posibles cambios de S en cantidades de 0, 1, 2,... en dirección θ; no
necesitamos usar cambios mayores que el diámetro de S. Entonces Sθ ∩ Sθ + π es el
conjunto de puntos que tienen puntos de S a ambos lados de ellos en dirección θ, i.e.,
éstos son justo los puntos que están sobre segmentos de línea de pendiente θ entre dos
puntos de S. De este modo ∪
θ
(Sθ ∩ Sθ + π ) = SH, si S es conexa. No podemos usar
sólo unas pocas direcciones θ en esta construcción; por ejemplo,
1
1
1
1
1
1
1
1
contiene cada segmento de línea entre una pareja de sus puntos cuya pendiente es un
múltiplo de 45º, pero no es convexa.
Ciertas propiedades simples de SH pueden estimarse sin construirla de verdad.
Por ejemplo, se puede mostrar, usando métodos de geometría integral, que el número
esperado de veces que una línea aleatoria se encuentra con S es proporcional al
perímetro de SH; de este modo podemos estimar este perímetro dibujando un gran
número de líneas al azar y contando sus intersecciones. A propósito, la longitud
esperada de la intersección de una línea aleatoria con S (i.e., la suma de las longitudes
de las secuencias en las que las líneas se encuentran con S) es proporcional al área de S.