la historia de un simple juego y una compleja teoria: el problema de

LA HISTORIA DE UN SIMPLE JUEGO Y UNA COMPLEJA TEORIA:
EL PROBLEMA DE LA DIVISIÓN Y LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD
Diego Díaz
Est. Maestría en Educación énfasis Educación Matemática
Universidad del Valle
Resumen
El siguiente documento pretende mostrar la influencia que tuvo el problema de la
división o reparto de la apuesta para la consolidación de la teoría de la probabilidad.
Además, se intenta mostrar la importancia de la Historia de la Probabilidad como parte
fundamental en los actuales currículos de matemáticas en todos los niveles. Para lo
anterior, se analizan las soluciones dadas por algunos intelectuales desde Fra Luca
Pacioli en 1494 hasta Cristiaan Huygens en 1656 con la presentación de su texto en latín
Ratiociniis in Ludo Aleae y se concluye con algunas reflexiones alrededor del valor
esperado con la paradoja de San Petersburgo.
Introducción
La investigación en Educación Estadística y Probabilidad es un campo nuevo, con una
variedad de tópicos, nociones y líneas diversas. Eventos internacionales y revistas
electrónicas están dando la oportunidad de mostrar los avances que se están llevando a
cabo, permitiendo el intercambio de teorías, metodologías y problemas propios de estas
disciplinas. Se puede encontrar recientemente en la International Electronic Journal of
Mathematics Education (IEJME) 2009, un análisis al ICME 11: Research and
Developments in Probability Education, en el cual, se plantea la necesidad de la
investigación en Educación probabilística desde diferentes ámbitos. En este sentido, una
de las recomendaciones que da el grupo de investigadores, es incursionar en temas
pocos tratados pero de gran importancia tales como esperanza matemática y la
distribución normal (Borovncik y Kapadia 2009)
Dado que la investigación en estas nociones probabilísticas es nueva en educación, se
puede abordar entonces desde distintos enfoques, bien sea didácticos, filosóficos,
tecnológicos, históricos, etc. Es por ello que, este escrito se orientará a la reflexión
histórica correspondiente a la siguiente pregunta: ¿Qué papel tuvo la discusión del
problema de la división en la consolidación de la teoría de la probabilidad?
Para ello, se analizarán las distintas vías de solución desde Fra Luca Pacioli, pasando
por Tartaglia, Cardano, Pascal, Fermat y finalmente Huygens, evidenciando los avances
y dificultades que se presentaron para poco a poco determinar lo que hoy conocemos
como Teoría de la Probabilidad.
Resultados
El problema de la división de la apuesta.
También conocido como el reparto de la apuesta o problema de la división, es un
problema que ilustra de forma especial, las dificultades, paradigmas y métodos de
solución que se han encontrado los diferentes matemáticos para la consolidación de una
nueva teoría. Se tiene conocimiento en Ore (1960) que hay evidencias de este problema
de origen árabe que data de 1380 y ha sido abordado por diferentes matemáticos sin la
solución correcta hasta mediados del siglo XVII. En 1494, Luca Pacioli lo enunció
como una forma de aplicar el álgebra a los problemas de decisión de los juegos:
Un grupo juega a la pelota de modo tal que se necesita un total de 60 puntos para
ganar el juego y cada gol vale 10 puntos. Las apuestas son de 10 ducados.
Por algún incidente no pueden terminar el juego y un bando queda con 50
puntos y el otro con 20. Se quiere saber qué partición del dinero del premio
le corresponde a cada bando.
(Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, Venecia
1494)
Bajo este “simple” problema, se observa a lo largo de casi 200 años intentos genuinos
de aplicar la “nueva” algebra a problemas de juego. El problema de la división se
constituye entonces en el nuevo reto a lo largo de todo este periodo. Las dificultades
fueron evidentes desde su génesis como lo afirma el mismo Pacioli: “He encontrado
que las opiniones sobre la solución difieren de una persona a otra pero, todos parecen
insuficientes argumentos. Yo afirmo la verdad y doy la forma correcta de solucionar
este problema”.
En Paccioli se puede observar el álgebra europea dominante de la época. “Este tipo de
problemas forman parte de un gran cuerpo de problemas de división que surgen en el
comercio y la mayoría de los cuales no se imaginaba la base aleatoria a la que
pertenecían”. Hacking (1995). En 1556 Tartaglia retoma el problema en su obra
Trattato generale di numeri et misure proponiendo que la división debía de realizarse en
la proporción 2:1. En 1558, G.F Peverone, aporta de manera significativa a la solución
del problema considerando varios casos hasta llegar al estado donde Pacioli lo había
propuesto. En “Due brevi e facili trattati, el primo d’Arithmetica l’altro di Geometría”
lo resuelve, sin embargo, por un aparente descuido, contrario a sus propias estrategias,
da la solución final de 6:1, lo que califican algunos autores como lo señala M. G
Kendall (1956): “Uno de los grandes desaciertos de las matemáticas de las
probabilidades”. Cardano, alrededor de 1564 en su obra Practica arithmeticae
generalis, indica una nueva forma para la solución al problema que reproducimos de
García 2000:
n es el numero total de puntos a jugar y “p” y “q” son los números de puntos ganados
por A y B, respectivamente.
El argumento de Cardano es válido sólo para la solución particular del problema
planteado por Pacioli, sin embargo, de manera general el argumento no aplica. Es útil
aclarar que con un análisis detallado del texto de Cardano Liber de Ludo Aleae, se hace
evidente el uso de los conceptos de probabilidad y esperanza matemática, sin ser
definidos, notándose un gran cambio de pensamiento probabilístico para la época. Se va
perfilando de este modo, nuevos objetos de conocimiento con sus respectivos
procedimientos y campos de problemas propios. Cardano abre un camino con
“propensión” hacia lo aleatorio, sin explicar claro esta, lo que él concebía como
propensión. La influencia que tuvo el medio en que se desarrolla esta obra es
importante, ya que se puede considerar la causalidad como “ente” de los fenómenos
cotidianos profesada por las ciencias altas. Como metafísico y médico, debería tener
una concepción de la causalidad a partir de los hechos con la naturaleza y las
enfermedades.
Tal demostración frente a los problemas de azar fue desaprovechada por los
matemáticos de la época e incluso, es casi desconocida por la comunidad de
matemáticos la influencia que tuvo en el surgimiento de la probabilidad. Su obra solo
fue publicada casi 100 años después, cuando nuevamente el problema de los puntos o la
de la división fue retomado por Pascal, Fermat y Huygens alrededor de 1660.
Pascal supone un giro fundamental en la manera de resolver este tipo de problemas. Ya
había trabajado su famoso triángulo aritmético de manera recursiva y aplica esto a la
solución del problema de los puntos. Fermat responde a Pascal con otro ingenioso
método que se irá perfeccionando poco a poco con las sugerencias que le realiza Pascal
utilizando argumentos combinatorios y en 1650, aparece Huygens, haciendo uso de lo
que hoy conocemos como esperanza matemática, para resolver también el problema de
manera exitosa. El método de solución de Huygens plantea un nuevo desafío para el
cálculo de probabilidades y es que en términos de James Bernoulli, surge el método
analítico de Huygens, para juegos con un horizonte indeterminado. Utiliza el álgebra
elemental y muestra cómo se pueden resolver algunos problemas de juegos con
horizonte indefinido sin acudir a las series infinitas.
Conclusiones
Vemos pues cómo la historia de un juego sin solución correcta a lo largo de casi 200
años, promulgó el surgimiento de lo que hoy podemos definir como teoría de la
probabilidad. El estudio de la génesis y evolución de estos conceptos, los
procedimientos de cálculo, la estructura de sus análisis, sus representaciones,
determinan de manera significativa la dirección a seguir. Conceptos tan importantes
como esperanza matemática o probabilidad, que están inmersos en el problema de la
división, en su reflexión histórica y epistemológica, deben ser llevados a los cursos de
Probabilidad y Estadística como parte fundamental de un currículo, tanto en las
universidades como en los Colegios. El cambio de paradigma de lo cierto y seguro de
determinada época, se va transformando en la medida en que avanzan los problemas y
posturas filosóficas, hasta llegar a considerar lo incierto en un intento de domesticarlo
con la “matemática del azar”. Sin la introducción de estos conceptos a lo largo de la
historia, se puede considerar difícil la aprehensión y aceptación del azar en nuestras
vidas. Esta “parte” de las matemáticas implica considerar, problemas propios de
investigación, metodologías y teorías propias, que deben ser investigadas en esta
naciente rama de la educación.
Referencias
ARBELAÉZ, D. (2008).Correspondencia entre Pascal y Fermat. Notas de Clase
del curso Historia de la Estadística. Universidad del Valle, programa de
Estadística, Cali. Colombia.
GARCIA, J.A. (2000). Historia de un problema: El reparto de la apuesta. Revista
SUMA, 33. pp. 25-36
HACKING, I. (1995). El surgimiento de la probabilidad: un estudio filosófico de las
ideas tempranas acerca de la probabilidad, la inducción y la inferencia. Gedisa.
HUYGENS, C. (1714). Libellus The Ratiociniis in ludo aleae. The value of all the
chances in Game of Fortune, English Translation 1714. London.
HALD, A. (1990). A History of Probability and Statistics and Their Applications before
1750. Wiley.
ORE, Ø. (1953). Cardano the Gambling Scholar. Princeton University Press.