LÍMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.1 Idea

LÍMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1.1 Idea de Aproximación
Sea 𝑥0 un punto fijo en la recta numérica tal como se indica
Cuando un número desconocido 𝑥 se aproxima a 𝑥0 , lo puede hacer por valores mayores o menores
que 𝑥0 .
Por la izquierda de 𝑥0
(menores que 𝑥0 )
Por la derecha de 𝑥0
(mayores que 𝑥0 )
En este caso se dice que 𝑥 se
aproxima a 𝑥0 por la izquierda, por
tanto se simboliza como:
𝑥 → 𝑥0−
Expresión que se lee: “𝑥 es menor
que 𝑥0 , pero cercano a él”
En este otro caso se dice que 𝑥 se
aproxima a 𝑥0 por la derecha, por
tanto se simboliza como:
𝑥 → 𝑥0+
Expresión que se lee: “𝑥 es mayor
que 𝑥0 , pero cercano a él”
En los siguientes ejemplos analizaremos que sucede con las imágenes 𝑓(𝑥) cuando las preimágenes 𝑥
varían.
Ejemplos
1) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
Por la derecha
0.90
0.95
0.98
0.99
1.01
1.02
1.05 1.10
𝒙
1
3.01 3.02 3.08 3.10
𝒇(𝒙) 2.90 2.95 2.98 2.99
Página
2
Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de 𝑥 al valor 1, se tiene que las
imágenes 𝑓(𝑥) se aproximan al valor 3.
Esto se simboliza denotando:
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑”
NOTA
Debemos tener presente que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para 𝒙 =Página
𝟏 se obtenga 𝒇(𝒙) = 𝟑.
3
2) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 2, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
Por la derecha
𝒙
1.7
1.8
1.9
1.99
2 2.01 2.10 2.20 2.30
𝒇(𝒙)
3) Sea la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
La función considerada puede simplificarse usando la diferencia de cuadrados:
𝑥 2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
=
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
= 𝑥 + 1, por tanto se tiene que:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 1
Por la derecha
Por la izquierda
𝒙
𝒇(𝒙)
0.90
1.90
0.95
1.95
0.98
1.98
0.99
1.99
1
1.01
2.01
1.02
2.02
1.05
2.08
1.10
2.10
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐”
4) Sea la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −9
𝑥+3
𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
𝒙
2.7
2.8
2.9
𝒇(𝒙)
, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 3, ¿qué sucede con
2.99
3
Por la derecha
3.10 3.20 3.30
3.01
Página
4
1.2 Noción intuitiva de Límite
Para el ejemplo 1) de aproximación: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, tenemos:
“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 3”,
Simbolizando:
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑”
Y se escribe como:
lim 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→1
que se lee:
“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 3”
Luego 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) nos indica:
𝑥→1
“valor límite de 𝒇(𝒙)”
Para el ejemplo 3) de aproximación: 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
, tenemos:
“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 2”,
Simbolizando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐”
Y se escribe como:
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→1
que se lee:
“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 2”
Observación
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒇(𝒙) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂 𝒂 𝒙𝟎 𝒆𝒔 𝑳"
𝒙→𝒙𝟎