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Resolución de triángulos
Antes de comenzar con el tema objeto de estudio repasemos (con tres ejemplos que debes
seguir) cómo se dibuja un triángulo dependiendo de los datos de partida.
1 Construcción de triángulos
nn C
Coonnoocciiddooss llooss ttrreess llaaddooss
h n Construye un triángulo cuyos lados midan : c = 4 cm, b = 3 cm, a = 5 cm y mide sus ángulos.
•••ŒŒ€ŒŒ•••
D Dibuja primero uno de los lados (el de mayor longitud, a = 5 cm, por ejemplo) utilizando la
herramienta [segmento con longitud dada desde el punto]
.
D Por uno de los extremos del segmento anterior se dibuja una circunferencia de radio igual a la
longitud de otro lado (c = 4 cm, por ejemplo), mediante la herramienta [círculo por centro y radio]
,y
por el otro extremo, una circunferencia de radio igual a la longitud del otro lado, con la misma
herramienta. La intersección de las dos circunferencias nos proporciona el tercer vértice del triángulo
buscado que dibujamos, con la herramienta [Polígono] :
no S
See ccoonnoocceenn ddooss llaaddooss yy eell áánngguulloo qquuee ffoorrm
maann
h oDibuja un triángulo de lados a = 4 cm y b = 3 cm, y que el ángulo comprendido entre
ambos sea Ĉ = 70º
•••ŒŒ€ŒŒ•••
D
A partir de punto cualquiera A, trazamos una semirrecta horizontal.
D Con la herramienta [rota objeto alrededor de un punto por un ángulo]
70º en sentido antihorario.
rotamos la semirrecta
D A partir del punto A podemos trazar los lados de longitudes 4 cm y 3 cm en las dos
semirrectas dibujadas, mediante [círculo por centro y radio] .
Ángel Corral Cedena
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Resolución de triángulos
D Ahora ya tenemos los vértices del triángulo, en las intersecciones de las dos circunferencias y
las dos semirrectas, que dibujamos:
np S
See ccoonnooccee uunn llaaddoo yy llooss ddooss áánngguullooss ccoonnttiigguuooss
h pDibuja un triángulo de lados a = 4 cm y los ángulos contiguos Ĉ = 70 º y B̂ = 40º
•••ŒŒ€ŒŒ•••
™ Con la herramienta [segmento con longitud dada desde el punto] introducimos la longitud del lado
a = 4 cm.
™ A partir de los extremos del segmento anterior, rotamos el segmento los ángulos de 70º y 40º ,
uno en sentido antihorario y el otro en sentido horario. El punto de corte (tal vez necesites superponer
una recta con los segmentos girados para que se corten) nos proporciona el tercer vértice del triángulo
que dibujamos:
Ya podemos abordar el objeto principal de esta práctica:
1 Resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo se considera resuelto cuando se conocen las longitudes de
sus tres lados y las amplitudes de sus tres ángulos.
En los triángulos rectángulos como uno de los ángulos ha de ser recto (
90º) hemos de conocer cinco elementos, para lo cual es necesario
disponer, como mínimo, de dos datos (distintos del ángulo recto).
Para resolverlo, a partir de esos dos datos como mínimo,
disponemos de un conjunto de relaciones:
Ángel Corral Cedena
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Resolución de triángulos
(i) Relaciones métricas. Teorema de Pitágoras
b 2 = a2 + c 2
(ii) Relaciones angulares
∧
∧
∧
Como B = 90º ⇒ A + C = 90º (son complementarios)
(iii) Relaciones trigonométricas (directas)
Para uno de los dos ángulos agudos, las relaciones directas son:
∧

cateto opuesto a
=
 sen A =
hipotenusa
b

∧
cateto contiguo c

=
cos A =
hipotenusa
b

∧
cateto
opuesto
a

 tg A = cateto contiguo = c

∧
que también se pueden definir para el otro ángulo agudo C .
Antes de comenzar un ejemplo:
∧
En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a = 10 y el ángulo C = 40º . Resuelve el
triángulo.
D Comenzamos por dibujar un triángulo a mano alzada y colocar los datos :
Ahora hallamos los elementos que nos faltan:
∧
∧
• Ángulo B = 90º − C = 90º −40º = 50º .
• Como c es el cateto opuesto respecto del ángulo C conocido y también conocemos la
hipotenusa, usamos:
∧
∧
c
sen C = ⇔ c = a·sen C = 10·sen40º = 6,4278.... ≈ 6,43
a
• Para hallar la longitud de b, disponemos de varias posibilidades pero utilizamos una que
implique a los datos, como b es el cateto contiguo respecto del ángulo C conocido y también
conocemos la hipotenusa, usamos:
∧
∧
b
cos C = ⇔ b = a·cos C = 10·cos 40 º = 7,660... ≈ 7,66
a
Por último dibujamos el triángulo en Geogebra y comprobamos los elementos hallados:
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Resolución de triángulos
Ahora realiza las prácticas siguientes:
Práctica 1
Resuelve el triángulo rectángulo ABC en el que conocemos la hipotenusa a = 32 m y el cateto b =
11 m.
Dibuja el triángulo a mano alzada
Pasos de resolución (explicaciones y cálculos)
Comprueba el resultado en Geogebra dibujando el triángulo y midiendo sus elementos, después graba el archivo en el
servidor con tu nombre y el número de práctica.
Práctica 2
Resuelve el triángulo rectángulo ABC en el que conocemos los dos catetos b = 25 m y c = 42,5
m.
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Práctica 3
En un determinado momento del día los rayos solares forman un ángulo de 35°. En ese instante la
sombra de un árbol mide 32 m, ¿cuál es la altura del árbol?
Práctica 4
Una escalera se encuentra apoyada en una pared y su pie se halla a 2,5 m de la misma. Encuentra
la longitud de la escalera sabiendo que forma con el suelo un ángulo de 72°.
Práctica 5
Calcula la altura a la que se encuentra una cometa cuyo hilo de 32 m de longitud forma con el suelo
un ángulo de 36°.
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Práctica 6
Las puntas de las ramas de un compás están a 7 cm y cada rama tiene 12 cm. Hallar el ángulo que
forman las ramas del compás.
Práctica 7
Calcular el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m.
Práctica 8
En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 100 m. ¿Cuánto vale
el ángulo central? (Pensad antes de poneros a operar). En una circunferencia de 100 m de radio se unen
dos puntos con una cuerda de 50 m. ¿Cuánto vale el ángulo central correspondiente?
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Resolución de triángulos
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Práctica 9
Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m.
Práctica 10
Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60° y la rama tiene 12 cm de longitud, hallar el
radio de la circunferencia que puede trazarse.
Práctica 11
La anchura de la calle Mayor es de 30 m. Colocándote en el centro de la misma, puedes ver los
edificios de ambos lados bajo ángulos de 70° y 42° respectivamente. ¿Cuáles son las respectivas
alturas de ambos edificios?
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Resolución de triángulos
Método de “Doble observación”
Cuando la base del objeto cuya altura quiere medirse no es accesible se usa el método de
“doble observación” que, en esencia, consiste en medir desde dos puntos separados una distancia dada
conocida, los ángulos bajo los que se “observa” el extremo (punto más alto, normalmente) del objeto.
Calcula la altura de la montaña de la siguiente
figura.
Sea CH = h .
Como en relación a los ángulos dados queremos
hallar el cateto opuesto y se nos da o nos pide el
cateto contiguo, es claro que debemos usar la
tangente ( o la contangente) de esos ángulos lo que
nos proporciona un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas:
 ∧ CH
h

tg42º =
 tg B =

h = xtg42º
CB ⇒
x
⇔
 ∧

h
h = ( x + 500 )tg25 º
tg A = CH
tg25º =

x + 500

CA
Hay varios métodos para resolver este sistema de ecuaciones, utilizamos el de igualación
despejando de ambas ecuaciones la incógnita h e igualamos las expresiones:
xtg42º = (x + 500)tg25º; xtg42º = xtg25º + 500·tg25º; xtg42º - xtg25º = 500·tg25º; x(tg42º - tg25º) =
500·tg25º
500·tg25º; x =
≈ 537,1 m luego h = x·tg42º = 537,1·tg42º = 483,61 m = (x +500)·tg25º =
tg42º −tg25º
(537,1 +500)tg25º = 483,61 m
Ahora lo comprobamos en Geogebra:
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Resolución de triángulos
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Práctica 12
Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo de 30° con la
horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo se hace de 60°. Hallar la
altura de la torre.
Práctica 13
Sara y su amigo Luis quieren escalar una montaña y
necesitan conocer su altura h. Para ello han conseguido
un teodolito y desde dos puntos que distan 60 m han
medido, como se indica en la figura, los ángulos de 45°
y 30°. ¿Cómo calcularon con estas medidas la altura de
la montaña?
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Resolución de triángulos
Práctica 14
Desde dos pueblos se observa en un mismo instante un buitre
bajo ángulos de 70° y 50° como indica la figura. La distancia
entre ambos pueblos es de 10 km. Halla la altura ala que se
encuentra en ese momento el buitre y la distancia a que está de
cada pueblo.
Práctica 15
Halla la altura de un poste, sabiendo que desde un cierto punto se ve bajo un ángulo de 14°, y si nos
acercamos 20 m, lo vemos bajo un ángulo de 18°.
Práctica 16
Dos individuos A y B observan un globo cautivo que está situado en un plano vertical que pasa por
ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los
observadores son 46° y 52°, respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada
observador.
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Resolución de triángulos
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Práctica 17
Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo
superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17°. Aproximándose 25,8 m
hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31°. Calcular la altura del árbol.
Práctica 18
Desde un punto a ras de suelo, los ángulos de elevación que
presentan la base y la punta de un mástil de 6 m de altura,
colocado sobre un acantilado, son 38° y 46°. Estima la altura del
acantilado.
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Resolución de triángulos
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Práctica 19
Calcula la altura de la antena que está sobre el tejado de la
casa.
Práctica 20
Del extremo superior de un poste se tienden dos cables, para amarrarlo al suelo, hasta dos puntos que
distan 20 m uno de otro. Los cables forman con el suelo ángulos de 75° y 65°. Averigua la altura
del poste. (Suponemos que el poste y los cables están en un mismo plano vertical).
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Resolución de triángulos
2 Resolución de triángulos cualesquiera (no rectángulos)
Como ya sabemos tenemos que usar los “dos teoremas
fuertes de la trigonometría”:
Teorema del seno
a
∧
sen A
=
b
∧
=
sen B
c
∧
sen C
Teorema del coseno
∧
 2
2
2
=
+
−
a
b
c
2
bc
cos
A

∧
 2
2
2
b = a + c − 2ac cos B
∧
 2
2
2
c = a + b − 2ab cos C

Antes de comenzar un par de ejemplos:
Resuelve el triángulo en que se conoce a = 24 m,
∧
∧
B = 55º 15’ y C = 68º 42’
•••ŒŒŒŒ•••
∧
Desconocemos un ángulo A y dos lados b y c, calculamos primero el ángulo que falta:
∧
∧ ∧
A = 180 º − B+ C  = 180 º −(55º 15' + 68º 42' ) = 56º 3'


∧
y ahora aplicamos el teorema de los senos, teniendo en cuenta que ya conocemos a y A :
∧

a
b
sen
B
sen55 º15'

·a =
·24m = 23,772 m
=
⇔b=
∧
∧
∧

sen56º3'
a
b
c
 sen A sen B
sen
A
=
=
⇒
∧
∧
∧
∧
 a
c
sen C
sen68 º 42'
sen A sen B sen C
·a =
·24m = 26,956 m
=
⇔c=

∧
∧
∧
sen56º3'
 sen A sen C
sen A
Comprobación con Geogebra:
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Resolución de triángulos
Resuelve el triángulo en que se conoce a = 25 m, b =
42 m y c = 34,6 m.
•••ŒŒŒŒ•••
Ahora conocemos los tres lados, no podemos usar el teorema de los senos pues no sabemos
ningún ángulo, hay que usar el teorema del coseno para hallar los ángulos:

∧
∧ b2 + c 2 − a2 422 + 34,62 − 252
∧
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A ⇔ cos A =
=
= 0,8037.... ⇒ A = arc cos 0,8037... = 36º 30' 20,23"
2b·c
2·42·34,6


2 + c 2 − b2 252 + 34,62 − 422
∧
∧
∧
a
 2
2
2
=
= 0,0336.... ⇒ B = arc cos 0,0336... = 88º 4' 24,4"
b = a + c − 2ac cos B ⇔ cos B =
2·25·34,6
2a·c

2 + b2 − c 2 252 + 422 − 34,62
 2
∧
∧
∧
a
=
= 0,5675.... ⇒ C = arc cos 0,5675... = 55º 25' 15,4"
c = a2 + b2 − 2ab cos C ⇔ cos C =
2
·
25
·
42
2
a
·
b

Comprobación en Geogebra:
Práctica 21
Desde los pueblos A y B, distantes entre sí 15 km, se observa a una misma hora del día un globo
aerostático, situado en un plano vertical entre ellos. Las visuales desde ambos pueblos al globo
forman con la horizontal ángulos de 80° y 60° respectivamente. Calcula la distancia de cada pueblo
al globo.
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Práctica 22
Calcula la longitud x del pantano.
Práctica 23
Halla el valor del ángulo A en el triángulo de la Figura,
sabiendo que los radios de los tres círculos son 40,6 cm, 1 m y
1,64 m.
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Resolución de triángulos
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Práctica 24
Para hallar la longitud que tendrá un túnel que atraviese una montaña se toma un corte transversal de
la misma. Se toman las medidas siguientes:
- Ángulo formado por las visuales desde la cima C a los extremos A y B del túnel, 50°.
- Distancias desde la cima a estos extremos, 360 y 250 m.
Con estos datos, ¿cómo calcularías la longitud del túnel?
Práctica 25
Dos amigos, Luis y María, están paseando una tarde por la orilla de un río. En un momento dado
se separan una distancia de 60 m y observan un pájaro que está en la otra orilla escarbando en el
suelo. Los ángulos que forman las visuales que dirigen Luis y María al pájaro con la línea que une
a ambos son de 70° y 55° respectivamente. Halla la distancia del pájaro a cada uno de los amigos.
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Práctica 26
Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 km,
la de BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?
Práctica 27
Dos baterías antiaéreas, distantes 4 km entre sí, disparan a un caza enemigo en el momento en que
éste sobrevuela la línea que forman aquéllas. El primero ha de dirigir sus disparos con un ángulo de
elevación de 70°, y el otro con 80°. ¿A qué altura vuela el caza?
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