EL CONCEPTO DE MODELO EN LA LOC/CA MATEMATICA por Xavier CAICEDO FERRER INTRODUCCION A partir de la aparicion head, "Principia iniciada de la obra de Bertrand partiendo y Allred N. White· a comien zos del s ig lo; Y mas alin, de spues Mathematica", la obra monumental mat em dticas Russell de Bourbaki. de bases puramente de que bus ca b ac er una s in te s is de las axiomatic as. se ha vue Ito c asi un lugar comtin la afirm acidn de que las matemdtic as son reducible s a pura ld gic aLa razon que p ermite [us tiji car esta afirm acion es pre ci sam ente el m etodo ax iomatico. Una teoria matemdtica se puede cons iderar como un sistema de ax iom as que afirman propie dade s y relacione s de cierto uniuers o de indiuiduos tos". los pia Los teoremas , es decir las "verdades axiomas us ando las ley e s de inferencia c lds ico de una teoria axiom dtic a es de la t eor ia'", se d eriuan a partir de que proporc iona la logica. l a Geometria son ll amados por conuenc ion "nlimeros y la multiplic acidn, aquellos que ri gen la adicion re lacidn de orden, exi gi endo le que sea compatible cumpla ciertas considerar propiedades como relaciones de complelitud. temarias re ale s" tanto teoria los y los axiom as son como los que rig en la con las operaciones Pues to que las operaciones es claro que los axiomas 11 E I ejem- Euc li dian a, Una te oria axiom dt ic a s eria tamb ien la T eoria de los ruimero « reale s. En esta indioidaos u "obje- hab/an y que se pue. de pro· piedades rt as y rel acione s entre los indiuiduo s, Podriamos como l a T eor ia de grupos, mas generales mas mo dernos como el proporcionado p ens ar tambien en desarrollos 0 por Kolmogorov en teo- axiomdtico s a la T eori a de probobtlt: dad. iSignifican reduce las con sider acione s ant eriore que el trabajo matemdti co se 5 a deducir te or ema s a partir de los axiomas de una teori a? Examinemos esto un poco mas. a [ondo, Si el trabajo matemdtico se redujera a la p ura de due- cion de t eorem as a partir de uno s axiom as dado s, las matem dti c as simplemente no exist irian. No exi stirian por la s en cill a razon de que no babria ax iomas de don de deducir parte los tales teor em as, Los sistemas de axiom as tambien de l a creac ion matem dt ic a, La maner a clds ic a de entender e std compl et ament e equiuoc ada des de el punto de vista modern a, Los axiom as no se de s cubren porque sean "evidentes EI ais lar un sistema siglos, los axiom as euidente s en si mism as, que por 10 tanto no ne c e s it an demos- como "verdades tracidn" y los esfuerzos Euclides forman de l a logic a en si mi smo s'", axiomd tico para la teoria de los numerus re ale s re quirid de mucbo s hombres g eni ale s, La grande za de l a o br a de depen de tal vez mas del des cubrimiento de sus postulados geometri del desarrollo de las mate, > cos, que de la deduc cion de los teorem as . Es un hecho, ademas, maticas sigue un camino contrario que se caracteriza algebra real 0 al que podriamos por el metodo axiomatico. de los numeros. concretos, muy ligados tracdones se llegaron "numeros" iQue historico a descubrir de un conjunto de axiomas matematico. un ir de los esquemas de unos numeros muy y POT medio de sucesivas mas generales abs' de las cuales concreta • entonces? 0 iLa E I proceso de teoremas a son esencia' de las matematicas mas concretos; a partir que ha llevado Ambas componentes deductivo a resultados 12 deduccion la labor de milenios esos axiomas? abstraetos se partio las estTucturas prefijados, abstraer y aislar como basicos d eductivo; que el hombre llego a descubrir sensible; eran una manifestacion son las matematicas les al desarrollo Al contrario, a la intuidon llamar proceso No fue a partir de los axiom as del de la teoria de campos (cuerpos) las propiedades esos que el proceso es como y el hallar estos resultados, intuidos el de scubrir como ciertos parece de las matemdt icas, llado al reues, mente los c aminos para demostrar historicamente Podemos de entes intuitiuamente de sde un punta de vista pregunt arnos abora iLa matemdt ic as no siguen un camino matemdt icas? Parece incue s tionable los ntimeros inicialmente que es asi: y se termina sensibilidad, necesita vista, que esta hablando. solo saber Una teoria indeterminados. axiomatica a esos Un ejemplo estas Los reglas objetos. aclarara axiomas establecen etc.; pero estas podria de ciertas jugar ajedrez que e llo alterara es UTI "indivMuo las 0 La teoda anteriores niega no dicen con tapas " de la teorfa. solo habla que deben como deben de nue smatematica de saber de individuos, de que son compfe1a- de las relaciones poseer; pero estas no de que son esos individuos. que pueden parecer del juego regulan ser f as piezas. convenientemente del juego. que se define 13 sobre parale- la posibilidad entre las piezas, de botella abs tract a de comprension son como las reglas la esencia ge :- cu ando 10 con side- un universo no habla interrelaciones en ahsoluto "eenti do" afirmaciones de una teorfa reg/as una teoria e xigen cias intuitiuas axiomas propiedades Los obje tos habfando. supone sus de las tal ue z longitudes de la teoria; pero estos individuos La teoria los individuos, determinan axiomatico de las sido interpre tados como el axioma para la eficaz de que esta el metodo en abstracciOn. tangibles, adquiere palabras, son algo asi como los aetores extranas. de sus eft l a compren s ion de que tenga s entido de Euc/ides, En pocas imaginadon entre vaga- bis tori co de las deb en haber como la expre sidn [orm al iz ada de ciertas A primera tos, al del desarrollo re ale s , Y los axiom as de una teoria, de la Geometria mente iaunque y el aprendiz aie compren sidn por la imaginac ion como objetos los niimeros la muy concretos re ale s por e jemplo, me tric as en el mundo [is ico, antes tra se han de s arro- ri guro so) a la ab straccidn similar matemdtic as se comienz a en intuicion matemdticos, las las m.atemdticas y relacione s, propiedades ramos teore mas ya 0 ser la labor a la que se da mas im portanc ia dentro En c ambio, a partir definidos resultados Un poco de ajedrez, sus movimienTanto que se identificadas, Un "caballo", por sus posibilidades sin por ejemplo, de movi- miento en el tabl ero y por sus posibilidades otras p ie z as; y no En principio se de "comer" pue s, un "caballo" "ser 0 de jin e por su [orm a ni por el material c omido' por de que e s td b e cbo, podrio ser cu al qui er coso. Lo mismo pasa con una teoria ax iomdtic a, La teoria axi omdtic a de los ndme ros re ale s, que ya he mos traido como ejemplo, pl ir cierto bab la simplemente de las condiciones de indivi duo s para que sus objetos universo que debe cum- m ere z c an ser ll am ado s ruimero s re ale s, Es mas. la teoria no dice nada sobre si en realidad diuiduos con esas prop ie dade s, Y en el caso de que exi s tan ni siquiera que e so s indiuiduas haya existen muchos s eaiinicos : es de cir, queda abierta de individuos sistemas pi ez as , tan buenos as eg ura la posibilidad con las propiedades los axiom as de las ndmeros re ale s , Asi COmo hay muchos de que especi/icadas tablerosy in- por mucbi simas los uno s como los OtTOSpara jugar el aje dr e z; De s er as i, de los numeros reales bablar de el coniunto en singular pue s no habria un uniuer so al cual l e conviniera Es cierto que esta caracteristica seria algo c ue s tionabl e, el apelatiuo, del metoda axi omdtico, sino mucbos; de de jar inde ter- min ados los indiuiduo s, es prob ablement e la que ha dado a las m atemdtic as su actual potenci a, liberdndola ll egar a ser un obstaculo las de las geometrias sibles de realizarse ciertas teorias teoremas a ta creacion. no euclidianas. principales dos; pues vas propiedades, reales. los las cuales en un universo de individuos. y se comienzan reales. estos aunque se cargan de sentido en realidad "individuos" indeterminados podrian de su teoria 5in embargo. existe se es verdad sus relaciones, con los /antasmales ser mesas 0 natural sillas, sus algebraicas esten de mucho analizar que en desarrollan se y indeterminael desenvolvi- y descubrir nue- "individuos" de el llamarlos como decia numeros Hilbert de axiomatic a de la geometria. el peligro convierta T ambien una vez que y se vuelve como a primera vista impo- el hecho de que los individuos /amiliaridad que pue de teorias a manipular las propiedades de la teoria. Despues se adquiere construir parecen 10 que importa son sus propiedades, interminable la teoria; y permitiendole como la de los numeros de orden, pierde importancia miento de la sujec ion al pen s ami ento intuitivo, de que un sistema en una especie 14 axiomatico de discurso vacio, de individuos sin contenido. En otras p alabr as, no bas t an los axiom as de los niimero s re ale s para c omprend er cl arament e que son los niimeros reales; oi duos de cuyas propiedades ne ce s it amos identi/icar habla con objetos se determinados, aquel lo s indio es una ne c esi- dad de la imaginacion . Decia posibilidad La logica que a primer a vista de determinar el metoda axiomd ti co no tenia en cue nta los individuos de una teori a, Pero esto no matemotic o t iene en cuent a est e otro aspecto es es ta asi. de las teoria s ax iomd ti- cas. Se le pue de dar s entido, pue s, dentro de la logi ca rnatemd tic a, a la ex ig encia de det ermin ar los indioiduos logi cos, sobre los cuale s habla una teoria, En terminos el problema cons i s te en "interpretar" para la t eoria, Un mode lo es un sistema es a teoria, 0 en dar un mode lo de objetos y rel acione s c oncre to s que sati sf ac en una teoria axiomdti ca dada. La interpretacion lo gi ca de las matem at icas no se reduce, p ue s, al hecho de l a de due cion, usan do re gl as de inferenci a, sino que c ons idera l a cons trucc idn de modelos para esas teorias, Veremos como el concepto importancia mucbo mas profunda que la de l a simple (aun que no debe des pre ci arse en absoluto es td int eres ado en los II LA NOCION DE MODELO En la enseiianza problemas elemental de mode lo tiene una s atis jac cidn imag in atiua es ta con s e cuen c ia sobre todo si se de la comprension de las matematicas de las matematicas). se usan continuamente delos en el sentido general que acabamos de descubrir. Un ejemplo muy simple seria el uso de los dedos de las manos como modelo para las propiedades nales de los numeros naturales. nes de naranja para expl'car Sin embargo, el modelo Otro seria el usa de pedazos el concepto clasico de totlas 0 ordi- /raccio- de numero racional. tanto para los numeros racionales para los reales, sigue siendo el /isico-geometrico 15 mo- como que los asocia con longitudes o con magnitudes en sus [is ic as en general. cual idade s puramente teoria se La efectividad Sabemos y demos tr adas muc bas veces dolores de c abe z a que este irracionales; cuadr ado, "razon", modelo ntimeros por ejemplo; difiere completamente se ge ometrico, les proporciono, Sabemos pero que no cumplian tambien los c uando apare c ieron los en la diagonal los requisitos de un te orico s de s er concepto del conc ep to de modelo us ado en cienc ias como laFisi- que explica logico, los be cb os de la re alidad los becho s emp/ricos y la teoria no seria modelo de Pon gamo s por caso real. 71 ada. Se inuiert en compl etamente embargo, Aclarado ej,emplos tratemos de precisar citados los puntos 0 sible, no son objetos tribuir a la comprension pueden intuicion convertirse sensible, corresponden no son cascos se de la cual esto. dedos de la mano, no axiomatica anteriormente la geometria para la cual ciertos podrian servir de modelo. En logica, una teotia adolecen los term ino s, que el modelo espacio-temporale mas sea a un nivel matematicas, se tom en como hechos empirico (0 viceversa). de naranja y los ntimeros reales regia. 16 s una interpretacion. el concepto de una falla. ya que la teoria se del puede hab/{Jr de modelo independien- Y aunque de las teorias en obstaculo; al modelo Desde de cuatro dimen sione s [enomenos de modelo. Las naranjas, de una regIa graduada pertenecen matematicos. haciendo un para e s a teoria; con s tituiri a un modelo para los [enomenos Logic amente , sin seria una teor io matematica de emp iric a, Desde serl on el mode/o la g eome tria cu atri-dimens ional de la Re latiuidad, [is ico, esta un punta de vista mundo de modelo para una teotia matemdtic a llama modelo a una teorl a, gener alme nt e expre s ab le en termi- mate maticos, pun to de vista solo de sus ntlmer os [ueron intuidas que s al taban a la vista anot ar que este ca. En Fi sic a te de la como los grie gos dieron proporcion , Debemos nos en el modelo ba sa se s en sible s; los 'indioi duos y las relaciones han tom ado del mundo empirico, priori dad al modelo geometrico; "las propiedades ntimeros de es to s modelos elemental aun vuelve nivel los al mundo senpueden con- mas avanzado dependiente de la de la teoria hechos Los Los 0 que ntimeros racionales no son puntos marcados en una t'Como de jinir, pues, el concepto to uerdaderament e matemdtico? lleuar EI problema lComo evitar los mode los empiricos [iloso ji cas> Vamos a confusiones duos". de mod elo, de manera que sea un concep- a trat ar de c onte s iar esta pre gunt a, cons is te en que cl as e de objetos que clase interpretacion 0 uamos a ac e pt ar como "indivi- de rel acione s y propiedad es concret as uamos a utilizar mode lo de las teorias axiomdticas, van a ser objetos de la Teoria ne s de l a Teoria de Conjuntos a I as matemaficas; 0 Un Ejemplo Vamos Las relac ion e s van a s er re lacio- es pr ecisament e el sentido de que 10 Teori« r/e Conjuntos Ella es la fuente por 10 menos para las teorias cas corriente.s, Proporeiona Los indiuiduo s , que acab amos de decir que se b ac e cont inuamente cas, de Conjuntos. como La re spue sta es s encilla Los mor/e/os van a ser tomar/os r/e 10 T eoria r/e Conjuntos. Esto que sue len de la afirmacidn sirve de fundarnento de los model os para las teorias que cons tituy en las dis ciplinas los "objetos" matemdticos ax iomdtimatemdti- , de 10 Geometrja a ex aminar dos de los axiomas de la Geometria Euc lidi anar e s de- cir, bablaremo s de una teoria mas general que la Euc lidian a, Los axiomas Ai Por cada par de punto» paso una y solo una recta. A2 Por un punto exterior a una recta p as a una y solo una paralela son: aesa recta. L4 teoria estti constituida (1) Un universo por : indeterminado (es decir el universo (2) Una relacion de individuos estti dividido entre rectas llamados puntos y rectas en dos clases). y puntos llamada: pasor (una recta) por ( un punto). (3) Una relacion de ser exterior siderar como la negacion (un punto a una recta), de la relacion 17 pasor. que se puede con- (4) Una rel ac ion entre rec tas ll am ada: ser paralela (una recta) a (otra; rec ta) • Si utilizamos variables: las variables: L, L', las r elaciones etc. para re jerirnos en la forma siguiente "L paso por "U podemos as x" y las a las "r ec tas'", y si ademds bautizamos : se simboliza p arol el a a L" : se simboliza L : 7S:J x L' 5 L expre s arl os ax ioma s de una forma mucho mas conc isa : A1 L x, y, e tc ., para de s ign ar los "puntos", Sixf.y, OJ x ent once s exis te una y solo una L tal que entonces L'" tal que L'~x, L , y (py. AZ uS existe una y solo una y L. La teoria ha que dado com pl etament e ax ioma tiz ada, El significado de los individuos y de las re lac iones de uno de los modelos ria en si no depende sin determinacion. interpretadas ya no apar ece , No era sino el significado asoci ados a esta teoria: el plano Las variables x, y, L, L' ,;,Cual seria un modelo para es ta teoria, Universo r e ct as s erdn ciertos el universo dec ir de las re lac ion e s, tomado de la Teoria de Con junt os ? : s erdn a, b, c, d, cu atro elementos arb itr ario s; Las con a, b, c, 0 d como elementos. conjuntos En resumen, es el con junto : U '" Relacionas: (l) etc. e stdn abora en libert ad de ser el que damos a continuacion : Los puntas pero la teo- y tam bien sobre relac ione s sin identidad, de mucb as maneras , Lo mismo podemos S.eria, por ejemplo, geometrico; En su forma p ura, la t eoria con s ta de esta interpretacion. de un par de axiom as s obre indiuiduos L~x I a, b, c, d,l a, bl , Las relaciones quiere decir inici al la, cl , I a, dl , 1b, el, I b, dl, Ie, dl I se interpretan x E L 18 asi: uS (2) L un quiere decir L De esta manera, los dos ax iom as de la teoria ne s comple tamente 01 a E! bl a, un;ca pare ja s, a, b Cabe en anotar p ue s zinico, = I a I 91a, terpretacion salis/ace es decir : por otra parte, ! b, a el tomado, Por ejem plo 1 a, b l 't p as a" por por a es tal que 10 y por b , yes l gualment e para que a no pertenece c I que "pasa': a I a, bl, a la !'recta" el Testa Ib, : de c ] y la 1 a, d I • asi obtenida "Geometria" ilustra I .. en dos afirmacio- un ente del univ er so, el conjunto del uniuer so con es a prop iedad, Tenemos, La se bEl '<paraiela" un;ca U y "recta" conuertirian ci ertas en el uniuer so de indiuiduos b, y ex; ste uno y solo a se diagram a adjunto, que este modelo no es el uniuers o : bI I, para con la mi sm a inlas rel acione s, los axiom as de una man era trivial. III A) MODELOS PARA LOS SISTEMAS NEMER/COS Los niimeros naturales A la pre gunt a ~'Que son los ntimer os naturales?, teoria axiomdti ca como la con stituida se puede c onte s tar con una por los ax iom as de Pe ano, No son, sin embargo, estos axiomas rales. dar un c onjunto de axiom as que ins is tan mas en las propiedades Se puede la iinic aforma de hacer una teoria de los nzimeros natu- algebraic as que en las de orden (como 10 hacen los axiom as de Pe ano), 8stos axiom as (1) se podrian re s umir asi : Hay una operac idn (adicion) identidad, que el 0, ( + ) • 19 es c onmu tatiua, as oci atiu a y pos e e (2) Hay otra operac ion (multip lic ac ion) con las mi smas con un elemento (3) La mul tip lic acion (4) Si (5) No existe n =I m, Pero terminado estos Se k+1 de induccion que estos = O. . axioma s son completamente equiualente de n, en el s ent ido de P'e ano, s a los a nv l , b ablan de un uniuers o inde- No c oncre t an el universo de los ndmeros naturales. que vendria a llenar este vacio podria ser el de Cantor: define una re lacidn de '<equipotenc ia'" entre conjuntos A,.J B <;::::::::> e s ta, en realidad closes de equivo/encio. a ser pre ci samente es '3 f : A ....B, una relacion tal que : ( es biyectivo y por 10 tanto eng endra de equivalencia Los indiuiduos que ne ce s it amo s para nue s tra teoria van de equivo/encio. e s as clases Un niimer o natural sera una close es • m--L axiom as, como c uale s quier a otros, de indiuiduos, Un modelo =I n+1 tom a como sucesor se c aracteris ti c as, y (.) di stribu tiua con re sp e ct o a la adicidn k tal que Se pue de comprobar Pe ano, si es entonc e s EI principio (6) de ident idad, ell, de conjuntos todos e quipotente s entre si: dec ir, un ntlm ero natural sera un ente de l a forma: [A]=ISISNAI donde A es cual quier conjunto Mas conc re tamente tenemos o=!¢l; 1=[!01]; 2=[10,11];3=[10,1,21]; Que da, entonc e s el problema de la siguiente Si n de interpretar [lnit» etc. las operacione s, Esto se b ace forma: = [A] n+m=[A] n.m=[A] y m =[B ] + [B ] [B ] [A U B ] (A [A x B ] 20 y B deben tom ars e disyuntos) Todos los axiomas que en este [inir sistema a partir directamente s, pue den s er comprobados axiomdtico el orden de los ntimeros de la adi cidn, liz relacion n = [ A] es intere s ante Y junto B. en el conjunto indi scutible, tas de este modelo el ntimero cole cc ione s con la misma equiualencia, que existe para comprender Cldsicamente, reue la en la relacidn cantidad de e quipot encia; El ntimero iSon los indiuiduos y P'are c e que no hay porque anterior mos se basa que.la de serlo, de todos llevaria con el concepto dado. Los iSe falla, pondiente ordinal, Un modelo de ordinales teristicas no a un conjunto. el cardinal de individuos para Como y el ordinal la teoria los conjuntos no son objetos las de conjuntos ntimeros 21 con struc cidn y bien sabe- al desarrollo como de Conjuntos. riguTOso de la de carac el minimo ordinal corresponde cardin ales naturales. E stos (1). sea puramente es un conjunto /initos Los su- a uno inicialmente. ique Pues Lo mismo equipotentes dadas los requisitos? se identifican. los t.« de la Teoria exigencias un cardinal a los de un conjunto? a su cardinal. en el cual un ordinal muy precis as; y se define de C onjunto s? los conjuntos" el correspondiente (Von Neumann) obje to muy de finid o: la tin no es ella rr,isma un conjunto. que cumpla tal seria es algo en come)n s e elementos 0 de todos de todos cumple podra dar un modelo conjuntista? teoria porque Ese en la Teoria con respecto de este modelo un ntim ero natural realme nte no es a si, los conjuntos de la clase individuos eso Pero a contradicciones abora en conjuntos en la idea de "La clase clase cede Por dudarlo, del con- a cris taliz ar en las clas es de s u st entado modelo es inyecti"a : que tienen en comtin dis tin- viene se 10 que es 10 mismo s a uno dado. uerdaderamente de este 10 que de elementos. se ha conue rtido un modelo m,(o una [uncion es aquello clas e de todos los conjunt os equipotente c'Es este se pue de de- s e p ue de interpre tar que m = [ B ] , entonc e s n" simpl emente E I valor anotar naturales s, Aun- de orden : [ A ] ~ [ B ]) signi/ica A para es tas dos operacione /initos son: COrTesun solo sirven o ¢ 2 101 1 o. 1 o, 3 Esto quiere decir rc c ur siua 1I oU 10 I 1 U 11 I 1. 21 2Ul21 que los indiuiduos : suc esortn) Las operaciones o ¢ n• nU I¢ I I ¢.I ¢ II 1¢.I¢1.1 ¢ III con str uye n por me dio de la definicion se In I deben definirse tambien de man era recurs ic a m + 0 = m m.O o m* + n = (m + n/ m • .n m, n + n La rel acion de orden, prendente en cambio, adquiere en este modelo un significado : significa n<m EI orden de los ntimeros n Em naturales de la Teoria de Conjuntos, n ~ m (1) Debe advertirse se ba identificado la pertenencia Obs erue se que si cons ideramos • el ord en debit. s ignific a que que el modelo con lare l acion bds ic a este se c onuierte en inclusion: n C m "c antori ano" de los ntimeros naturales de volvers e udlido si en lug ar de trabaj ar con clas es ex traidas de I univers :"todos SOT- los conjuntos'", g ido como el siguiente u = '"If (H) de un uniuer so de conjuntos 0 de mil; r estrin- : donde E s dec ir, la relacion de H. Las clases las extraemos pue- H=I¢.I¢I,II¢II.1Il¢IIL de equipotencias de equivalencia B) Su poniendo que ya tenemos nos da derecho a hablar del conjunto se define entre los subconjuntos van a ser, esta un modelo ... 1 vez, para los ntimeros naturales, de los ntimeros naturales. 22 finitos uerdadero s c onjuntos , 10 cual porque ahora si se trat a de un coniunt» la cons truce ion de un complet amente modelo para la teoria Es un hecho que la introduccion choca con [uerte s obs tdculos, [isicos 0 determinado de los n timeros los mode los enteros , en c ontar objetos [allan c uando se quieren tenian razdn los anti guo s cuan- lila exis tenci a" de los negatiuos: de la mis ma manera que el de matemdtic as element ale s re cbaz aba los ne gatiuo s p orque "cos as que son menos que nacla no pue den exis tir' ', La vieja magnitudes idea de inte rpre tar las ne g atiuas como dis tanc ias hacia atras en un sistema o como de udas de dinero, no son 10 suficientemente nacion, p as ar a bas ados [is ic o-geometricas aplic ar a los ntimeros enteros; En este sentido, es tudiante podemos de los ntimero s entero s a niuel intuitivo pues en me dir magnitudes do recb azaban y tinico; de re ferencia, conuinc ente s para la imag i- Solo el trabajo algebrai co con la teoria de los entero s permite familia- ri zars e con ellos y ac eptarlos , Pero las pre guntas nsimero negativo? pr eci adas, ,Existen los ruimeros entero s ne gatiuos? no son pre guntas Ni son pre guntas carente s de sentido dentro de las matematicas, Si existen los enteros face los axiomas. ciones diferente (y por 10 tanto Hay un conjunto que cumplen las propiedades mamos el producto carte siano en N x relacion exigidas <=> de equivalencia cia en el conjunto N x N Ahora si, procedemos x x + w = Hay un modelo que satisconjunto) de objetos para poder llamaTse y relaenteros. naturales, for- determina una particion del modela 23 asi y + z N . a la definicion una respuesta de los axiomas. N • N una relacion de equivalencia (x, y) R (z. w) E sta (un verdadero tiene enunciado los negativos). me tafis ic o no del modelo N que ya se tiene para los ntimeros Partiendo Se define La pregunta del simple es u n y que deb an ser des- que por su cardc ter aparentemente deb an ser contes tadas por las matematicas. ,Que en clases de equivalen- c/e indivic/uos 1) Universo Se toman . como individuos de la teoria nada s por la re l acion R. Es decir conjunto (Llamado 2) I[n , m)] cociente ) las clases de e quiu alencia det erm i- el conjunto In, l mEN NxN/R Operaciones Las operacione algebraico s de los enteros que deb en cump lir los axiom as de ani/lo se interpret an de la m anera siguiente Ac/icion [(n,m)] Multiplicacion + [ (n, [(P,q)) m)] [(n+p,m+q)) = • [(p, q)] = [(np (Debemos obs eruar que estas entre expre sione s (n-m} y (P-q) s uponiendo las : + m q , nq + mp)] operac ione s corre s ponden a las operacione s en- que ya tuuie ran uri s enti do), 3) Ore/en La relacidn de orden de la teoria [ ( n , m)] Hem os indiuiduos clases ahara un proceso de e quiualenc la forma s y relaciones que merece ia que forman E s [dc il mo strar el natural este < m + para los p naturales, no solo sus . ser anali zado modelo en detalle , Entre se tom an aque llas las que tienen : [ ( n, m)] e lemento e ntero s se in terpre ta como: q) ] «> n + q us ado del mode lo que teni amos sino sus operacione Viene < [( p, de los 0 en dond e que es ta es una c aracteris tic a que se conserva repre sentant e de la c la se , Una c las e de este n' m • Qui quiere decir esto ? 24 para cual qu ier tipo s e identifica con E s posible demos trar que e I conjunto entre de las clas es de la [orma indic ada : N = I [(n, y el ar.tiguo modelo un isomorfismo In::: s eruan este nuevo La ultima los niimeros ,Porque re spue Dentro pues no queda modelo (obviamente trabajando la te oria (llamado Se parte cuando y llamamos naturales s e a cons truy en naturales? nsimeros En. term inos de los Z) hemos numeras naturales de modelos enteros naturales. la encontrado naturales. como subconjunto Tan bueno como el primero un subconjunto) con el nuevo modelo La unica di/eren- de Z; en cambio, no es submoclelo Hemos . de la teorfa de los naturales. La construe cion de los numeros de los enteros numeros con los anteriores para la teoria de los numeros cia es que el primer modelo ra seguir para todos los axiomas un submoclelo, clara, de construir? para la teorfa de los numeros cumple llamamos se con- • un modele de este sino las propieclacles que las propiedades completamente que ac abamos s encilla cons truido un modelo otro modelo garantiza, que y a no son los naturales, s ta es muy de anillo, de cl as e s, que a su vez es para los entero s, tiene de esta maner a, ,'Que paso artificial 'Teniamos conjunto algebraica • afirmacion re sulta establecer n - m [(n, m)] por nom y viceversa; enteros al c onjunto Como el nuevo Pue s el isomor[ismo conjunto en la forma [(n,O)]) (N) se puede de la e structura del mode lo cons truido al cambiar = /( [ ( n , in) ]) de la e struc tur a de orden, cle los naturales. pue de repre sentar para los naturales no es solo un isomorfismo un subconjunto (se de la fun cion : ....N N I m que teniamos por medic f: Este m)] el segundo de Z. E s clara, pues, es la razon pa- y no con el in ida I (2) • racionales sigue un proceso an'lilogo a la • de un modelo ya determinado para los 25 enteros, llamado Z. Se forma el produc to carte siano En 2 x (2 - 1 0 I) 1) cede a la pro Universo R (z, w) c onstruccion de equivalencia <=> xw del modelo de indivic/uos : yz : 2 x (2 - (es dec ir, el conjunto 2) I) sede jine la relacion (x , y) Se 2 x (2 -I 0 I 0 I) / R de las clas es de e quiualencia ) • Operac:iones Ac/ic:ion: Multiplicacion: 3) [ (x. y)] [(x. y)] + [( z , w) ] [(z, w) ] <=> xw = [( xw = [( + yz, yw)] x z , yw)] Orc/en [ (x, y) ] <[ (z. w) ] : y tomando Como en los todos los ordenado axiomas y de los niimeros a este modele dentro operaciones modele para la teoria [(x,y)] clases 0 que este mode lo cumple es un campo (cuerpo) , de los numeros racionale s, Lo que, con las de arden de Q, re s trin gid as, s irue de enteros. Es e submodelo es el [orm ado ia de laforma: donde se pueden x es mtlltiplo de y re pr e s en t ar en la forma: si ident ific amos cada clase mo s el modelo > Q hallam os un subconjunto de los numeros POT las cl ase s de e quiualenc 1y w de minimalidad Q. el c onjunto del modelo y la mism a relacion, mi'smas [(z .1) O. raci onale s, Es decir ci ert a s propi edades cumple que antes, T odas estas > c aso s anteriore s se pue de comprobar LLamamos mismo < yz nueVo para los enteros corre s pondiente que tiene 26 con el entero la ventaja z, obtene- de ser subconjunto del modelo (2) Nota. los n Q. Dentro de '<neg atiuos'", < m hay tambien un s ubc onjunto que s irue de mode lo para Z Los ne g atiuos • De acuerdo con la definicion [(n , mY] < Pero [(0, hecho ne g atiuos [( [(n, de arden en el modelo, 0 ,0)] n+ 0 pues <m+ my] donde tenemos que 0 0)] es precisamente el elemento neutro de la adicion en Z. Si us amos el de que todas n €: N podemos C) son las c la se s de I a forma estas clases se pue den repre sentar en la e s critur a acos tumbrada, Ob s erues e que [(n , mY] + [(m , n)] [(n + m, m--n} ] seria, [(0 , n)] simbdlic a: [(0 , n)] =-n y tenem os los bacer la identificacidn El si guient e paso en la forma: n aturalmente , con struir = [(0 , 0)] un mode lo para la teorla de los numeros reales. E sta teoria con sta de un univers o de indiuid uo s indeterminado s, dos operacione s y una re lacion resumir asi : (1) Axioma s de campo (2) Axiomas A) de orden, Los axiom as se pue den (cuerpo) de compatibilidad x > Y B) x> Y => A a> 0 las dos operac ione s del ord en, es d ecir > => x + a para : y + a ax > ay (3) Axioma de completitud (todo conjunto no vacio acotado superiormen- te tiene sUfnemo La cons truccion sos de los numeros de las matematicas logico l. re ale s fue uno de es os logros maravillo- del siglo pas ado. Y habria sMo imposible que habia alcanzado el analisis 0 sin el rigor s in las ideas de la teoria de conjun- tos que hacian su aparicion en ese momento • Modelo cantor;mo de doses de suces;ones . Se toma como punto de partida un modelo Se forma el conjunto ros racionales Q para los racionales de todas las suces;ones ;nl;n;tas • 27 • de Cauchy de nume- (la con structibilidad de este conjunto e std g arant iz ad a p or la Teorfa de Con- juntos ). Se define una re lac ion de e quiualenc ia entre las suce s ione s de este con - c onjunto por me dio de l a nocidn de limite: Como es natural esta re lac ion de termin a en de e quiualenc ia, Como en los S una particion en clas e s c aso s anteriore s, e st as c las e s de equiualencia van a ser los indiui duos dela teoria, Mode/o 7) Un real 2) una clase es de equiva/encia c!e racionales de suces;ones : Operac;ones [( rI' r2, 0 [( r1, r2' 3) S !r-J Un;ver so de ;nd;v;duos : ; 0 0 0 ) + [( t 1 ' 12' • ] 0 )] • [ 0 (11 ' 12' • • )] 0 0)] 0 0)] = [( r1 + 11' rz [( + 12 ' rz x 12 ' rl xiI' 0 0 0 0 J1 0 • ) ] Orden [( r1 ' rz ' Ciertas constante 0 0 • clases )] < [( 11 ' 12' significa de s uce sione s tienen que '3M entre sus tal que para elementos i ~ M, una su ces idn de numeros racionale s, Es decir : [ ( r, r, r, Se puede 0 0 0 demos trar que e stas 0 ) ] clases, donde r€ Q con las mismas 28 operacione s, siroen de modelo para la teoria de los ntimeros rac ionale s, La ualide z del modelo s e puede por me dio del is omor fi smo que re s ulta al bac er la id ent ifi- est ablecer cacidn [ (r. Tenemos .i)~ r, r••••••• un modele para los rac ionale s que es s ubmode lo del modelo para los reales • EI moJe/o Sea Q de .DeJekinJ un modelo de los rac ionale s, S e tom a la familia Q que cumplen Ids s iguientes A estos propiedade s ,..< x => (1) xEA " (2) A es acotado superiormente (3) A no tlene ultimo elemento subconjuntos de subconjunto s de se les llama yEA "cortes" y cons tituyen los indiuiduos del mode lo, La relacidn de orden se reduce a la inclu s ion r sign ific a La adicidn se define [dcilmente A+.B = I x+y I ACB : xEA,.. I y~B (que es un corte) es un ·poco mds complic ada, y bace us o del orden, Entre los del modele hay algunos que tienen «Supremo71en Q. y otros que no 10 La multiplicacidn conjuntos tienen, ·tuyen La familia de subconjuntos un moJe/o para los racionales. con los viejos se puede establecer I(A) D) Los numeros = de Q que sf tienen supremo en Q consti- Un isomorfis mo de los nueuos rac ionale s por la [unc idn : sup (A) E Q complejos La exis tenc ia de los ndmeros complejos [ue uno de los escollos con que se tropezo el pens amiento .matemdtlc o durante mucb o tiemp~. Todo el problema 29 puede res umirs e en l a pregunta la de Descartes : "Existe Cabezas pre cis amen te por cons id erarlos irr ea- como no exi s tente s.; de s cubrie ron que era posible "{m aginarlos ", suponer que si exi st ian, y trab ajar algebraic amen te con ello s, Desde nuestro vista el problema se puede e xpre s ar asi: Los modelos un mode/o. me trico, como se ui eron p erple i as ante los p arado iic os numero s "inagina- rio s'", y aunque los ll amaron imaginarios les, V·U ,I.2ue es V.l? se tenia p unto de una teoria pero no se tenia intuitiuo s tradicion ale s, s acado s del mundo [is ico-geo- [raca sab an aqui; no era po s ib le en contrar "entes" re ale s con los cuale s aso ci ar los ntimeros imagin arios , Pero es te problema no solo se pres en to bis tori camente sino que se pre senfa cont inuamente se a quien es, en el aprendizaje elemental de las matemdtic as , en cue ntran con los nsimeros compleio s, T oda la aritm eti ca anterior numero s naturales. comprendida enteros, gracias racional es y algo a los modelos de la de los re al e s, basado s en contar y medir, de los ha sido modelos que aqui no son apl ic able s, Surge inme dia tament e, entonc es, la pre gunta : ,'E xis te i = V -U iExiste un ntimero i , tal que i2 = - U D'entro de Iateoria de los niimero s re ale s esto es impo sible, vos 0 si existe una teoria de deseada : i2 dero numero; = - suponer i. No sabemos i. Podemos 1. Podemos suponer de sus propiedades con stituye una teor/a. san de manera clara y precisa, ros complejos suponer es decir que se puede la mayor parte este de ben ser positi » nulos . No sabemos hacer pues to dos los cuadrados que es i. Pero resulta que existe tam bien que combinar C uando tenemos i se porta como un verda- Todo todas los axiomas rea/es, esto es suponer. las suposiciones y tiene Pero se expre- de la teoria de los nume- • Los axiom as para la teoria de los numeros en la siguiente y cumple la propiedad con los numeros algebraicas. que se puede forma: (1) Los axiomas algebraicos (2) Axioma de existencia de de campo (cuerpo) i : 30 complejos se podrian resumir 2 + 1 (3 i) = (i 0) 1 y 0 son las identi dade s multiplicativa (don de y aditiva del campo, respec- tiuame nte ), Los (3) minimal Desde blema complejos un punto de vista della postula tiene deb en ser existencia de gunt a por la existencia queda conuencido, pidiendo drado es ng a a los re ale s y sea i . Simplemente ha s olu cionado se y dudar de ella. dNo Cuando el e studiante le da esta se le conuenxa se de maiemdtic as pre- re spues ta, l a axiomatic a, no de l a "existencia" toda la ra zon, de un nsimero cuyo cUrl le conte s ta con un axiom a que iranquilamente se Sabemos, por otra parte, que es ax ioma s, y que todas las propiedades el pro- hay un ax ioma de la teoria que i. No tie ne, p ue s, s entido teniendo, de 0, Le huele a truco, a circ ulo uic io so, y tiene que -I, y existencia!. los campo que conte pur ament e axiomatic la e xi s tenci a de es a s ent ido? Lo sigue Estti uri con res pee to a los ax iomas anteriore s, ab solut amente de los complejos afirma esa corr e c to pos tular s e pu e den derivar de ellos . dE s obsoleta uinc ente, intuitiuamente, se nos exhiba se esta pidiendo concretos. la teoria pregunta plejos no es tenia enunc iac ion de los axiomas ? Queremos que tangible R al cual identificar dCambiarian es i. Lo que a uno de sus objetos las cosas si tal modelo simple: no se podria con si tal modelo no exis- satisfacer, seria una teoria . Se estaba que i? c'Porque no corresponda La respuesta realizable, un sentido absurda, no Suponiendo con- modelo algol no existiera? no seria por la posibilidad la teoria misma. es es un modelo en el cual imposi bl e, contradietoria La la simple Pero, dimporta"el preguntar sobre la exis ten c ia de una cos a, un objeto no fuera posible, tiera, la pregunta es de i pidiendo mucho mas profundo se estaba de 10 que pare cia. Al preguntando por la posibilidad de mostrar que la teoria de los numeros com- contradtetaria. es un modelo 31 para la teoria de los reales , se pue de cons truir un modele (1) Universo: (2) Operaciones: para 0' y la identidad (0,0) (c,d) complejos asi: se universo las propiedades pie el ax ioma de existencia Utilizando las (O,li = (ac - bd , ad s. bc) multiplicativa que (0,1). cumplen nsimeros (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) [dc il c omprob ar que en e ste = de los R x R (a, b). E.s la te oria es de campo. i, de aditiva la p are]a I' = bautizamos de/iniciones de (1,0). las con el nombre la pare ja : es Y en general, Para mo s trar que este de mode lo cumi ala operac ione s, tenemos pareja : + (l,0) (0,1) • (0.1) + (1,0) (00 - 11,01 + 10) + (1,0) (-1,0) la identidad + (1,0) (-1 + 1,0+0) (0,0) Hemos obt enido, re al iz abl e s, como quiere Han dejado el conjunto RO = que los de los complejos, ntimero s imaginarios son de ser imaqin orio s , l(x,O) para la te oria de los ntimeros lle gado a construir I x C R I, con las m is mas opera- ob uia del orden, re ale s , T enemos, c omprobando un mode lo, us ando para ello un mode lo, cons truyo Z us ando ,de conjuntos, C R uno de los racionale s, los enteros; ria de los numeros mente de 1 asi re sulta ser pue s, a los re ale s el ultimo axioma (no re- mucbo trab ajo pro bar la minimal idad ), complejos, se la seguridad = - de de/in ir, y con una definicion subconjunto E) Hemos modelo i2 es decir , no son abs urdos; ac abadas un modelo 0' abor a si, POT otr a parte, ciones = naturales. prticticamente para construir Y este modelo a partir 32 para la teoria de los n umer os ,de los re ale s; el c ual, a su ue z, 1> ; Z se este se construyo uso un modelo N se construyo del conj/mto vacio. usando un N, de la teo- usando directa- Y en la 'sucesiva construccion par todos las de los mode los la te ori a de conjuntos, los mod elos relaciones reducibles Veamos sion son conjuntos siguiente ala las berramientas concluir entonces de conjuntos a partir para los naturales, se de otros 4 de conjuntos han c ons tru id o N1 ,2] y al mis mo t ie m po que, desde los N5 ' 24 ' Q3 ' R2 ' C] a los sistemas numericos • clusion IV CARACTERISTICAS De los un punta de vista finales: exigidas casas GENERALES analiz ados y que to das entre c onjunto s, se s e guid o , Q] ,R], han e ng endrado C] en su ce- 5 mode los para los rac ionale s, y 2 para los 3 re al e s, Modelos modelos ... de on y a 1a union. intersecci para los enteros, proporcionadas que los individuos diagr ama mue s tra clarame nte el proceso como en el proceso unos se u s aron y operac ione s son re l ac ione s y operaciones a 10 pertenencia, El solo P odemos conjuntista, son diferente s, Solo tie nen las pro pie dad e s de in- DE LOS MODELOS anteriormen t e p odemos extra er algunos ideas generales. A) Los infinidad modelo s posibles para una de mode los para c ada teoria teoria sun mucbo s; en re alid ad hay una ax iom dtic a, En la construcc 33 ion de mode- los para las teorias la de i somorli smo B) La noci6n entre los de se cbab a un mocle/o y se se tomaba otro, con de que claba 10 mi smo, guridad se numeric as los modelos mode los es compar ar y e s table cer re lacione s l a que permite de una teori a, En los sistemas corr e spondiente s a una teoria, teoria de los naturales, son me dio de un a biyecci6n. E sta is omor jo s, uno biyecci6n num eric as, ya menc ion ados; p or ejemp lo los 5 mode los se puede de la trans form ar en otro por las op eracion es y re laciones traduce de un mode lo en las operac ione s y re lacione s del otro, C) No todos ge ometrico los modelos abora que mente estos fortiori modelos (donde es s irue de modelo en un mode lo infinite complet amente La Teor,a R un modelo 10 indi- . Ademds s abe- de los re ale s), conueniente- para la teoria del plano e uclide ano; y a para los dos ax iomas dis cutidos, T enemo s pue s, incongruentes cle grupos E I ejemplo dos mod e los , uno de dos mode los no p ue den ser isomorfos R x R int erpre tado, tie nen que s er is omorjos; tenia por 10 menos dado inici almente uiduo s ; ob uiamente mos de una teoria para una mi sma teoria, nos da otro ejemplo para el c u al no t odos los mode los son isomor jos : Teor,a : Z 6 R. modelos + (30) A3 (('t/x)(3y)(x+y=0) y) para los enteros de grupo seria el conjunto °I enumerables. z don de 0 se modelos x (\1x)(x+ Sin embargo, = I = (x A2 ria de grupos. U + Al + (y + 0= z) x) y los reales sabemos son perfectos modelos que Z y R no son isomorfos. de la teoOtTo modelo : ha tomado enumerables. de Z. Tenemos y modelos pues, finitos modelos infinitos para una misma teoria algebraica. Todo esto nos /leva a la idea de teorlas 34 categor;cas. Una teoria no categ6rica es aque lla en la cual todos de los numeros naturales. sus mode/os Una teoria son isomorfos, no categorica por ejemp lo : la teoria s er ia, por eje mpla, la de grupo s , , D) En el algebra se trab aja continuament tra un t eorem a "algebraico" T. Existe e con los modelos. como por ejemplo un grupo abeliano de n e s td de mo s trando un teorem a de l a teoria l a teoria de grupos de l a teoria sino no permiten : elementos, para todo natural n no se de grupos; puesto cons truy endo model os de de grupo. Esto valencia modulo p iadament e la suma • n que los axiom as de deduc irlo, Se e s td b abl ando es s obre mode lo s de grupos , E I te or em a no se prueba axiomas Cuando se de m ue s- elementos n b acer, se puede deduciendolo de los axiom as, y comprobando que cumplen los por ejemp lo, tom an do c las e s de e qui- a partir de un mode lo de los naturales, y d efin iend o apro- Ab ora bien, la comprobac idn de que el mo de lo cump le los ax ioma s, vez una demo stracion de ciertas propiedades bace dentro de la Teoria de Coniuntos, de terminado, ria, Y La comprobacion en el [ondo un teorema es LA CONSISTENC/A Una teoria de que un mode lo conjuntista satis jac e una teo- la Teoria cuando tonces de deducir E I problema de 10 que seria siguiente "En de Conjuntos. DE UNA TEORIA La inconsistencia plo demo str ac ion que se es un c on junto muy de es consistente la posibilidad a la que el modele cion de sus axiomas. de s !tS axiomas. del mode/o, puesto es no 0 se pue de deducir contradiccion una proposicion nin guna contradic- de una teoria del tipo P y no (P) cltis ico de I barbero nos va a proporcionar una teoria inconsistente 0 contradictoria. seria ena partir un e je m- La teoria es la : cierto personas pueblo existe que no se afeitan un barbero que afeita a si mismas". 35 exactamente a aquellas Obs erues e que trat a de una uerdadera se uniuers o de indiuiduos dividuo R (el pueblo) de ese universo se bab la de cierto relac ion es (afeitar) (el barbero] y el re s to; Si llamamos: a la re lac ion de afeitar podemos terminado te ori a en la c ual y de c iertas de ind iuiduas, entre b in- al barber o pre s ent ar la teoria como un uniu ers o in de- un e le men to con s t ante b y una relacion R para los cu ale s valen los dos ax ioma s : x R x => b A2 x => b R x I x (Ai significaria: (el barbero) no afeita si x Sabemo s que bib, x afeita a x, es decir se afei ta a si mismo, enton ce s b a x. A2 significaria entonc es b 10 afeit a ), que I Ai x no se a fe ita a si mis mo , Esta teoria no es c on s is tente lb. b R bob 10 cual : si R b, por e I ax iom a Ai Sib contr adic torio, Si es tradicc uin por el ax ioma A2: bib, p odemos concluir t ambien lle gamos a una con- b R b . Ha s ido pos ible deriuar una contradicc idn de los axiom as y por 10 tanto la teoria no es consistente, esta es contradic toria, que ni ellos la relacion es de afeitar son objetos Ii esta relacionado ro esto significaria En resumen: con para la anterior teoria, si una teoria una teoria tiene mode/os apropiado para demostrar llegariamos es contradictoria es contradietoria es consistente. a la natural de los conjun- b, y b no esta relacionaJo que la Teoria de Conjuntos ni . b y cierta relacion de que hay un conjunto tos' tal que de la Teoria de Conjuntos, una relacion conjuntista Si hubiera un modelo conjuntista conclusion b ab er un modelo para y e l barbero no son un modelo riguro so te oria? Obs erues e que el pueblo para la teoria, puesto iPodria no puede con b. Pe- ! tener modelos. Si De esta manera, vemos que el metodo ta consistencia de una teoria es exhibir un modelo • Las construcciones que se hicieron para fa teoria de los numeros naturales ban la consistencia de esta teoria, 10 mismo para las demos teorias numeric as. 36 pru!J. La cons is tenc ia de los dos ax iomas geometric con el mode lo e xbibido, inconsistente Que l a Teoria os tambien quedd demo strad a con de g rupos, por ejeml quedo d emos tr ado con el modelo no 10 es absurda 0 de los entero s dado anteriorm en- teo Las ute etc ., ja s pregunt as : ~'Que y- de existir no eran pre guntas ne c ias , sino cons is tenc ia de las teorias tad as en ba st a que los juntos, ala Estas y esto Teoria los ne gatiuos ? dPue- que eran prdc tic amen te pre guntas inuolucrada s, Estas con s truy eron modelos se cuale s los del model», un ruimero ? ~'Existen es l? ~'Son uerdade ros niimer os los irrac ionale s? dQue es un punto ? ax iomas demo str ac ione s de Conjuntos en la T eoria de Conjuntos eran demostrables , como propiedades b ac en dentr o de la mis ma T'eori a de Con- se signi jic a que todos pre gunt as no que d aron cont e s- b as ados de la teoria por la los problemas de c ons is tenc ia re dujeron se , lnme diatament e surge una dud a. Si la cons is ten cia de una te ori a la podemos [undam entar en la Teorfa de Conjuntos, sistencia de la Teoria la Teoria de Conjub tos ? En realidad completa. Pero consistencia Fue ta por este hipotesis segundo del cardinal Partif?1ldo por'lo esto jracase de Conjuntos no signijica totalmente metoda transjinito en la vieja. para esta entonces, consistente. Es decir, de contradiccion. el metodo lograron consiste de NaY modelos, del continuo nueva teoria, al adjuntarle la hipotesis para demostrar resolver axioma. claro esta, 37 del continuo, podia adjunto suponerse y a los axiomas Luego constru- su construccion que si la Teoria de Conjuntos En 1963, p. Cohen de que el es consistente, en 1940, adjunto basandose, del continuo de c (ta paten cia del continuo). como un nuevo la hipotesis misma. el problema en la ajirmacion es manera de Conjuntos de Conjuntos Godel, de una de modelos de la Teoria de que la Teoria De esta manera demostro consistente, peligro que no ha s id o probada en el caso (el sucesor ta1'l,to apta para construir yo un modelo esta La hipotesis de la suposicion s uponien do 10 con- mi sm a. dComo probar la con sis tenc i a de que Godel y Cohen continuo. de la T. de C. la hipotesis p or que e s tamos es corriente seguia era siendo verdadera sin a la T. de C. la negacion de la bipotes is del continuo, que la bi pdt es is del Quedo cl aro de se es y cons truvo tambien un mode lo, de mo str ando asi continuo podia ne gars e sin de Conjuntos. de la teori a, La no cion de independencia, ejemplo concreto es Es·decir aplic abl e a las te or ia s axiomdtic as en general, de una propo sic ion con respecto cual qui era de otr as propos ic ione s; Se puede dencia un y son los S e p ue de b ab lar de l a a una teoria, 0 a un con junto babl ar, entonc es, de la indepe n- de modelo, me nc ionaremos a los que como ciertos se p ue de lle g ar con la no- te orem as de lo gic a (Godel, Loioenbeim-Skolem) implic an que c ual quier teoria cons is tente, [inito fiene explicar de axioma s, la importancia prend ente, tiene es mutua de los ax iomas de una teoria • Para indicar la cl ase de resultados cion esta era indepen- de la cual e l anterior model os la berram ient a mas titil para trabajar con ella. independencia de c ontr adic cio n , ta man era que ni la [al se dad ni la uerdad de la b ip dte s is podian deducir dentro de la Teoria dienfe peligro sin embargo, como individuos un mode/o cuya que e sto puede con un conjunto c ardin alid ad es enumerable. tener en algebra, e ncontr ar que la Teoria de Con juntos misma, conjuntos tiene que no son enumerable. 38 Sobra por ejem plo, Es sor enumerable s, > que conun modelo