INTRODUCCI´ON A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS 1

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE
CONJUNTOS
UDAYAN B.DARJI
1.
Introducción
En este curso estudiaremos objetos definibles como conjuntos borelianos, conjuntos analı́ticos, y clasificaciones de funciones según Baire. Qué es un objeto definible?
Intuitivamente, un objeto definible es un objeto que se puede describir explı́citamente. Por supuesto, la definición de “explı́cita”varia dependiendo de la persona.
Sin embargo, trabajamos con objetos que tienen estructura topológica o analı́tica.
En general, para estos tipos de objetos hay nociones naturales de definilibidad. Por
ejemplo, sea X un espacio polaco como Rn . Fijemos una base topológica de X. Dado
que X es un espacio polaco, podemos elegir una base numerable {B0 , B1 , B2 , . . .}
de conjuntos abiertos de X. Recordemos que NN = {(n0 , n1 , n2 , . . .) : ni ∈ N}. A
cada (n0 , n1 , . . . ) ∈ NN asignemos S1 (n0 , n1 , . . . ) = Bn0 ∪ Bn1 ∪ Bn2 . . .. Evidentemente, S1 (n0 , n1 , . . . ) es abierto. Además, para cada conjunto abierto U de X,
podemos encontrar una sucesión (n0 , n1 , . . .) ∈ NN tal que S1 (n0 , n1 , . . . ) = U . Eso
es ası́ porque {B0 , B1 , B2 , . . .} una base de X. Hemos encontrado una función natural de NN al conjunto de conjuntos abiertos de X. Por eso, podemos decir que los
conjuntos abiertos son definibles.
Como un conjunto es cerrado si y sólo si su complemento es abierto, hay una
función natural de NN a conjunto de los conjuntos cerrados de X, dado por C1 (A) =
X \ S1 (A). Por lo tanto, también los conjuntos cerrados son definibles.
Continuamos del mismo modo. Sea S2 definida en (NN )N por S2 (n0 , n1 , . . .) =
S1 (n0 ) ∪ S1 (n1 ) ∪ S1 (n2 ) . . .. Notemos que S2 (n0 , n1 , . . .) es un conjunto de tipo
Fσ . Además, cada conjunto de tipo Fσ esta en la imagen de S2 . Notemos que la
imagen de S2 contiene como subconjunto a las imágenes de S1 y C1 . Esto se debe
a que los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son de tipo Fσ . Sin embargo,
hay conjuntos de tipo Fσ , por ejemplo el conjunto de los números racionales, que
no son ni abiertos ni cerrados. Digamos que los conjuntos de tipo Fσ son definibles,
aunque en este caso necesitamos una sucesión de sucesiones de N para representarlo.
Entonces, si mostráramos que existe un conjunto Fσ que no es ni abierto ni cerrado,
probarı́amos que la clase Fσ es más complicada que lo de los clases de los abiertos
y cerrados.
Sea C2 definida en (NN )N por C2 (n0 , n1 , . . .) = X \ S2 (n0 , n1 , . . .). Entonces la
imagen de C2 es exactamente el conjunto de los conjuntos de tipo de Gδ . Entonces
es claro como se define Sn y Cn para cada n ∈ N. Qué haremos cuando lleguemos
a ω, el primer ordinal infinito? Volveremos a esta cuestión más tarde.
Ahora hablemos de jerarquı́a de Baire. Recordemos que C([0, 1]) es la clase de
las funciones continuas. En general, sea Bn la clase de funciones que son limite
Date: 3 abril 2010.
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puntual de funciones en la clase Bn−1 . (Sea B0 = C([0, 1]).) Es evidente que hay
funciones en B1 que no perteneces a la clase B0 ; por ejemplo, la función caracterı́stica
del conjunto {0}. ¿En general, hay funciones en la clases Bn que no pertenecen a
la clase Bn−1 ? Cómo determinar si una función dada pertenece a cierta clase de
Baire? Por ejemplo, consideremos la siguiente cuestión: Es posible escribir la función
caracterı́stica de los números raciónales como el limite puntual de los polinomios
trigonométricos? Resolveremos esta cuestión y mas en este curso.
En general, en la teorı́a descriptiva de conjuntos se trabaja en el espacio NN . La
razón es que este espacio tiene dimensión nula por eso es más fácil trabajar ahı́.
Además, NN tiene una estructura suficientemente rica para capturar todo lo que se
necesita desde de punto de vista de la teorı́a descriptiva de conjuntos. Por lo tanto,
comencemos a estudiar NN .
2.
Espacios de Cantor y Baire
En esta sección probaremos resultados básicos sobre los espacios de Cantor y
Baire. Los espacios NN y {0, 1}N tienen topologı́as naturales, como la topolgı́a producto generada por la topologı́a discreta sobre N y {0, 1}. Describamos en más
detalles estas topologı́as.
Hay una métrica natural sobre {0, 1}N . Sean σ, τ ∈ {0, 1}N . Definamos d(σ, τ ) =
−i
2 dónde i es el mı́nimo elemento de N tal que σ(i) 6= τ (i). Claramente, d(σ, τ ) = 0
si σ = τ . La bola abierta con centro en σ y radio 2−i , se denota B(σ, 2−i ), y es
simplemente el conjunto {τ ∈ {0, 1}N : σ(j) = τ (j), j ≤ i}. Introduzcamos otra
notación que será muy útil. El conjunto {0, 1}<N consiste simplemente en todas las
sucesiones finitas de números 0 y 1. Para cada σ ∈ {0, 1}<N ,
[σ] = {τ ∈ {0, 1}N : τ es una extensión de τ }.
Análogamente, {0, 1}≤N consiste de la unión de los conjuntos {0, 1}N y {0, 1}<N .
Tenemos los siguientes resultados básicos.
Resultado 2.1. La métrica anterior sobre {0, 1}N genera la topologı́a producto.
Resultado 2.2. El conjunto {σ ∈ {0, 1}N : hay sólo finitos i tal que σ(i) 6= 0} es
denso en {0, 1}N .
Resultado 2.3. El espacio {0, 1}N tiene las siguientes propiedades.
1. Es un espacio compacto métrico.
2. Es de dimensión nulla, eso es que tiene una base de conjuntos cerriertos
(cerrados y abiertos simultáneamente).
Considere la base
[σ] : σ ∈ {0, 1}<N .
3. No tiene puntos aislados.
Todo los espacios con las tres condiciones antes son homomorfos. Antes que
podamos probarlo, necesitamos una lemma.
Lema 2.4. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado 2.3.
Entonces, para cada > 0 existe n ∈ N tal que para cada m > n hay una partición
{U1 , U2 , . . . Um } de X en conjuntos cerradoabiertos tal que diam(Ui ) < para todos
1 ≤ i ≤ m.
Teorema 2.5. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado
2.3. Entonces, X es homeomorfo a {0, 1}N .
3
Corolario 2.6. El conjunto {0, 1}N es homeomorfo al conjunto de Cantor de R.
Definición 2.7. Diremos que X es un espacio de Cantor si X es homeomorfo a
{0, 1}N .
Ahora describamos en más detalles el espacio NN . Como antes, podemos describir
explı́citamente una métrica sobre NN . Sean σ, τ ∈ NN . Definamos d(σ, τ ) = 2−i
dónde i es el mı́nimo elemento de N tal que σ(i) 6= τ (i). Claramente, d(σ, τ ) = 0
si σ = τ . La bola abierta con centro en σ y radio 2−i , se denota B(σ, 2−i ), y es
simplemente el conjunto {τ ∈ NN : σ(j) = τ (j), j ≤ i}. Introduzcamos otra notación
que será muy útil. El conjunto N<N consiste en todas las sucesiones finitas de N.
Para cada σ ∈ N<N ,
[σ] = {τ ∈ NN : τ es una extensión de σ}.
Análogamente, N≤N consiste en la unión de los conjuntos NN y N<N . Tenemos los
siguientes resultados básicos.
Resultado 2.8. La métrica antes sobre NN genera la topologı́a producto.
Resultado 2.9. El conjunto {σ ∈ NN : hay sólo finitosi tal que σ(i) 6= 0} es denso
en NN .
Resultado 2.10. El espacio NN tiene las siguientes propiedades.
1. Es un espacio polaco (separable y tiene una métrica completa).
2. Es de dimensión nula.
3. Es en ninguna parte compacto localmente.
Lema 2.11. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado 2.10.
Para cada > 0, existe una partición {U1 , U2 , . . .} de X en conjuntos cerrardoabiertos y no vacios tal que diam(Ui ) < para cada i ∈ N.
Teorema 2.12. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones de Resultado
2.10. Entonces, X es homeomorfo a NN .
Corolario 2.13. El conjunto NN es homeomorfo al conjunto R \ Q.
Corolario 2.14. El espacio {0, 1}N \ D es homeomorfo a NN , dónde D es cualquier
conjunto numerable denso en {0, 1}N .
Para demostrar los corolarios anteriores, recordemos el siguiente teorema de Alexandroff.
Teorema 2.15. (Alexandroff ) Sea X un espacio completo métrico y Y ⊂ X. Y
tiene una métrica complete que genera la subtopologı́a de X si y soló si Y es Gδ
subconjunto de X.
Se consigue la demostración del Teorema de Alexandroff por hacer los ejercicios.
Definición 2.16. Diremos que X es un espacio de Baire si X es homeomorfo a
NN .
Teorema 2.17. Sea X un espacio polaco no numerable. Entonces X contiene un
subconjunto homeomorfo a {0, 1}N y un subconjunto homeomorfo a NN .
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3.
jerarquı́as de Borel y Baire
Necesitamos resultados básicos sobre ordinales y cardinales. Denotemos por ω1 el
cardinal mı́nimo que no es numerable. El cardinal ω1 tiene siguientes propiedades.
1. ω1 es bien ordenado.
2. Para cada α ∈ ω1 , el conjunto {β ∈ ω1 : β < α} es numerable.
3. Cada sucesión {α1 , α2 , . . .} en ω1 es acotada, eso decir, hay β ∈ ω1 tal que
αi < β para cada i ∈ N.
Para resto de la sección, X denotará un espacio no vacı́o polaco y T su topologı́a.
Ahora definamos la jerarquı́a de Borel. Definamos
Σ01 = {U : U es abierto en X} and Π01 = {U : U es cerrado en X} .
Sea 1 < α < ω1 . Definamos
(
Σ0α
=
∞
[
)
An : An ∈
Π0βn , βn
<α , y
n=1
(
Π0α
=
∞
\
)
An : An ∈
Σ0βn , βn
<α .
n=1
Para cada 1 ≤ α < ω1 , se define
∆0α = Σ0α ∩ Π0α .
Teorema 3.1. Siguientes resultados son validos para 1 ≤ α < ω1 .
1. La unión numerable de los conjuntos en Σ0α esta en Σ0α . La intersección
numerable de los conjuntos en Π0α esta en Π0α .
2. A ∈ Σ0α si y sólo si X \ A ∈ Π0α .
3. Para cada 1 ≤ α < β < ω1 , tenemos que Σ0α ∪ Π0α ⊆ ∆0β .
4. La intersección finita de los conjuntos en Σ0α esta en Σ0α . La unión finita
de los conjuntos en Π0α esta en Π0α .
5. ∪α<ω1 Σ0α es el conjunto de los conjuntos borelianos de X, eso decir, es la
σ-álgebra mı́nima que contiene los conjuntos abiertos de X.
6. Sea A ⊆ X. Si M ⊆ X está en Σ0α (X), respectivamente Π0α (X), entonces
A ∩ M está en Σ0α (A), respectivamente Π0α (A).
7. Sean Y un espacio polaco y f : X → Y . Si M ⊆ Y está en Σ0α (Y ), respectivamente Π0α (Y ), entonces f −1 (M ) está en Σ0α (X), respectivamente Π0α (X).
Lema 3.2. (Diagonalización de Cantor) Sea A ⊂ X × X y para cada x ∈ X, Ax =
{y ∈ X : (x, y) ∈ A}. Sea D = {x ∈ X : x ∈
/ Ax }. Entonces, D ∈
/ {Ax : x ∈ X}.
Definición 3.3. Sea A ⊆ P(X). Digamos que U ⊆ X × X es universal para A
si para cada A ∈ A hay x ∈ X tal que Ux = A y Ux ∈ A para cada x ∈ X.
Proposición 3.4. Sean B ⊆ NN × NN en Σ0α (NN × NN ), respectivamente Π0α (NN ×
NN ), y δ ∈ NN . Definamos
B(δ) = {(σ, τ ) : τ ∈ Bσδ .}
Entonces, B(δ)σ = Bσδ , y además B(δ) está en Σ0α (NN × NN ), respectivamente
Π0α (NN × NN ).
5
Demostración. Considere la function f : NN ×NN → NN ×NN definida por f (σ, τ ) =
(σδ, τ ). f es continua y B(δ) = f −1 (B). Ahora la demostración sigue por Lemma 3.1.
Lema 3.5. Sea 1 ≤ α < ω1 . Entonces existen conjuntos U α ∈ Σ0α (NN × NN ), P α ∈
Π0α (NN × NN ) tal que U α es universal para Σ0α (NN ) y P α es universal para Π0α (NN ).
Demostración. Sea {B1 , B2 , . . .} una base de conjuntos abiertos de NNS
. Sea δ1 , δ2 , . . .
∞
∈ NN tal que cada δn es injectiva, im(δn )∩im(δm ) = ∅ cuando n 6= m, n=1 im(δn ) =
N.
S∞
Caso α = 1. Definamos U 1 por U 1 (σ) = n=1 Bσ(n) . Sea P 1 = (NN × NN ) \ U 1 .
Entonces, U 1 , P 1 tiene las propiedades deseadas.
Caso α > 1 y α = β + 1. Sea P β como deseado. Definamos U α por
∞
[
(U α )σ =
(P β )σδn ,
n=1
y
P α = (NN × NN ) \ U α .
Caso α > 1 y α es ordinal limite. Sean {βn } % α y P βn como deseado. Definamos
α
U por
∞
[
(U α )σ =
(P βn )σδn ,
n=1
y
P α = (NN × NN ) \ U α .
Con la ayuda de la proposición anterior, se puede verificar que U α , P α tienen las
propiedades deseadas.
Teorema 3.6. Entonces para cada 1 ≤ α < ω1 , Σ0α (NN ) \ Π0α (NN ) y Π0α (NN ) \
Σ0α (NN ) son no vacı́os.
Demostración. Sean U α , P α como en la lemma anterior. Entonces,
{σ ∈ NN : σ ∈
/ Uσ } ∈ Π0α (NN ) \ Σ0α (NN )
y
{σ ∈ NN : σ ∈
/ Pσ } ∈ Σ0α (NN ) \ Π0α (NN ).
Teorema 3.7. Supongamos que X es no numerable. Entonces para cada 1 ≤ α <
ω1 , Σ0α \ Π0α y Π0α \ Σ0α son no vacı́os.
Demostración. Como X es no numerable, X contiene una copia de {0, 1}N . Llamelo
C.
Para α = 1, considere un conjunto que consiste de una sucesión convergente de
C con su limite. Este conjunto pertenece a Σ01 (X) \ Π01 (x).
Para α = 2, considere un conjunto numerable de C que sea denso en C. Este
conjunto pertenece a Σ02 (X) \ Π02 (x).
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Para α > 2, hagamos lo siguiente. Sea D un conjunto numerable y denso en C.
Entonces, B = C \ D es homeomorfo a NN . Considere un subconjunto A de B que
esté en Σ0α (B) \ Π0α (B). Ahora termine la demostración usando el Ejercicio 4.12.
Proposición 3.8. Sea T1 una topologı́a de X tal que T ⊆ T1 ⊂ Borel(T ). Entonces
Borel(T1 ) = Borel(T ).
Lema 3.9. Sea (X, T ) un espacio polaco y A ⊆ X cerrado. Entonces existe una
topologı́a TA tal que (X, TA ) es polaco, A es cerradoabierto en TA , T ⊆ TA , y las
topologı́as T y TA generan los mismos conjuntos borelianos.
Lema 3.10. Sean T1 , T2 , . . . topologı́as polacas de X tal que T ⊆ Tn ⊂ Borel(T ).
0
Entonces ∪∞
de X y además Borel(T ) =
n=1 Tn genera una topologı́a polaca T
0
Borel(T ).
Teorema 3.11. Sea B ⊆ X boreliano. Entonces existe una topologı́a polaca TB tal
que B es cerradoabierto en TB , T ⊆ TB y Borel(T ) = Borel(TB ).
Teorema 3.12. Supongamos que B ⊆ X es boreliano y no numerable. Entonces
B contiene un conjunto de Cantor.
Ahora estudiaremos la jerarquı́a de Baire. Sea B0 el conjunto de las funciones
continuas desde X a R. Para 1 ≤ α < ω1 , sea Bα el conjuntos de las funciones que
son limite puntual de los funciones en las clases Bβ dónde β < α.
Teorema 3.13. Una función f ∈ Bα si y sólo si f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 para cada U
abierto en R.
Demostración. (⇒) La mostramos en la clase. (⇐) exige un poco mas. Es un
proyecto para un alumno.
S
Teorema 3.14. 0≤α<ω1 Bα es el conjunto de las funciones borelianas.
Teorema 3.15. Si X es no numerable, entonces Bα+1 \ Bα es no vacı́o.
Teorema 3.16. La función f ∈ B1 si y sólo si para cada C ⊆ X cerrado y no
vacı́o, f |C tiene un punto de continuidad.
Demostración. (⇒) La mostramos en la clase. (⇐) es un proyecto para un
alumno.
7
4.
Conjuntos analı́ticos y coanalı́ticos
Por el resto de esta sección, X, Y, Z son espacios polacos.
Definición 4.1. Un conjunto A ⊆ X es analı́tico si hay una función continua
surjectiva f : NN → A. Σ11 (X) se denota el conjunto de los conjuntos analı́ticos de
X.
Teorema 4.2. Los siguientes valen.
1.
2.
3.
4.
5.
La imagen continua de un conjunto analı́tico es analı́tico.
La unión numerable de los conjuntos analı́tico es analı́tico.
Cada espacio polaco es analı́tico.
La intersección numerable de los conjuntos analı́tico es analı́tico.
Cada conjunto boreliano en un espacio polaco es analı́tico.
Teorema 4.3. Sea A ⊆ X. Los siguientes son equivalentes.
1.
2.
3.
4.
5.
A es analı́tico.
A es la imagen continua de un espacio polaco.
A es la imagen continua de un conjunto boreliano de un espacio polaco.
Existe un conjunto cerrado M ⊆ NN × X tal que A = P rX (M ).
Existe un conjunto Borel M ⊆ NN × X tal que A = P rX (M ).
Teorema 4.4. In cada espacio polaco no numerable, existe un conjunto analı́tico
que no es boreliano.
Definición 4.5. Un conjunto A ⊆ X se llama coanalı́tco si X \ A es analı́tico.
Π11 (X) se denota el conjunto de los conjuntos conanalı́ticos de X.
Lema 4.6. Sean {An } y {Bn } sucesiones de conjuntos analı́ticos. Si para cada
n, m ∈ N hay un conjunto borealiano Cn,m tal que An ⊆ Cn,m y Cn,m ∩ Bm = ∅,
∞
entonces existe un conjunto boreliano C tal que ∪∞
n=1 An ( C y C ∩ (∪n=1 Bn ) = ∅.
Teorema 4.7. Sean A, B ⊆ X analı́ticos. Entonces existe un conjunto Borel C ⊆
X tal que A ⊆ C y B ∩ C = ∅.
Corolario 4.8. Borel(X) = Σ11 (X) ∩ Π11 (X).
Teorema 4.9. Sean {An } una sucesión de conjuntos analı́ticos disjuntos. Entonces
existe una sucesión {Bn } de los conjuntos borelianos disjuntos tal que An ⊆ Bn .
Corolario 4.10. Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva
de un conjunto cerrado de NN .
Demostración. Uno de los proyectos.
Teorema 4.11. Sea B ⊆ X una imagen continua inyectiva de un conjunto cerrado
de NN . Entonces B es boreliano.
Lema 4.12. Sea A ⊆ X boreliano y f : A → Y boreliano. Entonces {(x, f (x)) :
x ∈ B} es un conjunto boreliano de X × Y .
Teorema 4.13. Sea B ⊆ Y una imagen boreliana inyectiva de un conjunto boreliano de X. Entonces, B is boreliano.
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Definición 4.14. Sea A cualquier conjunto y T ⊆ A<N . Digamos que T es un
árbol de A si
(σ ∈ T ) ⇒ (σ|n ∈ T para cada n ∈ N) .
El cuerpo del árbol T es
[T ] = {σ ∈ AN : σ|n ∈ T para cada n ∈ N}.
Digamos que el árbol T es bien fundado si [T ] = ∅. Un árbol que no es bien
fundado es mal fundado.
Todos los árboles que consideremos son árboles de N a menos que se indique lo
contrario.
Existe una topologı́a natural sobre T , la colección de los árboles de N. A cada
<N
T ∈ T podemos asignar un punto único de {0, 1}N , es decir fT : N<N → {0, 1}
<N
definido por fT (σ) = 1 si y sólo si σ ∈ T . Claramente, {0, 1}N es homeomorfo
al espacio de Cantor. Entonces T tiene la topologı́a indocta por la topologı́a de
<N
{0, 1}N . Usaremos esta topologı́a.
Proposición 4.15. T es cerrado y perfecto. Entonces es homeomorfo al espacio
de Cantor.
Lema 4.16. BF , la colección de los árboles bien fundados, es coanalı́tico. Entonces,
MF , la colección de los conjuntos mal fundados, es analı́tico.
Definición 4.17. Sea T ∈ T . Digamos que σ ∈ N<N es una hoja de T si σ ∈ T
y no existe n ∈ N tal que σn ∈ T , eso decir que σ no tenga una extensión en T .
Para cada T ∈ T , sea
T ∗ = T \ {σ ∈ T : σ es hoja de T }.
Ahora definamos un rango para T . Sea r0 (T ) = T . Si 1 ≤ α < ω1 y α = β + 1,
entonces
rα (T ) = (rβ (T ))∗ . Si 1 ≤ α < ω1 es un ordinal limite, entonces rα (T ) =
T
β
β<α r (T ).
Teorema 4.18. Para cada T ∈ T existe α < ω1 tal que [rα (T )] = [T ].
Definición 4.19. Rango(T ) es el mı́nimo ordinal α tal que [rα (T )] = [T ].
Lema 4.20. Para cada 0 ≤ α < ω1 , existe T ∈ BF tal que rango(T ) = α.
Teorema 4.21. La colección BF no es boreliano.
Teorema 4.22. (Mazurkiewciz) Sean C([0, 1]) el espacio de la funciones continuas
y D la colección de todas funciones diferenciables en [0, 1]. Entonces, D es coanalı́tco
y no boreliano.
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Proyecto 1
Sea X un espacio polaco. En este proyecto se llega a la demostración del resultado siguiente:
Sea f : X → R tal que f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 (X) para cada U abierto en R.
Entonces, f ∈ Bα (X).
Lema 4.23. Sean A1 , A2 , . . . ∈ Σ0α (X), 2 ≤ α < ω1 . Entonces, existen B1 , B2 , . . . ∈
Σ0α (X) tal que
Bn ⊆ An para n ∈ N,
B
∅ si n 6= m, y
Sn∞∩ Bm = S
∞
B
=
n=1 An .
n=1 n
Corolario 4.24. Sean A, B ∈ Π0α (X), 2 ≤ α < ω1 , disjuntos. Entonces, existe
C ∈ ∆0α (X) tal que A ⊆ C y B ∩ C = ∅.
Lema 4.25. Sea A ∈ ∆0α+1 (X), 1 ≤ α < ω1 . Entonces, χA ∈ Bα (X).
Lema 4.26. Sea f : X → [0, r] tal que f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 (X) para cada U abierto en
R. Entonces, existe A ∈ ∆0α+1 (X), tal que kf − 3r χA k ≤ 2r
3 .
Lema 4.27. Sea f : X → [0, r] tal que f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 (X) para cada UP
abierto en
∞
0
R. Entonces,
existen
A
,
A
.
.
.
∈
∆
(X)
y
a
,
a
,
.
.
.
∈
[0,
∞)
tal
que
1
2
1
2
α+1
n=1 an <
P∞
∞ y n=1 an χAn = f .
P∞
Lema 4.28.
P∞Sea f1 , f2 , f3 , · · · ∈ Bα (X) tal que n=1 fn converge uniformemente.
Entonces, n=1 fn ∈ Bα (X).
Lema 4.29. Sea f : X → [0, 1] tal que f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 (X) para cada U abierto en
R. Entonces, f ∈ Bα (X).
Teorema 4.30. Sea f : X → R tal que f −1 (U ) ∈ Σ0α+1 (X) para cada U abierto
en R. Entonces, f ∈ Bα (X). (Consejo: Use aractan(f ).)
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Proyecto 2
Sea X un espacio polaco. En este proyecto se llega a la demostración del resultado siguiente:
Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva de un
conjunto cerrado de NN .
Lema 4.1. Sea S un espacio métrico separable. Entonces cada sucesión transfinita
{Cα } de conjuntos cerrados de S con la propiedad que (β < α) ⇒ (Cβ ) Cα ) es
numerable.
Lema 4.2. Sean S un espacio métrico separable y B una base abierta de S. Entonces existe una partición {An }∞
n=1 de X (puede ser que algunos An son vacı́os)
tal que para cada n ∈ N, An = B ∩ C para unas B ∈ B, C ⊆ X cerrado.
Lema 4.3. Sea S un espacio métrico separable. Entonces existen Aσ , σ ∈ N<N ⊆ X
(tal vez Aσ es vacı́o para unas σ) tal que
S∞
S∞
<N
, n=1 Aσn = Aσ ,
n=1 An = S y para cada σ ∈ N
Si σ, τ ∈ N<N , |σ| = |τ |, y σ 6= τ , entonces Aσ ∩ Aτ = ∅.
diam(Aσ ) < 2−|σ| ,
Aσn ⊆ Aσ para cada σ ∈ N<N , n ∈ N.
Teorema 4.4. Cada espacio polaco es la imagen continua, inyectiva de un espacio
cerrado de NN .
Lema 4.5. Sean {An } una sucesión de conjuntos S
tal que cadaTAn es la imagen
∞
∞
inyectiva de un conjunto cerrado de X. Entonces, n=1 An y n=1 An tienen la
misma propiedad.
Lema 4.6. S
Sea α ≥ 2 y A ∈ Σ0α (X). Entonces existen conjuntos disjuntos {An }
∞
tal que A = n=1 An y An ∈ Π0βn para βn < α.
Corolario 4.7. Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva de
un conjunto cerrado de NN .
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Proyecto 3
Este proyecto se trata de aplicaciones.
Sea C([0, 1] el espacio de las funciones continuas desdes [0, 1] a R. Bajo sup norm,
este espacio es polaco
Ejercicio 4.1. Sea L = {f ∈ C([0, 1]) : f Lipschitz}. Muestre que f ∈ Σ02 \ Π02 .
Definición 4.2. Sea f ∈ C([0, 1]) y x ∈ [0, 1]. Digamos que f es Lipschitz en x si
existe > 0 tal que f |(x−,x+) es Lipschitz.
Ejercicio 4.3. Sea {an } una sucesión en [0, 1] y
A = {f : C([0, 1]) : f es Lipschitz en an para cada n ∈ N}.
Determine la complejidad de A, eso decir, determine 1 ≤ alpha < ω tal que A ∈
Σ0α \ Π0α , A ∈ Π0α \ Σ0α o A ∈ ∆0α . La solución podrı́a depender sobre la estructura
de {an }.
Ejercicio 4.4. Muestre que el conjunto de todas las funciones que no sean Lipschitz
en ningún punto es coanalı́tco. (Es analı́tico? Les envito a probarlo pero no es
exigido.)
Definición 4.5. Sea K([0, 1]) el espacio de conjuntos compactos de [0, 1], bajo la
métrica de Hausdorff.
Ejercicio 4.6. Sea
A = {A ∈ K([0, 1]) : K tiene solo finitos puntos aislados}.
Muestre que A es boreliano y determine su complejidad.
Ejercicio 4.7. Denotemos por λ la medida de Lebsegue en R. Sea
P = {A ∈ K([0,1]) : λ(K) > 0}.
Muestre que P ∈
Σ02
\
Π02 .
12
U.B.DARJI
Ejercicios
Ejercicio 4.1. Sea {An } una sucesión de conjuntos finitos tal que |An | > 1. MuesN
tre que Π∞
i=1 Ai sea homeomorfo a {0, 1} .
Ejercicio 4.2. Sea A = {0}∪{1, 1/2, 1/3, . . .}. Muestre que Π∞
i=1 A sea homeomorfo
a {0, 1}N .
Ejercicio 4.3. Sea A un subconjunto finito de R. Muestre que R \ A sea un espacio
metrizable completamente, eso es que haya una métrica completa en R \ A que
genera la subtopologı́a de R \ A.
Ejercicio 4.4. Sean A, B conjuntos de tipo Fσ que son densos en R y no contengan
ningún intervalo de R. Muestre que R \ A y R \ B sean homomorfos.
Los ejercicios siguientes llevar a la demostración del Teorema de Alexandroff.
Ejercicio 4.5. Sea X un espacio métrico con métrica completa d y sea A ⊂ X
cerrado tal que A 6= X. Definamos una métrica en X \ A por dA (x, y) = d(x, y) +
1
1
mı́n{1, d(x,A)
− d(y,A)
.}. Entonces, dA es una métrica completa en X \ A que
genera la misma toplogı́a como d en X \ A.
Ejercicio 4.6. Sea X un espacio métrico con métrica completa d y sea {An } una
sucesión de conjuntos cerrados de X. Sea dn = dAn dónde dAn es definida como
antes. Definamos una métrica d0 en X \ (∪∞
i=1 Ai ) por
∞
X 1
d0 (x, y) =
dn (x, y).
2i
i=1
Entonces, d0 es una métrica completa en X \ (∪∞
i=1 Ai ) que genera la misma toplogı́a
como d en X \ (∪∞
i=1 Ai ) .
A decir en otro modo, Gδ subconjuntos de los espacios métricos son metrizable
completamente.
Definición 4.7. Sean X un espacio topológico y f : X → R una función. La
oscilación de f en x, denotado por osc(f, x), es
lı́m sup{|f (y) − f (z)| : y, z ∈ B (x, )}.
→0
Ejercicio 4.8. Sean X un espacio topológico, f : X → R una función y η > 0.
Muestre que Uη = {x ∈ X : osc(f, x) > η} sea cerrado en X. Concluya que el
conjunto de los puntos de discontinuidad de f sea un conjunto Gδ en X.
Ejercicio 4.9. Sea X un espacio métrico y A ⊆ X tal que hay una métrica completa
en A que genera la subtopologı́a de X. Muestre que A sea Gδ en X.
Entonces el Teorema de Alexander sigue de los Ejercicios 4.6 y 4.9.
Ejercicio 4.10. Sea D cualquier conjunto numerable y denso en {0, 1}N . Mostre
que {0, 1}N \ D es Gσ pero no Fσ .
Ejercicio 4.11. Determine complejidad de los siguientes conjuntos.
n
1X
N
A = {σ ∈ {0, 1} : lı́m
σ(i) = 0.}
n→∞ n
i=1
B = {σ ∈ NN : lı́m σ(n) = ∞}.
n→∞
13
Ejercicio 4.12. Sean X un espacio polaco y A ⊆ X cerrado. Si M ∈ Σ0α (A),
α > 1, entonces M ∈ Σ0α (X). Lo mismo vale para M ∈ Π0α (A).
Ejercicio 4.13. Sea D = {d1 , d2 , . . .} ⊆ [0, 1] y definamos f : [0, 1] → R por
f (x) = 0 si x ∈
/ D y f (dn ) = n1 . Mostre, por la definción de B1 , que f ∈ B1 .
Ejercicio 4.14. Sean X un espacio polaco y A ⊂ X. Si A ∈ Π02 y X \ A es denso
en X, entonces A ∈
/ Σ02 .
Ejercicio 4.15. Sea K el espacio de los conjuntos compactos de [0, 1] con la métrica
de Hausdorff. Muestre que
{A ∈ K : A es perfecto}
está en
Π02
\
Σ02 .
Ejercicio 4.16. Muestre que hay una función f : [0, 1] → R en B1 que es discontinua a.e., eso decir, que el conjunto de los puntos de continuidad tiene medida
cero.
Ejercicio 4.17. Sea X espacio compacto métrico. Muestre que hay una función
continua surjectiva f : {0, 1}N → X.
Ejercicio 4.18. Sea
Σ0α (X, R) = {f : X → R|f −1 (U ) ∈ Σ0α (X) para cualquier U abierto en R}.
Muestre que f, cf˙, f + g, f · g están en Σ0 (X, R) cuando f, g ∈ Σ0 (X, R) y c ∈ R.
α
α
Ejercicio 4.19. Muestre que f, cf˙, f + g, f · g están en Bα cuando f, g ∈ Bα y
c ∈ R.
Ejercicio 4.20. Muestre que cada no numerable conjunto analı́tico contiene una
copia del conjunto de Cantor.