Variables aleatorias conjuntas - Facultad de Ingeniería

Variables aleatorias conjuntas
M. en A. Víctor D. Pinilla Morán
Facultad de Ingeniería, UNAM
Resumen
Variables aleatorias conjuntas discretas; función de probabilidad
conjunta: su definición y propiedades. Función de distribución
acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales
de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad.
Variables aleatorias conjuntas continuas; función de probabilidad
conjunta: su definición y propiedades. Función de distribución
acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales
de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad.
Valor esperado de una función de dos o más variables.
La curva de regresión.
Variables aleatorias independientes. Covarianza, varianza de una
suma de dos o más variables.
5.1 Variables aleatorias conjuntas
discretas y continuas: Función de
probabilidad conjunta, su definición y
propiedades. Funciones marginales de
probabilidad. Funciones condicionales de
probabilidad.
El estudio realizado hasta este momento
está restringido a espacios muestrales de
una sola dimensión en los que se registran
resultados de un experimento como valores
asumidos por una única variable aleatoria.
Sin embargo habrá situaciones donde sea
preferible
registrar
los
resultados
simultáneos de varias variables aleatorias.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Para el caso particular de dos variables
aleatorias, éstas se denominan variables
aleatorias conjuntas.
Definición. Si X y Y son dos variables
aleatorias, la distribución de probabilidad
de sus ocurrencias simultáneas puede
representarse por una función F(x,y) para
cualquier par de valores (x,y) dentro del
rango de las variables aleatorias; a esto se le
denomina distribución de probabilidad
conjunta.
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
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Propiedades caso continuo.
a) Fxy ( X , Y ) ≥ 0
b
P ( a < x < b, Y = y ) = ∫
∀X , Y
a
f ( x, y )
dx
h( y )
∞ ∞
b)
∫ ∫ Fxy ( X , Y )d x d y
−∞ −∞
c) P[( X , Y )ΕA] = ∫
A
∫ Fxy ( X , Y )d x d y
Propiedades caso discreto.
Ejemplo. Se seleccionan al azar 2 repuestos
para una pluma de una caja que contiene:
3 repuestos azules
2 repuestos rojos
3 repuestos verdes
a ) Pxy ( X , Y ) ≥ 0
b)∑∀x ∑∀y Pxy (X , Y ) = 1
Si X representa el número de repuestos
azules seleccionados y Y el de rojos.
Determine: la función de probabilidad
conjunta.
c ) P ( X = x , Y = y ) = P ( x, y )
para cualquier región en el plano A
P[( X , Y )ΕA] = ∑ ∑ P( X , Y )
A
Probabilidades marginales. Se les llama
marginales cuando a partir de una función
conjunta se margina a una de las variables
aleatorias. Es el equivalente a la
probabilidad total de las funciones de una
sola variable.
y
x
0
0
3/28
1
2
9/28 3/28
g ( X ) = ∑ Pxy ( x, y)
g(X) = ∫ Pxy ( x, y)dy
1
6/28
6/28
-
h(Y ) = ∑ Pxy ( x, y)
h(Y ) = ∫ Pxy ( x, y)dx
2
1/28
-
-
∀Y
∀X
Por otra parte, si se desea encontrar la
probabilidad de que la variable aleatoria
continua X esté entre a y b cuando se sabe
que la variable aleatoria Y=y se obtiene:
P( AB)
P( B / A) =
P( A)
P( X = x, Y = y) f ( X , Y )
=
P( X = x)
g ( x)
P( X = x, Y = y) f ( X , Y )
P( X = x / Y = y ) =
=
P(Y = y)
h( y)
P(Y = y / X = x) =
Probabilidad y Estadística
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3
C (3,2)
=
C (8,2) 28
6
C (3,1)C (2,1)
=
P (0,1) =
28
C (8,2)
1
C (2,2)
=
P (0,2) =
C (8,2) 28
9
C (3,1)C (3,1)
=
P (1,0) =
28
C (8,2)
6
C (3,1)C (2,1)
=
P (1,1) =
28
C (8,2)
3
C (3,2)
=
P (2,0) =
C (8,2) 28
P (0,0) =
Probabilidad condicional.
g(x) > 0
h(y)> 0
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
73
Para el ejercicio anterior determinar las
probabilidades marginales de X y Y.
a) Determinar si se trata de una
distribución de probabilidad
conjunta.
2
g ( x) = ∑ Pxy ( x, y ) = ∑ Pxy ( x, y )
∀y
y =0
2
g ( x = 0) = ∑ Pxy (0, yi) =
y =0
3 + 6 + 1 10
=
28
28
9 + 6 15
=
28
28
1
g ( x = 1) = ∑ Pxy (1, yi) =
y =0
0
g ( x = 2) = ∑ Pxy (2, yi) =
y =0
h( y ) = ∑ Pxy ( x, y )
3 + 9 + 3 15
=
28
28
x =0
1
6 + 6 12
h( y = 1) = ∑ Pxy ( xi,1) =
=
28
28
x =0
0
1
h( y = 2) = ∑ Pxy ( xi,2) =
28
X =0
2
h( y = 0) = ∑ Pxy ( xi,0) =
Equivale a sumar verticalmente en la tabla
x
0
1
2
y(x)
10/28
15/28
3/28
Ejercicio. Dada la función:
⎧ 2(2 x + 3 y )
⎪
5
⎪
Fxy ( x, y ) ⎨
⎪0
⎪
⎩
Probabilidad y Estadística
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b) Encuentre la probabilidad
P[( x, y ) ∈ A]
1 1
2 2
1
2
2
1
2
⎡2 ⎛
3
∫ ∫ 5 (2 X + 3Y )dydx = ∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ 2 xy + 2 y
0 1
4
∀x
h(y)
15/28
12/28
1/28
1
2⎛
3⎞
2⎛ 2 3 ⎞
∫0 5 ⎜⎝ 2 x + 2 ⎟⎠dx = 5 ⎜⎝ x + 2 x ⎟⎠0 =
2 6 4 + 6 10
+
=
=
=1
5 10
10
10
1
3
28
Equivale a sumar horizontalmente en la
tabla.
y
0
1
2
1
º
⎡2 ⎛
2( 2 x + 3 y )
3 2 ⎞⎤
=
dydx
⎜ 2 xy + y ⎟⎥ dx =
⎢
∫∫0
∫
5
5
2 ⎠⎦ 0
0⎣ ⎝
1
2
0
⎡2 ⎛
3 1
2
⎞⎤
⎟⎥ =
⎠⎦ 1
4
1
2
3 ⎞⎤
⎡2 ⎛ 1
9 ⎞⎤
∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ x + 8 − 2 x − 32 ⎟⎠⎥⎦dx = ∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ 2 x + 32 ⎟⎠⎥⎦dx =
0
0
1
2
2 ⎛ x2 9 ⎞
1
9
13
⎜⎜ + x ⎟⎟ =
+
=
5 ⎝ 4 32 ⎠ 0 40 160 160
c) Obtener la probabilidad marginal
para la variable x.
1
⎡2 ⎛
3 ⎞⎤
2
g ( x) = ∫ (2 x + 3 y )dy = ⎢ ⎜ 2 xy + y 2 ⎟⎥ =
5
2 ⎠⎦ 0
⎣5 ⎝
0
1
2⎛
3⎞ 4
6
⎜ 2x + ⎟ = x +
5⎝
2⎠ 5
10
4
3
g ( x) = x +
0 ≤ x ≤1
5
5
d) Obtener la probabilidad marginal de
la variable y.
0 ≤ x ≤1
0 ≤ y ≤1
otros casos
1
2
(2 x + 3 y )dx =
5
0
h( y ) = ∫
(
)
1
⎤
⎡2 2
⎢ 5 x + 3 yx ⎥ =
⎦0
⎣
2 6
+ y
5 5
2 6
h( y ) = + y 0 ≤ y ≤ 1
5 5
=
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
74
Ejemplo. Continuando con el ejemplo de
los repuestos:
e) Determinar la distribución condicional de
X dado que Y=1 y utilícela para determinar
P ( X = 0 Y = 1)
de que menos de un octavo de las mujeres
que se inscribieron para un maratón en
particular lo finalicen si se sabe que
exactamente un medio de los atletas
hombres lo terminaron.
x
8 xy 2
g ( x) = ∫ 8 xydy =
2
0
1
h( y ) = ∫ 8 xydx =
y
P( X Y = 1) =
Pxy ( X ,1)
h(Y = 1)
=
Pxy ( X ,1)
h(1)
=
Pxy ( X ,1)
12
28
6
Pxy (0,1) 28 6 1
=
=
=
12
12 12 2
28
28
6
Pxy (1,1) 28 1
=
=
12
12 2
28
28
Pxy (2,1)
=0
12
28
2
8x y
2
F(X Y) =
Fxy ( X Y )
F (Y X ) =
Fxy ( X Y )
h( y )
g ( x)
x
=
0
8 x3
= 4 x3
2
1
= 4 y − 4 y3
y
=
8 xy
2x
=
3
4y − 4y
1 − y2
=
8 xy 2 y
=
4 x3 x 2
P (Y < 1 X = 1 )
8
2
P (0 < Y < 1 , X = 1 ) =
5
2
1
8
1
8
2y
∫x
2
dy
0
1
1
8
4
1
2y
2 8
dy
ydy
y
=
=
=
=
8
4
∫0 ( 1 )2
∫0
0
64 16
2
Ejemplo. Para la función de dos variables:
X
0
1
2
P(X/Y=1)
½
½
0
Ejemplo. Suponga que la fracción X de
atletas hombres y la fracción Y de atletas
mujeres que terminan la carrera del maratón
puede describirse por la función de
densidad conjunta.
⎧8 xy
⎪
⎪
Fxy ⎨
⎪
⎪⎩0
y ≤ x ≤1
0≤ y≤x
otros casos
⎧ X (1 + 3Y 2)
⎪
4
⎪⎪
Fxy ( X Y )⎨
⎪
⎪
⎪⎩0
0< X <2
0 <Y <1
otros casos
a) Obtener g(x), h(y),
1
1
1
P( < X < Y = )
4
2
3
Encuentre las probabilidades marginales
F(XIY), F(YIX) y determine la probabilidad
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Independencia Estadística. Si F (x/y) no
depende de y entonces:
3
14
F (0,1) = g (0)h(1)
F (0,1) =
2
g (0) = ∑ F (0, y ) = F (0,0) + F (0,1) + F (0,2) =
i =0
1
h(1) = ∑ F ( x,1) = F (0,1) + F (1,1) + F (1,1) =
i =0
5
14
6
14
3 ⎛ 5 ⎞⎛ 6 ⎞
≠ ⎜ ⎟⎜ ⎟
14 ⎝ 14 ⎠⎝ 14 ⎠
Los eventos no son estadísticamente
independientes.
5.3 Valor esperado de una función de dos
o más variables aleatorias. Valor
esperado condicional.
Definición: Sean X y Y dos variables
aleatorias discretas o continuas con
distribución de probabilidad conjunta
Fxy(x/y) y distribuciones marginales g(x) y
h(y) respectivamente se dice que las
variables aleatorias son independientes
estadísticamente si se cumple que:
f ( X , Y ) = g ( X )h( y )
Valores esperados y momentos para las
funciones bivariadas. Sean X y Y dos
variables aleatorias conjuntas, el valor
esperado de la función se define como:
E {( X − μ X )(Y − μY )
Generalizando. Sean X1, X2, X3,... Xn,
variables aleatorias discretas o continuas
con distribución de probabilidad conjunta
f ( X 1 , X 2 , X 3 ... X n ) y con sus respectivas
funciones
marginales
f ( X 1 ) f ( X 2 ) f ( X n )... f ( X n ) . Si las
variables aleatorias son mutuamente
independientes se cumple que:
f ( X 1 , X 2 , X 3 ... X n ) = f ( X 1 ) f ( X 2 ) f ( X n )... f ( X n )
⎧∑ ∑ ( x − μ X )( y − μY )P ( x, y )
⎪ ∀x ∀y
} = ⎪⎨ ∞ ∞
⎪ ∫ ∫ ( x − μ X )( y − μY ) f ( x, y )dydx
⎪⎩− ∞− ∞
Generalmente:
Ejemplo. Retomando el ejemplo de los
repuestos:
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En forma de funciones:
⎧∑ ∑ g ( x, y ) P ( x, y )
⎪⎪ ∀x ∀y
μ ( x, y ) = E{g ( x, y )} = ⎨ ∞ ∞
⎪ ∫ ∫ g ( x, y ) f ( x, y )dydx
⎪⎩− ∞− ∞
Para el caso r = s = 1, el momento alrededor
de la media:
E{( X − μ X )(Y − μ Y )
Se puede demostrar que el coeficiente de
correlación toma valores entre menos uno y
uno; esto significa que el coeficiente de
correlación
es
sólo
una
medida
estandarizada de la asociación lineal que
existe entre las variables aleatorias X y Y
en relación con sus dispersiones. El valor de
ρ=0 indica la ausencia de cualquier
asociación lineal, mientras que los valores
ρ=-1 y ρ=1 indican relaciones lineales
perfectas, negativa y positivamente. Es
necesario señalar que debe rechazarse
cualquier otra interpretación del término
correlación.
Interpretación
de
la
covarianza.
Tomando dos fenómenos aleatorios:
⎧∑∑ ( x − μ X )( y − μ Y )P( x, y )
⎪ ∀x ∀y
} = ⎪⎨ ∞ ∞
⎪ ∫ ∫ ( x − μ X )( y − μ Y ) f ( x, y )dydx
⎪⎩− ∞− ∞
Recibe el nombre de covarianza.
Una forma alterna
covarianza es:
para
calcular
la
Cov{ X , Y } = E{( X − μ X )(Y − μ Y )}
= E{XY − Xμ Y − Yμ X + μ X μ Y }
= E{XY }− μ Y E{X } − μ X E{Y } + μ X μ Y
= E{XY }− μ Y μ X − μ X μ Y + μ X μ Y
= E{XY }− μ Y μ X
= E{XY }− E{X }E{Y }
Si la covarianza de X y Y se divide por el
producto de las desviaciones estándar de X
y Y, el resultado es una cantidad
adimensional que recibe el nombre de
coeficiente de correlación.
La primera variable aleatoria es el “corto”,
que es la cantidad de dinero que BANXICO
retira del circulante para evitar que la
inflación se dispare. En consecuencia, la
segunda variable aleatoria es la inflación.
ρ : coeficiente de correlación
ρ=
Cov{X , Y }
σ Xσ Y
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En suma, cuando las variables cambian en
la misma dirección (positiva-positiva o
negativa-negativa), el coeficiente de
correlación es de signo positivo. Por el
contrario, cuando las variables cambian en
direcciones diferentes (positiva-negativa o
negativa-positiva), el coeficiente será de
signo negativo.
Por otra parte, si:
ρ=
En esta gráfica observamos que el corto y la
inflación “crecen” en la misma dirección. Si
calculáramos el coeficiente de correlación,
éste tendría signo positivo.
Cov{X , Y }
σ Xσ Y
La única posibilidad para que ρ = 0 es que
la covarianza lo sea. Esto implica que,
cuando la covarianza es cero, las variables
aleatorias
son
estadísticamente
independientes. Esto implica que, conforme
ρ → 1 , las variables tienen una relación
más estrecha.
Varianza de una suma de dos variables
aleatorias.
donde a y b son constantes
En esta gráfica aparece una tercera variable
aleatoria, el precio del dólar. Se observa
que conforme el “corto” aumenta, se retira
dinero circulante y el precio del dólar baja.
En este caso, el coeficiente de correlación
entre el corto y el dólar tendrá signo
negativo.
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Si X y Y
independientes.
son
estadísticamente
Por definición:
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los que el número de años x que han
transcurrido es el mismo. En otras palabras,
para cada valor de x existe una distribución
de ingresos anuales y lo que se busca es la
media de esa distribución, dado x. La
gráfica de la media condicional E Y x
{ }
como una función de x recibe el nombre de
curva de regresión de Y sobre X.
De tal forma, si f ( x, y ) es la función de
densidad conjunta de probabilidades de X y
Y, y si f y x es la función de densidad
( )
condicional de Y dado x, se define la curva
de regresión como
Análisis de regresión. El motivo de estudio
de este tipo de análisis son las asociaciones
cuantitativas entre un número de variables,
en lo particular en la manera de que sea
posible ajustar una ecuación de algún tipo
al conjunto de datos dado, con el propósito
de obtener una ecuación empírica de
predicción razonablemente precisa y que
proporcione un modelo teórico que no está
disponible.
Las técnicas de regresión proporcionan
medios legítimos a través de los cuales
pueden establecerse asociaciones entre las
variables de interés en las cuales la relación
usual no es casual. De manera básica, la
regresión tiene dos significados: uno surge
de la distribución conjunta de probabilidad
de dos variables aleatorias; el otro es
empírico y nace de la necesidad de ajustar
alguna función a un conjunto de datos.
∞
E (Y x ) = ∫ y f ( y x )dy
−∞
Ejemplo. Considérese la función de
densidad conjunta de probabilidad dada
por:
⎧2 x 0 < x < y < 1
f ( x, y ) = ⎨
otro valor
⎩0
Obténgase la curva de regresión de Y sobre
X.
A partir de:
f (y x) =
f ( x, y )
f (x )
entonces
Como ejemplo del primer significado, se
desea predecir el salario de un profesionista
dado el número de años que han
transcurrido desde su graduación. Sea X el
número de años y Y el salario anual.
Resulta obvio que para un valor dado de x
es imposible predecir, de manera exacta, el
salario anual de una persona en particular.
Sin embargo, es posible predecir el salario
promedio de todos aquellos individuos para
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f (x ) =
1
∫ f (x, y )dy = ∫ 2 xdy = 2 x(1 − x )
∀Y
x
Sustituyendo:
f (y x) =
2x
1
=
2 x(1 − x ) 1 − x
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La curva de regresión será:
1
1+ x
dy =
1− x
2
x
1
E (Y K x ) = ∫
Corresponde a una línea recta con pendiente
e intersección igual a
1
.
2
El segundo significado de la regresión
resulta más práctico. En él no se tienen los
elementos necesarios para determinar la
curva de regresión como en el ejemplo
anterior. No obstante, dado un conjunto de
datos, pude asumirse una forma funcional
para la curva de regresión y entonces tratar
de ajustar ésta a los datos. En estas
situaciones, la variable respuesta es una
variable aleatoria cuyos valores se observan
mediante la selección de los valores de las
variables de predicción en un intervalo de
interés. Por lo tanto, las variables de
predicción no se consideran como variables
aleatorias, sino que éstas son un conjunto
de valores fijos que representan los puntos
de observación para la variable respuesta.
El modelo de regresión propuesto debe ser
relativamente sencillo y deberá contener
pocos parámetros.
Bibliografía
Un procedimiento muy útil para la
selección inicial cuando se tiene sólo una
variable de predicción es graficar la
variable respuesta contra la variable de
predicción. Si esta gráfica revela una
tendencia lineal, deberá suponerse un
modelo de regresión lineal. Si es evidente
alguna curvatura, deberá suponerse un
modelo cuadrático o de mayor grado para
ajustarse a los datos.
Canavos, Probabilidad y Estadística,
Edit. Mc Graw Hill, México 1988.
Borras, et. al. Apuntes de Probabilidad
y Estadística, Facultad de Ingeniería
UNAM, México 1985.
Villarreal , Probabilidad y Modelos
Probabilísticos, UAEM, México 1989.
Hines, Montgomery; Probabilidad y
Estadística, Edit. CECSA, 3ª edición,
México 1993.
Captura y Edición:
M.A. María Torres Hernández.
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