estudio analítico del coeficiente de descarga en toberas sónicas

ESTUDIO ANALÍTICO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA
EN TOBERAS SÓNICAS TOROIDALES ISO-9300.
J. A. Cruz Maya, F. Sánchez Silva, G. Tolentino Eslava,
A. Gómez Mercado, I. Carvajal Mariscal
Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada
SEPI-ESIME-IPN-COFAA
Av. IPN S/N Edificio 5 – 3er. Piso. 07738 México, D.F.
Tel. (5)729-6000 ext. 54783
Resumen: En el presente trabajo se lleva a cabo un estudio analítico del coeficiente de descarga en toberas
sónicas toroidales diseñadas bajo la norma ISO 9300 [1], operando en régimen turbulento. El análisis se
enfoca a la determinación de un modelo analítico de este coeficiente, para gases diatómicos con números de
Prandtl igual a 0.7. El coeficiente de descarga contempla las correcciones por efectos multidimensionales en
el campo de velocidad del flujo y los esfuerzos viscosos en la región de capa límite que producen
desviaciones en la determinación del flujo másico bajo un enfoque unidimensional e ideal. El modelo obtenido
es comparado contra correlaciones de ISO-9300, datos experimentales y numéricos de Wu-Yan [2] y el
modelo analítico de Stratford [3].
INTRODUCCIÓN
Una gran cantidad de elementos de medición de
flujo se han desarrollado con el propósito de ser
considerados como referencia primaria, para
lograrlo, se han fabricado dispositivos cuyo
desempeño en la práctica sea idéntico a las
predicciones teóricas; en este sentido las toberas
sónicas
de
flujo
crítico
han
exhibido
comportamientos de carácter primario [4].
Hoy en día, organizaciones que promueven la
normalización, como la International Organization
for Standardization (ISO) promueven el uso de
normas de referencia para el diseño, construcción,
instalación y uso de las toberas de flujo critico con la
finalidad de ser empleadas para la medición de flujo
másico de gases [1]. En dicho documento se
establece que para alcanzar altos estándares de
exactitud en la metrología de flujo por medio de
toberas de flujo critico es necesario determinar el
coeficiente de descarga de la tobera, ya sea por
medios analíticos o numéricos.
El coeficiente de descarga Cd es el parámetro más
importante y de más peso en el campo de la
metrología de flujo crítico, este coeficiente
contempla
las
correcciones
por
efectos
multidimensionales en el campo de velocidad del
flujo, los efectos viscosos en la región de capa
límite, y los efectos por irreversibilidad del flujo. Es
decir que todos los efectos que lo alejan de un
comportamiento ideal están compensados por el
coeficiente de descarga.
Actualmente existen trabajos que determinan el
coeficiente de descarga en forma analítica, aunque
la gran mayoría están orientados hacia al estudio
bajo capa límite laminar [3,5,6]. El coeficiente de
descarga se puede expresar como la relación entre
el gasto másico obtenido en forma experimental y el
determinado en forma teórica, como lo muestra en
la siguiente relación.
Cd =
mreal
mideal
(1)
donde mreal es el gasto másico determinado
experimentalmente por medio de un patrón primario
de medición, y mideal es el gasto másico obtenido en
forma teórica bajo un enfoque unidimensional y gas
ideal, se observa entonces que el coeficiente de
descarga es un factor de corrección en el flujo,
dicho de otra forma es un factor de calibración de la
tobera.
BASE TEORICA PARA LA DETERMINACIÓN
DEL COEFICIENTE DE DESCARGA
Para determinar el coeficiente de descarga el flujo
es dividido en dos regiones, bajo los siguientes
enfoques:
• Considerando los esfuerzos viscosos. En
esta región el coeficiente de descarga depende
del crecimiento de la capa límite y de su
espesor de desplazamiento.
• Considerando efectos no unidimensionales.
En esta región el coeficiente de descarga sólo
es función de la distorsión del perfil de
velocidades en el núcleo del flujo debido a la
curvatura de la tobera.
un enfoque unidimensional, razón por la cual no se
encuentra definido el valor del primer miembro.
La determinación del coeficiente de descarga, bajo
estos enfoques sigue los lineamientos de Stratford
[3] quien expresa el coeficiente de descarga de la
siguiente forma:
El espesor de desplazamiento de capa límite δ*
puede ser determinado a partir del coeficiente de
fricción dado por Felsch [7]. La ecuación de Felsch
determina el coeficiente de fricción superficial bajo
régimen turbulento, flujo incompresible y placa
plana, por lo que la misma será corregida para flujo
compresible y adecuada a la geometría de la tobera.
C d = m − (1 − n )
(2)
Donde Cd es el coeficiente de descarga
considerando flujo irreversible, real, y no
unidimensional, el término m representa el
coeficiente de descarga considerando flujo no
unidimensional (en realidad el flujo prácticamente
tiene un comportamiento bidimensional debido a la
simetría de la tobera), mientras que el término n es
el coeficiente de descarga bajo esfuerzos viscosos.
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE
DESCARGA EN LA CAPA LÍMITE TURBULENTA
Determinación del espesor de
desplazamiento de la capa límite turbulenta
C f = 0.058 (0.93 − 1.95 log H i )
1.705
“El flujo másico que pasaría en una tobera en ausencia
de esfuerzos viscosos es mayor al que pasaría cuando
existe capa límite”.
Por lo anteriormente comentado, la disminución del
gasto másico debido a los esfuerzos viscosos, se
puede evaluar, restando al área de la garganta el
área donde existen esfuerzos viscosos, es decir, el
área que ocupa el espesor de desplazamiento. Este
espesor se define como la distancia que la frontera
sólida tendría que desplazarse en un flujo para
producir el déficit de flujo másico por efecto de la
capa límite, de esta forma se tendría un área
efectiva de paso. El coeficiente de descarga
expresado en la ecuación (2), puede ser asociado
con el espesor de desplazamiento de la capa límite
(δ*), como se expresa en la siguiente ecuación.
4δ ∗
Cd = m −
d
(3)
Esta ecuación sólo expresa el coeficiente de
descarga debido a los esfuerzos viscosos a partir de
−0.268
(4)
La ecuación anterior cuenta con dos parámetros Hi
y θ, lo que la convierte en una ecuación
característica para flujos con gradiente de presión.
De la ecuación (4) es posible obtener el espesor de
desplazamiento δ* por medio de la definición del
coeficiente de forma (H).
δ ∗ = H (0.077714 Re x
[1 + 0.12786Ma ]
2 − 0.578
El coeficiente de descarga para la zona de
esfuerzos viscosos puede ser determinado a partir
del espesor de desplazamiento de la capa límite,
bajo la siguiente consideración:
Reθ
− 0.2113564
(0.93 − 1.95 log H i )1.3446372
(5)
x)
El coeficiente de forma para flujo compresible se
puede expresar en función de una temperatura de
referencia de la pared de la tobera y el número de
Mach [8], como se muestra a continuación.
HC =
9 Tw  k − 1 2  7  k − 1  2
Ma  + 
Ma
 1 +
7  To 
2
 9 2 
 T  k − 1 2  1 5 Tw  Tw 
1 + 
Ma  +
− 1 − w 1 +
2
 3 9 To  To 
 To 
(6)
}
El cociente Tw/To es la distribución radial de
temperaturas en el plano de la garganta de la tobera
y es una condición de frontera de la tobera que
depende del número de Prandtl del fluido.
Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5), y
evaluando para las condiciones señaladas a
continuación, se obtiene la ecuación (7) para
determinar el espesor de desplazamiento (δ*).
Flujo crítico Ma=1
Factor de forma incompresible turbulento: Hi=1.3
Distribución radial de temperaturas (Pr=0.7):
Tw/To=0.98133
Relación de calores específicos: k=1.4
−0.2113564
(7)
δ ∗ = 0.07621 Re x
x
La expresión anterior fue evaluada para fluidos con
número de Pr igual a 0.7 y relación específica de
calor igual a 1.4 (gases diatómicos), ya que los
gases con estas características son ampliamente
usados en ejercicios de caracterización y/o
calibración.
4d
2d
3o
3o
2.5d
d
Fig. 1 Configuración geométrica de la tobera con radio
de curvatura igual a 2d bajo norma ISO.9300.
Determinación de la longitud equivalente X
La ecuación (7) puede ser expresada en función de
una longitud equivalente denominada por X, la cual
considera el crecimiento de la capa límite turbulenta
a una razón de x4/5 .
δ∗
− 0.2113564
= 0.07621Rex
X
d
(8)
La cantidad X, es una longitud equivalente al
crecimiento de la capa limite a un número de Mach
constante igual al número de Mach local, sobre una
distancia x, en la que se alcanzaría el mismo
espesor que la capa límite local. Este parámetro se
puede definir de la siguiente forma [9]:
X = P −1 ∫ PdL
(9)
Donde P es una función del gradiente de presión
que depende del número de Mach, y L es una
longitud característica de la tobera definida como
x/d. Cuando no existe gradiente de presión el valor
de la función P se hace constante y la longitud
equivalente X toma el valor de la longitud
característica L. Para integrar la ecuación (9), es
necesario relacionar la derivada de L con la
variación del número de Mach a través de la
curvatura de la tobera.
Distribución del número de Mach en la tobera
Para obtener una relación entre la longitud
característica L y el número de Mach en el interior
de la tobera, se puede partir de la relación de áreas
para flujo isentrópico, unidimensional y k=1.4. La
cual es expandida por series de Taylor, alrededor de
Mach igual a uno.
A
5
25
2
= 1 + (M − 1) −
(M − 1)3 + 65 (M − 1)4 + ....
A∗
6
54
108
(10)
Por otro lado, la relación de áreas, también se
puede expresar en función de la longitud
característica L y del diseño geométrico de la
tobera, el cual se muestra en la siguiente figura.
A
= 0.3787 L4 + 1.2308L2 + 1
A∗
(11)
Igualando las relaciones de áreas de las ecuaciones
(10) y (11), se puede obtener el valor de la longitud
característica L.
L = 0.9886M 3 − 2.5998M 2 + 3.1886M − 1.5703
(12)
Derivando la expresión anterior se puede obtener
una relación entre las derivadas de la longitud
característica L y el número de Mach. Derivando L y
sustituyendo en la ecuación (9), se obtiene el valor
de la longitud equivalente X, la cual resulta:
X = 0.24228
(13)
El valor de X es sustituido en la ecuación (8), para
obtener finalmente el coeficiente de descarga en
función del número de Reynolds de la garganta,
bajo condiciones de flujo estrangulado, mostrado en
la ecuación (3).
Cd = m − 0.0996 Red
−0.2113564
(14)
Nuevamente se deja en claro que la expresión
anterior sólo contempla el coeficiente de descarga
por esfuerzos viscosos del fluido, por lo que el
primer miembro de estas ecuación no se encuentra
definido.
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE
DE DESCARGA PARA FLUJO NO VISCOSO
En el núcleo del flujo los efectos viscosos no son
significativos, por lo que el flujo puede ser tratado
como irrotacional, en esta zona existe flujo no
unidimensional debido a las fuerzas centrífugas
creadas por la contracción de la tobera. La
existencia de un gradiente de presión en la garganta
produce una fuerza igual y opuesta a la fuerza
centrífuga en cada elemento de volumen de flujo
para mantener condiciones estacionarias. El
coeficiente de descarga en esta zona es función del
comportamiento no unidimensional del flujo. Para
determinar este coeficiente se aplica la segunda ley
de Newton sobre una partícula de fluido a través del
eje normal, la cual concluye con la deducción de la
ecuación de Euler, esta expresión representa el
gradiente de presiones a través de la dirección
radial de la tobera para flujo no viscoso.
∂P
ρ v2
=−
∂Y
R
(15)
Donde Y es la distancia del eje de la tobera a
cualquier punto en el flujo, mientras que R es el
radio de curvatura con respecto a algún punto de
referencia fuera de la tobera. El radio de curvatura
es inversamente proporcional a la curvatura de la
tobera, la cual se puede denominar por κ,
considerando que la curvatura es proporcional a la
distancia Y , (es decir κ∝Y), y que puede
incrementarse linealmente desde un valor de cero
en el eje hasta un valor final en la pared de la
tobera, se puede establecer la siguiente relación:
κ = κ w Y Yw . Donde el subíndice w indica la pared
de la tobera. Por otro lado el cociente Y/Yw se
puede expresar mediante una variable adimensional
o de referencia, de la siguiente forma: Y = Y Yw . La
distancia Yw es la distancia del eje de la tobera a la
pared de la misma, si la atención es limitada al
plano de la garganta, el valor de Yw corresponde a
la mitad del diámetro de la garganta. Tomando en
cuenta las consideraciones anteriores la ecuación
(15) es integrada en el plano de la garganta de la
tobera, donde hipotéticamente Ma es igual a 1, por
lo que el término ρv2 será expresado y evaluado
para Ma igual a 1.
P − P1 = −
(
1
ρ v2
8
)
Ma =1
[Y
2
− Y1
2
]
(16)
Por otro lado el gradiente de presión de la expresión
anterior se puede relacionar con el número de Mach
por medio de la relación de áreas de la tobera
expandida por series de Taylor alrededor de M=1,
dada por la ecuación (10), esta ecuación es
relacionada con el gradiente de presiones mostrado
en la ecuación (16) mediante la diferenciación de la
ecuación (17), la cual relaciona el gradiente de
presiones con el número de Mach, como se muestra
en la ecuación (18).
(
P Po = 1 + 0.2 M 2
)
− 3.5
M − 1 = − 6 7 (P − P1 P1 )
Sustituyendo el gradiente de presiones expresado
en la ecuación (16) en la relación anterior, se
obtiene la siguiente expresión:
M −1 = − 6
2
P
) (d 2r )(Y
M =1
−Y 1
2
2
)
(19)
El término (ρv2/P)M=1 es igual a la relación de
calores específicos k cuando el flujo es considerado
ideal y se encuentra en la condición critica. Por otro
lado el radio de curvatura para la tobera en estudio
es igual a dos veces el diámetro de la garganta
(r=2d). Bajo la condición de gas ideal y tomando un
valor de (k=1.4), la ecuación (19) toma la siguiente
forma, a la cual se le designará por la letra β:
(
β = M − 1 = −0.15 Y − Y 1
2
2
)
(20)
Esta expresión es sustituida en la relación de áreas
dada por la ecuación (10) para evaluar el cambio de
las propiedades termodinámicas del fluido en
función de la relación de áreas.
5 2 25 3
A
= 1 + [β ] − [β ] + ....
A*
6
54
(21)
Por otro lado, también se puede establecer la
relación de áreas en función de diferenciales de
área alrededor del plano de la garganta de la tobera,
como lo muestra la siguiente ecuación:
a π dY 2
=
a t π dYt 2
(22)
En la expresión anterior, el término a representa la
área considerando un enfoque no unidimensional
del flujo; por otro lado, el término
área bajo un enfoque unidimensional, mientras que
Y es la distancia radial entre el eje de simetría y la
pared de la tobera. Esta expresión puede
expresarse en función de una distancia radial
adimensional Y y del diámetro de la garganta
2
a dY d 2
=
at dYt 2 4
(23)
Las relaciones de áreas expresadas en las
ecuaciones (21) y (23) pueden ser igualadas en la
vecindad de la garganta y agrupadas de la siguiente
forma para facilitar su manejo:
(17)
(18)
(ρv
28
2
5
1 + [β
6
]2
dY
25
−
[β
54
π d Yt
π d2
4
2
]3
65
+
[β
10
]4
=
(24)
El factor común en la igualdad anterior es el
parámetro Y el cual es la única variable, ya que los
demás factores permanecen constantes para M=1.
La expresión anterior puede ser integrada con
respecto a Y 2 . Para facilitar la integración, se
realiza una expansión en series de Taylor alrededor
de Y 2 = Y 12 .
(25)
0.995
0.993
0.991
El numerador del lado izquierdo de esta expresión
representa el área de la garganta bajo un enfoque
no unidimensional, mientras que el denominador
representa una hipotética área unidimensional, por
lo tanto este cociente representa el error al
considerar flujo unidimensional en el interior de la
tobera, dicho de otra forma, este cociente es igual al
coeficiente de descarga debido a la curvatura del
flujo bajo un enfoque bidimensional para un flujo no
viscoso . El valor del coeficiente Y 1 que representa
la posición en la garganta a la cual la velocidad es
sónica, puede ser determinado a partir de la
consideración de que el área evaluada para este
parámetro es menor en comparación con el área
unidimensional en la misma garganta, por lo que el
coeficiente de descarga tiene un máximo con
respecto a la variación de Y 1 en el plano de la
garganta de la tobera. La expresión anterior es
derivada con respecto a Y 1 e igualada a cero para
determinar un máximo de este valor (Y1 = 0.7071067 ) .
RESULTADOS
El
coeficiente
de
descarga
por
efectos
bidimensionales del flujo, es obtenido mediante la
sustitución de Y 1 en la serie mostrada en la
ecuación (25), dando como resultado un valor de
0.99844 para los primeros cien términos de la serie.
Sustituyendo este valor en la ecuación (14), se
obtiene el siguiente modelo analítico para
determinar el coeficiente de descarga.
C d = 0.99844 − 0.0996 Re −0.2113564
Comparación de Cd
0.997
Cd
π Yt 2
2
4
= 0.99414 + 0.017188Y 1 − 0.016406Y 1 − ....
π d2
4
Stratford [3], y la correlación experimental sugerida
por la norma ISO-9300.
(26)
A continuación se muestra en forma grafica en la
figura 2, la comparación entre el coeficiente de
descarga propuesto en la ecuación (26) para
diferentes números de Reynolds y los obtenidos en
forma experimental y numérica por Wu-Yan [2], así
como los determinados a partir de la correlación de
0.989
0.987
0.985
0
5
NRe x 10-5
Cd experimental
Cd numérico
Cd propuesto
Cd Stratford
10
Cd ISO-9300
Fig. 2 Curva de comparación de
coeficientes de descarga.
CONCLUSIONES
Este método de cálculo es aplicable únicamente a
condiciones de flujo para las cuales la transición de
flujo laminar a turbulento ocurre a cortas distancias
corriente arriba de la entrada de la tobera por lo que
la capa límite puede ser tratada como turbulenta en
su totalidad. Por otra parte se han identificado dos
principales factores que impactan directamente
sobre el coeficiente de descarga:
• La acumulación de capa límite a lo largo de las
paredes de la tobera debido a los efectos
viscosos del gas real.
• La variación de la presión en la dirección radial
debido a las fuerzas centrífugas las cuales
existen en el gas como resultado de la
contracción de la tobera.
El coeficiente de descarga bajo esfuerzos viscosos
considera un gradiente de temperaturas en la capa
límite para números de Pr igual a 0.7, ya que la
mayoría de los gases que se cuantifican por medio
de toberas sónicas tienen este valor.
El coeficiente de descarga para flujo no viscoso fue
determinado fuera de la capa límite, es decir, fuera
de la interferencia de esfuerzos viscosos, por lo que
es correcto manejar la determinación de este
coeficiente bajo un enfoque de flujo irrotacional . Sin
embargo durante el desarrollo de los cálculos
también estuvo inmersa la consideración de gas
ideal, ante esta situación la relación de calores
específicos k fue igualada con el cociente (ρv2/P)M=1.
Para gas no ideal como es el caso de los fluidos que
se manejan con toberas sónicas esta igualdad no se
cumple, por lo que se sugiere determinar el cociente
(ρv2/P)M=1 en forma numérica o experimental. Por
otro lado la relación de áreas expresada por la
ecuación (10) fue determinada bajo un enfoque de
gas ideal y unidimensional por lo que se sugiere sea
determinada en forma numérica bajo un campo de
flujo bidimensional, considerando que la tobera tiene
una configuración perfectamente simétrica. Las
consideraciones anteriores permitirán determinar el
coeficiente de descarga con mayor exactitud, lo que
permitirá caracterizar el coeficiente de descarga con
gran precisión.
δ*
θ
ρ
subíndices
t
valores en la garganta de la tobera
superíndices
*
condiciones criticas del flujo
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
Nomenclatura:
A,a
Cd
d
Hi
Hc
k
Ma
L
p
P
Pr
r
Red
Reθ
Rex
v
X
x
Y
área
coeficiente de descarga.
diámetro de la garganata de la tobera
factor de forma para placa plana y flujo
incompressible (H=δ*/θ)
factor de forma en la sección convergente de la
tobera (flujo compresible)
relación especifica de calores
no. de Mach
distancia equivalente referida al diámetro de la
garganta (x/d)
presión estática.
parámetro definido en la ecuación (10)
número de Prandtl
radio de curvatura de la tobera.
número de Reynolds basado en el diámetro de
la garganta.
número de Reynolds basado en el espesor de
momentum de la capa límite.
número de Reynolds basado la longitud axial
“x” de la placa
velocidad del flujo.
distancia equivalente definida en la ecuación
(10)
coordenada axial
coordenada radial
espesor de desplazamiento de la capa límite
espesor de momentum de la capa límite
densidad del aire
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Measurement of fluid flow in closed conduits,
Section 1.3 Method of measurement of gas flow
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Verlag, 1986.
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no. 3207, Aeronautical Research Council
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