3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL AN´ALISIS FUNCIONAL

3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS FUNCIONAL
1. EL TEOREMA DE HAHN–BANACH
Teorema. (Teorema de Hahn–Banach, forma analı́tica)
Sea X un espacio normado, M un subespacio vectorial, m∗ ∈ M ∗ un funcional lineal y continuo sobre M .
Entonces existe un funcional lineal y continuo sobre X, x∗ ∈ X ∗ que extiende a m∗ (x∗ (x) = m∗ (x) para
todo x ∈ M ) y tal que kx∗ k = km∗ k.
Consecuencias. Sea X es un espacio normado.
1. Dado x ∈ X, existe x∗ ∈ X ∗ con kx∗ k = 1, tal que kxk = x∗ x. Por tanto kxk = max{|x∗ x| : kx∗ k ≤ 1}.
2. Dado x ∈ X, x = 0 si y sólo si x∗ x = 0, para todo x∗ ∈ X ∗ .
3. Si X 6= {Θ}, entonces X ∗ 6= {Θ}.
4. Un subespacio vectorial M es denso si y sólo si para todo x∗ ∈ X ∗ que se anula sobre M (x∗ (m) = 0 para
todo m ∈ M ) se tiene x∗ = 0.
2. EL TEOREMA DE BANACH–STEINHAUS
Teorema. (Teorema de Baire)
Sea (X, d) un espacio métrico completo y (Fn ) conjuntos cerrados con interior vacio. Entonces ∪n Fn tiene
interior vacio.
Nota. Se dice que un conjunto es diseminado si su clausura tiene interior vacio (es muy pequeño); es de
primera categorı́a si es unión numerable de conjuntos raros (es pequeño); es de segunda categorı́a si no es de
primera categorı́a (es grande).
Teorema. (Teorema de Banach–Steinhaus o Principio de acotación uniforme)
Sean X y Y espacios de Banach y (Tα )α∈A una familia de operadores lineales y continuos de X en Y . Si se
cumple que
para todo x ∈ X existe Mx > 0 tal que kTα xk ≤ Mx , para todo α ∈ A,
entonces existe M > 0 tal que kTα k ≤ M , para todo α ∈ A.
Consecuencias.
1. El lı́mite puntual de una sucesión de operadores lineales y continuos entre dos espacios de Banach, es un
operador lineal y continuo.
2. A ⊂ X es acotado si y sólo si para todo x∗ ∈ X ∗ , se tiene sup{|x∗ x| : x ∈ A} < +∞.
3. A ⊂ X ∗ es acotado si y sólo si para todo x ∈ X, se tiene sup{|x∗ x| : x∗ ∈ A} < +∞.
3. TEOREMAS DE LA APLICACIÓN ABIERTA Y DEL GRAFO CERRADO
Teorema. (Teorema de la aplicación abierta)
Sean X y Y espacios de Banach y T : X −→ Y un operador lineal, continuo y sobreyectivo. Entonces T es
abierto.
Consecuencias.
1. Un operador lineal y continuo entre espacios de Banach que sea biyectivo es un isomorfismo.
2. Sea X un espacio vectorial y k · k1 y k · k2 dos normas que lo hagan completo y tales que k · k1 ≤ C · k · k2 ,
entonces son normas equivalentes.
Análisis Funcional, 2011/12
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Tema 3: Teoremas fundamentales del análisis funcional
Proposición. Si f : X −→ Y una aplicación continua entre espacios topológicos Hausdorff, entonces el
grafo de f , {(x, f (x)) : x ∈ X} es cerrado en X × Y .
Teorema. (Teorema del grafo cerrado)
Sean X y Y espacios de Banach y T : X −→ Y un operador lineal cuyo grafo es cerrado, entonces T es
continuo.
Corolario. Si T : X −→ Y es lineal y cumple que xn → 0 y T xn → z implican que z = 0, entonces T es
continuo.
4. APLICACIONES
Proposición. (`∞ )∗ 6= `1 .
Proposición. Extensión del concepto de lı́mite a `∞ (lı́mites de Banach).
∗
Proposición. Sea (xn ) una base
P∞de Schauder de X. Entonces los funcionales coeficientes xn : X −→ R
∗
definidos por xn (x) = an si x = 1 an xn son lineales y continuos.
Teorema. Una sucesión (xn ) es una base de Schauder de un espacio de Banach X si y sólo si cumple
xn 6= 0, para todo n, el subespacio vectorial generado por (xn ) es denso en X, y existe K > 0 tal que si
n ≤ m y ak ∈ R se tiene
n
m
°X
°X
°
°
°
°
ak xk k ≤ K · °
ak xk °.
°
1
1
Teorema. El sistema de Haar es una base de Schauder en Lp [0, 1], 1 ≤ p < +∞.
Teorema. El sistema de Schauder es una base de Schauder en C[0, 1].
Teorema. (Teorema
P de Muntz)
Sea λn > 0 con
1/λn = +∞, entonces las combinaciones lineales de elementos de {1, xλn : n ∈ N} son
densas en C[0, 1].
Teorema. (du Bois-Reymond, 1873)
Existe una función continua en T cuya serie de Fourier no converge en algún punto.
5. PROBLEMAS
• Probar que L2 [0, 1] es de primera categorı́a en L1 [0, 1].
• Usando el teorema de Baire probar existen funciones f [0, 1] → R continuas que no son derivables en ningún
punto.
• SeaP
(an ) una sucesión de números realesPque cumple que dada cualquier sucesión (xn ) con lim xn = 0, la
serie
an xn es convergente. Probar que
|an | < ∞.
• Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y seaP
A = (ank ) una matriz doblemente infinita tal que si (xk ) ∈ `p entonces la sucesión
(zn ) definida por zn = k ank xk , está en `p . Probar que A(xk ) = (zn ) define un operador lineal y continuo
de `p en `p .
P
• Sea (xn ) una sucesión en un espacio de Banach X tal que para cierto 1 ≤ p < ∞ se cumple que |x∗ xn |p <
∞, para todo x∗ ∈ X ∗ . Probar que existe C > 0 tal que
¡ X ∗ p ¢1/p
|x xn |
≤ C · kx∗ k para todo x∗ ∈ X ∗ .
R1
• Comprobar que en C([0, 1]) con la norma kf k1 = 0 |f (x)| dx no se cumple el teorema de Banach-Steinhaus
R1
(considerar la sucesión un (f ) = n 0n f (x) dx).
• Demostrar que toda norma en C[0, 1], que lo haga espacio de Banach y que implique la convergencia
puntual, es equivalente a la norma del supremo.
Análisis Funcional, 2011/12
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