integracion

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Carlos Orihuela Romero, MSc
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN
En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa
de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F´(x) de
una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de
cambio de una función F´(x) y lo que se desea es obtener la función F(x) o la función
original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o
antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o
antiderivada de F´(x).
En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas.
5.1 Integral Indefinida
Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) se expresa matemáticamente como:
∫ f ( x )dx = F ( x ) + c
(5.1)
El lado izquierdo de la expresión (5.1) se lee: “la integral indefinida de f de x con
respecto a x”. El símbolo
∫
denota una integral mientras que “c” es la constante de
integración.
5.1.1 Reglas básicas de integración
a) Regla 1: La integral de una constante k es:
∫ kdx = kx + c
(5.2)
Ejemplo 5-1. ∫ 5dx = 5x + c
b) Regla 2: La integral de una potencia es:
1
n
n+1
∫ x dx = n + 1x + c
Ejemplo 5-2.
( n ≠ −1)
(5.3)
1
3
4
∫ x dx = 4 x + c
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
125
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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c) Regla 3: la integral de una función exponencial es:
akx
∫ a dx = k ln a + c
kx
Ejemplo 5-3. ∫ 23x dx =
(5.4)
23x
+c
3ln2
d) Regla 4: La integral de una función exponencial natural es:
kx
∫ e dx =
Ejemplo 5-4. ∫ 9e −3x dx = 9 ∫ e −3x dx =
ekx
+c
k
(5.5)
9e −3x
+c
−3
e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es:
1
∫ x dx = ln x + c
Ejemplo 5-5. ∫ 3x −1dx = 3 ∫
(x > 0)
(5.6)
1
dx = 3ln x + c
x
5.1.2 Condiciones iniciales y condiciones de frontera
En muchos problemas una condición inicial (y=y0 cuando x=0) o una condición de
frontera (y=y0 cuando x=x0) es dada para determinar la constante de integración, c.
Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si
y = ∫ 2dx = 2x + c
sustituyendo y = 11 cuando x = 3,hallamos el valor de c:
11 = 2(3) + c → c = 5
Por lo tanto, y = 2x + 5. Note que aun cuando c es especificado,
∫ 2dx
permanece
como integral indefinida porque x no esta especificado. Entonces, la integral 2x+5
puede asumirse como un infinito número de valores.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
126
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5.2 Integral Definida
El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral
definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la
integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la
misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común
a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción
b
b
∫a f(x)dx = F(x) a = F(b) − F(a)
(5.7)
De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada
como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el
siguiente Gráfico 5-1.
Gráfico 5-1
y
y=f(x)
0
a
b
x
Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener
áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las
integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales
indefinidas solo permiten obtener funciones.
Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1)
4
2 4
4
∫1 10xdx
y (2)
3
3
∫1 (4x + 6x)dx
= 5(4)2 − 5(1)2 = 75
(1)
∫1 10xdx = 5x
(2)
3
3
4
2
4
3
4
2
∫1 (4x + 6x)dx = ⎡⎣ x + 3x ⎤⎦1 = ⎡⎣(3) + (3) ⎤⎦ − ⎡⎣(1) + 3(1) ⎤⎦ = 104
1
serán:
3
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
127
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5.3 Excedente del consumidor y el excedente del productor
Una función de demanda P1 = f1(Q) como en el Gráfico 5-2a representa los diferentes
precios que el consumidor esta dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un
bien. Si el mercado esta en equilibro en un punto como (Q0, P0), entonces los
consumidores estarán dispuestos a pagar más de P0. El beneficio total para los
consumidores esta representado por el área sombreada, la cual se denomina
excedente del consumidor, EC. Esta área equivale a la diferencia entre lo que el
consumidor esta dispuesto a pagar y lo que realmente paga.
Q
EC = ∫0 0 f1(Q)dQ − Q0P0
(5.8)
Una función de oferta P2 = f2(Q) como en el gráfico, representa el precio al cual
diferentes cantidades de un bien será ofertado. Si el equilibrio de mercado sucede en
(Q0, P0), los productores que ofertan a un precio menor a P0 se beneficiaran. Este
beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual equivale al área
sombreada del Grafico 5-2b. Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el
productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su
producto.
Q
EP = Q0P0 − ∫0 0 f2 (Q)dQ
Gráfico 5-2a
(5.9)
Gráfico 5-2b
P
P
f2(Q)
P0
P0
f1(Q)
Q0
Q
Q0
Q
Ejercicio 108: Dada una función de demanda, p = 42 – 5q – q2, y asumiendo que el
precio de equilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor.
Solución. Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6:
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
128
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42 – 5q – q2 = 6, q0 = 4
Ahora, el excedente del consumidor será:
4
(
)
EC = ∫0 42 − 5q − q2 dq − ( 4 )( 6 )
Gráfico 5-3
4
1 ⎤
⎡
EC = ⎢ 42q − 2.5q2 − q3 ⎥ − 24
3 ⎦0
⎣
EC = (168 − 40 − 21.3 ) − 0 − 24 = 82.7
p
EC
6
p = 42 − 5q − q2
4
q
Ejercicio 109: Dada la función de oferta, p = (q+3)2, encuentre el excedente del
productor cuando p0=81.
Solución.
6
2
EP = ( 81)( 6 ) − ∫0 ( q + 3 ) dq
Gráfico 5-4
6
3⎤
⎡1
EP = 486 − ⎢ ( q + 3 ) ⎥
⎣3
⎦0
p
EP = 252
EP
p =
( q + 3 )2
81
6
q
Ejercicio 110: Dada la función de demanda pd = 25 – q2 y la función de oferta ps = 2q +
1 y asumiendo competencia perfecta, encuentre el
a) Excedente del consumidor.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
129
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b) Excedente del productor.
Solución. En competencia perfecta, demanda = oferta:
2q + 1 = 25 − q2
de donde q0 = 4, lo que implica p0 = 9
a) Excedente del consumidor:
4
(
)
EC =∫0 25 − q2 dq − ( 9 )( 4 )
4
1 ⎤
⎡
EC = ⎢ 25q − q3 ⎥ − 36
3 ⎦0
⎣
1 3⎤
⎡
EC = ⎢25 ( 4 ) − ( 4 ) ⎥ − 0 − 36 = 42.67
3
⎣
⎦
a) Excedente del productor
4
EP = ( 9 )( 4 ) − ∫0 ( 2q + 1) dq
4
EP = 36 − ⎡⎣ q2 + q⎤⎦ = 16
0
Gráfico 5-5
p
25
EC
ps = 2q + 1
9
1
EP
pd = 25 − q2
4
q
Ejercicio 111: Dadas las funciones de demanda y oferta:
P = 20 − 0.05q
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
(1)
130
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P = 2 + 0.0002q2
(2)
a) Halle el precio y la cantidad de equilibrio. Grafique.Determine el excedente del
consumidor, el excedente del productor y el bienestar social.
b) Si el precio de equilibrio aumenta 2 unidades, obtenga la variación del bienestar.
•
Si se aplica un impuesto al productor de 4 unidades por unidad vendida.
c) Determine el nuevo precio y cantidad de equilibrio. Grafique
d) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el
bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafique
e) ¿Qué monto del impuesto paga cada agente por unidad?
f)
¿Cuál es la recaudación del gobierno?
•
Si el gobierno ha decidido otorgar un subsidio de 3 unidades por unidad
vendida.
g) Determine el nuevo precio y cantidad de equilibrio. Grafique
h) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el
bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafique
i)
¿A cuanto asciende el gasto en subsidios del gobierno?
Solución.
a) Para hallar el equilibrio debemos de igualar las ecuaciones (1) y (2) y resolver.
Gráfico 5-6
20 – 0.05q = 2 + 0.0002q2
0.0002q2 + 0.05q – 18 = 0
q0 = 200
P0 = 10
P
20
P=2+0.0002q2
10
P=20-0.05q
2
200
400
q
b) El excedente del consumidor y el excedente del productor se hallará por integración,
ya que tenemos una función de demanda no lineal.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
131
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
EC0 = ∫
200
0
Carlos Orihuela Romero, MSc
Gráfico 5-7
( 20 − 0.05q ) − 10q
0.05q2
EC0 = 20q −
2
200
− 10x200
P
0
EC0 = 1000
P=2+0.0002q2
20
EP0 = 10q − ∫
200
0
( 2 + 0.0002q ) dq
2
q3
EP0 = 10x200 + 2q − 0.0002
3
EC0
200
0
10
EP0 = 1066.67
B0 = EC0 + EP0
2
P=20-0.05q
EP0
B0 = 1000 + 1066.67
q
200
B0 = 2066.67
c) Si el precio aumenta 2 unidades con respecto al equilibrio, el nuevo precio es:
P1 = 12 y reemplazando en la ecuación de demanda, la cantidad demandada es
q1 = 160 .
EC1 = ∫
160
0
Gráfico 5-8
( 20 − 0.05q ) dq − (12 )(160 )
0.05 2
EC1 = 20q −
q
2
160
− (12 )(160 )
0
EC1 = 640
EP1 = (12 )(160 ) − ∫
160
0
( 2 + 0.0002q ) dq
q3
EP1 = (12 )(160 ) − 2q + 0.0002
3
P
P=2+0.0002q2
EC1
20
2
160
0
EP1 = 1326.93
12
10
B1 = EC1 + EP1
B1 = 640 + 1326.93
P=20-0.05q
2
EP1
B1 = 1966.93
160
200
q
La variación del bienestar será la diferencia de B1 - B0 = 1966.93 - 2066.67 = -99.74
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
132
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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d) El gobierno decide aplicar un impuesto al productor de 4 unidades por unidad
vendida lo cual genera una desigualdad en el precio que paga cada agente (PC ≠ Pp),
nuestro nuevo equilibrio será:
Pp = p C - t
(1)
Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán:
Demanda
Pp = 20 – 0.05q
(2)
Oferta
PC = 2 + 0.0002q2 + 4
(3)
Reemplazamos (2) y (3) en (1) y resolvemos la ecuación:
20 – 0.05q = 2 + 0.0002q2 + 4
0.0002q2 + 0.05q – 14 = 0
q2=167.62
Hallamos el precio para cada agente (consumidor y productor), reemplazando x en (2)
y (1).
PC = 20 - 0.05(167.62) PC = 11.62
Pp = PC - t
Pp = 11.62 - 4 = 7.62
Gráfico 5-9
P
P=6+0.0002q2
P=2+0.0002q2
Pc= 11.62
10
Pp =7.62
P=20-0.05q
167.62 200
q
e) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y
la pérdida de eficiencia social.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
133
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
EC 2 = ∫
167.62
0
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( 20 − 0.05q ) dq − 11.62q
EC2 = 20q −
0.05 2
q
2
167.62
EP2 = 11.62q − ∫
167.62
0
( 6 + 0.0002q ) dq
2
q3
EP2 = 11.62x167.62 − 6q − 0.0002
3
− 11.62x167.62
0
EC2 = 702.24
EP2 = 628.06
B2 = EC2 + EP2
B2
B2 = 702.24 + 628.06
B2 = 1330.3
La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-7 y se hallará por
una diferencia de integración de la función de demanda y oferta.
( 20 − 0.05q )dq − ∫167.62 ( 2 + 0.0002q2 )dq
167.62
PES2 = ∫
200
200
0.05q2
PES2 = 20q −
2
PES2
200
167.62
0.0002q3
− 2q +
3
200
167.62
PES2 = 350.012 -284.125
PES2 = 65.89
Gráfico 5-10
P
EC2
P=6+0.0002q2
P=2+0.0002q2
Tc
Tp
Pc=11.62
A
Pe=10
B
Pp=7.62
6
C
P=20-0.05q
EP2
2
167.62
200
q
f) Para hallar el impuesto que asume cada agente por unidad, se observa en la gráfica:
TCONSUMIDOR = PC – P*= 11.62 -10 = 1.62
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
134
167.62
0
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TPRODUCTOR = P* - PP = 10 – 7.62 = 2.38
g) La recaudación del gobierno al implantar este impuesto es 4x167.62=670.48
h) Si el gobierno otorga al productor un subsidio de 3 unidades por unidad vendida,
genera también una desigualdad en el precio que paga cada agente ( Pc ≠ Pp ), nuestro
nuevo equilibrio será:
(1)
Pp = Pc + s
Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán:
Demanda
Pp = 20 - 0.05q
(2)
Oferta
Pc = 2 + 0.0002q2 – 3
(3)
20 - 0.05q = 2 + 0.0002q2 - 3
Reemplazamos (2) y (3) en (1):
0.0002q2 +0.05q -21 = 0
q3 = 222.31
Hallamos el precio para cada agente reemplazando q en (2) y (1).
Pc = 20 – 0.05(222.31)
Pc = 8.88
Pp = Pc
Pp = 8.88 + 3 = 11.88
-
t
Gráfico 5-11
P
20
P=2+0.0002q2
P=-1+0.0002q2
PP = 11.88
10
Pc= 8.88
2
P=20-0.05q
200
222.31
400
q
i) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y
la pérdida de eficiencia social.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
135
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
EC3 = ∫
222.31
0
EC3
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( 20 − 0.05q ) dq − 8.88q
0.05 2
EC3 = 20q −
q
2
222.31
− 8.88x222.31
0
EC2 = 1236.54
222.31
EP2 = 8.88 * 70.71 + ⎡( 8.88x222.31 − 70.71) − ∫
( −1 + 0.0002q2 ) dq⎤⎦⎥
70.71
⎣⎢
EP3
⎡
q3
EP2 = 627.91 + ⎢1346.199 − −q + 0.0002
3
⎢⎣
222.31
70.71
⎤
⎥
⎥⎦
EP3 = 2437.12
B3 = EC3 + EP3
B3
B3 = 1236.54 + 2437.12
B3 = 3673.66
La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-10 y se hallará por
una diferencia de integración de la función de oferta y demanda.
PES3 = ∫
222.31
200
PES3
( 2 + 0.0002q )dq − ∫
2
222.31
200
0.0002q3
PES3 = 2q +
3
222.31
200
( 20 − 0.05q )dq
0.05q2
− 20q −
2
222.31
200
PES3 = 243.75 - 210.66 = 33.09
Gráfico 5-12
P
EC3
P=2+0.0002q2
P=-1+0.0002q2
B
PP = 11.88
10
A
Pc= 8.88
C
P=20-0.05q
EP3
200 222.31
q
j) El gasto del gobierno por implantar el subsidio es: 3 x 222.31=666.93
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
136
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5.4 Problemas resueltos
La integral es ampliamente aplicada en la economía. Quizá su mayor uso es en el
campo de la microeconomía, puesto que se utiliza para calcular el excedente del
consumidor y el excedente del productor. Sobretodo en la valoración económica de los
impactos ambientales
Ejercicio 112: La tonelada de un mineral cuesta US$ 46. Los estudios indican que
dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2
US$/semana. ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?.
Solución. Como
10
dP
= 0.09 + 0.0006x 2 ⇒ ∫ 0.09 + 0.0006x 2 dx
dx
0
(
)
El precio dentro de 10 semanas será:
10
⎡
0.0002x 3 ⎤
P = 46 + ⎢0.09x +
⎥ = 46 + 1.1 = 47.1
3
⎣
⎦0
Ejercicio 113: Obtenga la cantidad producida de maximiza la utilidad y las
correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si IMg = 24 - 6q – q2
y CMg = 4 - 2q – q2 , siendo Img el ingreso marginal y Cmg, el costo marginal.
Solución.
Asumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal y costo marginal se
interceptan y determinan el precio y la cantidad demandada. Entonces,
24 - 6q – q2 = 4 – 2q –q2
q=5
Como UMg = IMg - CMg ( UMg: utilidad marginal) entonces,
UMg = 20 – 4q
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
137
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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El dato es la utilidad marginal ( UMg =
dU
) y se desea obtener es la utilidad total (U).
dq
Entonces, es necesario “integrar” la primera función para (UMg) obtener la segunda
función (U) o función original.
5
U = ∫0 ( 20 − 4q )dq
5
U = ⎡⎣20q − 2q2 ⎤⎦ = 50
0
Se ha evaluado desde 5 a 0 puesto que q = 5 es el valor que maximiza la utilidad, es
decir, el punto máximo.
Ejercicio 114: La tasa de inversión neta esta dada por I (t) = 140t3/4, y el stock inicial de
capital en t = 0 es 150. Determine la función de capital K.
Solución. La función K será:
K = ∫ 140t 3 4 dt = 140 ∫ t 3 4 dt
⎛4
⎞
K = 140 ⎜ t 7 4 ⎟ + c = 80t 7 4 + c
⎝7
⎠
pero c = K0 = 150 entonces, K = 80t7/4 + 150
Ejercicio 115: Hallar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la
utilidad total en dicho punto s las funciones de ingreso marginal y costo marginal son
respectivamente,
I´(x) = 25 - 5x - 2x2
C´(x) = 10 - 3x – x2
Solución. Una forma de solucionar es obtener el ingreso total y el costo total para
luego obtener el beneficio y finalmente, determinar el máximo valor de la última
función. La forma más directa es obtener el beneficio marginal y luego determinar el
beneficio. Con esta última se determina el valor máximo.
I´ - C´ = B´
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
138
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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25 – 5x - 2x2 – (10 - 3x – x2) = B´
15 – 2x –x2 = B´
(beneficio marginal)
Integrando B' se obtiene B:
B = ∫ (15 − 2x − x 2 )dx = 15x − x 2 −
x3
3
Determinando el máximo en B:
dB
= 15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ x = 3
dx
Evaluando este valor en B se tiene 27.
Ejercicio 116: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el
consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo.
Solución.
dc
ds 2
= 1−
=
dx
dx 3
2
2
c = ∫ dx = x + C
3
3
x = 0 ⇒ c(0) =11 ⇒ C = 11
Por lo tanto: c =
2
x + 11
3
Ejercicio 117: Si la función de demanda es P = 85 - 4x – x2, hallar el excedente del
consumidor cuando a) x = 5 y b) P = 64
Solución.
a) x = 5
5
EC = ∫ (85 − 4x − x 2 )dx − 5x40
0
EC = 133.3
b) P = 64
64 = 85 − 4x − x 2 (para obtener el valor de x)
x=3
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
139
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3
EC = ∫ (85 − 4x − x 2 )dx − 3x64
0
EC = 36
Ejercicio 118: La cantidad demandada y el correspondiente precio –en competencia
perfecta- se determinan con las funciones de demanda y oferta respectivamente:
Pd = 36 − x 2 y Po = 6 +
x2
. Determinar el excedente del consumidor y productor
4
Solución. Primero se determina el precio de equilibrio:
Pd = Po
x2
4
De donde: x = 2 6 , P = 12 (coordenadas de integración)
36 − x 2 = 6 +
EC =
2 6
2
∫ (36 − x )dx − (2 6)(12)
0
EC = 32 6 ≈ 78.4
EP = (2 6)(12) −
2 6
∫
0
(6 +
x2
)dx
4
EP = 8 6 ≈ 19.6
Ejercicio 119: Una compañía esta considerando la adición de vendedores a su nómina.
El costo del empleo de vendedores adicionales es: 5y2 = 48x, donde “y” es el costo del
empleo, “x” es el número de vendedores adicionales empleados, siendo el ingreso
adicional: (R-2)2 = 4(x+10), donde R es el ingreso. La compañía empleará vendedores
adicionales hasta cuando el costo de esta adición iguale al ingreso adicional. Se pide
obtener:
a) El número de vendedores adicionales (Recuerde que en este caso, Img = Cmg) y el
costo respectivo
b) Ingreso neto total (ingreso menos costo)
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
140
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
y, R
5y2=48x
(R-2)2=4(x+10)
x
Solución.
De la primera condición:
De la segunda condición:
5y 2
(costo marginal)
48
R2
x=
− R − 9 (ingreso marginal)
4
x=
Igualando x, y además dado que R=y (Img = Cmg):
7y2 – 48y - 432 = 0
De donde: y=12 y entonces, x=15
Para encontrar el ingreso neto total solo se requiere encontrar el área entre la curva
superior y la curva inferior, delimitada por el “equilibrio” (12,5). Es decir, el área
encerrada entre ambas curvas que equivalen al ingreso marginal menos costo
marginal. Note que la integración debe realizarse en el eje Y, y no en el eje X dado
que la integración será en términos de y. Sea el ingreso total neto (ITN):
12
⎛ 5 2 1 2
⎞
y − y + y + 9) ⎟ dy
ITN = ∫ ⎜
4
⎠
0 ⎝ 48
12
⎡ y2
7 3⎤
ITN = ⎢ + 9y −
y ⎥ = 72 + 108 − 84 = 96
144 ⎦ 0
⎣2
Si hubo equivocación entre la diferencia de ambas curvas, es decir, en lugar de Cmg Img se planteó Img - Cmg el resultado sería el mismo pero con signo negativo. Nótese
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
141
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
que en este caso lo correcto es la diferencia Cmg - Img porque estamos evaluando en
el eje Y y no en el eje X, donde SI debería ser lo contrario.
Ejercicio 120: Dadas las funciones de oferta y demanda: p = 20 – 0.05x y p = 2 +
0.0002x2, encuentre:
a) Precio y cantidad de equilibrio
b) Excedente del productor y excedente del consumidor y bienestar social
c) Si el precio de equilibrio aumenta 2 unidades, obtenga la variación del bienestar
Solución.
a)
20 – 0.05x = 2 + 0.0002x2
0.0002x2 + 0.05x - 18 = 0
x0 = 200 ⇒ p0 = 10
b)
EC0 =
∫
200
0
(20 − 0.05x − 10)dx
200
EC0 = ⎡⎣10x − 0.025x 2 ⎤⎦
0
EP0 =
∫
200
0
= 1000
(10 − (2 + 0.0002x 2 ))dx
200
⎛
x3 ⎞
EP0 = ⎜ 8x − 0.0002 ⎟
2 ⎠0
⎝
= 1067
B0 = EC0 + EP0 = 2067
c) Ahora: P1 = 12, reemplazando este precio en la función de demanda se tiene que:
x1 = 160
EC1 =
∫
160
0
(20 − 0.05x)dx − (12)(160)
160
0.05 2 ⎤
⎡
EC1 = ⎢ 20x −
x ⎥
2
⎣
⎦0
− (12)(160)
EC1 = 640
EP1 = p1x1 −
∫
x1
0
(2 + 0.0002x 2 )dx
EP1 = (12)(160) −
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
∫
160
0
(2 + 0.0002x 2 )dx
142
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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160
EP1 = (12)(160) − ⎡⎣2x + 0.0002(x 3 / 3)⎤⎦
0
EP1 = (12) (160) – 593.07 = 1326.93
B1 = EC1 + EP1 = 640 +1326.93 = 1966.93
∆B = B1 – B0 = 1966 - 2067 = -101
Ejercicio 121: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el
consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo.
Solución.
Por identidades sabemos que c = 1 - s, por lo tanto hallando su derivada se obtiene
dc
ds 2
= 1−
= , de allí por integración a la propensión marginal a consumir hallamos
dx
dx 3
2
2
la función de consumo c = ∫ dx = x + C (ecuación general), por último con los
3
3
datos dados en el problema se puede obtener la solución particular para la función de
consumo x = 0 ⇒ c (0) =11 ⇒ C = 11.
Por lo tanto: c =
2
x + 11 .
3
Ejercicio 122: Asuma que el kilo de huevo cuesta S/. 4.6. Los estudios indican que
dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2 soles
x semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevo dentro de 10 semanas?
Solución.
La tasa de cambio esta representada por la siguiente ecuación:
dp
= 0.09 + 0.0006x 2 ⇒
dx
10
∫ (0.09 + 0.0006x
2
)dx
0
Es el aumento del precio en 10 semanas. Entonces, dentro de 10 semanas:
10
P = 4.6 +
∫ (0.09 + 0.0006x
2
)dx = 4.6 + 1.1 = 5.7
0
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
143
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5.5 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio se
determina por la función de demanda p =
c=
1
(10 − q )2 y el costo total es
4
q3
+ 5q . Determinar el excedente del consumidor. Rpta: 26/3
4
2. Cuando la maquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de
220 (x – 10) soles por año. ¿En que cantidad se deprecia la maquina al cumplir
dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su costo fue de S/- 12,000.
Rpta: S/. 3,960.
3. Dado dC dY = 0.6 +
0.1
y C = 45 cuando Y=0, obtenga la función de consumo,
Y
3
C. Rpta: C = 0.6Y + 0.15 Y2/3 +45
4. La propensión marginal al ahorro esta dada por dS/sY = 0.5 – 0.2Y-1/2. Existe
desahorro de 3.5 cuando el ingreso es 25, es decir, S = −3.5 cuando Y=25.
Obtenga la función de ahorro. Rpta: S = 0.5Y – 0.4Y1/2 - 14.
5. El costo marginal esta dado por CM = dCT/cQ = 25 + 30Q – 9Q2. El costo fijo es
55. Encuentre (a) el costo total, (b) el costo medio y (c) la función costo variable.
Rpta. (a) 25Q + 15Q2 - 3Q3 + 55,
(b) 25 + 15Q – 3Q2+ 55/Q,
(c) 25Q +15Q2 - 3Q3.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION
144