Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural COMPORTAMIENTO

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
COMPORTAMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS EN EDIFICIOS
Cesar Augusto Arredondo Vélez 1, Eduardo Reinoso Angulo1,3 y Eduardo Miranda
2,3
RESUMEN
Se modela paso a paso el comportamiento de cuerpos rígidos con diferentes relaciones de forma ubicados en
distintos niveles de edificios tanto del valle de México como de Acapulco y sometidos a eventos provenientes
de fuentes cercanas y lejanas. Se hace una rápida estimación del movimiento en la base del contenido en un
nivel del edificio a través de un modelo simplificado cuya exactitud fue probada en un trabajo paralelo a este
(Arredondo y otros, 2004). Se presentan escenarios de riesgo para el volcamiento de contenidos así como
expresiones para determinar la amplificación del movimiento en un nivel del edificio.
ABSTRACT
The behavior of rigid bodies with different shape ratios, located in some levels of buildings of the valley of
Mexico and Acapulco, under events of near and distant source is modeled step by step. A fast estimation of
the movement in the base of the content in a level of the building becomes through a simplified model whose
accuracy was proven in a parallel work to this (Arredondo and others, 2004). Scenarios for toppling of
contents appear as well as expressions to determine the amplification of the movement in a level of the
building.
INTRODUCCIÓN
El control de pérdidas por daño en contenidos es primordial debido a que, con pocas excepciones, en la
mayoría de edificios industriales, almacenes y oficinas, estos representan la mayor parte del costo total de la
inversión para propietarios y ocupantes. Además el daño en los mismos está asociado a fuerzas y niveles de
deformación más pequeños que los requeridos para iniciar el daño estructural.
Para valorar el peligro en la base de contenidos en diferentes niveles de un edificio, es necesario tener una
adecuada estimación de la distribución espacial de aceleraciones horizontales en cada uno y de la
amplificación de la intensidad máxima del suelo con la altura, ya que el colapso de los mismos está asociado a
sus valores pico (Ishiyama, 1982). Bajo estos lineamientos, en este trabajo el movimiento en la base del
contenido es obtenido a través de un modelo simplificado de la estructura (Miranda y Taghavi, 2004) cuya
validez fue probado tanto en edificios instrumentados en México (Arredondo y otros, 2004) como en Estados
Unidos (Miranda y Taghavi, 2004; Taghavi y Miranda, 2004; Reinoso y Miranda, 2004).
El propósito de esta investigación es modelar y evaluar la respuesta de cuerpos rígidos ubicados en diferentes
niveles de edificios que se encuentran en varios sitios tanto de la Ciudad de México como de Acapulco. Se
presenta una solución numérica para resolver las ecuaciones no lineales del movimiento de balanceo libre de
un cuerpo rígido rectangular ante un evento en su base, asumiendo que el coeficiente de fricción es lo
suficientemente grande como para que no se presente deslizamiento y considerando la pérdida de energía cada
1
Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería, Delegación Coyoacán, 04310
México, Distrito Federal, Teléfono: (55) 5622-3476 EXT 27; [email protected];
[email protected]
2
Departamento de Ingeniería Civil y Ingeniería Ambiental, Universidad de Stanford, Stanford, CA 943054020; [email protected]
3
ERN Ingenieros Consultores, S. C. Desierto de los Leones No 46 Casa 2; Colonia San Ángel 01000
México D. F.
1
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
vez que se presenta el choque con la superficie de apoyo. El modelo permite estimar rotaciones, velocidades y
aceleraciones angulares de cuerpos tanto esbeltos como robustos. Trabajos previos han estudiado el caso
lineal asociado a cuerpos esbeltos (Housner, 1963; Ishiyama, 1982; Santa Cruz y otros, 2000; Psycharis y
otros, 2002) y el no lineal (Spanos y Koh, 1984; Makris y Roussos, 1998) de cuerpos rígidos simétricos
sometidos a movimientos sísmicos en su base; sin embargo estos han apuntado a modelar su respuesta cuando
se encuentran en campo libre, sin considerar las implicaciones relacionadas con el tipo de estructura portante
(muros, marcos, sistemas duales, entre otros) y el nivel donde se localizan en su interior.
CÁLCULO SIMPLIFICADO DE MOVIMIENTOS EN DIFERENTES NIVELES DE UN EDIFICIO
MODELO SIMPLIFICADO
Para este trabajo, a través del modelo de Miranda y Taghavi (2004), se estimaron rápidamente historias de
aceleraciones en edificios regulares en planta y altura ubicados en diferentes sitios del valle de México y
Acapulco, sometidos a eventos tanto de subducción como de falla normal y con distribución uniforme de
rigideces en altura. Las propiedades dinámicas de edificios de varios niveles se aproximan empleando un
modelo continuo equivalente que consiste de una viga vertical en voladizo que combina deformaciones
laterales de flexión y cortante (ver figura 1) y su respuesta no amortiguada en vibración libre, cuando esta
sujeto a aceleración horizontal en su base esta dada por la ecuación 1.
Viga de flexión
Viga de cortante
Elementos biarticulados
axialmente rígidos
Figura 1 Modelo simplificado para estimar propiedades dinámicas en edificios de varios niveles
ρ ∂ 2 u ( x, t )
EI o
∂t 2
1 ∂ 4 u ( x, t ) α ∂ 2 u ( x, t )
− 4
=0
H4
∂x 4
H
∂x 2
2
+
(1)
Donde H es la altura total del edificio, ρ es la masa por unidad de longitud y α es un parámetro adimensional
dado por la ecuación 2; en adelante se usará la relación Xi/H para indicar una fracción de la altura total del
edificio.
GAo
(2)
α2 = H2
EI o
Donde EIo y GAo son la rigidez lateral en la viga de flexión y cortante.
El método combina la aplicación de un análisis modal utilizando los seis primeros modos de vibrar con un
modelo simplificado de la estructura a partir del cual se estiman formas modales, factores de participación y
relación de frecuencias modales. Se considera comportamiento elástico lineal en los edificios y se ha
extendido a estructuras con distribución no uniforme de rigideces respecto a la altura (Miranda y Taghavi,
2004) mostrando que en edificios que se comportan como una viga a flexión este efecto es despreciable
mientras que para estructuras cuyo comportamiento es gobernado por el cortante el efecto es relativamente
pequeño. Si se considera que ρ y la distribución de rigideces en altura son uniformes, las aceleraciones en
cada nivel para una estructura con comportamiento elástico se pueden obtener como la superposición de la
respuesta de todos los modos de vibrar según la ecuación 3.
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m
m


u&&t ( x, t ) = 1 − ∑ Γiφ i ( x) ⋅ u&&g (t ) + ∑ Γi Ai (t )
i =1

 i =1
(3)
Donde m es el número de modos considerados en la respuesta, Γi es el factor de participación del i-esimo
modo de vibrar, φi(x) es la amplitud de la i-esima forma modal a una altura x, Ai(x) es la aceleración absoluta
de un SDOF con un periodo y amortiguamiento correspondientes al modo i y ǖg(t) es el movimiento del suelo.
PARÁMETROS CONSIDERADOS
El modelo permite considerar diferentes valores de amortiguamiento crítico para cada uno de los seis modos
de vibrar; en este trabajo un mismo valor de amortiguamiento se considera para todos los modos. Solo se
requieren tres parámetros para determinar las diferentes demandas a cierta altura del edificio: el período
fundamental de vibración del edificio T, el amortiguamiento ξ y α, que controla el grado de participación de
las deformaciones por efectos tanto de cortante como de flexión. Valores típicos de α para edificios a base de
muros de concreto están entre 0 y 2, con sistemas de rigidez combinados (marcos y muros de cortante o
marcos y contraventeos) están entre 1.5 y 5 y con marcos estructurales entre 5 y 15 (Miranda y Reyes, 2002).
CASOS ESTUDIADOS Y EVENTOS REGISTRADOS
El análisis consistió en determinar los movimientos e intensidades pico en diferentes niveles de estructuras
ubicadas en tres sitios de la Ciudad de México y tres sitios en Acapulco. En el valle de México se eligieron
los sitios SCT (Secretaria de Comunicaciones y Transportes) y CDAO (Central de Abastos) en terreno blando
caracterizados por evidenciar importantes niveles de amplificación respecto a suelo firme y en transición el
sitio VI (Viveros). Para Acapulco se eligieron tres sitios en suelo blando: los sitios ACAC (Casa de la
Cultura) y ACAD (La Diana) ubicados sobre sedimentos con espesores de 30 m y mayores a 35 m
respectivamente mientras que el sitio ACAZ (La Zanja) está localizado sobre depósitos de arena, limo y
arcilla de espesor desconocido (Gutiérrez y Singh, 1992). Estos sitios corresponden a estaciones
acelerométricas de la Ciudad de México y Guerrero cuyos registros en dirección EW, para los fines de este
trabajo, se consideran como la excitación en la base de cada estructura. Se asume que los ejes principales de la
estructura están orientados en la misma dirección que los ejes cardinales. Los eventos considerados en cada
caso y algunas de sus características se indican a continuación (ver tabla 1 y figura2).
Figura 2 Ubicación de las estaciones consideradas (estrellas) y epicentros de los eventos de falla
normal (rombos) y subducción (círculos)
3
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
Tabla 1 Algunas características de los eventos registrados
Características
Distancia
(km)
Amax suelo
2
(m / s )
Origen
Magnitud (M)
Latitud (N)
Longitud(W)
Prof. (Km)
SCT
CDAO
VI
ACAC
ACAD
ACAZ
SCT
CDAO
VI
ACAC
ACAD
ACAZ
(1)
(2)
Eventos
(3)
(4)
(5)
190985
250489
230594
140995
300999
Subducción
8.0
18.140
102.71
16
1.5945
0.7560
0.5346
415
420
412
345
341
354
Subducción
6.9
16.580
99.480
17
0.3641
0.3274
0.1596
0.9081
3.2281
1.4350
312
310
307
50
54
41
Normal
6.2
18.030
100.57
50
0.0769
217
219
212
152
149
161
Subducción
7.3
16.730
98.540
22
0.4418
0.6086
0.2122
300
297
297
145
148
138
Normal
7.4
16.030
96.960
47
0.2025
0.2944
0.2462
0.3347
0.1860
441
436
440
330
334
322
- Problemas con el registro: no existe, sin preevento o sin la fase intensa completa.
En trabajos previos y a través de mediciones de vibración ambiental, cocientes espectrales o funciones de
transferencia, Reinoso y Lermo (1989) y Jaimes (2002) estimaron en los sitios VI, SCT y CDAO para el valle
de México y respecto a la estación CU (Ciudad Universitaria) valores de los periodos de vibración del suelo
alrededor de 0.5, 2 y 3.3 segundos respectivamente. En Acapulco, Gutiérrez y Singh (1992) indican que la
amplificación observada en los sitios seleccionados en este trabajo ocurre sobre una amplia banda de
frecuencias y tiene características complejas tomando valores entre 6 y 25 respecto a la estación VNTA (La
Venta) ubicada en terreno firme. Lazares (2003) estudia la respuesta dinámica del suelo de Acapulco y
encuentra para el sitio ACAD que el período fundamental y el factor de amplificación relativa promedio
respecto a la estación VNTA valen 0.23 segundos y 12.4 respectivamente.
Se consideraron dos tipos de estructuras en el análisis: la primera a base de muros de concreto (α = 2.5) y la
segunda cuya resistencia es aportada principalmente por marcos de concreto reforzado (α = 25). En ambos
casos se varío el período fundamental estructural entre 0.1 y 6 segundos y se adoptaron valores del
amortiguamiento crítico del 2 % y 5%. Las fracciones de la altura total para las cuales se obtuvieron las
historias de aceleración fueron Xi/H = 0.25, 0.50, 0.75 y 1(cero corresponde a la base y uno equivale a la
azotea).
MÁXIMAS INTENSIDADES Y FACTORES DE AMPLIFICACIÓN BASE - AZOTEA
Generalidades
Debido a que la normatividad no es muy clara respecto a las fuerzas que actúan sobre cuerpos dentro del
edificio, los ingenieros de la práctica en la mayoría de los casos obvian su respuesta y se centran en cumplir
con los requerimientos necesarios para que la estructura portante se comporte de cierta forma ante un nivel de
intensidad; con ello se olvidan de que el daño en equipos y contenidos ubicados en diferentes niveles de los
edificios está asociado a intensidades y valores de deformación más pequeños que los requeridos para iniciar
el daño estructural.
En general, las normas de diseño no dejan muy claro a que tipo de elementos secundarios (contenidos,
equipos, elementos no estructurales, entre otros) se refiere, pues solo específica los casos de apéndices y
demás elementos cuya estructuración difiere totalmente de la del resto del edificio. Lo antes mencionado nos
limita a cuerpos en el interior del edificio con masa despreciable en comparación con las de los pisos de las
construcciones que los contienen, despreciando una posible interacción entre dichos elementos y la estructura
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portante y permitiendo obtener las respuestas de cada sistema de forma independiente. En el caso de las
normas NTCS-2002 y para la Ciudad de México, el numeral 8.4 se refiere a las fuerzas sísmicas a emplear en
un análisis estático que actúan sobre elementos secundarios e implícitamente propone una variación lineal de
la amplificación de la intensidad máxima a nivel del terreno; esto lo hace considerando el parámetro c’ el cual
vale cero a nivel del suelo o base de la estructura y toma el valor del coeficiente sísmico (c) a nivel de la
azotea (ver figura 3).
c ' = c ⋅ xi / H
Figura 3 Distribución de amplificaciones de la intensidad en altura de un edificio según la NTCS-2002
La intensidad amplificada (cc) respecto a la aceleración máxima del suelo (ao), a la que se verá sometido un
cuerpo se puede estimar según las normas NTCS-2002 si consideramos la variación en altura del parámetro c’
(ver ecuación 4); el valor del parámetro ao está dado en la tabla 3.1 de las mismas normas y representa la
ordenada espectral que corresponde a T = 0 en el espectro de diseño.

c ' 
c c = a o ⋅ 1 +
 ao 


(4)
Según lo planteado en el numeral 3 por la NTCS-2002 y la ecuación 4, las máximas intensidades en
fracciones de la altura total (Xi/H) de un edificio regular de 0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.0 serían del orden de 1, 2, 3,
4 y 5 veces la intensidad máxima en el suelo respectivamente; esto considerando que en promedio la relación
c/ao = 4 para las diferentes zonas de la Ciudad de México. La razón de enfatizar en este trabajo sobre las
restricciones que los reglamentos de diseño plantean es tener un punto de comparación frente a las
amplificaciones que se obtienen a través del modelo simplificado y así poder establecer si se está
sobrestimando o subestimando su valor en la práctica.
Resultados obtenidos
Se calculó para cada caso, la historia de aceleraciones en los diferentes niveles de los edificios analizados para
conocer el factor PFA/PGA que indica cuántas veces se amplificó el movimiento en un nivel del edificio
(Xi/H) respecto a la máxima intensidad en la base del mismo; el termino PFA significa Peak Floor
Acceleration mientras que PGA significa Peak Ground Acceleration. El movimiento en la base corresponde al
registro de campo libre de las estaciones acelerométricas.
Con fines ilustrativos, se presentan las aceleraciones calculadas con el modelo de Miranda y Taghavi (2004)
en diferentes alturas de un edificio de marcos de concreto reforzado, ubicado tanto en Acapulco (sitio ACAC)
como en zona de lago de la Ciudad de México (sitio SCT); los resultados (ver figura 4) corresponden a un
edificio que tiene un período fundamental de 2 segundos y un amortiguamiento del 5 %. Se emplearon escalas
verticales diferentes en ambos sitios para poder apreciar tanto el movimiento como su amplificación conforme
se incrementa la altura. Aunque las escalas en la figura no permiten comparar ambos sitios, las intensidades
registradas en la base de la estructura son mayores cuando ésta se encuentra ubicada en Acapulco debido a la
cercanía de la fuente; sin embargo el período del suelo y el contenido de frecuencias respecto a suelo blando
de la Ciudad de México son muy diferentes, que sumado a las características dinámicas del edificio hace que
se amplifique mucho más el movimiento en niveles superiores para suelos con períodos altos.
5
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
Se puede observar que la amplificación en los diferentes niveles del edificio cuando este se encuentra en
Acapulco es mínima, incluso en 0.75 veces la altura total del edificio hay un decremento en las intensidades
del movimiento; el edificio se comporta prácticamente como un cuerpo rígido reflejando básicamente las
ondas superficiales del suelo. Lo contrario ocurre cuando evaluamos la respuesta del edificio en la Ciudad de
México, pues debido al contraste entre las propiedades dinámicas del suelo y la estructura, se presentan
factores de amplificación en los distintos niveles de más de 10 veces la intensidad pico en la base.
Figura 4 Movimientos calculados en diferentes niveles de un edificio de marcos de concreto (α = 25),
ξ = 5 % y un período estructural T = 2 segundos ante el evento del 25 de abril de 1989.
Con la información recopilada de los diferentes análisis para cada combinación de parámetros (T, ξ y α) y un
sitio, obtuvimos escenarios que consideran eventos provenientes de diferentes fuentes (ver tabla 1) y permiten
interpolar valores de la amplificación en un nivel del edificio (Xi/H) respecto a la intensidad pico registrada en
la base (Amax) de una estructura con ciertas propiedades dinámicas. La relevancia de este punto es tanto para
modelar y evaluar el comportamiento de contenidos y elementos no estructurales ubicados en cierto nivel de
un edificio, como para tener una idea de la relación que puede existir entre rigidización estructural y daño.
A continuación se muestran algunos escenarios de amplificación obtenidos de calcular la respuesta estructural
en diferentes relaciones de altura para dos tipos de sistemas estructurales: muros y marcos de concreto (ver
figuras 5a y 5b respectivamente); en adelante, solo se presenta los resultados asociados al 2 % de
amortiguamiento, considerando que valores mayores implican reducción de las intensidades en los niveles
superiores. En esta figura el eje horizontal representa una fracción de la altura total del edificio (Xi/H), el eje
vertical indica el rango de intensidades pico en la base de la estructura y las diferentes curvas de nivel un
determinado factor de amplificación (PFA/PGA) cuyo valor está asociado a la escala de colores que se
presenta. Estas figuras se obtienen interpolando para las intensidades pico del suelo y alturas del edificio los
resultados en cada caso a través del programa SURFER 7.0. Cada columna corresponde a un edificio con
cierto período estructural y cada fila representa el sitio donde este se desplanta.
6
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a)
b)
Figura 5 Escenarios de amplificación en algunos sitios de la Ciudad de México y Acapulco para:
a) edificios de muros de concreto (α = 2.5) y b) edificios de marcos de concreto (α = 25); ξ = 2%
7
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Acapulco, Gro., 2004
Las figuras 4 y 5 permiten interpolar un valor de amplificación en un nivel del edificio de acuerdo a la
intensidad pico en su base y a su período fundamental. Por ejemplo, se puede decir que en la azotea de una
estructura con T = 2.0 segundos y para una intensidad máxima en su base de 1.0 m/s2, en Acapulco (sitio
ACAC) se alcanzan factores de amplificación de 5 y 3 mientras que en la Ciudad de México (sitio SCT) se
presentan valores de PFA/PGA de 11 y 10; en cada caso, el primer valor corresponde a un edificio
estructurado a base de muros y el segundo a base de marcos de concreto.
Los resultados en Acapulco (sitios ACAC, ACAD y ACAZ) se obtuvieron a partir de evaluar con el modelo
el comportamiento lineal de los dos tipos de estructuras ante los eventos 2 y 4 de subducción y 5 de falla
normal (ver tabla 1); los dos primeros sismos con distancias epicentrales de 45 km y 145 km, mientras que el
último a una distancia a la fuente de poco más de 300 km. La mayor intensidad en el terreno fue registrada en
el sitio ACAD, sin embargo esto no produce en un sistema estructural específico o cierto período fundamental
amplificaciones superiores a 5 veces la intensidad pico en la base. Amplificaciones PFA/PGA mayores a 10 se
observaron solo en la azotea de estructuras muy rígidas (T = 0.1 segundos) cuando la intensidad pico del
movimiento en su base estaba por encima de 0.7 m/s2; edificios tanto de muros como marcos de concreto y
periodos estructurales por encima de 1 segundo, presentan dentro del rango de intensidades pico consideradas,
amplificaciones menores a 5 en niveles superiores. Diferencias importantes en la amplificación del
movimiento se observan para un mismo valor de aceleración pico en la base: para una aceleración del suelo
de 1 m/s2 en los sitios ACAD y ACAZ y estructuras muy rígidas se alcanzan amplificaciones menores a 5,
mientras que en el sitio ACAC para esta misma intensidad el factor de amplificación puede ser hasta de 10;
esto esta asociado al contraste de las propiedades del suelo y la estructura.
Para los sitios de la Ciudad de México, se consideraron en todos los casos los eventos 1 y 2 de subducción a
más de 300 km de distancia y como evento de falla normal se eligió para los sitios SCT y CDAO el evento 5 a
más de 400 km mientras que para el sitio VI el evento 3 cuyo epicentro está alrededor de 200 km. Las
máximas intensidades, superiores a 1.6 m/s2, fueron registradas en el sitio SCT ante eventos de subducción.
En los sitios SCT y CDAO, se calcularon amplificaciones superiores a 10 veces la intensidad en la base de la
estructura, en niveles superiores de edificios con períodos entre 2 y 4 segundos; lo mismo no ocurrió en el
sitio VI, en donde las amplificaciones en ningún caso superaron un factor PFA/PGA = 7.
Como se pudo ver, tanto para algunas estructuras ubicadas en Acapulco como en la Ciudad de México,
valores de PFA/PGA mayores de 5 ya se presentan a partir de relaciones de Xi/H mayores a 0.50; esto indica
que las normas están subestimando las fuerzas que bajo ciertas condiciones podrían presentarse pues
consideran valores de amplificación menores de 5 en todos sus niveles, con el máximo en la azotea. Además,
para una misma estructura se pueden obtener valores de amplificación muy diferentes si se encuentra
desplantada, aún en sitios dentro de la misma zona en el valle de México; contrario a lo establecido en las
normas, en las cuales para un mismo nivel del edificio la amplificación es prácticamente la misma
independiente del sitio. En un trabajo previo a este, Reinoso y Miranda (2004) encontraron que en edificios
altos de Estados Unidos, el valor esperado de la amplificación en niveles superiores del edificio no superaba
un factor de 2.5 en azotea mientras que en niveles inferiores alcanzaba valores de 2.0; observaron que las
provisiones dadas por el código eran conservadoras en niveles superiores y subestimaban las intensidades
cerca de la base del edificio. Este tipo de resultados no pretenden sustituir las provisiones y recomendaciones
dadas para diseñó sísmico en el código, solo pretenden aclarar y servir como herramienta de apoyo a futuras
modificaciones de las normas.
De la figura 4 podemos decir que: a) Aún para una estructura idéntica, un mismo valor de intensidad en el
suelo o de la relación Xi/H no implica amplificaciones similares del movimiento debido a la variabilidad en
las propiedades dinámicas del suelo sitio a sitio, b) mayores valores del amortiguamiento ξ implica
reducciones en las amplificaciones en niveles superiores pero no necesariamente cambios en la forma del
escenario, c) las máximas amplificaciones en un sitio se presentan para estructuras con períodos cercanos al
período dominante del suelo y d) α no es un parámetro definitivo en el valor de amplificación en niveles
superiores de un edificio, debido a que en el modelo su función es ajustar los principales picos del espectro de
piso correspondientes a modos superiores (Miranda y Taghavi, 2004). La variación en la amplificación para
dos valores extremos de α (2.5 y 25), en general es mayor del 15 % en el caso de muros (α=2.5).
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Regresiones Obtenidas
Una vez obtenidas las amplificaciones en los sitios seleccionados, para estructuras con diferentes propiedades
dinámicas, se procedió a hacer un análisis de regresión para plantear expresiones que en función de las
variables identificadas como importantes durante la primera etapa del estudio, permitan estimar
confiablemente el valor de la relación PFA/PGA en cierto nivel de un edificio. La exactitud de este tipo de
expresiones está limitada a los valores dados a estas variables en los diferentes casos estudiados; sin embargo
los resultados obtenidos con las mismas se ajustan en buena forma a aquellos calculados con el modelo como
se verá mas adelante. Un estudio más riguroso que considere otros sitios en Acapulco y el valle de México,
eventos provenientes de diferentes fuentes e intensidades y finalmente un rango de valores de α y ξ más
amplio permitirá calibrar mejor los diferentes ajustes.
Se proponen expresiones tanto para suelo blando como para transición en la Ciudad de México y otras para
los sitios seleccionados en Acapulco, en función de el período estructural, el amortiguamiento y la fracción de
la altura del edificio donde se quiere conocer la relación PFA/PGA. Para el caso en suelo blando además se
requiere conocer el período dominante del suelo Ts. A partir de algunos fundamentos de la dinámica
estructura, se establece que estas expresiones deben satisfacer como condición de frontera que PFA/PGA = 1
conforme T tiende a cero, independientemente del amortiguamiento y del parámetro α del modelo; esto se
debe a que la aceleración pico que experimenta un sistema infinitamente rígido durante una excitación sísmica
es igual a la aceleración máxima del terreno. A medida que T se hace muy grande los valores del factor de
amplificación tienden a valores por encima o por debajo de 1.
Después de considerar diferentes tipos de regresiones y evaluar el mejor ajuste a través del programa Curve
Expert 1.3 se decidió adoptar en suelo blando de la Ciudad de México una familia de curvas de forma similar
a la propuesta por Arroyo y Terán (2002) en un trabajo previo relacionado con factores de reducción de
fuerzas sísmicas en el diseño de estructuras con sistemas de disipación de energía (ecuación 5).
θ
T 
 T 
PFA
T / Ts
=  s
⋅ϕ + 0
PGA b + T − 1
Ts
(5)
En la ecuación 5 sólo se modificó el segundo termino de la expresión para asegurar las condiciones de
frontera requeridas y a través de un análisis de regresión basado en mínimos cuadrados, se encontraron
expresiones para los parámetros b, ϕ y θ en función de la relación Xi/H en cada caso (ecuaciones 6, 7 y 8);
no tiene mucho sentido presentar los valores de los coeficientes A, B, C, D, E y F de las ultimas relaciones
debido a que esta por fuera del enfoque de este trabajo y a que son resultados parciales considerando que se
requiere, como mencionábamos, expresiones mas generales que involucren todas las variables que participan.
(
θ = ( X i /H )4 A + ( X i /H )4
b = B ⋅ ( X i / H )C ⋅ H
)
(6)
Xi
(
ϕ = 1 D + E ⋅ ( X i / H ) + F ⋅ ( X i / H )2
(7)
)
(8)
Tanto para transición en la Ciudad de México como para los diferentes sitios considerados en Acapulco, se
adopto una regresión del tipo que se presenta en la ecuación 9.
PFA
= χ ⋅ β T ⋅ T δ + 0T
PGA
(9)
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Los parámetros χ, β y δ que se presentan en las ecuaciones 10, 11 y 12 corresponden a los ajustes para los tres
sitios de Acapulco; el valor de sus coeficientes (F, G, I, J, K, L, M, N y O), de igual forma, no tiene mucho
sentido presentarlo.
(10)
χ = G ⋅ ( X i /H ) I ⋅ X i /H
(
β = 1 J + K ⋅ ( X i / H ) + L ⋅ ( X i / H )2
δ = M + N ⋅ ( X i / H ) + O ⋅ ( X i / H )2
)
(11)
(12)
En las figuras 6 y 7 se presentan tanto los factores de amplificación calculados con el modelo de Miranda y
Taghavi (2004) como los ajustes propuestos para los diferentes sitios del valle de México y Acapulco; lo
anterior para un amortiguamiento del 2 %, los dos tipos de estructuras y las fracciones de la altura total del
edificio consideradas. Se estimaron factores de correlación de 0.8 en suelo blando de la Ciudad de México, en
transición se alcanzaron valores de 0.7 y en Acapulco este varió entre 0.6 y 0.9.
En el caso de terreno blando (sitios SCT y CDAO), las abscisas están normalizadas respecto al período
dominante del suelo (TS) y se observa una forma muy definida de los espectros de amplificación, con un pico
cuando el período del suelo y la estructura coinciden (efecto de resonancia), además de amplificaciones del
movimiento entre base y azotea del edificio de un orden mayor a 12. En el sitio VI de la Ciudad de México,
estructuras con períodos fundamentales de vibrar entre 1 y 3 segundos presentan amplificaciones menores a 7
veces la intensidad pico del movimiento del suelo.
En Acapulco la tendencia es que las amplificaciones del movimiento, en los diferentes niveles del edifico, se
reducen a medida que este es más flexible. Lo anterior es una evidencia de que es posible mitigar el peligro en
contenidos de edificios, ubicados en suelos con una banda ancha de frecuencias de vibración, haciendo la
estructura portante más flexibles y de que existe allí una relación entre rigidización estructural y el daño de
los mismos; en suelo blando de Ciudad de México una forma de reducir el peligro en la base de los
contenidos es alejando el período estructural del fundamental del suelo, ya sea rigidizando o flexibilizando la
estructura.
Figura 6 Factores de amplificación PFA/PGA y ajustes para edificios ubicados en diferentes sitios de
la Ciudad de México; ξ = 2%
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Figura 7 Factores de amplificación PFA/PGA y ajustes para edificios ubicados en diferentes sitios de
la Ciudad de Acapulco; ξ = 2%
RESPUESTA DINÁMICA DE CUERPOS RIGIDOS
Para obtener la respuesta paso a paso de un bloque rígido que oscila cuando es sometido al componente
horizontal de eventos sísmicos registrados en campo libre o en un nivel determinado de un edificio a través de
un modelo simplificado, se asume que el coeficiente de fricción entre la base y el bloque (µ) es lo
suficientemente grande como para prevenir el deslizamiento en cualquier instante y que el cuerpo descansa
sobre una superficie plana y horizontal (ver figura 8).
Figura 8 Oscilación y características de un cuerpo rígido sometido a un sismo en su base
La formulación no lineal del problema esta dada por la ecuación 13 para el caso general (Makris y Roussos,
1998), que describe el movimiento en cada instante de un cuerpo rectangular rotando alrededor de su vértice
en contacto con el suelo.
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..


ug

θ (t ) = − p sin(α ⋅ sgn[θ (t )] − θ (t )) +
cos(α ⋅ sgn[θ (t )] − θ (t ))
g




..
2
(13)
La ecuación 13 está en función de la aceleración del suelo üg, el giro θ(t), la frecuencia característica del
sistema p = (3g/4R)0.5 (Housner, 1963) y el ángulo α = tan-1 (b/h). Los parámetros b y h corresponden a la
mitad de la base y de la altura del cuerpo respectivamente y el cociente h/b representa la relación de forma del
mismo. En esta expresión el prefijo sgn representa la función signo que toma un valor de -1 cuando el giro es
en sentido negativo y de 1 cuando es positivo.
Esta ecuación fue resuelta por Santa Cruz y otros (2000) bajo la suposición de que el cuerpo era esbelto
(α < 20º o h > 2.75 b), para ello emplearon los métodos paso a paso de Newmark y de Recurrencia; la
consideración hecha simplifica el problema y lo reduce a tener una formulación lineal del comportamiento
dinámico del cuerpo rígido. Makris y Roussos (1998) ya habían resuelto el problema a través de un
procedimiento de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales que
consideran el método de integración numérica de Runge – Kutta (Gerald y Wheatley, 1999; Mathews y Fink,
1999); esta solución la obtuvieron empleando subrutinas denominadas ODE del MATLAB (Hanselman y
Littlefield, 1996) y sus resultados numéricos se compararon con los obtenidos de expresiones analíticas para
el caso en que la excitación es un impulso y para registros de sismos de fuente cercana.
En este trabajo se plantea la solución de la ecuación 13 a través del método de la diferencia central media, que
se basa en una aproximación en diferencias finitas de las derivadas respecto al tiempo del desplazamiento
(velocidad y aceleración); esto permite obtener la respuesta para el comportamiento no lineal del cuerpo
rígido de forma mas eficiente, considerando que las subrutinas ODE del MATLAB son procesos iterativos
menos prácticos en términos de tiempo. Para nuestros propósitos, el problema dinámico en estudio se plantea
de acuerdo a la ecuación 14:
..

− m  ..
 u g (t ) ⋅ Rc + g ⋅ Rs 
(14)
θi =


Io 

Donde m es la masa del cuerpo, el momento de inercia del cuerpo rectangular esta dado por Io = (4mR2)/3 y
los valores de los coeficientes RS y RC (ver ecuaciones 15 y 16) dependen del signo del giro θ(t).
R s = R ⋅ sen (α ⋅ sgn [θ (t )] − θ (t ))
(15)
Rc = R ⋅ cos(α ⋅ sgn [θ (t )] − θ (t ))
(16)
La respuesta θ(t) en el instante de tiempo t = i + 1 se calcula a partir de la ecuación del movimiento, sus
derivadas y la respuesta conocida en instantes de tiempo previos; en nuestro caso a partir de los valores de
rotación del cuerpo en los instantes t = i y t = i+1/2 (ver figura 9). Debido a que el problema es altamente no
lineal es posible emplear el método de la diferencia central, solo si se modifican los incrementos de tiempo de
tal forma que ∆t = ∆ti+1/2 = ∆ti+1 - ∆ti y se redefinen los medios pasos para las velocidades (ver ecuaciones 17 y
18). Se asume que se parte del reposo (θ(t) = 0, θ’(t) = 0) y que la aceleración se mantiene aproximadamente
constante entre intervalos de tiempo ∆t, mientras que la velocidad y los desplazamientos varían de forma
lineal y cuadrática respectivamente.
i -1/2
i +1/2
i +1
i
i -1
i -1/2
i +1/2
Figura 9 Tiempos e Intervalos considerados en el método de la diferencia central media
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.
.
..
θ i +1 / 2 = θ i −1 / 2 + ∆t ⋅ θ i
.
θ i +1 = θ i + ∆t ⋅ θ i +1 / 2
(17)
(18)
Las diferentes soluciones obtenidas en este trabajo tienen en cuenta: a) la pérdida de energía debido al
impacto entre el cuerpo y la base; esto se hace a través del coeficiente de restitución r (ver ecuación 19) dado
por Makris y Roussos (1998), que depende de la esbeltez del bloque y que expresa que la velocidad angular
después del impacto es una fracción de la que el cuerpo tenia antes del mismo (ver ecuación 20) y b) el cuerpo
comienza a balancearse en el momento en que supera un cierto límite de intensidad (ecuación 21) obtenido
del equilibrio de momentos en el vértice en contacto con la superficie de apoyo.
 3

r = 1 − sen 2 (α ) 
 2

.
.
θ i +1 = r ⋅ θ i
..
ug > g b
h
2
(19)
(20)
(21)
Diferentes investigadores han presentado valores límites de la intensidad en la base del cuerpo antes de
volcarse, cabe mencionar los siguientes: Housner (1963) considera que el cuerpo se voltea en el instante en
que supera su condición de equilibrio estático (θ(t) > α) y presenta una expresión para la aceleración límite
ante un movimiento senoidal armónico, Ishiyama (1982 y 1984) establece a partir de pruebas de barridos de
frecuencias para diferentes simulaciones que la intensidad necesaria para volcar un cuerpo rígido es la misma
dada por la ecuación 21 (formula de West), Santa Cruz y otros (2000) consideran que el cuerpo se voltea
cuando el ángulo de giro θ(t) > 1.4 radianes (≈ 80o) y en trabajos más recientes Psycharis y otros (2002)
determinan una expresión para la aceleración mínima necesaria para voltear el cuerpo por primera vez, ante
movimientos armónicos en su base, en función de diferentes parámetros que intervienen en su dinámica. En la
figura 10 se presenta una comparación de las dimensiones críticas de volcamiento para cuerpos rígidos,
considerando los diferentes criterios mencionados y el evento del 19 de septiembre de 1985 registrado en la
estación SCT, en suelo blando de la Ciudad de México.
Figura 10 Dimensiones críticas de cuerpos rígidos para diferentes criterios de volcamiento ante el
evento del 19 de septiembre de 1985 en SCT
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A partir de lo observado en la figura 10 (triángulos) se optó por no considerar la expresión propuesta por
Housner (1963) debido a que Makris y Roussos (1998) demostraron que la mínima aceleración pico propuesta
en su trabajo durante vibración libre del cuerpo es incorrecta y debido a ello se sobreestiman por mucho las
dimensiones criticas de los cuerpos; se puede ver en la misma figura que para anchos (b) del cuerpo rígido
mayores a 0.25 m ya se sobreestima en más de 2 veces la altura de volcamiento. Como se verá más adelante el
criterio de considerar el volcamiento después de superar el estado de equilibrio estático se cumple en algunos
casos aunque debido a que se esta modelando el comportamiento no lineal del cuerpo ello puede llevar a
sobreestimar o subestimas las dimensiones críticas. Como criterio de volcamiento se seleccionó el dado por
Santa Cruz y otros (2000) para considerar que el cuerpo superó su condición de equilibrio estático y tener en
cuenta que durante el balanceo de cuerpos rígidos sin deslizamiento se han alcanzado rotaciones mayores al
valor del ángulo (Hogan, 1989).
Verificación del Modelo
Se programó en VISUAL BASIC 6.0 tanto la solución general a través del método de la diferencia central
media como la metodología para cuerpos esbeltos propuesta por Santa Cruz y otros (2000). En adelante
cuando se hable de dimensiones críticas nos referimos a aquellas de la base y altura del cuerpo en estudio para
las cuales se voltea ante un movimiento en su base. Este programa permite obtener: 1) las dimensiones críticas
de bloques rígidos sujetos a movimientos en su base; 2) historias de rotación, velocidad y aceleración angular
y 3) una animación de como responde el cuerpo ante una excitación en su base en determinado instante (ver
figura 11).
Figura 11 Programa para estudiar el comportamiento dinámico no lineal de cuerpos rígidos ante un
sismo en su base
En la figura 12 se presentan los resultados obtenidos con el modelo desarrollado en este trabajo a través del
método de la diferencia central media, a través del modelo de Santa Cruz y otros (2000) y de la solución
obtenida empleando las funciones ODE del MATLAB. Con fines comparativos con los resultados presentados
por Makris y Roussos (1998), se modeló el caso de un bloque de dimensiones b = 0.5 m y h = 1.5 m sujeto al
registro de la estación Rinaldi del sismo de Northridge (17/01/94) escalado al 75 %. Como se puede ver en
esta figura los mejores resultados al resolver el caso no lineal, comparando con los resultados de Makris y
Roussos (1998), se obtienen con el modelo desarrollado en este trabajo.
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Figura 12 Rotación y velocidad angular de un cuerpo rígido sujeto al sismo de falla normal registrado
en la estación Rinaldi en enero de 1994
RESULTADOS OBTENIDOS
La esta parte del trabajo se evalúa la respuesta dinámica de cuerpos rígidos de varias relaciones de forma
(h/b), ubicados en los diferentes niveles de los edificios estudiados y sometidos a los movimientos calculados
en los mismos a través del modelo de Miranda y Taghavi (2004). En las figuras 13 y 14 se muestran las
dimensiones críticas de volcamiento, obtenidos para contenidos de una estructura de 2 segundos de período
fundamental ubicada en los diferentes sitios considerados, para un amortiguamiento del 2 % y ante el evento
de subducción del 25 de abril de 1989.
En las figuras 13 y 14, los rombos representan las dimensiones críticas para un cuerpo rectangular que se
voltea ante cierta intensidad en su base, en este caso la calculada en la azotea del edificio. Se hizo un barrido
de valores para el ancho (2b) de cuerpos rígidos y se estimó a través del modelo que valor de h era necesario
para que se volteara. En estas figuras, la línea de color negro corresponde a un límite propuesto por Housner
(1963) para clasificar cuerpos esbeltos y robustos y la línea color rojo representa la máxima altura de
entrepiso considerada en este trabajo (3 m) para edificios convencionales y que se establece como una cota
superior para la altura del contenido (2h). La línea punteada representa las dimensiones para iniciar el
balanceo de un cuerpo sometido a un movimiento de cierta intensidad; su valor esta dado por la ecuación 21 y
es tomada por Ishiyama (1982 y 1984) como un valor crítico de la intensidad para que ocurra el colapso.
Los resultados del modelo no lineal de cuerpos rígidos presentado en esta investigación, muestran que la
ecuación 21 da buenos resultados en zonas de suelo blando y transición del Valle de México (ver figura 14)
mientras que en diferentes sitios de Acapulco se observa que, para un mismo ancho total 2b del cuerpo, esta
puede subestimar o sobreestimar la altura de volcamiento (ver figura 13). Para edificios a base de marcos de
concreto reforzado ubicados en los sitios ACAC, ACAD y ACAZ, después de un valor de las abscisas de
0.25 m la formula de West presenta valores muy conservadores, mientras que para un edificio en el sitio
ACAC cuya resistencia es aportada principalmente por muros de concreto la misma expresión sobreestima la
altura de volcamiento en valores de 2b < 0.4 m.
En general se pudo observar que los cuerpos esbeltos, correspondientes a las observaciones (rombos) que se
encuentran por encima de la línea color negro, son los más vulnerables y pueden colapsar en los diferentes
niveles de edificios ubicados tanto en el centro como cerca de la costa del Pacífico de México. Es probable
que se volteen algunos cuerpos robustos si: a) están ubicados en niveles superiores de estructuras cuyo
período fundamental es cercano al período del suelo en donde se desplanta, un ejemplo de ello se observó en
el sitio SCT para un α = 25 (ver figura 14) o b) si se encuentran en estructuras desplantadas en sitios cercanos
al epicentro del sismo, como es el caso del sitio ACAD para α = 2.5 y 25 (ver figura 13) a una distancia de
poco mas de 50 km de la fuente del evento 2 (ver tabla 1).
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Figura 13 Dimensiones críticas para el volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en la azotea de
edificios desplantados en la Ciudad de Acapulco; T = 2 segundos y ξ = 2 %
Figura 14 Dimensiones críticas para el volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en la azotea de
edificios desplantados en la Ciudad de México; T = 2 segundos y ξ = 2 %
Con las dimensiones críticas de volcamiento calculadas en los diferentes casos estudiados se obtuvieron
escenarios que relacionan, para los sitios en Acapulco y la Ciudad de México, la ubicación del cuerpo rígido
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dentro del edificio (Xi/H) y la intensidad pico (PFA) en un nivel determinado del mismo a la que este se ve
sometido con la relación de forma h/b (ver figuras 15 y 16). De esta figura es posible interpolar valores de la
relación de forma para las cuales un cuerpo rectangular se voltea cuando esta ubicado en cierto nivel de una
estructura que presenta un período estructural (T); por ejemplo un cuerpo rígido situado en la azotea de un
edificio localizado en zona de lago del valle de México (sitio SCT) y estructurado a base de marcos de
concreto, con un período fundamental de 1 segundo y un amortiguamiento del 2 %, requiere para voltearse
valores de la relación h/b mayores a 4 ante una intensidad de 3 m/s2 (ver figura 16). Las figuras presentan
diferentes escalas en sus ordenadas para evitar extrapolar la información e indicar el rango de valores
considerados en cada caso.
Como se vio en la figura 4 y como se ve en las figuras 15 y 16, aparentemente el valor del parámetro α no es
definitivo para estimar, en estructuras con propiedades dinámicas similares, las máximas intensidades en un
nivel o las dimensiones críticas de cuerpos rígidos produciendo escenarios similares; esto se puede ver en
especial para sitios en suelo blando como SCT (ver figura 16), donde las escalas en las ordenadas para un
mismo período estructural presentan valores semejantes. De nueva cuenta, a la hora de evaluar un probable
peligro para contenidos en edificios, menores amortiguamientos (ξ ) permiten mayores amplificaciones del
movimiento en altura respecto al nivel del suelo; esto es de suma importancia ya que el tipo de movimientos
considerados en la evaluación de la vulnerabilidad de contenidos es de intensidad moderada y para la revisión
del estado límite de servicio ante estos niveles de solicitación se espera que la estructura no se vea afectada o
sufra daño ligero y en el caso de estructuras de concreto sin elementos frágiles se le asocia a ξ un valor del
2 % (Meli y Reyes, 2002).
T = 0.1 s
T = 1.0 s
T = 2.0 s
T = 3.0 s
T = 4.0 s
T = 5.0 s
h/b
PFA
Xi / H
a)
T = 0.1 s
T = 1.0 s
T = 2.0 s
Sitio ACAC; α = 2.5
T = 3.0 s
T = 4.0 s
T = 5.0 s
PFA
Xi / H
b)
Sitio ACAC; α = 25
Figura 15 Valores de la relación de forma (h/b) para volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en
diferentes niveles de edificios de la Ciudad de Acapulco; ξ = 2%
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T = 0.1 s
T = 1.0 s
Acapulco, Gro., 2004
T = 2.0 s
T = 3.0 s
T = 4.0 s
T = 5.0 s
h/b
PFA
Xi / H
a) Sitio SCT; α = 2.5
T = 0.1 s
T = 1.0 s
T = 2.0 s
T = 3.0 s
T = 4.0 s
T = 5.0 s
PFA
Xi / H
b) Sitio SCT; α = 25
Figura 16 Valores de la relación de forma (h/b) para volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en
diferentes niveles de edificios de la Ciudad de México; ξ = 2%
Para valorar adecuadamente cada escenario es necesario considerar que la base de la mayoría de los bloques
encontrados en la práctica presenta valores en el rango 0.15 m < b < 1.0 m y que la relación de forma suele ser
menor de 2.5 (Psycharis y otros, 2002); según lo observado, estas condiciones se presentan cuando el período
estructural y el dominante del suelo son cercanos. En el caso de Acapulco, lo anterior ocurre para niveles
superiores de estructuras muy rígidas con un período estructural entre 0.1 y 1.0 segundos y en algunos casos
aislados cuando T > 3 segundos haciendo h/b < 2; según los resultados obtenidos, pueden colapsar contenidos
ubicados en estructuras de zona de lago de la Ciudad de México si estas presentan un período fundamental
entre 1 y 3 segundos principalmente. Las conclusiones previas manejan el criterio de clasificación de
contenidos robustos con dimensiones típicas pero no quieren decir que otro tipo de cuerpos están exentos de
caer y dañarse para cierta intensidad; en cada escenario es posible asociar para cierta aceleración máxima, las
dimensiones críticas que debería tener un cuerpo (esbelto o robusto), ubicado en cierto nivel de un edificio,
para voltearse.
CONCLUSIONES
Un método simplificado para obtener una rápida estimación de intensidades pico en edificios a base de
marcos (α =25) o muros de concreto (α =2.5), que tienen un comportamiento elástico o cercanamente elástico
y sujetos a sismos en su base, fue empleado tanto para determinar expresiones que relacionen la amplificación
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del movimiento respecto al suelo como para delimitar el comportamiento de cuerpos rígidos ubicados en
diferentes niveles de la estructura con varias relaciones de forma h/b; lo anterior para diferentes sitios de
Acapulco y la Ciudad de México.
Se obtuvo y programó un modelo para estudiar el comportamiento dinámico de cuerpos rígidos, robustos y
esbeltos, ante movimientos en su base provenientes de diferentes orígenes; en el planteamiento se emplearon
y evaluaron las limitaciones de algunos de los principales criterios de volcamiento considerados en
investigaciones previas.
Trabajos posteriores permitirán obtener escenarios completos en función de la amplificación del movimiento
o de las dimensiones criticas de contenidos si se consideran en el primer caso sitios y edificios con
propiedades dinámicas diferentes, sometidos a eventos provenientes de diversas fuentes y en el segundo caso
modelos mas sofisticados de cuerpos tanto flexibles como rígidos para otros tipos de comportamiento,
distribución no uniforme de la masa y sistemas de sujeción y anclaje; su calibración dependerá del empleo de
modelos a escala y dispositivos diseñados para reproducir en laboratorio intensidades y giros esperados.
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