Teoría de Conjuntos I CLAUSURA TRANSITIVA Veamos una aplicación al esquema de recursión para . Todo conjunto se puede extender a un conjunto transitivo y ⊆–mínimo. Proposición. Sea a un conjunto arbitrario. Hay un conjunto b con las siguientes propiedades: 1. a ⊆ b, 2. b es transitivo. Y 3. ∀x a ⊆ x & x es transitivo b ⊆ x . Prueba: Definimos recursivamente bn / n ∈ como sigue: I. b 0 a II. ∀n ∈ b n b n . Esta definición esta justificada por el esquema de recursión para : Aquí: A V, a ∈ V y G . Por lo que Fn b n , para todo n ∈ . Ahora consideremos b b n . Obsérvese que b ∈ V gracias a los axiomas de n∈ reemplazo y unión. Veamos que b cumple lo que se pide: 1. Tenemos, a b 0 ⊆ b n b. n∈ 2. Sean x y y conjuntos tales que x ∈ y y que y ∈ b. Por la definición de b, tenemos que hay un n 0 ∈ con la propiedad de que y ∈ b n 0 . Pero entonces tenemos el hecho siguiente, que x ∈ b n 0 b n 0 ⊆ b 3. Sea c un conjunto transitivo y tal que c ⊇ a. Veamos que b ⊆ c. Por la definición de b y propiedades de la unión, basta ver que ∀n ∈ haremos por inducción. bn ⊆ c y esto lo b 0 ⊆ c Tenemos b 0 a ⊆ c. ∀n ∈ b n ⊆ c b n ⊆ c Sea pues n 0 ∈ y supongamos inductivamente que b n ⊆ c. De esto y de que b n b n , por un lado y por otro, que c es transitivo, tenemos que b n ⊆ c. † Rafael Rojas Barbachano