SESION 03

SESION 03
1. FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA Y SU EMPLEO
1.1 FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F)
A) Deducción Factor Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) o (F/P)
Es el factor fundamental en la ingeniería económica y es la que determina la
cantidad Futuro de dinero F acumulado después de n años (o periodos), a partir
de una única inversión P, con tasa de interés compuesto i por ciento anual (o
por periodo):
Recuerde que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés.
Por consiguiente, si una cantidad P se invierte en el momento t = 0, la cantidad
de dinero futura F1 que se ha acumulado en un año es:
‫ܨ‬ଵ = ܲ + ܲ. ݅ = ܲ(1 + ݅)
‫ܨ‬ଵ = ܲ(1 + ݅)
Al final del segundo año la cantidad F2 es:
‫ܨ‬ଶ = ‫ܨ‬ଵ + ‫ܨ‬ଵ . ݅ = ‫ܨ‬ଵ (1 + ݅) = ܲ(1 + ݅)(1 + ݅)
‫ܨ‬ଶ = ܲ(1 + ݅)ଶ
Igualmente para el tercer año la cantidad F3 es:
‫ܨ‬ଷ = ‫ܨ‬ଶ + ‫ܨ‬ଶ . ݅ = ‫ܨ‬ଶ (1 + ݅) = ܲ(1 + ݅)(1 + ݅)ଶ
‫ܨ‬ଷ = ܲ(1 + ݅)ଷ
Por inducción matemática es evidente que la formula generalizada de la
cantidad acumulada F para n años es:
‫(ܲ = ܨ‬1 + ݅)௡
Esta expresión permitirá determinar el valor Futuro F de una cantidad presente
P, después de n años a una tasa de interés i porcentual anual.
El Factor Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) es,
(1 + ݅)௡
En ingeniería económica se dice el factor (F/P)
B) Deducción Factor Valor Presente Pago Único (FVPPU) o (P/F)
Despejando P en términos de F de la ecuación FCCPU se obtiene:
ܲ = ‫ܨ‬൤
1
൨
(1 + ݅)௡
Esta ecuación permitirá determinar el valor presente P de una cantidad futura F,
después de n años a una tasa de interés i porcentual anual.
El Factor Valor Presente Pago Único (FVPPU) es:
൤
1
൨
(1 + ݅)௡
En ingeniería económica se dice el factor (P/F)
Fig. 1.1: Diagrama de Flujo de Caja para encontrar P o F.
1.2 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE
CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P)
A) Deducción Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) o (P/A)
El valor presente de la serie uniforme mostrada en la figura 1.2, se puede
determinar considerando cada valor de A como un valor futuro F en la formula
de valor presente pago único y luego sumando los valores del valor presente.
Fig. 1.2: Diagrama de Flujo de Caja para encontrar P o A.
La formula general es:
ܲ = ‫ܣ‬൤
1
1
1
1
1
൨+‫ܣ‬൤
൨+‫ܣ‬൤
൨+ ⋯+ ‫ܣ‬൤
൨+‫ܣ‬൤
൨
(1 + ݅)ଵ
(1 + ݅)ଶ
(1 + ݅)ଷ
(1 + ݅)௡ିଵ
(1 + ݅)௡
Donde los términos entre llaves representa (P/F) para los años 1 hasta n,
respectivamente. Factorizando A:
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ܲ = ‫ ܣ‬ቂ(ଵା௜)భ + (ଵା௜)మ + (ଵା௜)య + ⋯ + (ଵା௜)೙షభ + (ଵା௜)೙ ቃ
…(α)
La ecuación (α) se puede simplificar multiplicando ambos lados por 1/(1+i) para
obtener:
௉
(ଵା௜)
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
= ‫ ܣ‬ቂ(ଵା௜)మ + (ଵା௜)య + (ଵା௜)ర + ⋯ + (ଵା௜)೙ + (ଵା௜)೙శభ ቃ
… (β)
Restando (β) menos (α), se obtiene:
ܲ
1
1
−ܲ = ‫ܣ‬൤
−
൨
(1 + ݅)
(1 + ݅)௡ାଵ (1 + ݅)ଵ
Simplificando y ordenando la ecuación se obtiene:
(1 + ݅)௡ − 1
ܲ = ‫ܣ‬ቈ
቉;݅ ≠ 0
݅(1 + ݅)௡
Esta ecuación permitirá determinar el valor presente P de una serie anual
uniforme equivalente A, que comienza al final del año 1 y se extiende durante n
años a una tasa de interés i porcentual anual.
El Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) es:
(1 + ݅)௡ − 1
ቈ
቉;݅ ≠ 0
݅(1 + ݅)௡
En ingeniería económica se dice el factor (P/A)
B) Deducción Factor de Recuperación de Capital (FRC) o (A/P)
Despejando P en términos de A de la ecuación FVPSU se obtiene:
݅(1 + ݅)௡
‫ܲ = ܣ‬ቈ
቉
(1 + ݅)௡ − 1
Esta ecuación permitirá obtener la serie anual uniforme equivalente A durante n años,
de una inversión dada P, cuando la tasa de interés es i porcentual anual.
El Factor de Recuperación de Capital (FRC) es:
݅(1 + ݅)௡
ቈ
቉
(1 + ݅)௡ − 1
En ingeniería económica se dice el factor (A/P)
Nótese en la figura 1.2 que el valor presente P y el primer valor de a de la serie
uniforme están separadas por un periodo.
C) Deducción Factor Fondo de Amortización (FFA) o (A/F)
Reemplazando la formula FVPPU o (P/F)
ܲ = ‫ܨ‬൤
En la formula FRC
1
൨
(1 + ݅)௡
݅(1 + ݅)௡
‫ܲ = ܣ‬ቈ
቉
(1 + ݅)௡ − 1
Se obtiene:
1
݅(1 + ݅)௡
‫ܨ = ܣ‬ቈ
቉
ቈ
቉
(1 + ݅)݊ (1 + ݅)௡ − 1
‫ܨ = ܣ‬൤
݅
൨
(1 + ݅)௡ − 1
Es una ecuación que se utiliza para determinar la serie anual uniforme A, que será
equivalente a un valor futuro dado F.
El Factor Fondo de Amortización (FFA) es:
൤
݅
൨
(1 + ݅)௡ − 1
En ingeniería económica se dice el factor (A/F)
Fig. 1.3: Diagrama de Flujo de Caja para encontrar A o F.
D) Deducción Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU) o (F/A)
Despejando F en términos de A de FFA se obtiene:
(1 + ݅)௡ − 1
‫ܣ = ܨ‬ቈ
቉
݅
Esta ecuación se utiliza para determinar el valor futuro F que será equivalente a la serie
uniforme A.
Nótese del grafico 1.3 que la serie uniforme A comienza al final del periodo 1 y
continua hasta el año del valor futuro F dado.
El Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU) es:
(1 + ݅)௡ − 1
ቈ
቉
݅
En ingeniería económica se dice el factor (F/A)
1.3 NOTACION ESTANDAR DE LOS FACTORES DE INGENIERIA
ECONOMICA
Para evitar la molestia de escribir las formulas cada vez que se use uno de los
factores, se ha adoptado una notación estándar que represente los diferentes factores
y se expresa en forma general como:
(X/Y, i%, n)
Donde:
X
: representa lo que se quiere encontrar
Y
: representa lo que se tiene
i%
: representa la tasa de interés en porcentaje
n
: representa el numero de periodos involucrados
Luego X/Y significa “hallar X dado Y”
Ejemplo 01:
Interprete el factor de ingeniería (F/P, 10%, 15)
Solución:
Hallar F dado P: El valor P es conocido y el valor F es desconocido.
Significa obtener el factor de ingeniería que al ser multiplicado por un valor
presente P dado, permitirá encontrar la cantidad futura F que se acumulará en 15
periodos con una tasa de interés de 10% por periodo.
1.4 USO DE TABLAS PARA ENCONTRAR LOS FACTORES DE INGENIERIA
ECONOMICA
Para simplificar los cálculos rutinarios de Ingeniería económica que involucra estos
factores anteriores, existen tablas con tasas de interés desde 0.5% hasta 50% y
periodos de pago desde 1 hasta 100 periodos.
Ejemplo 02:
Encontrar el Factor (P/A, 8%, 12)
Solución:
De tablas de ingeniería económica se tiene:
(P/A, 8%, 12) = 7.5361
1.5 USO DE CALCULADORAS PARA ENCONTRAR LOS FACTORES DE
INGENIERIA ECONOMICA
Estos factores pueden encontrarse mediante el uso de calculadoras:
Ejemplo 03:
Calcular el Factor (P/A, 8%, 12)
Solución:
(1 + ݅)௡ − 1
(1 + 0.08)ଵଶ − 1
ܲ
቉=ቈ
቉
൫ ൗ‫ ܣ‬, ݅%, ݊൯ = ቈ
݅(1 + ݅)௡
0.08 ∗ (1 + 0.08)ଵଶ
(P/A, 8%, 12) = 7.536078 ≈ 7.5361
Ejemplo 04:
Una persona desea invertir $ 6000 ahora y desea retirar su dinero ahorrado por 8
años a una tasa de ahorros de 5% anual. ¿Cuál es la cantidad ahorrada? (a) utilice
factores de ingeniería, (b) utilice fórmula para el cálculo.
Solución:
Datos del problema
P = $ 6000
i = 5% anual
n = 8 años
F = ¿?
(a) Con factores de ingeniería.
De tablas obtenemos el factor de ingeniería
(F/P, 5%, 8) = 1.4775
Luego:
F = P *(F/P, 5%, 8) = 6000*1.4775 = 8865.00
F = $ 8865.00
(b) Con formulas y calculadora
‫(ܲ = ܨ‬1 + ݅)௡ = 6000 ∗ (1 + 0.05)଼ = 8864.73
F ≈ $ 8865.00
1.6 USO DE EXCEL PARA ENCONTRAR LOS VALORES DE: P, F, A, i%, n
La hoja de cálculo Excel es una herramienta electrónica para encontrar los valores
presentes P, las series uniformes A, la tasa de interés i% y el número de periodos n
en una celda. Las funciones de Excel más utilizadas son las siguientes:
•
Para calcular el valor presente:
P → VA(tasa, nper, pago, vf) → VA(i%, n, A, F)
•
Para calcular el valor futuro:
F → VF(tasa, nper, pago, va) → VF(i%, n, A, P)
•
Para calcular la serie uniforme:
A → PAGO(tasa, nper, va, vf) → PAGO(i%, n, P, F)
•
Para calcular la tasa de interés compuesta:
i → TASA(nper, pago, va, vf) → TASA(n, A, P, F)
•
Para calcular el número de periodos:
n → NEPER(tasa, pago, va, vf) → NPER(i%, A, P, F)
1.7 FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P)
A) Deducción de Factor Valor Presente Gradiente Uniforme (P/G)
Un gradiente uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye
de manera uniforme de forma aritmética. Es decir que el flujo de caja, ya sea
ingreso o egreso, cambia en la misma cantidad cada año o periodo. La cantidad
de aumento o disminución es el gradiente (G).
Fig. 1.4: Diagrama de Flujo de Caja para encontrar P o G.
En el diagrama 1.4, no se incluye el “pago base” o “cantidad base” que
ocurre al final del año 1. Esto es conveniente porque en aplicaciones reales
esta cantidad base es distinta al aumento o disminución del gradiente G. Por
ejemplo, si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un
año, se podría esperar que durante el primer año de operación solo se tuviera
que pagar el combustible y el seguro. Luego para el año 2 se tendría que
pagar los costos de mantenimiento G y que seguiría incrementándose
aritméticamente cada año.
El valor presente en el tiempo 0 de los pagos de gradientes seria igual a la
suma de los valores presentes de los pagos individuales:
P =G(P/G, i%, 2)+2G(P/G, i%, 3)+ 3G(P/G, i%, 4)+…+ (n-2)G(P/G, i%, n-2)+(n-1)G(P/G, i%, n-1)
Factorizando G, desarrollando y ordenando:
‫( ܩ‬1 + ݅)௡ − 1
݊
ܲ= ൤
−
൨
݅ ݅(1 + ݅)௡
(1 + ݅)௡
También
(1 + ݅)௡ − ݅݊ − 1
ܲ = ‫ܩ‬൤
൨
݅ ଶ (1 + ݅)௡
B) Deducción de Factor Serie Anual Gradiente (A/G)
Esta deducción puede obtenerse mediante la multiplicación de los factores:
A= G(P/G, i%, n) (A/P, i%, n)
Reemplazando y simplificando:
1
݊
‫ܩ= ܣ‬൤ −
൨
݅ (1 + ݅)௡ − 1
Esta ecuación convierte una serie gradiente uniforme G en una serie uniforme
constante A.
C) Deducción de Factor Valor Futuro Gradiente Uniforme (F/G)
Esta ecuación se puede obtener mediante la multiplicación de los factores:
F = G(P/G, i%, n) (F/P, i%, n)
Reemplazando y simplificando:
‫=ܨ‬
‫( ܩ‬1 + ݅)௡ − 1
൤
− ݊൨
݅
݅