Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS.

2010
Tema 2 : NÚMEROS
ENTEROS.
Primero de Educación Secundaria
Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
Manuel González de León
mgdl
01/01/2010
1º E . S. O.
Tema 02: Números Enteros.
Consejería de Educación
I.E.S. “FUENTESAÚCO”
Tema 02: Números Enteros.
INDICE:
01. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS.
02. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO.
03. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
04. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS.
05. OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO.
06. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.
07. OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS
08. MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS.
09. SACAR FACTOR COMÚN.
10. DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS.
11. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS.
12. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
1.-DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS:

Introducción.
Ante la imposibilidad de hacer ciertas restas en el campo de los números naturales, hay que
inventar unos nuevos números: LOS NÚMEROS ENTEROS.
Ej: 12 y 14
. Como 12 – 14 = x y x
, hay que inventar unos nuevos números, los
números negativos ( en este caso el – 2 )

Concepto.
El conjunto de los números enteros se representan con la letra “ℤ”.
Está formado por:
a. Los enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………..
b. Los enteros negativos: – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6 …………
c. El cero: 0
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Por lo tanto
ℤ=

Representación Gráfica.
Los números enteros se representan sobre una recta especial: LA RECTA DE LOS NÚMEROS
ENTEROS.
a. Entre dos números enteros, el 2 y el 3 por ejemplo, hay un salto.
b. No hay ningún número entero.
c. Hay infinitos números decimales.
Ejercicios: 1, 2 y 3 pg 29
2.-VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO.

Concepto:
Es el número que resulta después de suprimir, quitar, borrar el signo de dicho número
entero.
Se indica poniendo el número entre dos barras:
Ejemplo: El valor absoluto del número entero – 5 es
Ejercicios 4, 5, 6 y 7.
3.-ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
Para ordenar dos números enteros, tendremos en cuenta las siguientes normas:
1. Entre dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo 100 > 10 pues
2. Cualquier número positivo es mayor que 0
Ejemplo 5 > 0
3. Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplo 15 > – 500
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4. El 0 es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplo 0 > – 5
5. Entre dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto.
Ejemplo – 5 > – 100
Ejercicio resuelto nº 3
Ejercicios nº 8, 9, 10 y 11 pg 31
4.-SUMA DE NÚMEROS ENTEROS:
Distinguimos tres casos:
a) Suma de dos números enteros con el mismo signo.
Se suman los valores absolutos de los dos números y se conserva el signo
4
7
+
(-4)
=
(-7)
+
=
|4|
+
|7|
=
11
|4|
+
|7|
= (-11)
Ejercicios: Sumar.
7 + 14 =
12 + 3 =
8+8=
(-7) + (-14) =
(-12) + (-3) =
(-8) + (-8) =
5 + 25 =
(-5) + (-25) =
b) Suma de dos números enteros con distinto signo
Para sumar estos dos números:
1. Se restan sus valores absolutos. ( al mayor restamos el menor)
2. Al resultado se pone el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo:
3
(-7)
+
=
|7|
-
|3|
=
(-4)
Ejercicio: Sumar:
– 15 + 4 =
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26 + ( – 8 ) =
– 47 + 32 =
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47 + ( – 32 ) =
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c)
Suma de varios números con distintos signos.
Existen dos formas:
1. Sumamos los números de dos en dos en el orden que se quiera.
Ejemplo: sumar:
4+(–2)+3+5+(–6)
2
+
10
8
+(–6)
+(–6)
4
2. Sumamos por separado los sumandos positivos y los negativos.
Ejemplo: sumar:
4+(–2)+3+5+(–6)
4 + 3 + 5 = 12
12 + (– 8 ) = 4
(– 2 ) + (– 6 ) = (– 8 )
Ejercicios nº 12, 13, 14 y 15

Propiedades de la suma de los números enteros:
1.
Interna: la suma de dos números enteros es otro número entero.
2.
Asociativa: el orden en que se realizan las sumas no modifican el resultado.
2
+ (– 13)
(– 11 )
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= (–5) +
=
(–6)
(– 11 )
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3.
Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el valor de la suma.
2
=
2
4.
Elemento Neutro: el elemento neutro de la suma es el 0.
5.
Elemento Simétrico: el elemento simétrico en la suma es aquel que sumado al
número da como resultado el 0; por lo tanto el elemento simétrico es el opuesto a
dicho número.
Ejercicios nº 12, 13, 14 y 15 Pg 32
5.-OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO:

Concepto:
El opuesto de un número entero es otro número entero que cumple:
1. Tiene el mismo valor absoluto.
2. Tiene distinto signo.
Ejemplo: el opuesto de 3 es ( – 3 ) porque
1. |3| = 3 y |– 3| = 3
2. 3, tiene signo positivo; ( – 3 ) tiene signo negativo.

Propiedades:
1. El opuesto del opuesto de un número es el mismo número.
Ejemplo ¿Cuál es el opuesto del opuesto del número (– 4 )
op [ op (– 4) ] = op ( 4 ) = (– 4 )
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2. El opuesto de una suma es igual a la suma de los opuestos de los sumandos.
Ejemplo:
op ( a + b ) = op (a) + op (b)
op [ 3 + ( – 2 ) ] = op (3) + op ( – 2 )
op ( 1)
= (–3) +
(–1)
=
2
(–1)
Ejercicio resuelto nº 5 pg 33
Ejercicios nº 16, 17, 18 y 19
6.-RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.

Concepto.
Para restar dos números enteros, se SUMA al minuendo el opuesto del sustraendo.
a
-5
MINUENDO
-
b
- (-7)
SUSTRAENDO
=
=
a
+
op (b)
a
+
(-b)
-5
+
op(-7)
-5
+
7
2
DIFERENCIA
Ejercicio resuelto nº 6 pg 34 y ejercicios nº 20, 21, 22, y 23
En la práctica lo mejor para restar es quitar paréntesis.
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(– 5 ) – (– 7 ) = – 5 + 7 = 2
7.- OPERACIONES DE SUMAS Y RETAS CON
PARÉNTESIS.
En las operaciones de sumas y restas con paréntesis podemos realizarlas de dos formas:
1. Resolviendo primero los paréntesis y luego sumando o restando los enteros obtenidos.
8 – ( 4 – 14 ) + ( – 12 + 7 )
8 – (– 10 ) + ( – 5 )
8 + 10
18
+
+
( –5)
( –5)
13
2. Suprimiendo los paréntesis, utilizando la propiedad de los opuestos; si el paréntesis va
precedido del signo +, se escriben directamente sus términos; si va precedido del signo
-, se cambian los signos de los términos.
8 – ( 4 – 14 ) + ( – 12 + 7 )
8 – 4 + 14 – 12 + 7 =
4 + 14 – 12 + 7 =
18 – 12 + 7 =
6+7=
13
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8.- MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE
NÚMEROS ENTEROS.

Concepto.
El producto de dos números enteros es otro número entero que tiene:
a. Por valor absoluto el producto de los valores absolutos de los factores.
b. Por signo, el que corresponde según la regla de los signos del producto.
+
+
-
·
·
·
·
+
+
-
=
=
=
=
+
+
Ejemplos:
12 · 5 = |12| · |5| = 12 · 5 = 60
8 · ( – 40 ) = |8| · |– 40|= – (8 · 40) = – 320
– 6 · 15 = |– 6| · 15 = – ( 6 · 15) = – 90
– 4 · (– 13) = |– 4| · |– 13| = 52
Es decir, si tienen el mismo signo el resultado es positivo; si tienen distinto signo el resultado es
negativo.

Propiedades:
1. Interna: El producto de dos números enteros es otro número entero
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2. Conmutativa: El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el
orden de los factores.
3. Asociativa: El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los
factores de modo distinto.
4. Elemento Neutro:
5. Distributiva del la multiplicación respecto a la suma.
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos
del número entero por cada uno de los sumandos.
Otro ejemplo.
-4
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-4
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Esta propiedad permite:
a. Convertir un producto en suma.
-5
·
(-3+7)
-5 · (-3)
+
-5 · 7
=
b. Convertir una suma en producto.
-5 · (-3)
+
-5 · 7
-5
·
(-3+7)
Ejercicio resuelto nº 7.
=
Ejercicios nº 24 y 25 pg 35
9.- SACAR FACTOR COMÚN.

Concepto:
Una suma de números enteros puede escribirse en forma de producto, si todos los sumandos
poseen un factor común.
La operación que pasa de la suma al producto se llama: SACAR FACTOR COMÚN.
Una suma
En un producto
+
asa a producto
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·
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Ejemplo: Una suma
+
+
6
2·3
Pasa a una multiplicación
2
2
·
·
10
2·5
( 3 + 5)
8
Como puede haber sumas con 3, 4,… sumandos se tiene que sacar factor común en cada uno de los
sumandos
Ejemplo.
 Suma de tres sumandos:
– 3 · 4 + (– 3 ) · 5 + (– 3 ) · 7
–3·(4+5+7)
– 3 · 16
 Suma de cuatro sumandos:
2 · 3 + 2 · 5 + 2 · 7 + 2 · 11
2 · ( 3 + 5 + 7 + 11 )
2 · 26
Como cualquier número entero puede escribirse como resultado del producto de dos factores,
puede ocurrir que a primera vista no aparezcan, pero nosotros podemos escribir el producto y
sustituirlo para después sacar factor común.
Ejemplo.
3 · 2 + 3 · 5 + 12 · 7
En el primer sumando, el rojo, hay dos factores que son los números 3 y 2
En el segundo sumando, el azul, hay también dos factores, los números 3 y 5
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Como vemos en estos dos sumandos, el rojo y el azul, el número que se repite es el factor 3,
por lo tanto, en el sumado amarillo debe aparecer el número 3.
12 = 3 · 4
12 · 7
3·4·7
3 · 28
Sustituimos.
3 · 2 + 3 · 5 + 12 · 7
3 · 2 + 3 · 5 + 3 · 28
Y sacamos factor común al número 3
3 · ( 2 + 5 + 28 )
Ejercicios resueltos nº 10 y 11.
Ejercicios nº 36, 37 y 38
10.- DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS:

Concepto.
El cociente de dos números enteros es otro número entero que tiene:
a. Por valor absoluto el cociente de los valores absolutos.
b. Por signo, el que corresponde según la regla de los signos del producto.
+
+
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:
:
:
:
+
+
-
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=
=
=
=
+
+
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Ejemplos:
12 : 4 = |12| · |4| = 12 : 4 = 3
– 48 : 6 = |– 48| · |6|= – (48 · 6) = – 8
12 : ( – 4 ) = |12| : |– 4| = – ( 12 : 4 ) = – 3
– 48 · (– 6) = |– 48| · |– 6| = 8
Es decir, si tienen el mismo signo el resultado es positivo; si tienen distinto signo el resultado es
negativo.
Ejercicio resuelto nº 8.
Ejercicios nº 26, 27, 28, 29 y 30
11.- OPERACIONES COMBINADAS CON
MÚMEROS ENTEROS.
Existen dos casos:
a. Cálculo sin operaciones en los paréntesis.
Cuando no hay operaciones indicadas entre paréntesis, se hacen las operaciones de
izquierda a derecha en el siguiente orden:
1. Multiplicaciones y divisiones.
2. Sumas y restas
Ejemplo:
– 5 · 6 + ( – 4 ) · 8 + 30
( – 30 ) + ( – 32 ) + 30
( – 62 )
– 30 : 6 + ( – 3 ) · 4 + 14
–5
+ 30
– 32
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+ ( – 12 ) + 14
( – 17 )
+ 14
–3
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b. Cálculo con operaciones indicadas en los paréntesis.
Cuándo hay operaciones indicadas entre paréntesis, se hace las operaciones por
este orden:
1. Se resuelven las operaciones que están dentro de los paréntesis.
2. Se hacen las multiplicaciones y divisiones.
3. Por último, la sumas y las restas.
Ejemplo:
– 12 + [ 8 + (– 14) : 2 ] + [– 7 + (– 9 ) · 5 ]
– 12 + [ 8 + (– 7) ]
+ [– 7 + (– 45) ]
– 12 +
+
1
– 11
+
(– 52)
(– 52)
(– 62)
Ejercicio resuelto nº 12
Ejercicios nº 39 y 40
12.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Para resolver este tipo de problemas, podemos seguir los siguientes pasos:
1. Leer el problema, entender todas las palabras y saber lo que nos preguntan.
2. Tantear para comprender mejor.
3. Hacer una tabla.
4. Resolver el problema.
5. Comprobar el resultado.
Ejemplo: La suma de dos números enteros es igual a – 19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son
los números?
1. Leemos el problema, tenemos que descubrir 2 números.
2. Tanteamos : – 19 = – 29 + 10
– 29 · 10 = – 290
Los dos tienen que tener el mismo signo
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3. Hacemos la tabla.
Negativos que suman Negativos
cuyo
– 19
producto es 60
– 1 + ( – 18 ) = – 19
– 1 · ( – 18 )
60
– 2 + ( – 17 ) = – 19
– 2 · ( – 17 )
60
– 3 + ( – 16 ) = – 19
– 3 · ( – 16 )
60
– 4 + ( – 15 ) = – 19
– 4 · ( – 15 ) = 60
4. Resolvemos: los números son el – 4 y el – 15
5. Comprobamos
– 4 + ( – 15 ) = – 19
– 4 · ( – 15 ) = 60
Ejercicio. La suma de dos números es – 18 y su multiplicación es – 45. ¿Calcular dichos
números?
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