Análisis de la variación de coeficientes del funcional (Cj): C1 C2 C3

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Análisis de la variación de coeficientes del funcional (Cj):
Dada una Tabla Óptima (Final) de Simplex genérica:
Cj
C1
C2
C5
Xj
X1
X2
X5
B
B1
B2
B5
Z
C1
A1
1
0
0
Z1-C1
C2
A2
0
1
0
Z2-C2
C3
A3
a13
a23
a53
Z3-C3
C4
A4
a14
a24
a54
Z4-C4
C5
A5
0
0
1
Z5-C5
Si calculamos Z y los Zj-Cj hacemos:
Z = (C1 x B1) + (C2 x B2) + (C5 x B5)
Z1-C1 = (C1 x 1) + (C2 x 0) + (C5 x 0) – C1
Z2-C2 = (C1 x 0) + (C2 x 1) + (C5 x 0) – C2
Z3-C3 = (C1 x a13) + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3
Z4-C4 = (C1 x a14) + (C2 x a24) + (C5 x a54) – C4
Z5-C5 = (C1x 0) + (C2 x 0) + (C5 x 1) – C5
En consecuencia resulta:
Z1-C1 = Z2-C2 = Z5-C5 = 0
Como corresponde a todo Zj-Cj cuando Xj pertenece a la base.
Si estamos en un problema de maximización, entonces debe ser:
Z3-C3 > 0
Z4-C4 > 0
Si no hay soluciones alternativas tendremos:
(C1 x a13) + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3 > 0
(C1 x a14) + (C2 x a24) + (C5 x a54) – C4 > 0
Si necesitamos saber si una variación de algún Cj puede alterar la solución existente
(estructura de la solución óptima ) , tendremos que ver si esa variación puede anular
algún Zj-Cj, lo cual indicará la existencia de una solución alternativa, y en caso de
seguir la variación de Cj en el mismo sentido se tendrá un Zj-Cj < 0. Esto justificará,
por lo menos una nueva iteración, porque la solución existente deja de ser óptima.
Caso 1) Variación de Cj cuando Xj no pertenece a la base.
Si un coeficiente Cj del funcional, correspondiente a una variable Xj no basica,
experimenta un incremento igual a su Zj-Cj:
∆ Cj = (Zj-Cj)
se tendrá, por lo menos, una solución alternativa también óptima. Si el incremento es
superior a este valor se justificará al menos una nueva iteración.
Entonces, el valor de los Zj-Cj, para una Xj no básica, nos indica el mínimo aumento
que necesitaríamos para que ésta entre a la base.
Por otro lado, una disminución del Cj, no hará mas que mantener la Xj fuera de la
base.
Investigación Operativa – 2° Cuat. 2002
Ays: F. Magallanes / J. Chiaraviglio
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Caso 2) Variación de Cj cuando Xj pertenece a la base.
Recordando que:
Z3-C3 > 0
⇒ (C1 x a13) + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3 > 0
Si buscamos el límite superior de C1 para que se mantenga la estructura de la
solución óptima, es decir, que se mantenga la base, entonces, igualamos a 0 y
sumamos ∆C1:
[(C1+∆ C1) x a13] + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3 = 0
⇒ (C1 x a1 3) + (∆ C1 x a13) + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3 = 0
Agrupando convenientemente:
⇒ ∆C1 x a13 + (C1 x a13) + (C2 x a23) + (C5 x a53) – C3 = 0
Z3-C3
∆C1 x a13 + (Z3 -C3) = 0
⇒
∆C1 = - (Z3 – C3)
a13
Entonces, como estamos buscando el +∆
∆ C1, es decir un incremento positivo, la única
forma que el 2° miembro de la ecuación quede positivo es que a13 sea negativo. Por
lo tanto, sólo calcularemos los +∆
∆ C1 con los a1j negativos que se encuentren en la fila
de X1, sien do:
+∆
∆ C1 =
Zj- Cj
Ia1jI
Resumiendo:
Si en un problema de maximización, hay un Cj positivo y deseamos saber si su
aumento puede alterar la solución hallada podemos buscar solo los aij<0 porque son
los únicos que pueden anular el Zj-Cj correspondiente:
C’j = Cj + ∆ Cj = Cj +
Zj – Cj
IaijI
Si tenemos varios aij < 0, vamos a obtener varios ∆Cj que anularán otros tantos Zj -Cj.
Tenemos que elegir el mínimo ∆ Cj, porque indicará la menor variación para que se
justifique una nueva iteración en la tabla.
Tabla resumen:
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Hoja 3 de 3
La siguiente tabla esquematiza la relación que deben cumplir los coeficientes del
funcional, su signo, su variación, el signo de los aij y el objetivo del problema para
provocar variaciones de la solución óptima.
Objetivo del problema
Coeficiente
Cj
Variación
Maximizar
Minimizar
+∆
aij < 0
aij > 0
-∆
aij > 0
aij < 0
+∆
aij > 0
aij < 0
-∆
aij < 0
aij > 0
Positivo
Negativo
Así por ejemplo, si llegamos a la solución óptima de un problema de minimización,
ésta podrá ser alterada por el aumento (+ ∆ ) de un Cj positivo, haciendo positivos los
Zj-Cj que se encuentren en columnas con aij > 0 en la fila del Cj.
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