Processat del senyal

Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Temari
Introducció
Introducció
Objectius
Notació matricial
Processos estocà stics
Estimació de paràmetres
Objectius
Estimació espectral
Densitat espectral de potència
Estimació de la densitat espectral de potència
Estimació espectral paramètrica (model autoregressiu)
Estimació lineal i predicció
Estimació lineal quadrà tic-mitjana
Filtre de Wiener. Aplicacions
Predicció lineal. Tècnica estimació paràmetres
Compressió de la parla: tècniques paramètriques
Filtres adaptatius
Mètode del gradient. Propietats
Estimació adaptativa. Algorisme LMS
Codificació diferencial adaptativa
Processat d’arrays de sensors
Processament i compressió de senyals 2D
Sistemes i senyals en 2D
Compressió d’imatge: tècniques predictives.
Mètodes transformats
Compressió d’imatges fixes.
Professorat i avaluació
Professor:
Albert Oliveras D5213 Dill: 09:30-12:00 Dij: 16:00-19:00
1r control:
2n control:
Ex. Final:
Nota:
7/10 Abril
19/22 Maig
26 de Juny
max{E.F, 0.6E.F.+0.2P1+0.2P2}
“Estudi de les tècniques i algorismes de processat digital del senyal, enfocat a
aplicacions en comunicacions i tractament d’imatge i veu”
Aplicacions
§
§
§
§
Anà lisi espectral
Caracterització paramètrica del senyal
Filtrat adaptatiu
Codificació i compressió de la imatge
Notació matricial
x(n) : seqüència
x(0)
x : vector =
M
x( N − 1)
x = x (0) L x( N − 1)
T
hH x =
N −1
∑ h * (n ) x ( n )
n= 0
|| x || 2 =
N −1
∑ | x( n ) | = x
2
n =0
x : matriu
desigualtat de Schwartz
| h H x |2 ≤|| h || 2 || x || 2
Coherència
| h H x |2
| γ |2 =
≤1
|| h ||2 || x || 2
Run-time vector
sii h(n) = αx (n) ⇒ igualtat
sii h(n) = αx(n) ⇒ γ = 1
X n T = [x (n), x(n − 1),..., x(n − Q + 1)]
H
x
1
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Autocorrelació
Distància entre senyals
Dxy =
N −1
∑ | x(n) − y(n) | = (x − y)
2
H
( x − y ) =|| x || 2 + || y || 2 − x H y − y H x
n= 0
Autocorrelació de x(n)
1
1
r (m) =
x * (n − m) x (n) =
M n
M
∑
∑ x * (n) x(n + m)
n
∑
Q −1
y ( n) =
∑ h ( q ) x( n − q ) = h
H
L x(Q − 1)
L x(Q − 2)
O
M
L
x(0)
L x ( N − 1)
0
L x ( N − 2)
x ( N − 1)
O
M
M
L x( N − Q ) x ( N − Q + 1)
y = hH X
Matriu de correlació a partir de X n
r (1)
 r (0)
 r (−1)
r
(0)
1
R=
X n X n* ≅ 

M n
M
M

r (−Q + 1) r (−Q + 2)
Filtrat
*
 x (0) x(1)

0
x (0)
X =
 M
M

0
 0
· x n = h(0)
q =0
*
L r (Q − 1) 
L r (Q − 2)
O
M 

L
r (0) 
x (0)
L h (Q − 1)
M
x (Q − 1)
*
Sinus en soroll i el lema de la inversa
s (n) = A0 e j ( 2πf 0 n +θ ) = Ae j 2πf 0 n
1


 − j 2πf 0 
e
 = Ae j 2πf 0 n S 0
S n = Ae j 2πf 0 n 


M
 − j 2πf 0 (Q −1) 
e

1
H
2
R0 =
S n S n =| A | S o S oH
M n
∑
y (n) = s (n) + w(n)
| y (n) | = h X n X h
1
ry (0) =
| y (n) |2 =h H R h
M n
Si existeixen M<Q sinus ortogonals, existiran M termes iguals.
ry (0) ≤ 0
R=
2
H
H
n
H
R =| A | 2 S 0 S 0 + σ 2 I
∑
M
∑| A
m
|2 S m S m H + σ 2 I = R S + σ 2 I
m ) =1
Transitori
x(n), N mostres h(n), Q mostres (filtre FIR)


y T (n) =  y (0), y (1),K, y (Q − 1), y (Q), , K, y ( N − 1), y ( N ),K, y ( N + Q − 1)
42444
3 144424443 
 144424443 144
règim transitor i N-Q mostres
post − transitori Q mostres
 pre - transitori Q mostres

E y = y H y = yT y*
Py =
1 H
1
y y = hH
XXHh
M
M
Lema de la inversa
si R = GG H + R a ⇒
R −1 = R a −1 − R −a1 G ( I + G H R −a1 G ) −1 G H R −a1
L
0 

L
0 
O
0 

L x( N − 1)
2
Processat del senyal
Minimització amb restriccions
Disseny de filtres o sistemes pot formular-se sempre com a minimització d’una funció
objectius, subjecta a restriccions. Per processos gaussians i sistemes lineals, aquesta
funció és l’error quadrà tic mig (MSE).
MSE = ξ = a H C a
restriccions: Φ a = f
Jesús Sanz Marcos Introducció
Valors singulars
dim{R} = QxQ
R=XXH
dim{X } = QxN
Q
X=
∑φ u
q
q vq
H
=[u1
q =1
MSEmin = f H (ΦC −1 Φ H ) −1 f amb a = C −1 Φ H (ΦC −1 Φ H ) −1 f
Autovalors i autovectors
R e q = λq e q
e q : autovector
λq : autovalor
Per ser R hermítica (dim QxQ) existeixen Q autovectors diferents que permeten fer la
descomposició següent:
λ1 L 0   e1 H 
Q



R=
λq e q e q H =[e1 L e Q ] M O M   M  = E D E H
q =1
 0 L λq  e Q H 



∑
I = EH E = EEH
Propietats
• Si la matriu és definida positiva, tots els seus autovalors ho són.
• Si la matriu R és de rang M<Q, el número d’autovalors zero és Q-M
• El determinant de la matriu R és el producte dels seus autovalors, i la seva traça
és la suma dels autovalors.
•
ln{R} = E ln{D}E H
•
e{R} = Ee{D} E H
•
Rm = EDm E H
•
R −1 = E D −1 E H
φ1

M
0
L u Q ]
 0
 M

 0
L
O
L
L
O
L
0
M   H 
v1

φq  
M  = U ΦV H


0  H 
vN

M 

0 
I = QH Q = V H V
( X X H )u q = φ q2 u q , q = 1..Q
R = U Φ 2 U H = U DU H
φ 2 v
( X H X )v q =  q q
 0
q = 1..Q
q = Q + 1...N
3
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Sistemas adaptativos
H
H
H
H
ξ = ξ min + a~ n ( E Λ E )a~ n = ξ min + z n Λ z n = ξ min + ∑ λi | zn (i ) |2
Introducción
z n = E (a n − a opt )
Q
i =1
H
Los diseños óptimos dan lugar a degradación de las prestaciones
cuando las condiciones del escenario cambian.
Diseño y convergencia de algoritmos del gradiente
De este modo, cuando un sistema de tratamiento de señal es capaz
de adaptarse automáticamente al entorno de señal, se dice que es
adaptativo.
Amplificador : d (n) = g (n) x(n)
En el sistema de apredizaje, se dispone de la señal de
referencia r(n), o simplemente de su potencia Pr, basta pues
calcular la potencia de la señal de salida según:
a n+1 = a n − µ ∇ξ n = a n − µ ( R a n − P)
µ<
2
2
<
Traza{R} λmax
µ=
2α
Px (n)
2,30
2,30
2,30 λmax
=
≈
− ln(1 − µλmin ) − ln(1 − 2 λmin )
2α λmin
α
λmax
ε (n) = Pr − Pd (n)
g (n + 1) = g (n) + µε (n)
Nc =
MSE y métodos del gradiente
TN c =
X n : vector de datos
H
Usualmente se establece un umbral mínimo Pxo .
Pd (n) = βPd (n − 1) + (1 − β )d 2 (n)
d (n) : señal de referecia
a n : respuesta impulsional el filtro FIR
Px (n + 1) = βPx (n) + (1 − β ) X n X n
1
: número de muestras de la memoria
1− β
2
H
MSE = ξ (a n ) = E  d (n) − a n X n 


2,30 Ps 2,30
Q
=
QSNR
2α
Pw
2α
El algoritmo LMS (Least Mean Square algorithm)
y (n) = a H X n
ξ (a n ) = Pd + a n R a n − a n P − P a n
ε (n) = d ∗ (n) − y ∗ (n)
∂ξ (a n )
= ∇ξ = R a opt − P = 0 ⇒ a opt = R −1 P
∂ a Hn
a n+1 = a n + µ X nε ∗ (n)
H
H
H
ξ (a n ) = ξ min + (a n − a opt ) H R (a n − a opt )
ξ min = Pd − P R P
H
∇ξ (a~ n ) = R a~ n
H
ξ (a~ n ) = ξ min + a~ n R a~ n
2
X nH X n
E{a n } = a opt
a~ n = a n − a opt : error de coeficientes
a~ = a~ − µε ∗ (n) X
n +1
a n+1 = a n − µ∇ξ (a n )
µ<
n
n
d (n) = w(n) + a opt X n
ε (n) = w(n) − a~ H X
H
opt
n
4
Processat del senyal
µ
H
Σ a = E{a~ opt a~ opt
} ≅ ξ min I : covarianza delos coeficientes
2
ξ (n) = ξ + a~ H R a~
min
n
n
µ
E{a~ nH R a~ n } = ξ minTraza{R}
2
E{ξ (n)} − ξ min
100% : exceso de error
ℵ≡
ξ min
µ
Traza{R}
2
2α
µ=
Px (n)
ℵ=
α : ruido de desajuste (i.e. α = 0.1 ⇒ ℵ = 10%)
Jesús Sanz Marcos Introducció
δ2
2
δ2
ξ n (q,+δ ) = ξ n + ξ n' δ + ξ n''
2
'' 2
2
ξδ
δ rxx (0)
γ = n =
ξ min
ξ min
ξ n (q,−δ ) = ξ n − ξ n' δ + ξ n''
2
3 µQξ min δ Traza{R}
+
4 Mδ 2
Qξ min
2α
µ=
Traza{R}
ℵtotal =
2
=
δ opt
Conclusiones:
•
•
•
•
Probar convergencia al óptimo
Analizar la velocidad de convergencia
En la fase de seguimiento, se ha de determinar el ruido de
desajuste o lo que es lo mismo, su velocidad de seguimiento o
capacidad de reacción a cambios.
A altas velocidades de convergencia (o aprendizaje rápido)
implican desajustes elevados.
Hay un compromiso entre desajuste y velocidad de
convergencia.
2
3 Q 2αξ min
2 MTraza 2 {R}
ℵtotal optimo
6α
=
M
γ =
5
δ 2Traza{R}
Qξ min
ξ n (q, δ ) =
1
M
n+ M −1
∑ | e( n ) |
2
n
Ventajas
•
Desajuste disminuye con la
raiz cuadrada del número
de términos empleados en
la estimación del MSE.
•
No es necesario el vector
de datos
Desventaja:
• Se requieren 2MQ vectores
por cada iteración.
Algoritmo LRS (Linear Random Search)
Para cada instance n,
•
Generar un vector aleatorio con distribución uniforme en sus
componentes δ n .
•
Actualizar los pesos como: a n+1 = a n +
•
Calcular el nuevo error usando M vectores de datos ξ n+1
•
a ξ n +1 > ξ n
a n+1 =  n
a n+1 otherwise
∇ n (q) =
•
n++;
a n+1
ℵ=
µQσ δ2
2M
•
DSD y métodos de búsqueda aleatoria
DSD (Differential Steepest Descent), calcula el gradiente
independientemente para cada coeficiente del filtro.
ξ n (q, δ ) + ξ n (q − δ )
2δ
µ
= a n − ∇n
2
Algoritmo GRS (Guided Random Search)
µ
δ
2 n
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Igual que LRS pero se diferencia en que cuando se encuentra una
perturbación que hace disminuir el error, se avanza en esa
dirección incrementado la µ hasta que el error empeora y
entonces µ = µ básico y se busca un vector de perturbaciones
aleatorio ortogonal al presente.
Algoritmo RLS (Recursive Least Squares)
MSE (n) = βMSE(n − 1) + (1 − β ) | ε (n) |2
R n+1 = β R n + (1 − β ) X n X n
H
P n+1 = β P + (1 − β ) X n d ∗ (n)
a n+1 = R −n1+1 P n+1
M =
1
: número de datos de la señal de entrada
1− β
−1
instante n: datos a n , d (n), X n , R n
•
y (n) = a nH X n
ε (n) = d (n) − y (n)
•
φ = α X n R n X n ,α =
•
Kn =
•
a n+1 = a n + K n ε ∗ (n)
1 −1
−1
H 1+ φ
Rn = Rn − K n K n
β
1− β
n + +;
•
•
•
(
H
−1
−1
α Rn X n
1+φ
)
1− β
β
: vectr ganancia
6
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Introduction
Disecrete-Time Sinusoidal
x(n) = a cos(ωn + θ ),−∞ < n < +∞
ω = 2πf
x(n) periodic ⇔ x (n) = x( N + n) ⇔ f ∈ Q
2πf 0 n = 2kπ
k
f0 =
N
cos(ωn + θ ) = cos(( 2πk + ω )n + θ ) = cos(ω k n + θ ),ω k = ω + 2πk
1
maximum oscillation ⇒ ω = ±π , f = ± ⇒ x(n) = {+1,−1,+1,−1,+1,...}
2
Sampling of analog signals
x(n) = xa (nT )
t = nT =
n
Fm
F
: normalized frequency
f =
Fm
ω = ΩT
Continious-time signals
Ω radians / sec = 2πFHz
−∞ < Ω < +∞
− ∞ < F < +∞
Discrete-time signals
ω radians/ sample = 2πf cycles / sample
−π ≤ ω ≤ +π
1
1
− ≤ f ≤+
2
2
Fmax = B and the signal is sampled at a rate Fs > 2 Fmax ≡ 2 B , then
xa (t ) can be exactly recovered from its sample values.
Quantization
eq (n) = xq (n) − x(n)
∆
2
xmax − xmin
∆=
L −1
Discrete-Time Signals and Systems
Elementary signals
1 n = 0
δ (n) ≡ 
0 n ≠ 0
1
u (n) ≡ 
0
n
u r (n) ≡ 
0
unit sample sequence, unit impulse
n≥0
n<0
unit step signal
n≥0
unit ramp signal
n<0
x(n) = a n = (re jθ ) n = r n (cos θn + j sinθn )
Sampling Theorem
If the highest frequency contained in an analog signal xa (t ) is
xq (n) = Q{x(n)}
∆2
2
12 P = A / 3 ⇒ SNQR = 3 2 2b , SNQR = 1.76 + 6.02b
 q
dB
2 2b
2
2A
∆= b 
2
Pq =
Classification of signals
•
E≡
+∞
∑ | x( n ) |
2
0 < E < ∞ ⇒ x(n) is an energy signal
n= −∞
+N
1
| x ( n) | 2
∑
N →+∞ 2 N + 1
n =− N
•
P ≡ lim
•
periodic signal ⇒ power signal
•
x(n) = x (−n) ⇒ even signal
x(n) = − x (−n) ⇒ odd signal
| eq (n) |≤
Quantization of sinusoidal signals
exponential signal
Discrete-time systems
0 < P < ∞ ⇒ x(n) is a power signal
1
( x(n) + x(−n))
2
1
xo (n) = ( x (n) − x(−n))
2
xe (n) =
Γ
x(n) 
→
y (n)
•
static: y (n) = f {x(n)}
•
dynamic: y (n) = f {x(n), x (n − 1),...} with memory
memoryless
7
Processat del senyal
•
Jesús Sanz Marcos Introducció
Γ
x( n ) 
→
y (n)
time variant:
Γ
x( n − k ) 
→
y (n − k )
linear: Γ{a1 x1 (n) + a2 x2 (n)} = a1Γ{x1 (n)} + a2 Γ{x2 (n)}
•
•
•
causal: output only depends on past and present.
Stable: every bounded input produces a bounded output.
Analysys of Discrete-time systems Linear Time-Invariant
N
M
y (n) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x (n − k )
k =1
k =0
y ( n) = x ( n ) ∗ h ( n) =
+∞
+∞
k =−∞
k = −∞
∑ h(k ) x(n − k ) = ∑ x(k )h(n − k )
ρ xx (m) =
ρ xy (m) =
rxx (m)
: normalized autocorrelation
rxx (0)
rxy (m)
rxx (0)ryy (0)
Correlation of periodic signals
M
1
1
x (n) y (n − m) =
∑
M →∞ 2 M + 1
N
n =− M
rxy (m) = lim
•
Associative law:
rxy (m) = x(m) ∗ y (−m)
•
Distributive
rxx (m) = x(m) ∗ x (−m)
•
Causal: h(n) = 0∀n < 0
•
Stable:
•
FIR: h(n) = 0∀n < 0 and n ≥ M
+∞
Input-Output correlation sequences
k =−∞
y (n) = x(n) ∗ y (n)
Correlation of signals
+∞
+∞
∑ x(n) y(n − m) = ∑ x(n + m) y(n) = r
yx
n =−∞
∑ | αx(n) + βy (n − m) | = a r
2
xx
(0) + b 2 ryy (0) + 2abrxy (l )
n= −∞
| rxy (m) |≤ E x E y
( − m)
n= −∞
+∞
2
ryx (m) = rxx (m) ∗ h(l )
rxy (m) = rxx (m) ∗ h(−l )
yreceived (n) = αx(n − D) + w(n)
rxy (m) =
n
Convolution realisation of correlation
Commutative law: x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x (n)
∑ | h(n) |< ∞
N
∑ x ( n) y ( n − m )
y (n) = x(n) + w(n) ⇒ ryy (m) = rxx (m) + rxw (m) + rwx (m) + rww (m)
•
[x(n) ∗ h1 (n)]∗ h2 (n) = x(n) ∗ [h1 (n) ∗ h2 (n)]
law: x(n) ∗ [h1 (n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1 (n) + x (n) * h2 (n)
: normalized crosscorrelation
| rxx (m) |≤ E x
ryy (m) = rxx (m) ∗ rhh (m) = rxx (m) ∗ h(m) ∗ h(−m)
8
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
+∞
+∞
−∞
−∞
Frequency Analysis of signals and
systems
S xx ( f ) =| X ( f ) |
Continious-Time signals
Relationship between periodic and aperiodic transform
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
ck =
E xx =
2
9
2
∫ S xx ( f )df = ∫ | x(t ) | dt
k
1
1
X (kF0 ) =
X( )
Tp
Tp
Tp
Periodic-Signals
+∞
∑c e
x (t ) =
Discrete-Time signals
j 2πkF0t
k
Periodic-Signals
k =−∞
N −1
+∞
Synthesis equations
x(t ) = c0 + 2∑ | ck | cos (2πkF0t + ∠ck )
Synthesis equations
Analysis equations
ck =
1
ck =
Analysis equations
1
Tp
∫ x (t ) e
− j 2πkF0t
Px =
dt
Tp
Px =
+∞
∑ | ck |2 = a02 +
Aperiodic-Signals
bk = 2 | ck | sin ∠ck
Synthesis equations
k = −∞
(
1 +∞ 2
ak + bk2
2∑
k =1
)
G xx ( f ) =
k =−∞
Analysis equations
x (t ) =
j 2πft
∫ X ( f )e df
−∞
+∞
Analysis equations
N −1
N −1
n =0
n =0
E x = ∑ | x( n ) | 2 = N ∑ | ck | 2
1
2π
X (ω ) =
∫ X (ω )e
jωn
dω
2π
+∞
∑ x ( n) e
− jωn
Ex =
π
∑ | x(n) | = 2π ∫ S
2
1
xx
(ω )dω
−π
 S (ω ) = S xx (−ω )
S xx (ω ) =| X (ω ) |2 ⇒  xx
∠X (ω ) = −∠X (−ω )
Relationship with Z-transform:
+∞
Synthesis equation
ck = ck + N
n= −∞
+∞
k = −∞
Aperiodic-Signals
2π
x( n ) =
+∞
∑ | ck |2 δ ( f − F0 k )
2π
kn
N
− j kn
1 N −1
x ( n )e N
∑
N n =0
N −1
1 N −1
2
|
x
(
n
)
|
=
| c k |2
∑
N∑
n =0
n= 0
a0 = c0
ak = 2 | ck | cos ∠ck
Power Density Spectrum of Periodic Signals
j
k =0
1
+∞
x(t ) = a0 + ∑ (ak cos (2πkF0t ) + bk sin(2π
x( n ) = ∑ ck e
X (t ) =
− j 2πft
∫ x(t )e dt
X (ω ) = Z {x(n)} | z = e jω
Basic rectangular pulse tranform:
F {u (n) − u (n − L)} = Ae − j (ω / 2 )( L−1)
sin(ωL / 2)
sin(ω / 2)
−∞
Properties of the Fourier Transform for Discrete-Time signals
Power Density Spectrum of aperiodic Signals
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
10
F
a1 x1 (n) + a2 x2 (n) ←→
a1 X 1 (ω ) + a2 X 2 (ω )
x(n − k ) ←→ e
F
− jωk
X (ω )
Y (ω ) = X (ω ) H (ω )
| Y (ω ) |=| X (ω ) || H (ω ) |
∠Y (ω ) = ∠X (ω ) + ∠H (ω )
x(−n) ←→ X (−ω )
F
x * (n) ←→ X * (ω *)
dX (ω )
F
nx(n) ←→
j
dω
F
x1 (n) * x2 (n) ←→
X 1 (ω ) X 2 (ω )
F
F
x1 (n) x2 (n) ←→
1
2π
1
2
k = −∞
B (ω )
H (ω ) =
=
A(ω )
∑ bk e − jωk
M
k =0
N
1 + ∑ ak e − jωk
(ω − λ )dλ
= b0
k =1
F
rx1x2 (m) = x1 (m) ∗ x2 (− m) ←→
X 1 (ω ) X 2 (−ω )
F
rxx (m) ←→
S xx (ω )
ryy (m) = rxx (m) ∗ rhh (m)
S yy (ω ) = S xx (ω ) | H (ω ) |2
ryx (m) = rxx (m) ∗ h(m)
S yx (ω ) = S xx (ω ) H (ω )
Random Input signals
F
e jω 0n x(n) ←→
X (ω − ω 0 )
y (n) = x (n) ∗ h(n)
1
( X (ω − ω 0 ) + X (ω + ω 0 ) )
2
1
F
( X (ω − ω 0 ) − X (ω + ω 0 ))
sin (ω 0 n) x(n) ←→
2j
F
cos(ω 0 n) x (n) ←→
+∞
m y ≡ E{ y (n)} = m x
∗
2
n= −∞
+π
1
1
∗
2
+∞
+∞
∑ ∑ h(k )h( j)γ
(ω )dω
xx
( k − j + m)
+∞
γ xx (m) = σ x2δ (m) ⇒ γ yy (m) = σ x2 ∑ h(k )h(k + m)
−π
k = −∞
(AWGN)
+∞
γ yy (0) = Py = σ x2 ∑ | h(k ) |2 = σ x2
F
δ (n) ←→
1
Frequency-Domain LTI Systems
x
k =−∞ j =−∞
Some useful Fourier Transform Pairs
1 

sin L + )ω 
1 | n |≤ L F
2 
x( n ) = 
←→ 
ω
0
|
|
n
>
L

sin
2
 ωc
n=0

 ω 
F


x( n ) =  π
←→
∏
sinω c n
 2ω c 

n≠0
 πn
∑ h(k ) = m H (0)
k = −∞
∑ x (n) x (n) = 2π ∫ X (ω ) X
1
+∞
γ yy (m) = E{ y * (n) y (n + m)} =
F
x(n) = u (n)a n ←→
1
1 − ae − jω
k = −∞
Γyy (ω ) =
+∞
∑γ
yy
1/ 2
−1/ 2
(m)e − jωm = Γxx (ω ) | H (ω ) |2
m =−∞
Γyx (ω ) = Γxx (ω ) H (ω )
Frequency-Selective Filters
∫| H( f ) |
2
df
∏ (1 − z e
− jωk
k
| H (ω ) |2 = H (ω ) H (ω )
−π
Parseval’s relation:
− jωn
M
S yy (ω ) = S xx (ω ) | H (ω ) |2
+π
∫ X (λ ) X
+∞
∑ h(n)e
H (ω ) = H ( z ) | z =e jω =
k =1
N
∏ (1 − p e
k
k =1
− jωk
)
)
Processat del senyal
hlp (n) =
sinω cπn
πn
Jesús Sanz Marcos Introducció
H hp (ω ) = H lp (ω − π )
( )
hhp (ω ) = (−1) n hlp (ω ) = e jπ hlp (ω )
n
Notch filters: z1, 2 = e
± jω 0
y (0)
h(0) =
x (0)
, r near ≤ 1
± jω o
All-Pass filters: | H (ω ) |= 1∀ω
Inverse Systems
hI (n) = 0∀n < 0 ⇒ hI (0) =
n
hINV (n) = −∑
k =1
1
h(0)
h(k )hI (n − k )
n ≥1
h(0)
•
| z k |< 1 ∀k ⇒ ∠H (π ) = ∠H (0) minimum phase system
| z k |> 1 ∀k ⇒ ∠H (π ) − ∠H (0) = Mπ maximum phase system
•
otherwise: mixed-phase system
H ( z ) minimum phase ⇒ H −1 ( z ) stable
H ( z ) stable ⇒ H −1 ( z ) minimum phase
H ( z ) non minimum phase = H min ( z ) H all − pass ( z )

B ( z ) B2 ( z −1 )
H min ( z ) = 1

A( z )

A( z )
⇒
, B ( z ) = B1 ( z ) B2 ( z )
H ( z) =
B( z)
 H all − pass ( z ) = B2 ( z−1)

B2 ( z )
Deconvolution
(system identification)
h(n) =
S yx (ω ) = H (ω ) S xx (ω )
H (ω ) =
n−1
Comb filters: nulls occur periodically across the frequency band.
•
∑ h(k ) x(n − k )
k =0
Digital resonators: p1, 2 = re
y (n) = x(n) ∗ h(n)
δ (n) = h(n) ∗ hINV (n)
casual n
y (n) = x(n) ∗ h(n) =
y ( n ) − ∑ h ( k ) x( n − k )
k =0
x(0)
,n > 0
S yy (ω )
S xx (ω )
=
S yx (ω )
| X (ω ) |2
11
Processat del senyal
Jesús Sanz Marcos Introducció
Z-Transform
X (z) =
+∞
∑ x( n ) z
M
X (z) =
−n
Region of Convergence(ROC)
N ( z)
=
D( z )
∑b z
−k
∑a z
−k
k
k =0
N
M
=
b0 − M + N ( z − z1 )L ( z − z M )
= Gz N − M
z
a0
(z − p1 )L (z − p N )
k
Finite-Duration Signals
Causal:
z ∈ C − {0}
Infinite-Duration Signals
Causal:
| z |> r2
Anticausal: z ∈ C − {∞}
Anticausal: | z |< r1
z ∈ C − {0, ∞}
Two-sided:
r2 <| z |< r1
Two-sided:
Z
a1 x1 (n) + a2 x2 (n) ←→
a1 X 1 ( z ) + a2 X 2 ( z )
Z
y (n) = x(n) ∗ h(n) ←→
Y ( z) = X ( z )H ( z)
H ( z) =
+∞
Y ( z)
= ∑ h ( n) z − n
X ( z ) n= −∞
M
N
M
k =1
k =0
−k
x(n − k ) ←→ z X ( z )
Z
x(−n) ←→ X ( z )
x1 (n) * x2 (n) ←→ X 1 ( z ) X 2 ( z )
x * (n) ←→ X * ( z*)
1
Z
Re{ x(n)} ←→
( X ( z) + X * ( z*) )
2
1
Z
Im{x (n)} ←→
( X ( z ) − X * ( z*) )
2
dX ( z )
Z
−z
nx(n) ←→
dz
z
1
X 1 (v ) X 2 ( )v −1dv
v
2πj ∫C
if x (n) causal ⇒ x (0) = lim X ( z )
Z
x1 (n) x2 (n) ↔
z →∞
Any H(z)
causality: ⇔ ROC | z |> z1
stability: ⇔ ROC ∈| z |= 1
Rational H(Z)
ROC | z |>| pk |
order{num} ≤ order{denom}

causality ⇔ pk most far away pole
stability: ⇔| pk |< 1∀k
+∞
1
z
x1 (n) x2∗ (n) =
X 1 (v ) X 2∗ ( )v −1dv
∑
∫
C
2πj
v
n= −∞
Basic Z-Transform Pairs
Unilateral Z-Transform
+∞
X( z ) = ∑ x(n) z − n
Z
δ (n) ←→
1
Rational Z-Transforms
1 + ∑ ak z −k
Z
Z
1
Z
u (n) ←→
1 − z −1
1
Z
a n u(n) ←→
1 − az −1
−k
k
k =0
N
Analysis of LTI systems in the Z-domain
−1
Parseval’s relation:
∑b z
k =1
Z
a n x(n) ←→
X (a −1 z )
Z
∑ (z − p )
k =0
y (n) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x (n − k ) ⇒ H ( z )
Properties
k
k =0
N
k
k =0
n =−∞
∑ (z − z )
n =0
na n u (n) =
az −1
(1 − az )
−1 2
12