Modelos de Transformacion

Instituto Geográfico Nacional Transformaciones entre sistemas de referencia Miguel Ángel Cano Villaverde Jefe del Servicio de Programas Geodésicos Centro de Observaciones Geodésicas – Instituto Geográfico Nacional 1 Instituto Geográfico Nacional El establecimiento de un datum clásico Medidas geodésicas Superficie real de la Tierra Medidas geodésicas Aproximación como geoide Materialización sobre la superficie real de la Tierra Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Aproximación como elipsoide 2p Colocación del elipsoide 6p 2 22 1 ED50, ED77, ED79, ED87 ED50 ED77 Fecha del Congreso ED79 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional ED87 3 33 El establecimiento de un SGR Geocéntrico Medidas geodésicas espaciales Establecimiento de 3 ejes y un centro de masas Superficie real de la Tierra Materialización/ mantenimiento del Sistema Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional [Colocación de un elipsoide únicamente si se necesitan coordenadas geodésicas] 4 44 2 SGR Geocéntrico – Precisiones relativas Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso 5 55 SGR Geocéntrico EUREF89 ÆETRS89 IBERIA95 REGENTE Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 6 66 3 SGR clásico - SGR geocéntrico Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 7 77 Situación de partida Si las coordenadas de todos los puntos fueran exactas en cada sistema de referencia, la transformación sería trivial Æ 7 parámetros de transformación únicos Surge el problema al tener que determinarse la transformación a partir de puntos cuya situación, dentro de su sistema de referencia, contiene un error diferente en cada punto. Los parámetros dependerán del conjunto de puntos empleado para su cálculo, de sus precisiones, etc… Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 8 88 4 Situación de partida Existe un conjunto de puntos “único”, y coordenadas en el 1er SGR (SGR1) y de algunos en el 2º (SGR2). Las coordenadas de puntos comunes son dos aproximaciones de una realidad única e indeformable Cada conjunto de coordenadas posee cierto “grado de aproximación” que depende de ... La precisión de las observaciones primitivas (las medidas) Grado de exactitud de las correcciones aplicadas a las observaciones para adecuarlas a la realidad física o a la superficie de referencia para los cálculos y el ajuste final (p. ej. “reducción” de distancias o ángulos). Herramientas (programas) utilizadas en el ajuste de red y la forma en que se ha aplicado (p. ej. “puntos fijos). Adecuación al modelo geométrico de representación: bidimensional (latitud y longitud, o abscisa y ordenada en una “proyección cartográfica” plana) tridimensional (cartesianas X,Y,Z, o ϕ,λ,h referidas al elipsoide asociado). Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 9 99 Conceptos La transformación, en primera instancia, debe responder al tipo de “transformación de semejanza” por su propia naturaleza (Collier et al., 1996). El tipo de acuerdo de las coordenadas transformadas con las conocidas en el segundo sistema responde a la imprecisión que tengan las del conjunto menos preciso. La transformación no hace que las coordenadas mejoren su precisión. Se debe elegir como conjunto primero aquel que se estime más preciso y con mayor coherencia interna. Los parámetros obtenidos (el modelo) serán diferentes si la cantidad de puntos comunes considerados es diferente, o, incluso considerando el mismo número de vértices, si se elige otro conjunto de puntos comunes. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 10 1010 5 Conceptos La elección de puntos comunes debe procurar, en cuanto sea posible, cubrir la zona holgadamente y con uniformidad. Si se dispone de mayor densidad en una parte de ella, los puntos ignorados en la obtención del modelo pueden ser utilizados como test para estimar la bondad del ajuste, junto con los residuos del ajuste por mínimos cuadrados. La aplicación de los parámetros de transformación debe hacerse a todos los puntos, los comunes y los no comunes, y es muy conveniente que figuren junto con la relación final de coordenadas transformadas; así es posible reconstruir el conjunto primitivo posteriormente. Aún más, si en el futuro se dispusiera de mejor conjunto con coordenadas en ambos sistemas - más puntos y mejor distribuidos -, se podrían calcular mejores parámetros. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 11 1111 Datos de partida REGENTE Diferencias ED50ETRS89 Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 12 1212 6 Datos de partida MODELO PREDICCIÓN ROI REGENTE Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso 13 1313 Ondulaciones en el SGR local Permite solucionar el problema de que las coordenadas en ED50 no son espaciales para poder aplicar con rigor las transformaciones espaciales (ϕ , λ , h) ED50 ( X , Y , Z ) ED50 ( X , Y , Z ) ETRS89 (ϕ , λ , H ) ED50 (ϕ , λ , H ) ETRS89 Ibergeo95 (ϕ , λ , N ) ED50 Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional (ϕ , λ , N ) ETRS89 14 1414 7 Conversión de coordenadas N (X,Y,Z) SGR 1 ⇔ (ϕ ,λ , h)SGR 1 ⇔ (X UTM ,YUTM ,H)SGR 1 Transformación de coordenadas SGR Global N1 (X,Y,Z) SGR 1 ⇔ (ϕ ,λ , h)SGR 1 ⇔ (X UTM ,YUTM ,H)SGR 1 SGR Local N2 Transformación de coordenadas (X,Y,Z) SGR 2 ⇔ (ϕ , λ , h)SGR 2 ⇔ (X UTM ,YUTM ,H) SGR 2 Conversión de coordenadas Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 15 1515 Instituto Geográfico Nacional Métodos clásicos Instituto Geográfico Nacional Madrid, mayo 2007 16 8 Traslación simple Es el método más simple de todos y consiste únicamente en trasladar las coordenadas un Δϕ, Δλ o Δe, Δn si se trata de coordenadas planas. El área geográfica de aplicación es muy reducida, en general no es recomendable su utilización excepto para mapas impresos individuales. Este método está siendo aplicado desde hace tiempo en cartas náuticas o mapas de uso militar donde en ambos casos es necesario tener una estimación rápida de la relación entre el sistema local y el geocéntrico. En grandes escalas se puede comprobar que para el ámbito de aplicación de una hoja aislada cualquier transformación corresponde en esencia a una traslación para el caso ED50ETRS89, se puede despreciar el pequeño giro y la escala residual. Aún siendo un método simple se puede encontrar en la documentación oficial de cambio de datum, como por ejemplo en Australia Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 17 1717 Traslación simple Desplazamientos simples de coordenadas • Sistema más sencillo. • Consiste en seleccionar varios puntos cercanos conocidos en ambos sistemas (REGENTE) y calcular unos desplazamientos medios en función de las coordenadas de los puntos en los dos sistemas. • • • Δλ = λ ED50 - λ WGS84 Δϕ = ϕ ED50 - ϕ WGS84 Δh = H - h • Se obtienen precisiones por debajo del decímetro en planimetría y por debajo del metro en altimetría. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 18 1818 9 Traslación simple Desplazamientos simples de coordenadas Ejemplo: sobre los vértices REGENTE de las hojas MTN 507, 508, 533 y 534, sin modelo de geoide 507 533 508 534 507 508 533 532 Promedio Incr. X Incr. Y Incr. H 109.23 109.14 109.36 109.17 109.23 207.05 207.16 207.04 207.15 207.10 -53.54 -52.64 -53.31 -51.99 -52.87 Puntos REGENTE Punto a interpolar Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 19 1919 19 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 20 2020 20 Traslación simple Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 10 Traslación simple Fecha del Congreso 21 2121 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Semejanza bidimensional Recomendados cuando la zona objeto de la transformación sea de reducidas dimensiones. Su empleo es obligado cuando, en ambos sistemas, sólo se dispone de coordenadas superficiales (curvilíneas o planas) para los puntos comunes. Se obtienen cuatro parámetros (dos de translación, uno de escala, y otro de giro). ⎡ X 2 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ΔX 0 ⎤ ⎡cos κ ⎢Y ⎥ = ⎢Y ⎥ + ⎢ΔY ⎥ + μ ⎢ sin κ ⎣ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎦i ⎣ 0 ⎦ − sin κ ⎤ ⎡ X 1 ⎤ cos κ ⎥⎦ ⎢⎣Y1 ⎥⎦ i i = {1L n} μ Æ Factor de escala κ Æ Giro Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 22 2222 11 Semejanza bidimensional Al ser el giro muy pequeño, el sistema se escribe: ⎡ X 2 ⎤ ⎡ΔX 0 ⎤ ⎡1 ⎢Y ⎥ = ⎢ΔY ⎥ + (1 + μ )⎢κ ⎣ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0⎦ − κ ⎤⎡ X1⎤ 1 ⎥⎦ ⎢⎣Y1 ⎥⎦ i i = {1L n} − κ ⎤ ⎡ X1 ⎤ μ ⎥⎦ ⎢⎣Y1 ⎥⎦ i i = {1L n} O lo que es lo mismo: ⎡ X 2 ⎤ ⎡ΔX 0 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ μ ⎢Y ⎥ = ⎢ΔY ⎥ + ⎢Y ⎥ + ⎢κ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 1 ⎦i ⎣ La resolución requiere un mínimo de dos puntos, si bien un número inferior a cuatro resulta poco satisfactorio. Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso 23 2323 Transformación Molodensky (5 parámetros) El planteamiento teórico implica del sistema local: eje de rotación del elipsoide es paralelo al geocéntrico origen de longitudes es paralelo al del sistema geocéntrico acimutes Laplace mantienen en el sistema local la reorientación de la red. No existe cambio de escala Z1 Así, las incógnitas son: Z2 ( X o , Yo , Z o ) (Δa , Δf ) O1 X1 O2 X2 Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Y1 Y 2 pues (R X , RY , RZ , dL ) → 0 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 24 2424 12 Transformación Molodensky (5 parámetros) Se obtienen así las fórmulas de Molodensky ( RM + h)Δϕ = sin ϕ cos λΔX 0 + sin ϕ sin λΔY0 − cos ϕΔZ 0 − − ( RM a / b + RN b / a ) sin ϕ cos ϕΔf − ( RN e 2 sin ϕ cos ϕ )Δa ( RN + h) cos ϕΔλ = sin λΔX 0 − cos λΔY0 Δh = − cos ϕ cos λΔX 0 − cos ϕ sin λΔY0 − sin ϕΔZ 0 + a / RN Δa − RN b / a sin 2 ϕΔf Modelo utilizado comúnmente en receptores y software GPS de mano La NIMA calculó unos parámetros para España y Portugal en el año 1991 utilizando 18 puntos (!!) ΔX0 = -84 m ±5 ΔY0 = -107 m ± 6 ΔZ0 = -120 m ± 3 Δa = -251 m Δf = -0.000014192702 25 2525 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso Transformación clásica 3D de 7 parámetros Ejes casi paralelos Las coordenadas se cambian a un Z 1 nuevo sistema realizando: Z2 1) traslación de los centros (ΔX o , ΔYo , ΔZ o ) O1 2) Rotación de los ejes (Ω X , Ω Y , Ω Z ) 3) Cambio de escala (μ ) X1 O2 X2 Y1 Y2 En total 7 parámetros Se efectúa sobre las coordenadas cartesianas Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 26 2626 13 Transformación Bursa-Wolf Bursa-Wolf ZW RZ P ZL RY r XL ZW r XW OW r XO OL ZL YW XW YW Z0 Y0 X0 YL XL XL Fecha del Congreso YL XW RX Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional ⎛ XW ⎞ ⎛ XL ⎞ ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ r X W = ⎜ YW ⎟; X L = ⎜ YL ⎟ ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟ ⎝ W⎠ ⎝ L⎠ 27 2727 Transformación Bursa-Wolf MATRIZ DE GIRO Teniendo en cuenta que los giros son pequeños, se pueden considerar como elementos diferenciales. La matriz total de giro será despreciando elementos diferenciales de segundo orden es: Ωz −ΩY ⎞ 0⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 Ωz 0⎞ ⎛ 1 0 −ΩY ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ Ω= ΩZ ⋅ΩY ⋅ ΩX ≈ ⎜−Ωz 1 0⎟⋅⎜ 0 1 0 ⎟⋅⎜0 1 ΩX ⎟ = ⎜−Ωz 1 ΩX ⎟ ⎜ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ΩY 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝0 −ΩX 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ΩY −ΩX 1 ⎟⎠ ⎝ Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 28 2828 14 Transformación Bursa-Wolf Componiendo cada uno de los elementos, la ecuación final será: ⎛ Xi ⎜ ⎜ Yi ⎜Z ⎝ i ⎛ Xi ⎜ ⎜ Yi ⎜Z ⎝ i ⎞ ⎛ 1 ⎛ ΔX o ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = ⎜ ΔYo ⎟ + (1 + μ ) ⋅ ⎜ − Ω Z ⎟ ⎟ ⎜ Ω ⎜ ⎝ Y ⎠ L ⎝ ΔZ o ⎠ ⎛ Xi ⎞ ⎞ ⎛ ΔX o ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = ⎜ Yi ⎟ + ⎜ Δ Yo ⎟ + ⎜ − Ω Z ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ L ⎝ Z i ⎠W ⎝ Δ Z o ⎠ ⎝ Ω Y ΩZ 1 − ΩX ΩZ 0 − ΩX − ΩY ⎞ ⎛ X i ⎟ ⎜ Ω X ⎟ ⋅ ⎜ Yi 1 ⎟⎠ ⎜⎝ Z i − ΩY ⎞ ⎛ X i ⎟ ⎜ Ω X ⎟ ⋅ ⎜ Yi 0 ⎟⎠ ⎜⎝ Z i ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠W ⎛ Xi ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ + μ ⋅ ⎜ Yi ⎜Z ⎟ ⎝ i ⎠W ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠W ( X i , Yi , Z i )L Æ COEFICIENTES CONOCIDOS ( X i , Yi , Z i )W (ΔX i , ΔYi , ΔZ i ) Æ TÉRMINOS INDEPENDIENTES (ΔX o , ΔYo , ΔZ o , Ω X , Ω Y , Ω Z , μ ) Æ INCÓGNITAS Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso 29 2929 Transformación Bursa-Wolf El sistema de ecuaciones de observación para el ajuste por mínimos cuadrados queda: ⎛M ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝M M M M 0 0 0 1 0 Z W 0 1 −Y W M M M r r r Ax − l = 0 Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 M −Z W 0 X W M M M Y W −X W 0 M X W Y W Z W M ( ⎛ ΔX 0 ⎞ ⎜ ⎟ M ⎛ ⎞ ⎜ ΔY0 ⎟ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ΔZ ⎟ ⎜ X L − XW ⎟ ⎟ ⎜ 0⎟ r − ⎜ YL − YW ⎟ =0 ⎟ ⎜ ΩX ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Ω ⎟ ⎜ Z L − ZW ⎟ ⎟ ⎜ Y ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Ω ⎟ M ⎝ ⎠⎛⎜ 3nx1⎞⎟ ⎠(3nx 7 ) ⎜ Z ⎟ ⎝ ⎠ μ ⎝ ⎠(7 x1) x = AT A ) −1 AT l Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 30 3030 15 Transformación Molodensky-Badekas Badekas-Molodensky RZ ZW r r XM YM r XO OL Y0 ZL ZW YW ZM OW XM RX XW YW Z0 YL X0 XL YL ⎛ XW ⎞ ⎜ ⎟ X W = ⎜ YW ⎟ ⎜Z ⎟ ⎝ W⎠ XW Fecha del Congreso RY P r XL XL r (XW − X M ) ZL ⎛ XL ⎞ ⎜ ⎟ X L = ⎜ YL ⎟ ⎜Z ⎟ ⎝ L⎠ ⎛ XM ⎞ ⎜ ⎟ X M = ⎜ YM ⎟ ⎜Z ⎟ ⎝ M⎠ 31 3131 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Transformación Molodensky-Badekas Básicamente es igual que el de Bursa-Wolf, pero reduciendo las coordenadas al baricentro del sistema. Se suele resolver en dos pasos: 1)Se calculan la escala y las rotaciones ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y y ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ y1 = + ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎜z ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎜M⎟ ⎜M⎟ ⎜ ⎝ ⎠ L ⎝ ⎠W ⎝ M 0 − z1 z1 − y1 0 x1 M M y1 ⎞ ⎟ − x1 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎟⎠W ⎛ μ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜Ω ⎟ ⋅⎜ X ⎟ Ω ⎜ Y⎟ ⎜Ω ⎟ ⎝ Z⎠ 2)Se aplican los ya calculados a los baricentros de ambos sistemas para calcular la traslación x1 = X 1 − X y1 = Y1 − Y z1 = Z1 − Z Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 ⎛X ⎛ ΔX 0 ⎞ ⎛⎜ X ⎞⎟ ⎛⎜ X ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Y Y Y Y = − − Δ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎜ ΔZ ⎟ ⎜⎜ Z ⎟⎟ ⎜⎜ Z ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ L ⎝ ⎠W ⎜⎝ Z 0 Z −Z 0 −Y X Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional ⎛ μ ⎞ ⎟ Y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ΩX ⎟ −X⎟ ⎜ ⎟ ⎟ Ω 0 ⎟⎠ ⎜⎜ Y ⎟⎟ W Ω ⎝ Z⎠ 32 3232 16 7 Parámetros Península Para mantener los valores de los residuos por debajo de 2 m se divide en dos transformaciones, mas una para Baleares NW_PENINS. PENINSULA BALEARES ΔX0 (m) ΔY0 (m) 178.383 131.032 181.4609 83.172 100.251 90.2931 ΔZ0 (m) μ (ppm) 221.293 -21.2 163.354 -9.39 187.1902 -17.57 ΩX (“) Ω Y (“) Ω Z (“) 0.5401 -0.5319 -1.2438 -0.0195 0.1435 0.4922 -0.1263 -1.1436 -0.3935 Estadísticas # puntos Media Std Dev Max Min Rango 95% 99% EP 829 0.03 0.62 1.80 -2.28 4.08 1.23 1.54 Fecha del Congreso NP 829 0.18 0.56 2.24 -2.37 4.61 1.11 1.39 E NWP 162 0.02 0.40 1.28 -0.80 2.08 0.79 0.99 N NWP 162 -0.07 0.25 0.57 -0.76 1.33 0.50 0.62 33 3333 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Sectorizació Sectorización de los pará parámetros (Colombia) Región I ϕ = 10,0 ... 13,0 N λ = 73,0 ...71,0 W II ϕ = 9,4 ... 11,6 N λ = 76,0 ...73,0 W III ϕ = 8,0 ... 9,4 N λ = 77,6 ...74,4 W IV ϕ = 5,0 ... 9,4 N λ = 74,4 ...72,0 W ΔX [m] -806,413 100,783 336,026 963,273 ΔY [m] -263,500 187,382 348,565 486,386 Pará metr o Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 ΔZ [m] -622,671 -47,000 252,978 190,997 λ -2,081 616 E-05 -1,356 561 E-05 -5,771 909 E-06 -1,389 914 E-05 Rx [rad] 6,018 583 E-05 -4,471 839 E-05 -8,358 813 E-05 -7,992 171 E-05 Ry [rad] -1,450 001 E-05 1,175 093 E-05 -3,057 474 E-05 -8,090 696 E-06 Rz [rad] -1,892 455 E-04 -4,027 967 E-05 7,573 031 E-06 1,051 699 E-04 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 34 3434 17 Transformación polinómica Consiste en aplicar unos polinomios de superficie que nos dan los incrementos en latitud, longitud (y altitud elipsoidal si se precisa), mediante la aplicación del método de regresión múltiple, partiendo de las coordenadas conocidas en ambos sistemas. Tiene la ventaja, respecto a la semejanza, de conseguir absorber irregularidades a lo largo y ancho de la extensión a estudiar, adaptando mucho mejor los resultados. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 35 3535 Transformación polinómica VARIABLE REAL La formulación general para la Ecuación de Regresión Múltiple viene expresada como: f (u , v) = a0 + a1u + a2 v + a3u 2 + a4uv + a5v 2 + ... + annu n v n = ϕ dest . − ϕorig . = Δϕ g (u, v) = b0 + b1u + b2 v + b3u 2 + b4uv + b5v 2 + ... + bnnu n v n = λdest . − λorig . = Δλ Donde: a , a ,..., a 0 1 n b0 , b1 ,..., bn u = k (ϕ − ϕ m ) v = k (λ − λm ) k ϕ, λ ϕ m , λm Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Coeficientes del polinomio a determinar Lat. y Lon. normalizadas Factor de paso de grados a radianes Lat. y Longitud Lat. y Longitud media de la zona Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 36 3636 18 Transformación polinómica VARIABLE COMPLEJA La formulación general para la Ecuación de Regresión Múltiple viene expresada como: λ ′ + i ⋅ Ψ ′ = ∑ (K j + i ⋅ K ′j )⋅(λ + i ⋅ Ψ ) j n j =0 Donde Ψ es la latitud isométrica. Básicamente consiste en generar un único polinomio, lo que equivale a imponer en los dos de variable real, la condición de conformidad Ψ Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 37 3737 Transformación polinómica Intuitivamente puede parecer la mejor solución aquella que incluya más coeficientes, si bien no es así. En la varianza del modelo: ⎛ ∑ scR ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n − k −1 ⎟ ⎝ ⎠ influye el número de coeficientes y además, pude haber problemas de multicolinealidad si se incluyen muchos. Los procedimientos más usados para seleccionar los coeficientes que deben entrar en el modelo son: Eliminación Progresiva, Introducción Progresiva y Regresión paso a paso. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 38 3838 19 Transformación polinómica ELIMINACIÓN PROGRESIVA: Este procedimiento parte del modelo de regresión con todos los coeficientes y en cada etapa se elimina el que menos influye (aplicando el t de Student) hasta un cierto límite. Ventaja: No elimina coeficientes significativos, pero necesita mucho cálculo. INTRODUCCIÓN PROGRESIVA: Inverso al anterior, parte sin ningún coeficiente y se va introduciendo en cada etapa el más significativo hasta un cierto límite de parada. Ventaja: necesita menos cálculo. Inconveniente: Al ir incluyendo coeficientes, tienen dependencia con los ya agregados. REGRESIÓN PASO A PASO: Combinación de los anteriores, comenzando como el de introducción progresiva, pero planteando en cada etapa si todos los coeficientes introducidos deben permanecer, terminando cuando ningún coeficiente entra ni sale. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 39 3939 Transformación polinómica Polinomio NIMA Con: Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 40 4040 20 Regresión Múltiple Estadísticas Media Std Dev Max Min Rango 95% 99% EComplejo 0.00 0.38 0.99 -1.82 2.81 0.76 0.95 NComplejo 0.00 0.35 1.25 -2.29 3.54 0.76 0.89 E Real 0.00 0.24 0.93 -1.08 2.01 0.48 0.60 N Real 0.00 0.23 1.04 -1.42 2.46 0.46 0.57 REGENTE VR Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional VC 41 4141 MODELADO DE LA DISTORSIÓN El cambio teórico de datum debería poder llevarse acabo mediante traslación, rotación y cambio de escala. Las transformaciones descritas anteriormente se basan en esta característica. Sin embargo, la materialización de la realidad terreno en cada caso provoca ligeros cambios de forma a lo largo de la red. Al establecer cada marco de referencia, se habrán usado métodos de medida distintos, criterios de ajuste diferentes como considerar puntos fijos aquellos con un error excesivo, errores de medida, Distintos factores humanos, estrategias de procesamiento, etc. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 42 4242 21 MODELADO DE LA DISTORSIÓN Estas causas generan que nos encontremos diferencias existentes dependientes de la situación. Estas diferencias que se encuentran a nivel local se le denomina DISTORSIÓN, y no puede ser modelado mediante una simple transformación conforme. Debemos tener en cuenta estas pequeñas diferencias que, además, no tienen por qué ser iguales, pudiéndose observar valores más elevados, por ejemplo, en zonas de costa (mal ajuste geométrico) Se debe recurrir entonces a transformaciones más complejas que la de semejanza Fecha del Congreso 43 4343 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional MODELADO DE LA DISTORSIÓN Técnicas basadas en la eliminación de la distorsión de la red de ado n l e d ó Mo storsi di a cal Es a tem Sis ción Trasla B Rotación Sistema A Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 44 4444 22 MODELADO DE LA DISTORSIÓN El procedimiento habitual para realizar una transformación entre sistemas de referencia geodésicos modelando la distorsión consiste en cuatro pasos fundamentalmente. 1. Calcular la mejor transformación conforme posible entre los dos datums. Ésto elimina la diferencia entre los mismos debida únicamente al cambio de Sistema Geodésico de Referencia pero no tendría en cuenta el cambio de forma. 2. Obtener las diferencias entre el valor en el datum de llegada y el obtenido a partir de esta primera transformación conforme, que representan la distorsión. 3. Modelar la distorsión. 4. Obtener la transformación conjunta “conformidad+modelo de distorsión” Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 45 4545 Método inverso de la distancia Consiste en hacer media ponderada con los valores de N puntos próximos al de interpolación. También llamado método gravitacional Se usa ponderando en función del inverso de al distancia del punto a interpolar con los que le rodean. Las distancias se suelen elevar a una potencia (generalmente al cuadrado) y cuanto más alta es esta potencia, más peso se le da a los puntos próximos de los alejados. Z ( x, y ) = n zi i =1 n i ∑d Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 1 ∑d i =1 p p i Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 46 4646 23 Superficies de Mínima Curvatura. Desarrollado inicialmente por Briggs, se basa en la generación una superficie de interpolación de manera que al atravesarla pasando por los puntos del ajuste, la curvatura sea mínima. La idea mezcla ingeniería mecánica y teoría de elasticidad. Consiste en considerar una lámina en equilibrio donde las fuerzas que actúan lo hacen de forma perpendicular a aquella, sin existir fuerzas de cizalla ni tensiones. En el caso que tratamos, las fuerzas actuantes serían las distorsiones de la red en esos puntos. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 47 4747 Superficies de Mínima Curvatura. La deformación de la lámina se corresponde con la solución de la ecuación biarmónica: ∂ 4 w 2∂ 4 w ∂ 4 w P + + = ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D donde D se conoce como rigidez a la flexión, P la fuerza y w el desplazamiento, siendo P=0 en los puntos que no sean dato (la distorsión es la fuerza). Las condiciones de contorno son muy importantes dado que puede existir una pequeña franja de terreno entre la línea de costa y los vértices próximos a ella. Con este método se asegura que no exista fuerza (distorsión) alguna entre el límite de los puntos dato y el borde de la rejilla. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 48 4848 24 Distorsión de la red en longitud Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 49 4949 Distorsión de la red en latitud Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 50 5050 25 Técnica de Rubber Sheeting T. Delaunay en la que se añaden “puntos virtuales” para conseguir la existencia de la transformación fuera del recinto convexo de los datos. Al ser una transformación “sin residuo”, no es posible el cálculo de estadísticas sobre puntos dato ⎡ x ETRS 89 ⎤ ⎡ μ x cosα x ⎢ ⎥=⎢ ⎣ y ETRS 89 ⎦ ⎣⎢ μ x sin α x Fecha del Congreso μ y cosα y ⎤ ⎡ x ED50 ⎤ ⎡ Δx ⎤ + μ y cosα y ⎥⎦⎥ ⎢⎣ y ED 50 ⎥⎦ ⎢⎣Δy ⎥⎦ 51 5151 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Técnica de Rubber Sheeting % de val. min. Mínimo Primer cuartil Mediana Tercer cuartil Máximo Rango Suma Media Media geométrica Media armónica Curtosis (Pearson) Asimetría (Pearson) Curtosis Asimetría CV (desviación típica/media) Varianza de muestra Varianza estimada Desviación típica de muestra Desviación típica estimada Desviación típica media Desviación absoluta mediana Desviación típica de la media Límite inf. IC de la media Límite sup. IC de la media ⎡ x ETRS 89 ⎤ ⎡ μ x cosα x ⎢ ⎥=⎢ ⎣ y ETRS 89 ⎦ ⎣⎢ μ x sin α x Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Longitud 0.141 -0.303 -0.022 0.000 0.020 0.902 1.205 3.509 0.002 Latitud 0.071 -1.253 -0.022 -0.001 0.015 0.560 1.813 -6.132 -0.004 31.755 2.566 31.921 2.572 26.657 0.004 0.004 0.066 0.066 0.038 0.021 0.002 -0.001 0.006 117.122 -4.991 117.711 -5.001 -14.500 0.004 0.004 0.063 0.063 0.033 0.019 0.002 -0.008 -0.001 μ y cosα y ⎤ ⎡ x ED 50 ⎤ ⎡ Δx ⎤ + μ y cosα y ⎥⎦⎥ ⎢⎣ y ED 50 ⎥⎦ ⎢⎣Δy ⎥⎦ Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 52 5252 26 COLOCACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA Basado en el ajuste por mínimos cuadrados, la versión matricial de este método deriva en: Ax + s + n = K Donde A es la matriz de diseño del ajuste, x los parámetros, K los términos independientes, s la señal y n el ruido (aleatorio). Se basa en la determinación de los parámetros x del ajuste, eliminación del ruido mediante filtrado y calculo de la señal, s, en puntos que no han intervenido en el ajuste. En nuestro caso, Ax sería la transformación conforme, s las distorsiones y n el efecto de los errores de las medidas. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 53 5353 COLOCACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA Dada una serie de puntos con señal conocida (Δϕ,Δλ), es posible predecir en un punto P los valores de las señales (ΔϕP,ΔλP) mediante el siguiente algoritmo (Moritz): Δϕ P = C I C D−1Δϕ ΔλP = C I C D−1Δλ con C I = (C (d P1 ) LL (d Pn ) ) ⎛ C (d11 ) C (d12 ) L C (d1n ) ⎞ ⎜ ⎟ CD = ⎜ L L L L ⎟ ⎜ C (d ) C (d ) L C (d ) ⎟ n1 n2 nn ⎠ ⎝ funciones covarianzas que se determinan de forma empírica, si bien suele funcionar bien la función de Reilly Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 54 5454 27 COLOCACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA ⎛ 1 s C (h) = C 0 ⎜⎜1 − 2 ⎝ 2d 2 ⎞ ⎟⎟e ⎠ 2 ⎛ ⎜ − 0 .5 s ⎜ d2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ función de Reilly Fecha del Congreso 55 5555 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional COLOCACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA Mínimo Primer cuartil Mediana Tercer cuartil Máximo Rango Suma Media Media geométrica Media armónica Curtosis (Pearson) Asimetría (Pearson) Curtosis Asimetría CV (desviación típica/media) Varianza de muestra Varianza estimada Desviación típica de muestra Desviación típica estimada Desviación típica media Desviación absoluta mediana Desviación típica de la media Límite inf. IC de la media Límite sup. IC de la media Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Longitud -0.381 -0.044 -0.004 0.039 0.893 1.274 0.420 0.000 Latitud -1.330 -0.040 -0.007 0.025 0.516 1.846 -10.619 -0.007 10.852 1.128 10.914 1.130 287.177 0.007 0.007 0.085 0.085 0.058 0.042 0.002 -0.004 0.005 62.521 -3.519 62.840 -3.527 -10.314 0.006 0.006 0.077 0.077 0.048 0.032 0.002 -0.012 -0.003 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 56 5656 28 Comparativa de resultados Colocación Rubber S. Mínima C. Ajuste a la zona de test Rango de residuos sobre la zona de test Método Desviación estándar sobre la zona de test Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 57 5757 Conclusiones I La concepción sobre los Sistemas Geodésicos de Referencia, SGR, ha cambiado considerablemente. Cobertura y calidad Constreñimientos de partida: Un cambio de SGR no solo repercute a la Geodesia, p.e. SIG Todos los métodos son reproducibles en la práctica Las hipótesis de trabajo de partida han sido las siguientes: Idoneidad de las transformaciones simples para resolver el problema: transformaciones de cinco y siete parámetros. Estudio de la posibilidad de aplicación de modelos de regresión múltiple tanto en variable compleja como en real. Modelos de transformación complejos basados en la teoría de la eliminación de la distorsión en la red. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 58 5858 29 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) •El ITRF viene determinado por un conjunto de coordenadas y velocidades de una red de estaciones en Tierra calculadas por diversos centros de análisis utilizando observaciones espaciales VLBI, SLR, LLR, GPS, y DORIS •La posición de un punto en la superficie de la Tierra varía (mareas, carga oceánica, deshielo glacial, efectos sísmicos o volcánicos, etc.) X (t ) = X R (t ) + ∑ ΔX i (t ) i ΔX i Correcciones por variaciones dX X R (t ) = X 0 + (t − t 0 ) Posición regularizada dt Siendo X0 y t0 coordenadas iniciales y tiempo y Fecha del Congreso dX dt las variaciones 59 5959 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Entonces: X (t ) = X 0 + dX (t − t 0 ) + dt ∑ ΔX i (t ) i La determinación del ITRF está afectada por los siguientes factores: a) relaciones entre el ICRS y el ITRS (velocidad de rotación de la Tierra) b) coordenadas a priori de estaciones, c) el modelo de tectónica de placas utilizado d) el modelo de geopotencial adoptado, e) la constante gravitación y la masa de la Tierra, f) el valor de la velocidad de la luz, g) las mareas terrestres y oceánicas, h) la presión de radiación solar, i) el estado y marcha de los relojes, j) los efectos atmosféricos, k) las variaciones de las antenas de los receptores, etc. Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 60 6060 30 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) •La relación entre dos sistemas ITRS viene dada generalmente por una transformación de Helmert de 7 parámetros (3 traslaciones, 3 rotaciones y 1 cambio de escala) más otros 7 de sus variaciones temporales. Los proporciona el IERS •Así, los parámetros que publica el IERS son: ------------------------------------------------------------------------------------SOLUTION T1 T2 T3 D R1 R2 R3 EPOCH Ref. UNITS----------> cm cm cm ppb .001" .001" .001" IERS Tech. . . . . . . . Note # RATES T1 T2 T3 D R1 R2 R3 UNITS----------> cm/y cm/y cm/y ppb/y .001"/y .001"/y .001"/y ------------------------------------------------------------------------------------ITRF97 0.67 0.61 -1.85 1.55 0.00 0.00 0.00 1997.0 27 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF96 0.67 0.61 -1.85 1.55 0.00 0.00 0.00 1997.0 24 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF94 0.67 0.61 -1.85 1.55 0.00 0.00 0.00 1997.0 20 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF93 1.27 0.65 -2.09 1.95 -0.39 0.80 -1.14 1988.0 18 rates -0.29 -0.02 -0.06 0.01 -0.11 -0.19 0.07 ITRF92 1.47 1.35 -1.39 0.75 0.00 0.00 -0.18 1988.0 15 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF91 2.67 2.75 -1.99 2.15 0.00 0.00 -0.18 1988.0 12 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF90 2.47 2.35 -3.59 2.45 0.00 0.00 -0.18 1988.0 9 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF89 2.97 4.75 -7.39 5.85 0.00 0.00 -0.18 1988.0 6 rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 ITRF88 2.47 1.15 -9.79 8.95 0.10 0.00 -0.18 1988.0 IERS An. Rep. rates 0.00 -0.06 -0.14 0.01 0.00 0.00 0.02 for 1988 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso 61 6161 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) •Y podemos pasar de unos a otros con la fórmula: ⎛ XS ⎜ ⎜ YS ⎜ ZS ⎝ ⎞ ⎛ X ⎞ ⎛ T1 ⎞ ⎛ D ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ Y ⎟ + ⎜T 2 ⎟ + ⎜ R3 ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜T 3⎟ ⎜− R2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − R3 D R1 R2 ⎞ ⎛ X ⎟ ⎜ − R1 ⎟ ⋅ ⎜ Y D ⎟⎠ ⎜⎝ Z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ XS,YS,ZS coord. En ITRFyy X,Y,Z coord. en ITRF2000 •Si queremos transformar a una época diferente de la que aparece en las Tablas, variamos los parámetros con las velocidades de la tabla, siendo el Valor de un parámetro en una época: • p (T ) = p (época) + p (T − época) Y se vuelven a utilizar las fórmulas anteriores Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 62 6262 31 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Consideraciones FUNDAMENTALES –Para realizar una transformación entre sistemas terrestres geocéntricos debemos considerar que los dos marcos estén en la misma época (para considerar el desplazamiento de estaciones por al movimiento de placas) –Puntos en la época ITRFyy, época t0 (donde yy denota la solución elegida) siempre tienen asociado un campo de velocidad para cada punto, siendo sus velocidades lineales Vx, Vy, Vz). –Transformación entre ITRFyy, época t0 a ITRFzz, época t: X ITRFZZ = TX + (1 + s) ⋅ ( R + I ) ⋅ ( X ITRFYY + V X ITRFYY ⋅ (t − t 0 )) siendo X ITRF las coord. finales, TX vect. traslación, s la escala, R la matriz (t − t0 ) de rotación, I la matriz identidad, X ITRF y V coord. Y vel. Iniciales y la diferencia temporal de los dos sistemas. ZZ YY X ITRFYY 63 6363 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Fecha del Congreso Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Definimos paso de ITRF00(t ITRF00(tD) donde tD denota la época asociada al datum ITRFyy(tD) Ahora la ecuación es (misma época tD): ⎡ 1 ⎧ x ' ⎫ ⎧Tx ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ y '⎬ = ⎨Ty ⎬ + (1 + s) ⎢ −ε z ⎪ z ' ⎪ ⎪T ⎪ ⎢ εy ⎩ ⎭B ⎩ z ⎭ ⎣ εz 1 −ε x −ε y ⎤ ⎧ x ⎫ ⎥⎪ ⎪ ε x ⎥ ⎨ y⎬ 1 ⎥⎦ ⎪⎩ z ⎪⎭ A En nuestro caso: {x (t D )}ITRFyy = {Tx } + (1 + s )[δ R ]{x (t D )}ITRF 00 ↔ {x '}B = {Tx } + (1 + s )[δ R ]{x}A ⎡ 0 ⎢ [δℜ] = [ I ] + [ε ] = [ I ] + ⎢ −ε z ⎢ εy ⎣ ¡¡Ojo, ¡¡Ojo, sentido antihorario!! Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional t εz 0 −ε x −ε y ⎤ ⎥ εx ⎥ 0 ⎥⎦ 64 6464 32 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) {x (t D )}ITRFyy = {Tx } + (1 + s )[δ R ]{x (t D )}ITRF 00 Asumamos: coordenadas en el ITRF00 se mueven a cierta velocidad respecto al marco (fijo) Æ conocemos veloc. y las coord. en una época t. En este caso, la transformación de Helmert quedaría como {x(tD )}ITRFyy = {Tx } + (1 + s )[δ R ]{x(t ) + (tD − t ) {vX }ITRF 00 } Asumamos: parámetros de Helmert varían en el tiempo y que son dados en una determinada época tk generalmente distinta de la época tD {Tx } ≡ {Tx (t D )} = {Tx (tk )} + (t D − tk ){T&x } [ε ]t ≡ [ε (t D )]t = [ε (tk )]t + (t D − tk )[ε& ] p.ej: t [ε& ]t = s ≡ s (t D ) = s (tk ) + (t D − tk ) s& Fecha del Congreso ⎡ 0 ⎢ = ⎢ −ε&z ∂t ⎢ ε&y ⎣ ∂[ε ]t ε&z 0 −ε&x −ε&y ⎤ ⎥ ε&x ⎥ 0 ⎥⎦ 65 6565 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Obtenemos la transformación rigurosa {x(tD )}ITRFyy = {Tx (tk )} + (tD − tk ){T&x } + ( ) t t + ⎡(1 + s(tk )) [δ R ] + (t D − tk ) × (1 + s(tk )) [ε& ] + s&[δ R ] + (tD − tk )2 s& [ε&] ⎤ ⎣ ⎦ × ({x(t )}ITRF 00 + (t D − tk ){vx (t )}ITRF 00 ) Sentido de rotaciones antihorario, pero si se aplican rotaciones de cuerpo (rotación de vectores) como en el caso de la tectónica de placas, la matriz antisimétrica de rotación tiene los signos opuestos. En este caso particular los ejes del marco permanecen fijos mientras los vectores de posición (coordenadas) son rotados en sentido antihorario. Esta rotación es denominada " rotación de Euler " o " rotación activa " Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 66 6666 33 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Donde la velocidad de un determinado punto dadas las componentes de la velocidad angular de la placa tectónica sería: ⎡ ⎢ ⋅0 ⎡ ⎤ {v x } = ⎢Ω⎥{x} = ⎢ Ω⋅ z ⎢ ⎣ ⎦ ⎢− Ω y ⎣ ⋅ siendo ⋅ ⋅ ⋅ Ωx ,Ω y ,Ωz ⋅ − Ωz 0 ⋅ − Ωx ⋅ ⎤ Ω y ⎥⎧ x⎫ ⋅ ⎪ ⎪ Ω x ⎥⎨ y⎬ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥⎩ z ⎭ ⎦ las componentes de la velocidad angular de la placa El resumen de las épocas tD: época del datum tk: época de los pará parámetros t: época de un instante de observació observación Fecha del Congreso Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 67 6767 Transformaciones entre Marcos Modernos (ITRF) Fecha del Congreso Madrid, mayo 2007 Nombre del Congreso Instituto Geográfico Nacional 68 6868 34

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