5. semejanza - Mauricio Contreras

5. SEMEJANZA
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Longitud, área, volumen y semejanza
 Áreas y volúmenes de pirámide y cono
Teorema de Tales y teorema de Pitágoras
 Problemas topográficos
 Razones trigonométricas. Propiedades
 Resolución de triángulos rectángulos


Página 2
1. LONGITUD, ÁREA, VOLUMEN Y SEMEJANZA.

AMPLIANDO POLÍGONOS
Aquí tienes dibujados algunos polígonos. Dibuja estos mismos polígonos en las tramas que siguen.
Observarás que, al hacerlo, hemos aumentado su tamaño, los hemos ampliado.
Mide, en cada caso, el área, el perímetro y los ángulos. Compáralos con el original. ¿Qué permanece?.
¿Qué cambia?.

AMPLIANDO CUBOS
Aquí tienes un cubo de lado (arista) 1. Su superficie es 6 y su volumen 1.
Utilizando cubitos unidad como este construye un cubo de lado 2 y un cubo de lado 3. ¿Qué permanece?.
¿Qué cambia?.
Halla las áreas y los volúmenes de los tres cubos. ¿Qué relación existe entre las áreas?. ¿Y entre los
volúmenes?.
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
RAZÓN DE SEMEJANZA
Dos polígonos (o dos sólidos) son semejantes si tienen la misma forma. Dos polígonos (o sólidos)
semejantes tienen las siguientes propiedades:
1) Los lados homólogos son proporcionales
Es decir, los cocientes entre sus longitudes son iguales. Este valor común se llama razón de
semejanza.
A' B'  2 AB 
D' C'  2 DC 


B' C'  2 BC 
A' D'  2 AD

De donde:
A' B' B' C' D' C' A' D'



2
AB
BC
DC
AD
Se dice que la razón de semejanza de ABCD a A’B’C’D’ es r = 2 y que la razón de semejanza de
A’B’C’D’ a ABCD es r'  1 2 .
2) Los ángulos homólogos son iguales.
3) Entre los perímetros hay una relación, de forma que el cociente entre los perímetros es igual a la
razón de semejanza.
P’ = 2 P
En general:
P’ = rP siendo r la razón de semejanza.
4) Entre las áreas hay una relación cuadrática, de forma que el cociente entre las áreas es igual
al cuadrado de la razón de semejanza. A'  2 2  A En general: A'  r 2  A
siendo r la
razón de semejanza.
5) Entre los volúmenes de dos sólidos semejantes hay una relación cúbica, de forma que el cociente
entre los volúmenes es igual al cubo de la razón de semejanza. Osea: V'  r 3  V
El volumen de un cubo C’ es 216 veces el volumen de otro cubo C. ¿Cuál es la razón de semejanza?. Si la
arista de C’ es 24 cm, ¿cuál es la arista del cubo C?.
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
AMPLIACIONES Y REDUCCIONES
Con una fotocopiadora podemos hacer ampliaciones y reducciones. Una ampliación del 25% significa que
100 milímetros del original se convierten en 125 milímetros en la copia. Una reducción del 30% significa
que 100 milímetros del original se convierten en 70 mm en la copia.
Utilizando regla y compás, intenta reproducir los dibujos que siguen en dos casos:
a) Con una reducción del 50%.
b) Con una ampliación del 75%.

ESCALAS
En los mapas suelen utilizarse distintos tipos de escalas (generalmente de reducción). Por ejemplo, una
escala de 1: 10000 significa que 1 centímetro del dibujo representa 10000 cm en el original.
a) En un mapa a escala de 1: 5000000, ¿cuál será la longitud real correspondiente a las longitudes
sobre el mapa de 3 cm; de 5 cm; de 10 cm?.
b) Si la escala con la que se hizo un mapa está en la relación de 1: 400000, ¿cuántos km 2 tendrá en la
realidad una superficie que en el mapa mide 15 cm2 ?.
c) Tenemos un triángulo construido a escala 1: 2000. ¿Qué superficie representa en la realidad,
sabiendo que la base del triángulo mide 54’6 mm y la altura 48’7 mm ?.
d) Un campo tiene forma triangular y sus lados miden 550 m, 680 m y 840 m. Calcula su área.
Sugerencia: Dibuja un triángulo a escala y mide su altura sobre dicho dibujo.

PLANO DE UNA CASA
Este es el plano de una casa dibujado a escala 1: 100; es decir que 1 cm del plano representa 1 m en la
realidad. Averigua las dimensiones – largo y ancho – del salón. Halla la superficie de la cocina y la
superficie total del piso. ¿Qué precio tendrá en piso, si se paga a 109611 pesetas el metro cuadrado?.
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
PIRÁMIDE DE KEOPS
Haz una reproducción a escala de la gran pirámide de Keops, sabiendo que su altura mide 138 metros y
que su base es un cuadrado de 227 metros de lado. Utiliza un recortable de cartulina con el desarrollo
plano adecuado y las solapas necesarias.

TRIÁNGULOS
a) Construye con regla y compás un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 8 cm y 6 cm. Construye otro
triángulo cuyos lados midan 12 cm, 16 cm y 20 cm. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.
b) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.
A=60º
A’=60º
AB = 4 cm
A’B’ = 6 cm
BC = 6 cm
B’C’ = 9 cm
c) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos: ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.
A=45º
A’ = 45º
AB = 4 cm
A’B’= 5 cm
BC = 6 cm
B’C’ = 9 cm
Dos triángulos son semejantes si:
1) Tienen los tres lados homólogos respectivamente proporcionales.
2) Tienen dos lados homólogos respectivamente proporcionales y un ángulo homólogo
respectivamente igual.
3) Tienen dos ángulos homólogos respectivamente iguales.
Estas propiedades se conocen como criterios de semejanza de triángulos.

MÁS TRIÁNGULOS
Los lados de un triángulo miden 5 cm, 8 cm y 7 cm. Construye un triángulo semejante a él sabiendo que
su perímetro mide 40 cm.

COMETA
Una cometa de forma romboidal tiene diagonales de 50 cm y 75 cm. Queremos construir otra cometa
con la misma forma pero un poco más grande. Exactamente, queremos añadir 10 cm a la diagonal menor
para que mida 60 cm. ¿Cuántos cm deberemos añadir a la diagonal de 75 cm?.

BASE Y ALTURA
La base y la altura relativa de un triángulo miden 4 cm y 5 cm, respectivamente. Calcula la base y la
altura de un triángulo semejante que tenga un área igual a 90 cm2.
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
DOS ROMBOS
La razón de semejanza entre dos rombos es de 4 3 , y el área del mayor es de 192 cm2. Calcula el área
del rombo menor.

PATIO
Un patio tiene forma de cuadrilátero, ABCD, con dos lados paralelos. Medimos: AB = 5 m y AD = 12 m.
Además sabemos que OA = 13 m y que OB = 16 m. ¿Cuánto mide BC?. ¿Cuánto mide DC?.

LETRAS DESCONOCIDAS
Sustituye las letras por los valores numéricos que les corresponden:
2. ÁREAS Y VOLÚMENES DE TRONCOS DE PIRÁMIDE Y CONO

DEL TRONCO A LA PIRÁMIDE
Si conocemos las dimensiones de un tronco de pirámide, ¿podemos determinar las dimensiones de
la pirámide de la que procede?. Observa en la figura adjunta que, por semejanza de los triángulos
AMN y ABC, se cumple:
AM MN

AB
BC
y
AN MN

AC BC
lo que permite calcular la altura y la arista lateral de la pirámide si
se conocen la altura, la arista lateral y las aristas básicas del tronco
de pirámide. Para hallar los segmentos MN y BC puedes usar el
teorema de Pitágoras o propiedades del polígono de que se trate.
1) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Trazamos un
plano paralelo a la base a 2 cm de ella, obteniendo así un tronco de pirámide. ¿Cuál es la arista
lateral de este tronco de pirámide?.
2) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su arista
lateral es de 26 cm. Calcula la altura y la arista lateral de la pirámide correspondiente.
Ten en cuenta que el lado de un hexágono regular coincide con el radio de su circunferencia
circunscrita.
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
TRONCO DE CONO
En la industria encontramos con frecuencia piezas de forma cónica, si bien, puede suceder que
éstas no sean un cono propiamente dicho, sino una parte de él; por ejemplo, vasos, tapones de
corcho, etc.
Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra cuerpo geométrico
denominado tronco de cono. Si el cono es recto y el plano de corte es paralelo a la base,
obtenemos un tronco de cono recto. En otro caso, obtenemos un tronco de cono oblicuo, como
puedes ver en la siguiente figura.
Tronco de cono
recto
Tronco de cono
oblicuo
Un cono de revolución tiene 13 cm de generatriz y 5 cm de radio de la base. Si lo cortamos con un plano
paralelo a la base que pasa por un punto de la generatriz distante del vértice 5’2 cm, calcula la altura
del tronco de cono recto resultante.

RELACIÓN EN UN TRONCO
1) Sean R y r los radios de las bases de un tronco de cono recto, cuya altura es h y
cuya generatriz es g. ¿Qué relación existe entre R, r, h y g?.
2) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución son 80 cm y 40 cm, y la
altura 30 cm. Calcula la generatriz de dicho tronco de cono. Calcula también la
altura del cono del cual procede dicho tronco de cono.

DESARROLLO PLANO DE UN TRONCO DE CONO
Para obtener el desarrollo plano de un tronco de cono recto haremos un corte a dicho tronco a lo
largo de la generatriz y desplegaremos la figura sobre el plano. El resultado es el siguiente:
Dibuja en una cartulina, utilizando regla y compás, el desarrollo plano de un tronco de cono recto de
altura 12 cm, cuyas bases menor y mayor tengan por diámetros 4 cm y 22 cm, respectivamente. A
continuación, recórtalo y móntalo.
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
ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide, que es
el sólido comprendido entre la base y el plano de corte.
En un tronco de pirámide recto y regular, sus caras son trapecios isósceles y como el área del
1
trapecio es A = b + b'   a , contando el
2
número de trapecios es fácil deducir que:
AL 
1
 P + P'   a
2
AT  AL  Ab  Ab'
donde P y P’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.
1) Halla las áreas lateral y total de un tronco de pirámide regular cuadrangular sabiendo que su altura
es 20 cm, la base mayor está inscrita en una circunferencia de 4 cm de radio y el área de la base
menor es la mitad del área de la mayor.
2) El área de la superficie total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas es 1666 cm 2. Las
áreas de las bases son 144 cm2 y 324 cm2 respectivamente. Halla la apotema del tronco.

COMPARA VOLÚMENES
1) Construye un prisma y una pirámide de igual base e igual altura. Móntalos prescindiendo de la cara
básica y comprueba que el volumen del prisma es triple que el de la pirámide, llenando la pirámide de
arena tres veces consecutivas y vertiendo su contenido en el prisma.
2) En una pirámide, la sección producida por un plano paralelo a la base
determina con el vértice una nueva pirámide semejante a la anterior.
Halla la razón entre sus volúmenes teniendo presente la razón entre las
áreas de sus bases, así como la razón entre sus alturas.
Comprueba que se cumple que:
VPIRAMIDEGRANDE
VPIRAMIDEPEQUEÑA
1
 Ab  h
3
 k3
1
 A'b h'
3
siendo k la razón entre las alturas de dichas pirámides.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
Al cortar una pirámide por un plano paralelo a su base, se obtiene una pirámide
más pequeña y un tronco de pirámide.
Para hallar el volumen de un tronco de pirámide basta considerarlo como
diferencia de dos pirámides:
VTRONCO  VPIRAMIDEGRANDE  VPIRAMIDEPEQUEÑA
1) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su arista
lateral es de 26 cm. Calcula su volumen, así como su área total.
2) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Se desea
calcular el volumen del tronco de pirámide producido por un plano paralelo a la base a 2’1 cm de
distancia de ella.
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
ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
Observa el desarrollo plano de un tronco de cono y fíjate que se parece al desarrollo plano de un
tronco de pirámide regular.
1) Utilizando el teorema de Pitágoras, averigua la relación existente entre R, r, h y g, siendo R y r los
radios de las bases del tronco de cono, h su altura y g su generatriz.
2) Teniendo en cuenta las expresiones del área lateral y total correspondientes al tronco de pirámide,
deduce que el área lateral y total de un tronco de cono vienen dados por las fórmulas:
A L    g  R + r 

A T    g  R + r   R 2  r 2
y

3) Utilizando la expresión del volumen de un tronco de pirámide, deduce que el volumen de un tronco
de cono viene dado por la fórmula: V =


1
  h  R 2  r 2  R  r
3

SÓLIDO
Calcula el volumen de este cuerpo:
3. TEOREMA DE TALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS.

EL TEOREMA DE TALES
El teorema de Tales afirma que:
Si dos rectas concurrentes r y s se cortan por dos segmentos
paralelos AB y A’B’, se obtienen dos triángulos OAB y OA’B’ que
OA' OB' AB'


son semejantes. Es decir:
OA OB
AB
a) Para dividir el segmento AB en 5 partes iguales, trazamos por un extremo del segmento una recta r
concurrente con AB y sobre ella a partir de A trazamos con ayuda del compás 5 segmentos iguales.
La última división la unimos con B y por el resto de divisiones trazamos paralelas a B5 que
determinan en AB los cinco segmentos iguales buscados. ¿Por qué son iguales dichos segmentos?.
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b) Fijándote en el procedimiento anterior, busca un método que permita dividir el segmento AB en
tres partes proporcionales a los segmentos x, y, z de la figura. ¿En qué teorema te basas?.

PUZZLES SOBRE PITÁGORES
En un triangle rectangle, els costats menors són els que formen l'angle recte. S'anomenen catets.
El costat major s'anomena hipotenusa i s'oposa a l'angle recte. En la figura, b i c són els catets, a
és la hipotenusa. El teorema de Pitàgores diu:
2
2
a =b +c
2
L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats
construïts sobre els catets. I açò és veritat només si el triangle és rectangle. Per a veure que és
cert que ocorre açò sempre que el triangle siga rectangle, observa el puzle següent:
Observa què els dos quadrats grans són iguals. Si a cadascun d’ells li suprimim quatre triangles
iguals, de costats a, b i c, resulta: a 2 en el primer i b 2  c 2 en el segon. Per tant, ha de complir-se
què: a 2  b 2  c 2 .
Página 11
En la següent figura es mostra, a manera de tangram, una demostració del teorema de Pitàgores. Còpia
la figura i amb l'ajuda d'unes tisores, retalla-la pels traços discontinus. Superposa convenientment les
peces obtingudes sobre el quadrat major de manera que pugues comprovar el teorema de Pitàgores.

TERNAS PITAGÓRICAS
a) El trío (3, 4, 5) es una terna pitagórica, ya que 32  4 2  5 2 . Averigua si son pitagóricas las
siguientes ternas: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (15, 20, 25) y (20, 21, 29). Construye
triángulos rectángulos cuyos lados tengan dichas dimensiones.
1
1
c  h  a  b , ya que un cateto
2
2
a b
puede considerarse como base y el otro como altura. Por lo tanto: c  h  a  h . De donde: h 
.
c
El área del triángulo rectángulo ABC de la figura es igual a S 
Es decir: en todo triángulo rectángulo se cumple:
 El área es igual al semiproducto de los catetos.
 La altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de los
dos catetos partido por la hipotenusa.
b) En los triángulos rectángulos del apartado (a), halla el área y la altura relativa a la hipotenusa.
4. PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS.

ANCHURA DE UN RÍO
a) Un grupo de exploradores ha de cruzar un río. La profundidad de éste obliga a construir un puente,
para lo cual disponen de árboles de un bosque próximo. Necesitan conocer la anchura del río. ¿Cómo
la calcularían rápidamente de manera aproximada?.
b) En la figura adjunta se indica un posible procedimiento para medir la anchura del río. Explica
detalladamente en qué consiste. ¿Qué ocurre si la distancia Ax es demasiado grande?.
P
Página 12
x
A
x
c) En la siguiente figura se describe otro método que es una modificación del anterior. ¿En qué
consiste?. Explícalo detalladamente. ¿Qué relación existe entre AP y BC?. Si BC=5 metros, ¿cuánto
vale la anchura del río AP ?.

ALTURA DE UN EDIFICIO
Las normas municipales de cierta ciudad exigen que la relación entre la altura de los edificios y la
anchura de la calle sea de 2 / 3.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos solares con la horizontal cuando empiezan a dar en la acera?.
b) Si la altura ocupada por un piso es aproximadamente 3 metros, ¿cuántos pisos se permiten como
máximo en las calles de 18 metros de anchura?. ¿Y en las calles de 24 metros de anchura?.

EL TEODOLITO
Para hallar la altura de un edificio, basta considerar el triángulo OAB de la siguiente figura, que es
una representación a escala del triángulo original:
Conocido el ángulo x y la distancia OA en el original, basta medir sobre el triángulo dibujado a
escala la distancia AB y transformarla posteriormente teniendo en cuenta la escala empleada.¿Cómo
podemos medir exactamente el ángulo x en el original?.
Para obtener con precisión la medida del ángulo x se utiliza un aparato llamado teodolito, que
consiste en dos círculos graduados situados en dos planos, horizontal y vertical, que pueden girar.
Con este instrumento se pueden medir ángulos situados en planos verticales y también horizontales.
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a) Construye un teodolito con ayuda de dos círculos graduados, cartulina, madera y regla graduada.
b) Utiliza el teodolito que has construido para averiguar la relación entre la altura del edificio donde
vives y la anchura de tu calle.

ALTURA DE UNA TORRE
Con ayuda de un teodolito y de una cinta métrica hemos obtenido las medidas indicadas en la siguiente
figura. Averigua la altura de la torre, construyendo previamente un dibujo a escala. Da como
aproximación de dicha altura la media de los valores obtenidos en la clase.

MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir ángulos se utilizan como unidades los grados ( º ), minutos ( ‘ ) y segundos ( “ )
sexagesimales, de manera que una circunferencia tiene 360º, un grado tiene 60’ y un minuto 60”.
Podemos expresar un ángulo en grados o bien en grados, minutos y segundos. Por ejemplo:
42º 27’ 62” equivale a 42.467222º
52.123611º equivale a 52º 7’ 25”
Esta transformación se puede hacer con la calculadora científica, usando la tecla º ‘ “ con la que
podemos transformar grados, minutos y segundos en grados. Para efectuar la transformación inversa
basta pulsar SHIFT º ‘ “ .
Ejemplo: para efectuar el producto 3  23º 14’ 18” basta proceder así:
23
º‘“
23
14
º‘“
18
º‘“

3
=
SHIFT
º‘“
23.233333
23.238333
69.715
de manera que:
69º 42’ 54”
3  23º 14’ 18” = 69º 42’ 54”
a) Efectúa estas operaciones entre ángulos, expresando el resultado en grados, minutos y segundos:
1) 34º 16’ 52” + 24º 12’ 50”
2) 64º 42’ 16” – 15º 12’ 36”
3) 5  12º 34’ 46”
b) En un cuadrilátero el ángulo A vale 64º 25’ y el B vale 104º 35’. ¿Cuánto valdrán los ángulos C y D,
sabiendo que los dos son iguales?.
Página 14

RADIANES
Si rodeas un bote o una lata de conservas con un hilo y comparas la longitud de la circunferencia del
bote con su diámetro, verás que dicha longitud, L, es un poquito más de tres veces el diámetro.
El cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número un poco mayor que tres,
tiene infinitas cifras decimales que no forman periodo (es decir, es un número irracional) y se llama
número ..
L
   3.1415927... La longitud de la circunferencia es L    D  2    R
D
Un radián es un ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.
Para averiguar cuántos radianes tiene una circunferencia, calcularemos el número de radios que
contiene. Así:
Una circunferencia tiene
L 2R

 2 radianes. Y como una circunferencia tiene 360º, resulta que:
R
R
360º equivalen a 2 radianes.
a) ¿Cuántos grados, minutos y segundos mide un radián?.
b) Expresa en radianes los siguientes ángulos:
1) 27º 15’
2) 87º 30’ 42”
3) 90º
4) 45º
5) 30º
6) 60º
c) Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
1) 0’5 radianes
2)

radianes
3
3)

radianes
6
4)
5
12
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. PROPIEDADES.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Todos los triángulos aquí dibujados son rectángulos, es decir tienen un ángulo recto. La hipotenusa es el
lado de mayor longitud; los catetos son los otros dos lados.
Página 15
a) ¿Cuáles de dichos triángulos tienen la misma forma?. Clasifícalos según el criterio de “tener la
misma forma”.
b) Mide, con ayuda de un transportador, los ángulos de cada triángulo. ¿Qué conclusiones obtienes?.
c) Dibuja varios triángulos que tengan la misma forma que éste:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En un triángulo rectángulo ABC, llamamos:
cateto opuesto AC b


hipotenusa
BC a
cateto contiguo AB c
cos B 


hipotenusa
BC a
cateto opuesto AC b
tan B 


cateto contiguo AB c
sen B 
Las funciones que asignan a cada ángulo x, su seno, coseno y tangente, se llaman funciones
circulares:
x  sen x
x  cos x
x  tan x
a) Comprueba que
sen x
 tan x
cos x
b) Comprueba que sen x  cos x   1
2
2
Esta última propiedad puedes verla aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC
de la figura.

USA TU CALCULADORA
En tu calculadora dispones de las teclas SIN , COS , TAN . Con ellas puedes hallar los valores del
seno, coseno y tangente de un ángulo dado. Por ejemplo:
65º
sin
0.9063077
43º
sin 0.6819983
65º
cos 0.4226182
43º
cos 0.7313537
65º
tan 2.1445069
43º
tan
0.932515
a) Con ayuda de tu calculadora completa la siguiente tabla y extrae de ella toda la información que
puedas sobre las funciones circulares:
ángulo (grados)
SIN
COS
TAN
0
10
20
30
40
Página 16
50
60
70
80
90
b) Dos ángulos son complementarios si su suma vale 90º. Habrás observado en la actividad del
apartado anterior que sen 10º = cos 80º y que cos 10º = sen 80º. Y evidentemente, los ángulos de
10º y 80º son complementarios. ¿Se cumple esta propiedad siempre que se trate de ángulos
complementarios?.
c) Si los ángulos A y B son complementarios, esto es, A+B=90º,
entonces
sen A  cos B
 . Observa la siguiente figura y averigua
cos A  sen B 
geométricamente por qué es cierta esta propiedad:
d) En la calculadora puedes hallar el seno, coseno y tangente cuando el ángulo está dado en grados
sexagesimales o en radianes, indistintamente.

Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales, activa previamente el modo DEG , lo que
se consigue pulsando las teclas MODE 4 . Este modo está activado por defecto.

Si el ángulo está expresado en radianes, debes activar el modo RAD , lo que se consigue
pulsando las teclas MODE 5 .
Utilizando los modos DEG y RAD de la calculadora, halla el seno, coseno y tangente de los siguientes
ángulos:
75º;
27º 13’;
32º 15’ 23”;
0’75 rad;
1’2 rad;
3 2 rad.

HALLANDO ÁNGULOS
En tu calculadora dispones de la tecla SHIFT . Con ella puedes obtener un ángulo conocida una
determinada función circular. Así:
0’5 SHIFT SIN
da un ángulo cuyo seno es 0’5.
0’7 SHIFT COS
da un ángulo cuyo coseno es 0’7.
1’3 SHIFT TAN
da un ángulo cuya tangente es 1’3.
Según que la calculadora esté en modo DEG o en modo RAD, el resultado vendrá expresado en
grados o en radianes.
a) ¿Cuánto miden los ángulos que se obtienen al pulsar las secuencias anteriores de teclas?.
b) Sabiendo que sen x = 0’7, halla cos x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y
radianes.
c) Sabiendo que cos x = 0’62, halla sen x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y
radianes.
d) Sabiendo que tan x = 2, halla sen x y cos x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y en
radianes.

COMPLETA CON LA CALCULADORA
Completa la siguiente tabla, utilizando la calculadora:
X (GRADOS)
X (RADIANES)
SIN X
COS X
0’94
45
0’82
TAN X
3 2
3’5
Página 17
1
6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

ALTURA DE UN GLOBO
Desde dos puntos, A y B, situados como indica la figura,
medimos, con ayuda del teodolito, los ángulos a y b, resultando
ser, respectivamente, 45º y 39º. Si la distancia entre los
puntos A y B es de 500 metros y el punto C es inaccesible,
¿cuál es la altura a la que se encuentra el globo?.

UN TUNEL
¿Qué longitud tendrá el túnel ABCD?. ¿Cuál será su profundidad BP?.

EL OVNI
¿A qué altura se encuentra el ovni O?.
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DIAGONALES DE UN ROMBO
Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm.
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COMETAS
En un concurso de cometas, dos niños, separados por 120 m de distancia, tienen desplegadas sus
cometas sobre el plano vertical mediante 80 y 160 m de cordel en el instante en que éstas colisionan.
¿A qué altura del suelo colisionan los cometas?. Si caen verticalmente por su propio peso, ¿qué distancia
habrá de caminar cada uno de ellos para recogerlas?.
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LADOS DESCONOCIDOS
a) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen el lado AC = 300 m y los ángulos B = 23º y
C=51º. Halla el lado desconocido BC.
b) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen los lados AB = 190 m y AC = 235 m y se sabe
también que B=105º. Halla la medida del lado desconocido BC.
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PARCELA
Una parcela tiene forma triangular y sus dimensiones son 270 m, 240 m y 225 m. Halla la medida de los
ángulos. Calcula también el área de la parcela.
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ÁREA Y PERÍMETRO
En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm y los ángulos iguales miden 70º. Calcula su área y
su perímetro.
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ESCALERA
Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál es su inclinación si su base dista 2 m de la
pared?.
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POSTE
Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el
horizonte?.
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