Unidad 2 - s3.amazonaws.com

Unidad 2 Movimiento “Cinemática”
En este apartado vamos a estudiar la cinemática de partículas puntuales. Esto es, vamos
a estudiar el movimiento de partículas sin preocuparnos de cuales son las causas que
provocan esos movimientos.
Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos conceptos y
variables físicas que se usarán:
Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un objeto
muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejemplo un grano de
arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un objeto considerado como
un punto matemático sin dimensiones, que tendrá sólo posición, masa y movimiento de
traslación. Esto significa que cualquier objeto puede ser considerado como partícula,
independiente de su tamaño, considerando su masa concentrada en un punto que lo
representa.
Ejemplos de objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una
hormiga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su
movimiento de traslación en torno al Sol.
Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio o en el plano, relativa a
un sistema de referencia. Es un vector y se denota por:
De lo anteriormente explicado y representado en la grafica 2.2, hallar el desplazamiento
de una partícula gráficamente, no es más que realizar la resta de los vectores posición
como se estudió en el capitulo I, donde se realizaba el cambio de sentido al vector
negativo, en este caso al vector posición inicial y luego se realizaba la suma del vector
posición final mas el vector en sentido contrario del vector posición inicial. Como
ejercicio se deja al estudiante la verificación gráfica.
Ejemplos:
 Un gato se mueve en el plano (x, y) desde la posición P1 en (-3,-5) m hasta la
posición P2 en (10,2) m. (a) Dibujar los vectores de posición y escribirlos en
coordenadas cartesianas. Calcular (b) la variación de la posición del gato, (c)
magnitud de la variación y (d) su dirección.
Solución: a) En la figura se dibuja el diagrama vectorial .Sus coordenadas cartesianas
son:
b) La variación de la posición es la diferencia entre las posiciones del objeto, esto es la
posición final menos la posición inicial denotada por
 Una hormiga camina por el borde de un CD de 6 cm de radio, rodeando la
mitad del disco. Calcular: (a) la variación de su posición, (b) ¿cuánto camina?,
(c) su variación de posición si completa el círculo.
Solución: Usando el sistema de referencia de la figura 1.11, donde i es la posición
inicial, que se elige en el origen, y f la posición final.
b) Se pide distancia d recorrida desde i hasta f por el borde (por ejemplo el superior)
del disco, si P es el perímetro, entonces:
c) Hay que calcular Δr después que la hormiga ha dado una vuelta completa.
Movimiento de la partícula: La posición de una partícula en el espacio queda
determinada mediante el vector de posición
de referencia xyz.
trazado desde el origen O de un sistema
Si la partícula se mueve, el extremo del vector de posición
describe una curva en el
espacio que se conoce como trayectoria. Una trayectoria queda completamente
determinada si se conocen los valores de las tres coordenadas en función del tiempo:
Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Podemos
escribir estas ecuaciones paramétricas en forma vectorial:
La cual representa la posición en función del tiempo de una partícula en movimiento.
Ejercicio:
 Las ecuaciones paramétricas de una partícula que se desplaza en el espacio, son
X= t 3 , Y=t 2 -- 2, Z=t, Definir el vector posición en función del tiempo y hallar
la posición de la partícula en los instantes t= 0 seg. Y t= 2 seg.
La velocidad de una partícula es la RAPIDEZ con la que cambia su posición en el
tiempo. Podemos determinar para una partícula: La velocidad media y la velocidad
instantánea.
MEDIA:
Consideremos una partícula que describe una trayectoria curvilínea en el espacio,
representada por la línea azul, como se muestra en la figura.
El vector r (t) representa la posición inicial en un tiempo t,
El vector r (t +  t) el vector posición final en un tiempo t +  t,
 S es el tramo de trayectoria recorrida desde P a Q y
El vector  r es el cambio de posición que experimenta la partícula
(DESPLAZAMIENTO) y que gráficamente no es más que la resta de los vectores de
posición r final – r inicial
La unidad de medida de la velocidad media en el SI es m/s, que se lee metros por
segundo. La velocidad media es independiente de la trayectoria, es un vector y puede
ser positiva, negativa o cero, según sea el sentido del vector desplazamiento.
La velocidad instantánea, formada por sus respectivos componentes en función del
tiempo (ecuación paramétrica 1.10), dependerá de la trayectoria y representará
matemáticamente la pendiente de la curva en ese instante.
Movimiento solo en el eje X: La velocidad media o promedio para una partícula que
se mueve en dirección del eje x, desde la posición inicial xi en un instante inicial ti,
hasta la posición final xf en un instante final tf es:
Siendo la resta de las posiciones en X, el desplazamiento realizado en el intervalo de
tiempo.
Si la posición x aumenta con el tiempo:
Entonces
Y la partícula se mueve en dirección positiva del eje x, y. Al contrario la partícula se
dirigiría en sentido negativo del eje x.
Si la partícula se desplaza a una velocidad instantánea igual en todos los intervalos de
tiempo se dice que la partícula se desplaza con velocidad constante. Eso es lo que se
llama M R U (movimiento rectilíneo uniforme)
Cálculo gráfico del vector desplazamiento Δx y vector velocidad v
Sabemos que velocidad es variación de posición, si tenemos de dato el vector
desplazamiento aplicamos la derivada al vector y obtenemos la velocidad. Ahora si
tenemos de dato el vector velocidad y se quiere obtener el vector desplazamiento,
aplicamos la integral del vector velocidad.
El proceso de integración es gráficamente equivalente a encontrar el área bajo la curva
y = f(x). Se puede usar esta propiedad de las integrales para calcular gráficamente el
valor del desplazamiento Δx
De la definición de velocidad se tiene:
Donde v (t) es la velocidad en cualquier instante.
Si se conoce la función de v (t) se puede calcular la integral, pero si no se conoce, se
puede evaluar gráficamente y por definición de integral, la expresión anterior se
interpreta como (ver figura):
Desplazamiento = área bajo la curva v/t
La gráfica anterior representa el caso en que la partícula se mueve con rapidez
constante vo (significa que su aceleración es cero), el desplazamiento de la partícula es
el área del rectángulo, esto es:
En un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad es constante y se calcula como:
V= d/t donde: d representa el desplazamiento y t el tiempo transcurrido
Ejemplos: Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el
desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad
es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0 y t=10 s es
Δx=35·10=350 m
Si v=6·t, el desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área
del triángulo de color azul claro
Δx=(60·10)/2=300 m
Si v=-8·t+60. el desplazamiento del
móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es
la suma de las áreas de dos triángulos:


el de la izquierda tiene un área de
(7.5·60)/2=225
el de la derecha tiene un área de
(-20·2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el área total
Δx=225+(-25)=200 m
Ejercicios:
A) La velocidad de una partícula viene determinada por la siguiente función
v (t) = (5 + t) 2 , hallar X (t) sabiendo que en el instante t = 0 la posición de la
partícula es el origen de coordenadas. V (t) es expresado en m/seg. Y X (t) en
m.
B) En la figura 2.13 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una partícula que se
mueve en dirección positiva del eje x. Calcular el desplazamiento de la partícula
PROBLEMAS:
1. La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2, y=6t.
Determinar el módulo del vector velocidad en el instante t= 4seg.
R: v=10 m/seg.
2. Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i +
3 j, expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m.
Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.
3. Cuando Carlos viaja en una autopista, pasa por la marca de 260 km. Después sigue
moviéndose hasta la marca de 150 km. y luego se devuelve hasta la marca 175 km.
¿Cuál es su desplazamiento resultante respecto a la marca de 260 km?
R: –85 km.
4. Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a
95 km/h. ¿Cuánto tiempo deberá esperar su amigo a que Ud. Llegue?
R: 1.8 min.
5. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x (t)= (3t22t+3) m. Calcular a) la rapidez promedio entre t = 2s y t = 3s, Y b) la velocidad
instantánea en t = 2s y t = 3s
6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x (t)=2+3t-t2,
donde x está en metros y t en segundos. Para t=3s, calcular a) la posición de la partícula,
b) su velocidad.
R: a)2m, b) –3m/s
7. Las ecuaciones de movimiento para dos partículas A y B que se mueven en la misma
dirección son las siguientes (x en m y t en s).
Calcular: a) el instante para el cual las posiciones de A y B coinciden, b) las velocidades
de A y B en el instante en que se encuentran en la misma posición:
R: a) 3.8s, b) 18.3 m/s, -22.7 m/s.
8. En la figura 2.17 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una partícula que se
mueve en dirección del eje x. Calcular el desplazamiento de la partícula.
9. Un auto se desplaza a 100 km/h hacia el norte durante una hora, luego 45 metros a la
misma velocidad, en una dirección de 45º hacia el este. ¿Cuál es el vector
desplazamiento durante ese tiempo? Realizar gráfico de los vectores.